【解答题专项】05平面解析几何-2026年河北省对口升学考试《数学》专项冲刺练习（原卷版+解析版）

2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （五） 平面解析几何 1．已知椭圆的两焦点为、，离心率为 （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据焦点位置和离心率，求得椭圆的标准方程. （2）由椭圆的定义与余弦定理可求得 【详解】（1）设椭圆方程为， 由题设知，，. 所求椭圆方程为. （2）由及椭圆的定义知， ， 又，， 由余弦定理. ，. 2. （2020·河北对口升学）已知椭圆的右焦点为，长轴长和短轴长之和为12，过点，且倾斜角为的直线交椭圆与、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的中点坐标. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）由题知，，求出，从而可得方程； （2）将直线方程与椭圆联立，根据韦达定理可得的值，利用中点公式可求中点横坐标，代入直线可得纵坐标，从而求解. 【详解】（1）由题得解得.故椭圆标准方程为. （2）因为直线过点，且倾斜角为，故直线方程为，即. 由得. 设，线段的中点坐标则 ， 故线段的中点坐标. 3. （2021·河北对口升学）已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. （1）求直线的方程和双曲线的标准方程； （2）求线段的长度. 【答案】（1），； （2）. 【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求得，从而求得双曲线方程；根据题意得到双曲线的左焦点坐标，再利用直线的倾斜角求出斜率，最后用点斜式求出直线的方程即可； （2）先联立直线和双曲线方程，结合韦达定理求出，再利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由可知， 所以双曲线方程为，由双曲线的左焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的方程为：，即. （2）设，联立， 所以，即， 由韦达定理可知， 所以， 而. 4.（2022·河北对口升学） 已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：. 【答案】（1）； （2）见解析. 【分析】（1）根据题意求出a,b,c,即可求出椭圆方程. （2）结合双曲线和椭圆方程求出，，进而可证. 【详解】（1）因为椭圆的一个顶点为，所以， 又因为离心率，已知，得， 故椭圆的标准方程为； （2）证明：因为双曲线是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线， 所以在双曲线中，，等轴双曲线方程为， 已知椭圆焦点为， 设双曲线上一点P坐标为，则， 所以， 将点P代入双曲线方程得， 综上所述，. 5. （2023·河北对口升学）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点. （1）求； （2）求三角形OAB的面积. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据抛物线的标准方程求出焦点，再求得直线方程，联立方程组结合两点间的距离公式即可求解. （2）根据点到直线的距离公式结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，抛物线的焦点.则直线的斜率为. 由斜截式方程可得，直线方程为.联立方程，则. 设点，则. 所以 . （2）由（1）得，，直线的方程为. 则点O到直线的距离为三角形的高，即. 所以三角形的面积为. 6. （2024·河北对口升学）已知抛物线，斜率为2直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】. 【分析】根据题意设出直线方程，联立方程组结合韦达定理求出与的值，利用即可得解. 【详解】直线l斜率2，设直线方程为， 联立方程组得， 设，，则，， 所以，， 所以， 若，则， 化简得，解得或，由题意可知时，不成立， 所以，直线方程为化为一般式方程为. 7. （2025·河北对口升学）已知双曲线中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求点到双曲线的渐近线的距离； （3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据双曲线的性质，利用已知的点和焦点信息确定双曲线方程中的参数即可； （2）先求出双曲线渐近线方程，再利用点到直线的距离公式计算点到渐近线的距离； （3）先求出过点且与渐近线平行的直线方程，然后联立直线方程与双曲线方程求出点的坐标，最后根据两点间的斜率公式计算直线的斜率． 【详解】（1）因为点是双曲线的一个焦点，所以半焦距，焦点在轴上． 设双曲线的标准方程为，由点在双曲线上可知， 所以，所以双曲线的标准方程为． （2）因为双曲线的标准方程为， 所以渐近线方程为，即． 所以点到渐近线的距离为． （3）双曲线的渐近线方程为， 过点且与渐近线平行的直线方程为． 若取直线， 联立直线与双曲线方程，解得，得， 又，可得； 若取直线， 联立直线与双曲线方程，解得，得， 又，可得， 综上，直线的斜率为． 8. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，双曲线的焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）经过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线右支交于两点，求以线段为直径的圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由双曲线的渐近线公式得出，再由点到直线的距离公式列方程求解确定的值即可. （2）首先确定直线的方程，再将直线方程与双曲线方程联立，并由韦达定理得出的值，再由中点坐标和弦长公式确定圆心和半径即可. 【详解】（1）已知双曲线， 其渐近线方程为，因为一条渐近线的倾斜角为， 则，则， 又双曲线焦点坐标为，渐近线为， 则焦点到渐近线的距离，所以， 所以双曲线的标准方程. （2）由（1）可得，，则，所以右焦点， 则过焦点，且倾斜角为的直线的斜率为， 所以直线方程为， 联立方程组得，整理得， 设，则， 所以圆心为的中点，则， 即圆心为，且， 所以半径为， 则以线段为直径的圆的标准方程为. 9. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据椭圆的离心率和经过的点坐标，得到，即可求得椭圆方程； （2）根据直线与椭圆相切，联立直线方程和椭圆方程，可得判别式等于0，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 可得，，解得，再由，可得， 即椭圆的方程为：. （2）由（1）知椭圆的方程为：，联立直线方程与椭圆方程， 消得：，根据直线与椭圆仅有一个交点得， ，可化为，解得. 10．已知椭圆短轴上的两个顶点坐标分别为，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）设椭圆的两个焦点分别为，直线经过椭圆的左焦点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （3）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标为椭圆的左顶点，求抛物线的标准方程. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由椭圆短轴的顶点坐标求出，由椭圆的定义结合题中条件求出，结合求出，进而写出椭圆的标准方程和离心率. （2）由（1）知椭圆的焦点坐标，求出直线的斜率，即可用点斜式求直线的方程，进而写成一般式方程. （3）由（1）写出椭圆的左顶点，再写出抛物线方程即可. 【详解】（1）由题意，椭圆的焦点在轴上，椭圆的中心在坐标原点， 可设椭圆方程为 由椭圆短轴上的两个顶点坐标分别为， 可知， 椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，由椭圆的定义可知， ，，所以. 所以椭圆的标准方程为，离心率为. （2）由（1）知，为左焦点， 所以，直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以直线的斜率为， 又直线经过点， 所以直线的方程为， 即直线的一般式方程为. （3）由（1）椭圆方程，所以椭圆的左顶点， 即抛物线的焦点为，又抛物线的顶点为坐标原点， 所以抛物线的标准方程为. 11．已知为抛物线：的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，且的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于、两点，求的长． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）设为点到的距离，通过，说明当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时，取得最小值，转化求解即可． （2）联立，得，利用韦达定理以及弦长公式转化求解即可． 【详解】（1）设为点到的距离， 则由抛物线定义知，， 所以当点为过点且垂直于准线的直线与抛物线的交点时， 取得最小值，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立，得，、， 显然，，， 所以， 故． 12．已知直线是抛物线的准线方程，F为抛物线的焦点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点A是抛物线上的一动点，定点，则当的周长最小时，求点A的坐标及周长的最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线的标准方程. （2）首先判断点在抛物线的内部，再由抛物线的定义得，当点运动到过点作准线的垂线与抛物线交点时，的周长最小，由此分别求出三角形周长和点的坐标即可. 【详解】（1）已知抛物线，由准线方程为，可得，即， 所以抛物线的标准方程为. （2）由（1）可知，，当时，，所以点在抛物线的内部， 由抛物线定义可知，当点运动到过点作准线的垂线与抛物线交点时，的周长最小， 且点，准线，所以，又，， 所以，此时点与点纵坐标相同， 所以，解得，即， 周长的最小值为. 13． 抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆的右焦点． （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线与抛物线相交于，两点，且恰为线段的中点，求直线的方程，并求出线段的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）求出椭圆的焦点，进而得到抛物线的焦点，由此可得其方程； （2）利用点差法可得直线的斜率，再由点斜式可得直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可得线段的长． 【详解】（1）将椭圆化为标准方程为，则，即椭圆的右焦点坐标为，根据题意，抛物线的焦点坐标为，则抛物线的方程为； （2）设，， 则，两式相减可得，， 则，即直线的斜率为6， 则直线的方程为，即， 联立，消去并整理可得，， 则，， 由弦长公式可得， ． 14． 已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l：交椭圆于M，N两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义确定a的值，再由离心率确定c的值，进而确定椭圆方程即可； （2）根据直线与椭圆的弦长公式列式求解得到弦长，再结合点到直线的距离公式，即可得到答案； 【详解】（1）由椭圆的定义可知，，，设椭圆的半焦距为c， 由题意可知，椭圆的离心率，，则， 则椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知，椭圆的标准方程为， 设，， 联立直线与椭圆的方程，消去y得，， ，， 则， 点O到直线l的距离， 的面积. 15． 椭圆与抛物线有共同的焦点，过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于M、N两点.求： （1）直线的方程和椭圆的方程； （2）的面积. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线的方程得到焦点，即可得到椭圆方程和左焦点坐标，结合直线的倾斜角，即可求解直线方程. （2）联立直线方程和椭圆方程，得到弦长，再根据点到直线的方程得到原点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，因为椭圆与抛物线有共同的焦点， 所以，即，解得，所以椭圆的方程为，得到椭圆的左焦点为， 又过椭圆的左焦点的直线倾斜角为，即斜率，即直线方程为. （2）设， 联立，消去得，，则， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积. 16．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. （1）求直线的方程； （2）求； （3）求的面积. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先根据抛物线方程得到焦点，设定直线方程，结合韦达定理计算线段的中点，即可求解. （2）根据（1）得到，，再结合即可求解. （3）先计算原点到直线的距离，结合（2）中的长，即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 设直线的方程为，，， 联立直线与抛物线方程，消去得， 则，， 因为线段中点的横坐标为，所以，即， 化简得，所以， 即，解得， 所以直线的方程为或， 即或； （2）由（1）知，， 所以， 则， （3）因为直线的方程为或， 所以原点到直线的距离或， 所以. 17．已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）记的中点为，求点的坐标； （3）抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（）根据题意结合抛物线的性质即可得解. （）设出点得到坐标，联立方程组结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. （）根据题意得出，结合两条直线垂直斜率的关系求出的斜率进而求出的方程，联立方程组即可得解. 【详解】（1）由题意知，，解得，所以抛物线方程为. （2）设点A，点B的坐标分别为，，，得， 所以，直线，则， 所以，所以， 所以Q的坐标为. （3）根据题意作出图象，因为所以， 直线：，斜率为，所以，则 所以直线MQ：，由，得， ，解得或， 当时，； 当时，； 所以M的坐标为或. 18． 椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线AB的斜率为，求的面积. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）根据题意求出直线的解析式，联立方程组结合三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）过焦点的直线交椭圆于两点，且的周长为8， 则，所以， 又因为，所以，解得， 所以， 所以椭圆E的方程为. （2）如图所示，由（）可知，，因为直线AB的斜率为 则直线的方程为，联立方程组， 解得，所以， 所以. 19.如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. 【答案】（1）， （2） （3） 【分析】（1）由条件确定的值，即可得焦点坐标； （2）由求得，从而得的方程，与椭圆的方程联立即可求出点的坐标； （3）令直线与轴交于点M，求得，然后由四边形的面积求得结果． 【解析】（1）由题知为椭圆上顶点，即，又， ∴， ∴焦点坐标为，． （2）∵，， ∵，，∴，∴， 则的方程为：， 与椭圆方程联立得：，消去，得：， 设，则由韦达定理得：， 又，∴， 又，即，则， 所以． （3）不妨令直线与轴交于点M，∵直线的方程：， ∴令得，解得，则， 又，，则，， 则四边形的面积 ． 20 .如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由双曲线的渐近线和焦距即可得到双曲线的标准方程； （2）利用点差法解决中点弦问题，即可得到直线AB的斜率； （3）先根据（2）得到直线AB的方程，联立双曲线和直线AB的方程求出弦长AB，再求出点C到直线AB的距离，进而求出的面积. 详解】（1）∵∴，又∵渐近线方程为， ∴，∴所求双曲线的标准方程为. （2）设，，则， 由得，③ ∵是AB的中点，∴，， ∴③式即，∴，∴. （3）由（2）可得直线AB的方程为，即 由消去y，整理得，∴，， ∴. 又∵点到直线AB：的距离， ∴. 试卷第1页，共3页 试卷第21页，共21页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省对口升学考试 数学 专项冲刺练习 解答题专项 （五） 平面解析几何 1．已知椭圆的两焦点为、，离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设点在椭圆上，且，求． 2. （2020·河北对口升学）已知椭圆的右焦点为，长轴长和短轴长之和为12，过点，且倾斜角为的直线交椭圆与、两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）求线段的中点坐标. 3. （2021·河北对口升学）已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点. （1）求直线的方程和双曲线的标准方程； （2）求线段的长度. 4.（2022·河北对口升学） 已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：. 5. （2023·河北对口升学）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点. （1）求； （2）求三角形OAB的面积. 6. （2024·河北对口升学）已知抛物线，斜率为2直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程． 7. （2025·河北对口升学）已知双曲线中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，点在双曲线上，点是双曲线的一个焦点． （1）求双曲线的标准方程； （2）求点到双曲线的渐近线的距离； （3）过点作与双曲线的渐近线平行的直线，交双曲线于点，求直线的斜率． 8. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，双曲线的焦点到渐近线的距离为2. （1）求双曲线的标准方程； （2）经过双曲线的右焦点，且倾斜角为的直线与双曲线右支交于两点，求以线段为直径的圆的标准方程. 9. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆有且仅有一个交点，求实数的值. 10．已知椭圆短轴上的两个顶点坐标分别为，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为. （1）求椭圆的标准方程及离心率； （2）设椭圆的两个焦点分别为，直线经过椭圆的左焦点，且与直线平行，求直线的一般式方程； （3）设抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标为椭圆的左顶点，求抛物线的标准方程. 11．已知为抛物线：的焦点，点为抛物线内一定点，点为抛物线上一动点，且的最小值为． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于、两点，求的长． 12．已知直线是抛物线的准线方程，F为抛物线的焦点． （1）求抛物线的标准方程； （2）若点A是抛物线上的一动点，定点，则当的周长最小时，求点A的坐标及周长的最小值． 13． 抛物线的顶点在原点，焦点为椭圆的右焦点． （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线与抛物线相交于，两点，且恰为线段的中点，求直线的方程，并求出线段的长． 14． 已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率为，点P是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线l：交椭圆于M，N两点，求的面积. 15． 椭圆与抛物线有共同的焦点，过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，与椭圆相交于M、N两点.求： （1）直线的方程和椭圆的方程； （2）的面积. 16．已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，若线段中点的横坐标为. （1）求直线的方程； （2）求； （3）求的面积. 17．已知抛物线：（）的焦点为，直线：与抛物线交于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）记的中点为，求点的坐标； （3）抛物线上存在一点使得，求点的坐标. 18． 椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于两点，且的周长为8. （1）求椭圆E的方程； （2）若直线AB的斜率为，求的面积. 19.如图所示，是椭圆的两个焦点，且该椭圆过点. （1）求椭圆的焦点坐标； （2）过点的直线与垂直，交椭圆于点，求点的坐标； （3）求四边形面积. 20 .如图，双曲线的渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右顶点，，A，B是直线与双曲线的两交点，是AB的中点. （1）求双曲线的标准方程； （2）求直线AB的斜率； （3）求的面积. 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $