专题12 正弦定理与余弦定理 - 2026年湖南省对口招生考试《数学必刷题》（原卷版+解析版）

2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题12 正弦定理与余弦定理 1、 【考点导读】 1.理解正弦定理。 2.理解余弦定理。 二、【真题精练】 题型一、正弦定理 1．（24-25高三下·湖南株洲·模拟预测）在中，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据正弦定理解三角形得到角，再根据大边对大角以及角的范围，即可求解. 【详解】在中，已知， 根据正弦定理得到，即，解得， 又，所以或， 因为，所以，即， 故选：C. 2．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）在中，角所对应的边分别是．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解. 【详解】∵， ∴根据正弦定理可得，得． 故选：B． 3．（24-25高三下·湖南长沙·模拟预测）在中，已知，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可得解. 【详解】在中，，，， 根据正弦定理可知，解得， 所以， 故选：. 4．（21-22高三·湖南·模拟预测）中角、、所对边长分别为，且，． (1)若，求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理求解. （2）根据余弦定理，结合三角形面积公式求解. 【详解】（1）由已知可得， 由正弦定理有，变形得： ． （2）由余弦定理有， 将，，代入得： ， 解方程组， 得，， 的面积为： ． 5．（24-25高三下·湖南·职教高考）如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形，，，.    (1)求； (2)若，求点所对应的复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理即可求解； （2）先求出对应的坐标，再根据向量的平行四边形法则即可求解. 【详解】（1）在三角形中，，，. 则， 因为或， 又因为，故舍去， 综上所述，； （2）已知， 则点A的坐标为，即， 在三角形中，，由（1）得，， 因此， 又因为， 所以OC与x轴的夹角为， 则点C的坐标为，即， 所以， 则对应的复数为. 题型二、余弦定理 6．（24-25高三下·湖南·三模）在中，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由已知条件应用余弦定理求出，再利用余弦定理即可求出． 【详解】由余弦定理可得， 解得，或（舍）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故选：． 7．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）在正四棱锥中，，，E是中点，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将异面直线转化为相交直线，再根据边的关系求解即可. 【详解】连接交于点O，连接，如图： 因为正四棱锥的底面为正方形， 所以点O为的中点，又E是中点， 所以且， 所以异面直线与所成的角为， 又因为， 所以，则， 在中，， 所以由余弦定理可得， 在中，， 所以由余弦定理，， 所以在中，， 所以， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C. 8．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理，并结合同角三角函数的基本关系，可得的值，据此可求解. 【详解】由余弦定理，可得，即， 若的面积为， 则，所以， 因为C是的内角，所以. 故选：D 9．（22-23高三·湖南·二模）已知正方形的边长为，延长到点，使，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理及余弦定理即可得解. 【详解】 如图所示连接. 因为. 所以. . 又因为. 根据余弦定理得. 又因为. 所以. 故选:. 10．（25-26高三上·湖南郴州·一模）在中，角的对边分别为，已知且. (1)求边长； (2)求角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可. （2）根据（1）的结果以及余弦定理求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 因为，所以 （2）由余弦定理得： 因为三角形内角，所以. 11．（24-25高三下·湖南湘潭·三模）在中，. (1)求的值； (2)若，求b以及的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由余弦定理及已知即可求得； （2）先求得，，再由正弦定理得，根据余弦定理求得，进而由三角形面积公式求得面积. 【详解】（1）由余弦定理及已知， 得. （2）因为，为三角形内角，所以， 因为，， 所以， . 又因为，所以由正弦定理得， 又因为， 所以，解得（舍）. 所以. 12．（23-24高三下·湖南·对口/高职单招）如图，已知中，，，． (1)求； (2)若为线段上的一点，且，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理得， ， 因为， 所以. （2）在中， 由正弦定理可得， ， 所以. 13．（25-26高三下·湖南长沙·二模）在中，，，点是的中点，且． (1)若，求的值； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，设，利用余弦定理，求出，再根据正弦定理可求解； （2）在和中，利用及余弦定理可求解. 【详解】（1）    在中，设， 由余弦定理得， 即，解得. 在中， 由正弦定理得，即， 解得； （2）在和中，由余弦定理得 ，即，      两式相减，得，故. 14．（25-26高三上·湖南永州·一模）在锐角三角形中，内角的对边分别是且. (1)求角的大小； (2)已知复数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦定理化简计算可得，由此能求出角； （2）由（1）求得复数，根据复数的运算法则计算即可求得的值. 【详解】（1）已知，根据正弦定理可得， 由于是锐角三角形，， 化简可得，即， 又因为是锐角三角形，即，所以. （2）由（1）知，则， 因此复数， 所以， 即. 15．（25-26高三上·湖南·一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c＝5． (1)若b是方程的根，角，求△ABC的面积； (2)若，角，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出方程的根，再根据三角形面积公式求解； （2）利用正弦定理和余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为方程的根为，所以． 故． （2）因为，由正弦定理得， 于是有，，． 因为，所以由余弦定理有， 即，解得． 故． 三、【考点演练】 【考点1】正弦定理 16．在中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】已知， 由， 得，由正弦定理得 ， 故选：A. 17．在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由已知，根据正弦定理的边化角公式，可得，据此可求解. 【详解】， . 为的内角，， ，即. ， 或. 故选：D 18．在中，，则（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行求解即可. 【详解】由正弦定理可得， 又因为， 所以. 故选：B. 19．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理可知：， 即， 解得. 故选：A. 20．已知ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据正弦定理以及余弦定理求解即可. （2）根据余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 根据余弦定理，. 所以 （2）根据余弦定理，所以. 因为，所以，解得. 解方程组，解得或. 【考点2】余弦定理 21．已知，，，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】通过边角关系“大边对大角，小边对小角”，得出三角形的最大角，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，根据余弦值的大小即可判断. 【详解】因为中，，，可知为最大角， 由余弦定理可得， 可知为钝角， 故为钝角三角形. 故选：C. 22．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理计算，再结合角的范围求即可. 【详解】由余弦定理可得，. ，. 故选：C. 23．在中，若，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】将已知变形后，根据余弦定理可求解. 【详解】由得 ， 所以. ， . 故选：C 24．如图所示，在中，，，. (1)求角B的大小； (2)若D为线段上一点，且，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求出，再根据角B的取值范围，确定角B的大小. （2）根据三角函数的诱导公式以及正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 又因为， 所以. （2）因为， 所以. 在中，由正弦定理得： ， 所以. 25．如图所示，已知的内角，点在边上，．求： (1)的值； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图形根据正弦定理和三角函数的性质求解. （2）结合图形根据余弦定理和同角三角函数关系求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， ，， 所以． 因为， 所以. 故. （2）在中，因为，所以是锐角， 所以， 由余弦定理可知：， 即， 解得或（舍去）． 故：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职公共课·高考必刷题 AI职教 》》 2026年湖南省对口招生《数学必刷题》 专题12正弦定理与余弦定理 一、【考点导读】 1.理解正弦定理。 2理解余弦定理。 二、【真题精练】 题型一、正弦定理 1.（24-25高三下湖南株洲模拟预测)在ABC中，a=1,b=√2，B=135°，则A=() A.15 B.1509 C.30° D.30°或150° 2.(24-25高三下.湖南长沙.模拟预测)在ABC中，角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若 a=424=子∠B=骨则6=《) A.6 B.2√6 C.25 D.22 3 3.(24-25高三下.湖南长沙.模拟预测)在ABC中，已知AC=√6，∠A=30°，∠B=45°，则 BC=() A.3 B.2 C.5 D.3 4.(21-22高三·湖南模拟预测)ABC中角A、B、C所对边长分别为a,b,C,且a=√3， ∠A=60°. (1)若∠C=75°，求b的值； (2)若b=3C,求ABC的面积. 5.(24-25高三下.湖南职教高考)如图，复平面的上半平面内有一个平行四边形0ABC, OA=√2,0C=3,∠0AC=60°. ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 (1)求∠0CA: (2)若∠x0A=45°，求点B所对应的复数 题型二、余弦定理 6.(24-25高三下满商三核)在4BC中，cosC-子4C=4,8C=3,则c0sB=（) A司 8.1 C. D.2 3 7.(24-25高三上湖南永州模拟预测)在正四棱锥P-ABCD中，PA=2,AB=√2，E是 PC中点，则异面直线PA与BE所成的角为() A号 C. 4 0. 6 8.(24-25高三上湖南永州模拟预测)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、 c.若ABc的面积为5(a+b-, 则C=() 12 A号 B. 3 C. D. 4 6 9.(22-23高三湖南.二模)已知正方形ABCD的边长为a,延长BC到点E,使CE=a,则 sin∠AED=() A.10 B.310 c.5 D.25 10 10 5 10.（25-26高三上湖南郴州.一模)在ABC中，角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知 a=5,c=V2i且sin4_5 sinB 4 (1)求边长b: (2)求角C的大小 ©6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 中职公共课·高考必刷题 A职教 》 11.(24-25高三下.湖南湘潭.三模)在ABC中，a2+c2=b+aC· (1)求cosB的值； 2诺co4-)a=8,求b以及5的值 12.(23-24高三下.湖南对口/高职单招)如图，己知ABC中，AB=8,AC=5,BC=7. A D B (1)求A; 2诺D为线段B上的-点，且s加∠4DC=},求CD的长. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 13.(25-26高三下湖南长沙.二模)在△ABC中，AB=√5，AC=√万，点D是BC的中点， 且∠ADB=60°. (1)若BD=2AD,求sinB的值： (2)设AD=x,BD=y,求y的值. 14.(25-26高三上·湖南永州.一模)在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别是 a,b,c且2√3 bsin A=3a. (1)求角B的大小： (2)已知复数z=3cosB+isin B,求z2的值. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 4 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 15.(25-26高三上湖南.一模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且c=5. 但诺b是方程r-12x+36=0的表，角4-号，求△BC的面积Sc: (2)若a、sinB 26 sin A' 角C=晋求a的值 三、【考点演练】 【考点1】正弦定理 16.在ABC中，已知∠A=15°，AB=3,∠B=135°，则AC等于() A.3√2 B.42 c.3v2 D.2√2 17.在ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且2 bsin A=5a,则∠B=() A. B.3 c君 D. 18.在ABC中，a:b:c=1:5:6,则sinA:sinB:sinC=() A.6:5:1 B.1:5:6 C.6:1:5 D.不确定 19.在ABC中，∠A=45°，∠B=60°，a=2,b=（) A.6 B.√2 C.3 D.2W6 20.已知△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 中职公共课·高考必刷题 AI职教 》 sin4+sin'B-sin'C2sin Asin B. 3 (1)求cosC的值： (2)若c=3,a+b=5,求a,b的值. 【考点2】余弦定理 21.已知a=4,b=5,c=7,则△ABC是() A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 22.在ABC中，AC=4,AB=6,BC=2√万，则∠A=() 8. 4 23.在ABC中，若a2=b2+c2+bc,则A=() A君 C.2n D. .2π 3 3 24.如图所示，在ABC中，AB=3,BC=8,AC=7. B (1)求角B的大小： 2诺D为线段BC上一点，且sm∠4ADC=号，求线段4D的长 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 中职公共课·高考必刷题 9A职教 》 25.如图所示，已知ABC的内角∠B=45°，点D在BC边上，AB=4,AC=AD=3.求： B D (1)sin∠CDA的值； (2)CD的长 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7