二项式定理- 江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》第111卷 教师讲解卷（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷计数原理与排列组合是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第111卷，主要考查二项式定理的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第111卷 二项式定理 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知（其中），且，则（   ） A． B． C． D． 2．在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 3．已知的展开式中第9项、第项、第项的二项式系数成等差数列，则的值为 A． B． C．或 D．或 4．在的展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则（   ） A． B． C． D． 5．若的展开式中常数项为，则常数a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 6．若，则（ ） A．8 B． C． D． 7．二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 8．被9除所得的余数为（    ） 9．设的小数部分为x，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．将多项式分解因式得，则（    ） A．16 B．14 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知二项式，则展开式第4项的二项式系数为_______. 12．展开式中，常数项为____． 13．在展开式中的二项式系数为______． 14．已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，. (1)若的展开式中，二项式系数之和是，求展开式中的第项； (2)若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，求展开式中的常数项 16．已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 17．写出下列各式的二项展开式． (1)； (2)． 18．（1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第111卷，主要考查二项式定理的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第111卷 二项式定理 教师讲解卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知（其中），且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开的通项公式求解即可. 【详解】展开式的通项为： . 则，. 已知，代入得，解得. 所以. 故选：C. 2．在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则该二项展开式中的常数项为（   ） A．84 B．56 C．20 D．0 【答案】A 【分析】利用二项式系数相等及组合数公式求出值，利用二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】在的二项展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等， 则，所以， ∴通项为， 令，则， ∴常数项为， 故选：. 3．已知的展开式中第9项、第项、第项的二项式系数成等差数列，则的值为 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等差中项的概念，再由组合数的计算方法计算即可. 【详解】已知的展开式中， 第9项、第项、第项的二项式系数分别为， 得， 则， 得，整理得， 即，解得或， 故选：C. 4．在的展开式中，若第4项与第7项的二项式系数相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质结合组合数的性质求出的值，最后由组合数的运算方法求值即可. 【详解】在的展开式中， 第4项的二项式系数为， 第7项的二项式系数为， 则，所以， 则， 故选：B. 5．若的展开式中常数项为，则常数a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式分析求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为： ， 令，解得：， 所以展开式中常数项为， 所以，解得：， 故选：A. 6．若，则（ ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将代入二项展开式中，求出的值，再将代入二项展开式中求值即可. 【详解】因为， 令，得， 令，得， 所以． 故选：D 7．二项展开式中，正确的是（   ）． A．展开式共6项 B．二项式系数最大的是第3项 C．展开式无常数项 D．所有项的系数之和为1 【答案】D 【分析】由二项定理对式子展开，逐个分析选项. 【详解】由二项定理可得，， 选项A，二项展开式共有项，该选项错误； 选项B，二项展开式的第项的二项式系数为，最大二项式系数为，对应第项，该选项错误； 选项C，对于，项为，该选项错误； 选项D，将代入二项式，得到所有项的系数之和为，该选项正确； 故选：D. 8．被9除所得的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】由题意可得：，结合二项展开式分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知的展开式为， 当时，均可被9整除； 当时，被9除所得的余数为7； 综上所述：被9除所得的余数为7. 故选：D. 9．设的小数部分为x，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用不等式放缩估计的整数部分为4，得到，即，然后利用二项式定理展开即得. 【详解】由，得的整数部分为4， 则，所以， 即， 故. 故选:B 10．将多项式分解因式得，则（    ） A．16 B．14 C． D． 【答案】C 【分析】将展开，观察 的系数，对应的展开相乘，相加得到答案. 【详解】解析：由题意，， ，所以， 故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理,考查计算能力，属于基础题. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．已知二项式，则展开式第4项的二项式系数为_______. 【答案】 【分析】根据通项公式及二项系数的概念可求解. 【详解】因为二项式展开式第4项为, 所以二项式系数为. 故答案为： 12．展开式中，常数项为____． 【答案】 【分析】要使展开式中出现常数项，则二项展开式中中与的二项展开式均为常数，结合二项展开式理解运算. 【详解】的二项展开式， 的二项展开式为， 的二项展开式为， 若展开式中的常数项满足，则可得，解得， 故常数项为：． 故答案为：12600. 13．在展开式中的二项式系数为______． 【答案】 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为展开式的通项公式为， 令，则 ， 所以展开式中的二项式系数为. 故答案为：. 14．已知的展开式中，二项式系数的最大值为m，含项的系数为n，则________（用数字作答）. 【答案】16 【分析】利用二项式系数的增减性，与二展展开式中项的系数即可得解. 【详解】因为， 所以二项式系数的最大值为，则， 含项为，则， 所以. 故答案为：16 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．已知，. (1)若的展开式中，二项式系数之和是，求展开式中的第项； (2)若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，求展开式中的常数项 【答案】(1) (2) 【详解】（1）利用二项式系数和求出的值，然后利用二项展开式通项可求得展开式中的第项； （2）由二项式系数的基本性质可求得的值，然后写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项后即可得解. （1）解：若的展开式中，二项式系数之和是，则，可得， 所以，的展开式中的第项为. （2）解：若的展开式中，二项式系数最大的项仅是第项，则，可得， 所以，， 的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以，，其中、， 令可得，则， 因此，展开式中的常数项为. 16．已知在的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求； (2)求展开式中的常数项； (3)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】（1）求出展开式中的前三项的系数，根据等差数列的性质列方程求出； （2）根据展开式的通项及常数项的特征求解； （3）写出第项的系数，由题意列出不等式组求出即可. 【详解】（1）的展开式中的前三项为：，，， 其系数分别为：， 由题意得，即，解得或， 由于不符题意，所以； （2）当时，， 令，所以， 故展开式中的常数项为； （3）设展开式中第项的系数最大， 由（2）知，第项的系数分别为：， 由题意，得， ，或， ，， ∴展开式中系数最大的项为和. 17．写出下列各式的二项展开式． (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的公式求值即可. 【详解】（1） . （2） . 18．（1）求二项式的展开式中含的项的系数； （2）在二项式的展开式中，已知前四项的二项式系数之和为M，二项式的展开式中各项的系数之和为N，且，求实数a的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据二项式的展开式即可求解. （2）根据二项式中各项系数的和的求法即可求解. 【详解】（1）二项式的展开式的通项为， ，1，2，3，4，5. 令，则， 所以含的项为. 所以二项式的展开式中含的项的系数为. （2）由题意得. 在二项式的展开式中，令，可得， ，， 即，解得. 试卷第12页，共12页 试卷第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $