【填空题专项】09计数原理、概率与统计-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （九） 计数原理、概率与统计 1.（2023·河北对口升学）已知，则_______.. 2.（2020·河北对口升学）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有__________种． 3.（2022·河北对口升学）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 4.（2020·河北对口升学）在二项式的展开式中，含的项的系数是__________． 5．二项式的展开式中，所有奇数项的系数之和为128，则 . 6．的二项式展开式中的系数为，则 （数字作答） 7.已知展开式中各项系数之和为，则__ ____. 8. （2020·河北对口升学） 同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为__________． 9.（2021·河北对口升学）现有长度分别为的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为__________. 10. （2024·河北对口升学）“这么近，那么美，周末到河北”，某家庭计划从保定市的古莲花池、直隶总督署、狼牙山和石家庄市的西柏坡纪念馆、赵州桥、正定古城、苍岩山七个地点中任意选取两个游览，则选取的两个地点在同一城市的概率为________. 11. （2025·河北对口升学）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为___ ___. 12．已知甲、乙各有张卡片，分别标有数字，，，，，.现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率为 . 13．灯具厂生产吊灯、台灯和壁灯，产量比为3：4：3.吊灯次品率为2%，台灯次品率为1.5%，壁灯次品率为2.5%.现随机抽取一盏灯，该灯是次品的概率是 . 14．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，在2，3，5，7，11这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是 ． 15．古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 ． 16．汽车配件厂生产轮胎和刹车片，轮胎每生产300个有12个不合格，刹车片每生产200个有8个不合格.从生产的轮胎和刹车片中各随机取一个，至少有一个不合格的概率是 . 17．一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为 . 18.已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 19. 已知随机变量的分布列如下表（其中为常数），则_____. 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 20．工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 21.已知，的平均数为，且，，的平均数为9，则数据，，，，的平均数是 ． 22．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 23．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 24．已知随机变量的分布列如下表所示，则 ． 1 2 25．“二十四节气”是正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，二十四节气中“芒种”不仅是一种“节气”，更是一种“农时”，是一套顺应天时、符合农事的生活与民俗系统.《月令七十二候集解》中说：“谓有芒之种谷可稼种矣”.夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每一时节的开放与生长都蕴含着这个季节的“节气”.若从24个节气中选择2个节气，则这2个节气恰好在同一个季节的概率为 . 试卷第1页，共3页 试卷第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 填空题专项 （九） 计数原理、概率与统计 1.（2023·河北对口升学）已知，则_______.. 【答案】 【分析】根据组合数的性质求出的值，然后根据排列数的计算公式求出即可. 【详解】因为，所以或， 解得或（舍去），则. 故答案为：. 2.（2020·河北对口升学）某学校举行元旦曲艺晚会，有5个小品节目，3个相声节目，要求相声节目不能相邻，则不同的出场次序有__________种． 【答案】14400 【分析】根据先排小品节目，再由插空法求解即可. 【详解】因为要求相声节目不能相邻，所以可以先排5个小品节目，即有种排法， 5个小品节目会产生6个空位，将3个相声节目排在6个空位上， 有种排法，所以不同的出场次序有种. 故答案为：14400. 3.（2022·河北对口升学）将桃树、苹果树、梨树、山楂树、杏树各一棵种成一排，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有___________种. 【答案】72 【分析】先将除去山楂树和梨树之外的三棵树进行排列，再用插空法排列山楂树和梨树，用分步计数原理求解. 【详解】第一步，先将桃树、苹果树、杏树进行全排列，共有种排列方法； 三棵树共有4个空，第二步，将山楂树和梨树用插空法排列，共有种排列方法； 利用分步计数原理，则山楂树与梨树不能相邻的种植方法有种. 故答案为：72 4.（2020·河北对口升学）在二项式的展开式中，含的项的系数是__________． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】二项式展开式的通项为， 当时，，则，所以含的系数是. 故答案为： 5．二项式的展开式中，所有奇数项的系数之和为128，则 . 【答案】8 【分析】根据二项式展开式的奇数项系数之和的公式即可求解. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：8. 6．的二项式展开式中的系数为，则 （数字作答） 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式进行求解. 【详解】已知的二项展开式中的系数为，由二项式展开通项公式可知 ，即，解得. 故答案为：. 7.已知展开式中各项系数之和为，则__ ____. 【答案】5 【分析】令，可得展开式中各项系数之和为，据此可求解. 【详解】令，可得展开式中各项系数之和为， 由题可得，所以，解得. 故答案为：5 8. （2020·河北对口升学） 同时掷2颗骰子，则掷出点数之和为7的概率为__________． 【答案】 【分析】先计算出所有的结果，再列举出所以和为7的情况，求解概率即可. 【详解】试验发生包含的事件是抛掷两颗骰子，共有种结果， 满足条件的事件是点数之和是7，可以列举出所有事件， 共有6种结果，根据古典概型概率公式得到. 故答案为： 9.（2021·河北对口升学）现有长度分别为的五条线段，从中任取三条线段可以构成一个三角形的概率为__________. 【答案】 【分析】运用组合数计算出从五条线段中任取三条线段的总的基本事件个数，再找出可以构成三角形的基本事件，最后运用古典概型的概率公式求值即可. 【详解】已知从的五条线段中任取三条线段，共有个基本事件， 其中能构成三角形的有，共个基本事件.所以可以构成一个三角形概率为. 故答案为：. 10. （2024·河北对口升学）“这么近，那么美，周末到河北”，某家庭计划从保定市的古莲花池、直隶总督署、狼牙山和石家庄市的西柏坡纪念馆、赵州桥、正定古城、苍岩山七个地点中任意选取两个游览，则选取的两个地点在同一城市的概率为________. 【答案】 【分析】该题可先求出七个地点任意两个的所有选法，再求出选取的两个地点在同一城市的选法，最后根据古典概率公式计算概率. 【详解】由题意得，在7个景点中任选2个，组合数为种. 其中选取的两个地点在同一城市的选法有种， 故选取的两个地点在同一城市的概率为. 故答案为： 11. （2025·河北对口升学）生肖文化是我国传统文化的重要组成部分.现有十二生肖吉祥物各一个，分别为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，则甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的概率为___ ___. 【答案】 【分析】由分步计数原理及古典概型概率公式计算即可. 【详解】由题意，甲、乙两人从中不放回地依次随机选取一个，总的基本事件数为， 由分步计数原理，甲选到牛或虎，且乙选到龙或马的基本事件数为，故概率为. 故答案为： 12．已知甲、乙各有张卡片，分别标有数字，，，，，.现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率为 . 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】甲、乙各随机出示一张卡片有 ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 共个基本事件；甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的有 ，，，，，共个基本事件； 故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为的概率. 故答案为：. 13．灯具厂生产吊灯、台灯和壁灯，产量比为3：4：3.吊灯次品率为2%，台灯次品率为1.5%，壁灯次品率为2.5%.现随机抽取一盏灯，该灯是次品的概率是 . 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设吊灯、台灯、壁灯产量分别为3份、4份、3份. 则次品数为份， 所以总灯数为10份，故该灯是次品的概率是. 故答案为：. 14．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，在2，3，5，7，11这5个素数中，任取两个素数，其和是合数的概率是 ． 【答案】 【分析】求出基本事件个数，由古典概型概率公式计算即可. 【详解】从，这5个素数中任取两个素数的基本事件为：，共10种， 其中两个数的和是合数的基本事件为： ，共7种， 由古典概型概率计算公式得，其和是合数的概率是. 故答案为：. 15．古代“五行”学说认为：物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为 ． 【答案】/0.5 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】试验的样本空间{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含：金水，金土，木水，木火，火土，共5个样本点， 故所求概率为． 故答案为：. 16．汽车配件厂生产轮胎和刹车片，轮胎每生产300个有12个不合格，刹车片每生产200个有8个不合格.从生产的轮胎和刹车片中各随机取一个，至少有一个不合格的概率是 . 【答案】0.0784 【分析】根据古典概型的概率以及对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为轮胎每生产300个有12个不合格，所以轮胎合格概率为. 因为刹车片每生产200个有8个不合格，所以刹车片合格概率为. 则从生产的轮胎和刹车片中各随机取一个，两件都合格概率为， 所以至少有一个不合格的概率为. 故答案为：0.0784 17．一张方桌有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个位置上，则与相邻的概率为 . 【答案】 【分析】首先求出与不相邻的情况以及所有的情况，再根据古典概率公式求解即可. 【详解】三人随机坐到其他三个位置上，共有种等可能情况， 要使与不相邻，则必坐在的对面，此时与的坐法共有2种情况， 所以根据古典概型求概率公式可知与相邻的概率为. 故答案为：. 18.已知箱子中有5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球，取出的两个球颜色相同的概率为__________． 【答案】 【分析】利用排列组合与古典概型即可求解. 【详解】从5个红球，3个黄球，2个绿球，现从中随机取两球的方法数有种， 而颜色相同的方法数有种， 利用古典概型概率公式得，取出的两个球颜色相同的概率为. 故答案为:. 19. 已知随机变量的分布列如下表（其中为常数），则_____. 0 1 2 3 4 5 0.1 0.1 0.3 0.2 0.1 【答案】 【分析】根据分布列的性质求出值即可得解. 【详解】由分布列可知，，所以， 所以. 故答案为：. 20．工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 【答案】 【分析】先计算出系统抽样的分段间隔， 【详解】∵共个产品，抽取个样品，∴分段间隔为， ∵第个号码段中随机抽取的样本编号是017， ∴第个号码段中抽取的样本编号是. 故答案为：. 21.已知，的平均数为，且，，的平均数为9，则数据，，，，的平均数是 ． 【答案】8 【分析】根据平均数的计算方法运算即可. 【详解】已知，的平均数为，则，由，，的平均数为9， 可得，所以数据，，，，的平均数是， 故答案为：8. 22．已知变量y与x线性相关，回归直线方程为.若，，则 . 【答案】 【分析】将，代入方程即可求解. 【详解】由题意得，，解得. 故答案为：. 23．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 【答案】2.1 【分析】由题意知，由此能求出. 【详解】解：由题意知，，则. 故答案为：2.1. 24．已知随机变量的分布列如下表所示，则 ． 1 2 【答案】1 【分析】根据分布列的性质求出值，代入期望公式即可得解. 【详解】由题意得，解得，则． 故答案为：. 25．“二十四节气”是正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，二十四节气中“芒种”不仅是一种“节气”，更是一种“农时”，是一套顺应天时、符合农事的生活与民俗系统.《月令七十二候集解》中说：“谓有芒之种谷可稼种矣”.夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每一时节的开放与生长都蕴含着这个季节的“节气”.若从24个节气中选择2个节气，则这2个节气恰好在同一个季节的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【详解】24节气分4个季节，每个季节6个节气。从24个选2个的总情况数为； 同一季节选2个的情况数为，故概率为, 故答案为：. 试卷第1页，共3页 试卷第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $