2.3.1 第1课时 共面向量、空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第2章 空间向量与立体几何 2.3.1 第1课时 共面向量、空间向量基本定理 对于空间中的任意向量，是否也有类似的结论呢？ M O P 若p=xe1+ye2，则p在e1，e2所在平面内. 反之，若p在e1，e2所在平面内，则有p=xe1+ye2. A A1 B C D B1 C1 D1   向量共面定理：   （一）共面向量与向量共面定理 向量p可以用两个不共线的向量e1，e2线性表示. 在三个向量a，b，c 中，某个向量为0，或者某两个向量平行， 则这三个向量共面． ①当某个向量为时,另外两个向量直接组成一个平面,因此这三个向量共面. ②当某两个向量平行时,假设,平行,则,此时,在同一个平面内,由于,根据共面向量定义,,,三个向量共面. 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，向量，， 是（ ） A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 C 解：如图所示，向量不是有相同起点的向量，故A错误； 三个向量的模不一定相等，故B错误； 又在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， =，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC， 故向量是共面向量，故C正确，D错误. 注意：若a，b不共线且同在平面α内，则p与a，b共面的含义是p在α内或p∥α. 5 例1 如图，斜三棱柱ABC-A'B'C'中，设AB = a，AC = b，AA' = c ． 在AC'和BC上分别取点M和N，使AM = k AC'，BN = k BC（0≤ k ≤1）． 求证：向量MN与向量 a 和 c 共面． 你能发现什么？ A B C A′ B′ C′ M N 已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，当OP=xOA＋yOB＋zOC (其中x＋y＋z=1)时，点P，A，B，C是否共面？ 你能解答这个问题吗？ 反之是否成立？ 因此已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O， OP=xOA＋yOB＋zOC (x＋y＋z=1) P，A，B，C四点共面． 2.(多选)下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（ ） A.=3-- B.=++ C.++=0 D.+++=0 解：A选项中，3-1-1=1，四点共面， C选项中，=--，四点共面. AC 证明空间三向量共面或四点共面的方法 方法归纳 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p=xa+yb，则向量p，a，b共面. （2）已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O， OP=xOA＋yOB＋zOC (x＋y＋z=1) P，A，B，C四点共面． 10 （二）空间向量基本定理 类似于平面向量基本定理，我们能否将空间任一向量也表示成某几个向量的实数倍之和？ 如何证明(x，y，z)的唯一性 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得 p=x'e1+y'e2+z'e3， 则x'e1+y'e2+z'e3=xe1+ye2+ze3. 不妨设x'≠x，则(x'-x)e1=(y-y')e2+(z-z')e3. 两边同除以(x'-x)，得e1=e2+e3. 由平面向量基本定理可知，e1，e2，e3共面，这与已知矛盾. 因此x=x'，同理可证y=y'，z=z'，所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. ①空间向量基本定理 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p= ，上述表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'. ②基与基向量 如果三个向量e1，e2，e3 ，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示.我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组 ，e1，e2，e3叫作 .(x，y，z)称为向量p= 在基{e1，e2，e3}下的坐标. xe1+ye2+ze3 不共面 基 基向量 xe1+ye2+ze3 注意： (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基.基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示；不同基下，同一向量的表达式也有可能不同. 可用于判断向量是否可以作为基 (2)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 15 3.已知 a，b，c 是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ） 判断选项中所给的三个向量是否共面. 3.已知 a，b，c 是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（ ） C (1)判断一组向量能否作为空间的一组基，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则能构成一组基. (2)判断基时，有时依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基向量，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 判断基的一般方法 方法归纳 18 例2 如图，在平行六面体中ABCD-A'B'C'D'中，G为三角形A'BD的重心， 设AB = a，AD = b，AA' = c ，以 a，b， c 为一组基．求AC'和AG 在这组基下的坐标． (1)若基确定，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量减法的定义以及向量数乘运算的运算律. (2)若未给定基，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求. 用基表示向量的方法 方法归纳 21 1.(多选)下列说法中正确的是( ) A.若p=xa+yb，则p与a，b共面 B.若p与a，b共面，则p=xa+yb C.若=x+y，则P，M，A，B四点共面 D.若P，M，A，B四点共面，则=x+y AC 2.已知向量e1，e2不共线，=e1+e2，=2e1+8e2，=3e1-5e2，则( ) A.与共线 B.与共线 C.A，B，C，D四点不共面 D.A，B，C，D四点共面 D 3.如图所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点.试判断向量与向量，是否共面. 解:由题图可得，=++， ① 因为=++， ② =-=-， 所以①+②得2=+，即=+， 故向量共面. 1.知识清单： (1)共面向量的概念. (2)向量共面的充要条件. (3)向量共面定理的应用. 2.方法归纳：类比、转化化归. 3.常见误区：易忽视向量共面定理中e1，e2不共线的条件. 本节课你学到了哪些知识与方法？ 我们知道，在平面上任取两个不共线的向量 eq \o(e1,\s\up8(→)) ， eq \o(e2,\s\up8(→)) 作为基，可以把平面上所有的向量 eq \o(p,\s\up8(→))唯一地表示成 eq \o(p,\s\up8(→))=x eq \o(e1,\s\up8(→))＋y eq \o(e2,\s\up8(→)) ，并用(x，y)来表示向量 eq \o(p,\s\up8(→)). 共面向量： 能平移到同一平面内的向量叫作共面向量. 如果两个向量 eq \o(e1,\s\up8(→)) ， eq \o(e2,\s\up8(→)) 不共线，那么向量 eq \o(p,\s\up8(→))与向量 eq \o(e1,\s\up8(→)) ， eq \o(e2,\s\up8(→)) 共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得 eq \o(p,\s\up8(→))= x eq \o(e1,\s\up8(→))＋y eq \o(e2,\s\up8(→)) eq \o(a,\s\up6(→)) eq \o(b,\s\up6(→)) eq \o(c,\s\up6(→)) $