【解答题专项】07概率与统计-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （七） 概率与统计 1．对甲乙两组学生检测某一健康指标，测得指标值整理如下： 甲组： 乙组： （1）分别计算两组学生指标值在内的频率； （2）分别计算两组学生指标值的平均数和方差； （3）比较说明两组学生指标值的稳定情况. 【答案】(1)甲、乙的频率分别为， (2)甲，乙两组学生指标值的平均数分别为22，22； 解法一（对应人教版）：甲，乙两组学生指标值的方差分别为. 解法二（对应高教版）：甲，乙两组学生指标值的方差分别为. (3)乙组学生指标值更稳定 【分析】（1）分别求出两组学生指标值在内的频数，根据频率计算公式可求解； （2）根据平均数和方差的计算公式可求解； （3）根据方差越少，越稳定，可得结论. 【详解】（1）因为甲组学生指标值在内的学生有7人， 所以频率；因为乙组学生指标值在内的学生有8人， 所以频率； （2）甲组学生的平均数为： ； 乙组学生的平均数为： ； 解法一（对应人教版）： 甲组学生的方差为： ； 乙组学生的方差为： 解法二（对应高教版）： 甲组学生的方差为： ； 乙组学生的方差为： ； （3）由（2）可知，， 所以乙组学生指标值更稳定. 2．某校高二学生中，已知语文优秀的有200人，英语优秀的有150人，每个学生至少有一科优秀，且语文、英语都优秀的学生被抽到的概率为.现按“语文优秀英语不优秀”“英语优秀语文不优秀”“语文、英语都优秀”三层进行分层抽样，抽取6名学生，其中对应三层的人数分别为a、b、c. （1）求a、b、c的值； （2）从抽取的6名学生中随机抽取2人，求这2人语文都优秀的概率P. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意算出语文、英语都优秀的人数，再结合分层抽样的定义即可得解. （）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. 【详解】（1）设语文、英语都优秀的学生有人， 则总人数为人， 且，解得人， 所以语文优秀英语不优秀的人数为人； 英语优秀语文不优秀的人数为人； 语文、英语都优秀的人数为人， 分层抽样抽取名学生，则； ，， 综上所述，. （2）由（）名学生中，语文优秀英语不优秀的人数为人，英语优秀语文不优秀的人数为人，语文、英语都优秀的人数为人， 从中随机抽取两人的组合数为；抽取的两人语文都优秀的组合数为，所以概率为. 3. （2023·河北对口升学）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球. （1）求取到不同颜色球的概率； （2）有放回的取3次，求至少两次取到不同颜色球的概率. 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用组合和古典概型的公式求概率. （2）至少两次取到不同颜色球，即取到两次或三次，利用独立重复试验的概率公式分别求出，再相加即可. 【详解】（1）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 设取到不同颜色球为事件，则 （2）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 有放回的取3次，为任取两球的独立重复试验，每次取到不同颜色球的概率为， 则至少两次取到不同颜色球的概率为 4. （2025·河北对口升学）某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量； （3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1求解； （2）根据频数，频率与样本容量的关系求解； （3）根据独立重复试验的概率公式求解． 【详解】（1）的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为； 的频率为；的频率为， ∵频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1， ∴，解得． （2）设样本容量为，∵内产品频数为20，频率为0.2， ∴，解得． （3）∵质量指标值不低于60的频率为， ∴从这批产品中随机选取1件，质量指标值不低于60的概率为， ∴从这批产品中随机选取3件，恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率为 ． 5．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解； （2）根据分层抽样的概念及古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为日均阅读时长在，的两组的频率之比为， 所以在，的两组分别抽2人，3人， 所以再从这5人中任意选取2人，则这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为， 所以这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为. 6．黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用频率分布直方图中平均数估计值的计算公式，可得答案； （2）利用古典概型的概率公式以及列举法，可得答案. 【详解】（1）， 估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩为. （2）由（1）可知竞赛成绩位于共有人， 位于有人，记为，位于有人，记为， 所抽取的2人成组均在之间的情况为，情况数为； 在人中抽取的情况有，，，，，，，，，，总的情况数为， 所以所抽取的2人成组均在之间的概率. 7．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和为1，列方程可求解； （2）先求出这三组的频率，再由分层抽样可得，，分别抽取的人数分别为5，4，1，则X的所有取值为0，1，2，3，，计算出各自的概率，据此可求解. 【详解】（1）由概率和为1得： ， 解得； （2）学生日平均阅读时间在，，三组内的频率分别为： ，，. 所以这500名学生中日平均阅读时间在，，学生人数分别为： ，，. 若采用分层抽样的方法抽取了10人， 则应从阅读时间在中抽取5人，从阅读时间在中抽取4人，从阅读时间在中抽取1人， 此时X的所有取值为0，1，2，3， ， ， ， . 故X的分布列为 X 0 1 2 3 . 8．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． （1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； （2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）先由频率直方图中频率之和为求得，从而求得不低于分与不低于分的人数，由此求得这名学生成绩是优秀的概率； （2）结合（1）中结论，求得成绩在，与内的人数，从而利用分层抽样比例相同求得各区间所抽人数，由此利用组合数求得各取值的概率，进而得到X的分布列与数学期望． 【详解】（1）依题意，得， 解得， 则不低于70分的人数为， 成绩在内的，即优秀的人数为； 故这名学生成绩是优秀的概率为； （2）成绩在内的有（人）； 成绩在内的有（人）； 成绩在内的有人； 故采用分层抽样抽取的名学生中， 成绩在内的有6人， 在内的有5人，在内的有2人， 所以由题可知，X的可能取值为， 则，，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 9．某学院为了调查本校学生2026年3月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； （2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 【答案】(1)10 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据直方图可得出健康上网天数未超过20天的频率，从而可求出上网超过20天的频率，再利用频率和频数之间的关系求解即可； （2）根据题意可得出随机变量Y的所有可能取值，再求出相对应的概率，即可得到Y的分布列. 【详解】（1）由图可知，健康上网天数未超过20天的频率为 ， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是， 所以健康上网天数超过20天的学生人数是10. （2）随机变量Y的所有可能取值为0，1，2. ，，， 所以Y的分布列为： Y 0 1 2 P 10. （2021·河北对口升学）为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 【答案】见解析 【分析】分别求出为时的概率，列出分布列即可. 【详解】已知每次完美完成这套动作的概率为，则不完美完成这套动作的概率为，且每次完成完美完成这套动作的事件是相互独立的，已知完美完成这套动作的次数， 则可以取， ， ， ， ， . 所以分布列为 11. （2022·河北对口升学） 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 【答案】见解析. 【分析】先根据题意得出可能的取值并求出对应的概率，即可画出概率分布列. 【详解】 所以的概率分布列为： 0 1 2 P 12. （2020·河北对口升学）取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随机抽取3次，设为抽到梅花牌次数，求 （1）至少抽到1次梅花的概率； （2）的概率分布． 【答案】（1）； （2）见解析. 【分析】（1）计算出抽到梅花牌和其他牌的概率，再根据对立事件求概率和二项分布计算概率即可. （2）根据二项分布计算概率并写出分布列即可. 【详解】（1）由于4种花色均为13张，故一次抽取抽到梅花的概率为．从而抽到其他3种花色的概率为．故． （2）根据题意，的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ． 所以，的概率分布为 0 1 2 3 P 13. （2024·河北对口升学） 某职业学校的3名学生可以到A，B，C，D四个实训基地实习，若每名学生只能选择一个基地实习，且选择其中任何一个基地是等可能的，求： （1）3名学生选择同一基地实习的概率； （2）选择A基地实习的学生人数的概率分布． 【答案】（1）； （2）见解析. 【分析】（1）所有可能有种，3名学生选择同一基地实习有种，根据概率公式即可求解. （2）可能取值为，分别求出相应的概率，即可列出分布列. 【详解】（1）3名学生从A，B，C，D四个实训基地中进行选择，每名学生有4种选法， 根据分步计数原理可知，共有种选法， 3名学生选择同一基地实习的情况共有种， 所以3名学生选择同一基地实习的概率为. （2）选择A基地实习的学生人数可能取值为， 所以， ， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 14．端午食粽，是中国首个入选世界非遗的节日端午节的传统习俗.礼盒中有9个粽子，其中肉粽4个，枣粽3个，豆粽2个，假设这三种粽子的外观完全相同，不放回地从中任意选取3个 （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到豆粽的个数，求的概率分布. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用古典概型与组合的相关知识，结合题意即可求解； （2）先求得的可能取值，再依次求得各取值的概率，从而得解. 【详解】（1）因为礼盒中有9个粽子，其中肉粽4个，枣粽3个，豆粽2个， 现不放回地从中任意选取3个， 设事件三种粽子各取到1个 . （2）豆粽2个，表示取到豆粽的个数，则的所有可能取值为， 且，，， 因此的概率分布为 0 1 2 15．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 【答案】(1) (2)见解析 (3)期望：；方差： 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）写出随机变量所有可能的取值，根据古典概型的概率公式求出每一取值的概率，列出表格，即可得的概率分布； （3）利用数学期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中，有种分法， 2名优秀生被分配到同一个班的分法有种， 设2名优秀生被分配到同一个班为事件， 所以. （2）依题意，随机变量所有可能的取值有， ，，， 所以的概率分布为： （3）随机变量的期望， 方差. 16．某中学高二数学备课组对学生的记忆力判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 （1）请根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据（1）中求出的回归直线方程，预测记忆力为9的学生的判断力． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线性回归系数公式算出，，再代入求回归直线方程. （2）将代入回归方程，求. 【详解】（1）由表中数据可得，， ，， ，， 所以． （2）当时，． 17．据不完全统计，某厂的生产原料耗费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）如下：变量x、y为线性相关关系. x 2 4 6 8 y 20 35 61 80 （1）求线性回归方程必过的点； （2）求线性回归方程； （3）若实际销售额要求不少于121.1百万元，则原材料耗费至少要多少百万元？ 参考公式： 【答案】(1)； (2)； (3)12. 【分析】（1）根据回归直线方程过样本中心即得； （2）利用最小二乘法即得； （3）由题可得，进而即得. 【详解】（1）由题意得，，， 线性回归方程必过样本中心点； （2）由题可得， ，所以线性回归方程为； （3）由题可得，解得， 所以原材料耗费至少要12百万元. 18．不透明的袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是．试求： (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1)得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，． (2)． 【分析】（1）从中任取一球，分别记取到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C，进而可列出方程组即可求解. （2）求出从9个球中取出2个球的样本空间中共有的样本点，再求出两个球同色的样本点可得答案. 【详解】（1）从中任取一个球，分别记取到黑球、黄球、绿球为事件A，B，C， 由于A，B，C为互斥事件，根据已知，得， 解得．∴从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，． （2）由（1）可知黑球，黄球，绿球的个数分别为3，2，4， 从9个球中取出2个球的样本空间中共有36个样本点， 其中两个是黑球的样本点有3个，两个是黄球的样本点有1个，两个是绿球的样本点有6个， ∴两个球颜色相同的概率为， 则两个球颜色不相同的概率是． 19．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)乙，理由见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解. （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可得所求事件的概率 （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； （2）根据赛制，需要进行第五场比赛时，说明至少需要进行四场比赛， 而甲连胜四场的概率为，丙连胜四场的概率均为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 四场就结束比赛的概率为， 所以需要进行第五场比赛的概率. （3）三人中乙最终获胜的概率最大.理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输，事件为乙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：､ ， 所以甲赢的概率为. 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是. 所以乙赢的概率为. 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大. 20．刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金. 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品. ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到 【答案】(1)68 (2)①分布列见解析，元；②选择方案二付款更划算 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法，求解即可； （2）根据离散型随机变量的分布列及数学期望公式,分析求解即可. 【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为： . （2）①摸到3个红球，返消费金额的，实际付款为， 摸到2个红球，返消费金额的，实际付款为， 所以的可能取值为800，900，1000， 则， ， 所以的分布列为： 800 900 1000 则（元； ②若选择方案二，设实际付款金额为， 由题，的可能取值为800，900，950， 因为， 所以的分布列为： 800 900 950 所以，（元， 由①可得：， 所以选择方案二付款更划算. 试卷第1页，共3页 试卷第20页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （七） 概率与统计 1．对甲乙两组学生检测某一健康指标，测得指标值整理如下： 甲组： 乙组： （1）分别计算两组学生指标值在内的频率； （2）分别计算两组学生指标值的平均数和方差； （3）比较说明两组学生指标值的稳定情况. 2．某校高二学生中，已知语文优秀的有200人，英语优秀的有150人，每个学生至少有一科优秀，且语文、英语都优秀的学生被抽到的概率为.现按“语文优秀英语不优秀”“英语优秀语文不优秀”“语文、英语都优秀”三层进行分层抽样，抽取6名学生，其中对应三层的人数分别为a、b、c. （1）求a、b、c的值； （2）从抽取的6名学生中随机抽取2人，求这2人语文都优秀的概率P. 3. （2023·河北对口升学）一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球. （1）求取到不同颜色球的概率； （2）有放回的取3次，求至少两次取到不同颜色球的概率. 4. （2025·河北对口升学）某企业从一批产品中随机选取部分产品检测质量指标值，并将其作样本，已知质量指标值范围为，将所得数据分成6组：，，…，，，并绘制出如下频率分步直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）已知样本质量指标值在内产品频数为20，求样本容量； （3）该企业计划从这一批产品中随机选取3件进一步检测，视样本频率为概率，求其中恰有2件产品的质量指标值不低于60的概率． 5．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 6．黑龙江省某中学为了掌握该校学生对2025年“亚冬会”的了解程度，现从该校高一年级学生中采用不放回简单随机抽样的方法抽取30人，参加学校组织的“亚冬会”知识竞赛. (1)高一年级学生知识竞赛成绩统计如下： 成绩 人数 5 9 11 3 2 通过以上数据，试估计高一年级参加知识竞赛的30名学生的平均成绩； (2)在上述成绩样本中，从知识竞赛成绩位于的学生中不放回地随机抽取2人，求所抽取的2人成组均在之间的概率. 7．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列及数学期望． 8．在高考结束后，程浩同学回初中母校看望数学老师，顺便帮老师整理初三年级学生期中考试的数学成绩，并进行统计分析，在整个年级中随机抽取了名学生的数学成绩，将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图，记分数不低于分为优秀． （1）从样本中随机选取一名学生，已知这名学生的分数不低于分，问这名学生数学成绩为优秀的概率； （2）在样本中，采取分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取名，再从这名学生中随机抽取3名，记这3名学生中成绩为优秀的人数为，求的分布列． 9．某学院为了调查本校学生2026年3月“健康上网”（健康上网是指每天上网不超过两个小时）的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示. （1）根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数； （2）现从这40名学生中任取2名，设Y为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y的分布列. 10. （2021·河北对口升学）为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 11. （2022·河北对口升学） 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 12. （2020·河北对口升学）取一副扑克牌，去掉大小王牌，剩下梅花、黑桃、红桃、方片四种花色共52张，现在放回地随机抽取3次，设为抽到梅花牌次数，求 （1）至少抽到1次梅花的概率； （2）的概率分布． 13. （2024·河北对口升学） 某职业学校的3名学生可以到A，B，C，D四个实训基地实习，若每名学生只能选择一个基地实习，且选择其中任何一个基地是等可能的，求： （1）3名学生选择同一基地实习的概率； （2）选择A基地实习的学生人数的概率分布． 14．端午食粽，是中国首个入选世界非遗的节日端午节的传统习俗.礼盒中有9个粽子，其中肉粽4个，枣粽3个，豆粽2个，假设这三种粽子的外观完全相同，不放回地从中任意选取3个 （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设表示取到豆粽的个数，求的概率分布. 15．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 16．某中学高二数学备课组对学生的记忆力判断力进行统计分析，所得数据如下表所示： 4 6 8 10 2 3 5 6 （1）请根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程； （2）根据（1）中求出的回归直线方程，预测记忆力为9的学生的判断力． 17．据不完全统计，某厂的生产原料耗费x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）如下：变量x、y为线性相关关系. x 2 4 6 8 y 20 35 61 80 （1）求线性回归方程必过的点； （2）求线性回归方程； （3）若实际销售额要求不少于121.1百万元，则原材料耗费至少要多少百万元？ 参考公式： 18．不透明的袋中有9个大小相同、颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是．试求： (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 19．在校运动会上，有甲､乙､丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲､乙､丙三人中谁最终获胜的概率最大？请说明理由. 20．刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取200人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）据此估计这200人满意度的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有8个形状､大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球5个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，若摸到3个红球，返消费金额的；若摸到2个红球，返消费金额的，除此之外不返现金. 方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受95折优惠.现小张在该超市购买了总价为1000元的商品. ①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望； ②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $