第九章 随机变量及其分布（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考随机变量、分布列概念、正态分布曲线的性质。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ）． A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 2．下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 3．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 4．散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值等于（    ） A． B．2 C． D．3 5．设随机变量服从正态分布，则正态曲线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量服从正态分布，则等于（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 8．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 9．已知随机变量，那么等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 10．某同学回答问题，每道题答对的概率为，那么5道题中答对3道的概率为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 12．设X是一个离散随机变量，其分布列为： X 0 1 P 则实数q的值为 . 13．已知，则 . 14．已知某位射击运动员一枪射中环数的分布列为 ɛ 7 8 9 10 P 0.1 0.6 0.2 0.1 则 ． 15．设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为 ． 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．学校要从12名候选人中选4名同学进入学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到. (1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率； (2)用表示选中的候选人中来自甲班的人数，求. 17．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率； (3)求至多遇到5个红灯的概率. 18．顾客甲通过网络平台向水果商乙下单了一批橙子，商家乙通过快递邮寄给顾客甲，并约定两天内到（不含下单当天）.现商家乙在A、B两家快递公司中选择一家派送.对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达甲处的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下表： 公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以频率代替概率. (1)通过数据分析，商家乙选择哪家快递公司更为合适； (2)双方约定：每延迟一天收货，乙须赔偿甲50元.假如乙选择A公司，求赔钱金额（元）的分布列. 19．某钢铁加工厂所生产的钢管内径尺寸（单位：mm）服从正态分布.对该工厂的1000个产品估计尺寸.求： (1)尺寸在范围内的产品个数； (2)尺寸在范围内的产品个数； (3)尺寸在范围内的产品个数. 参考数据：，，. 20．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求. 0 1 2 21．甲、乙等五名志愿者被随机分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位的概率； (3)设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的概率分布. 22．在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 23．全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与．为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识竞赛活动，现将抽取的名学生的成绩分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图． (1)求这名学生的平均成绩（同组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了更好地了解学生对文明城市知识的登握情况，学校决定在成绩高的第5，6组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮比赛，最终从这5名学生中确定2人参加该市举办的创建文明城市知识竞赛，记这2人中成绩在内的学生人数为，求的分布列． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第九章随机变量及其分布的单元测试卷，主要考随机变量、分布列概念、正态分布曲线的性质。 第九章 随机变量及其分布 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ）． A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【分析】由随机变量的含义可知. 【详解】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示． 故选：C． 2．下面是离散型随机变量的是（    ） A．电灯泡的使用寿命 B．小明射击1次，击中目标的环数 C．测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值 D．一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置 【答案】B 【分析】变量的取值是随机出现且可一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量，据此逐项判断即可. 【详解】对于A，电灯泡的使用寿命是变量，但无法将其取值一一列举出来，故A不符题意； 对于B，小明射击1次，击中目标的环数是变量，且其取值为，故X为离散型随机变量，故B符合题意； 对于C，测量一批电阻两端的电压，在10V~20V之间的电压值是变量，但无法一一列举出X的所有取值，故X不是离散型随机变量，故C不符题意； 对于D，一个在轴上随机运动的质点，它在轴上的位置是变量，但无法一一列举出其所有取值，故X不是离散型随机变量，故D不符题意. 故选：B. 3．已知随机变量的分布列为 5 10 15 则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的分布列求概率即可. 【详解】由分布列的性质，得，解得. 故选：D. 4．散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值等于（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据均值的计算公式可求解. 【详解】由题可得 . 故选：A 5．设随机变量服从正态分布，则正态曲线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态分布的性质即可求解. 【详解】随机变量服从正态分布， 则正态曲线关于直线对称. 故选：C. 6．设随机变量服从正态分布，则等于（ ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以. 故选：C. 7．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【答案】C 【分析】利用两点分布的基本性质即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得. 故选：C. 8．某射手每次射击击中目标的概率是0.6，且各次射击的结果互不影响，则该射手射击30次恰有18次击中目标的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据二项分布的概率公式来解. 【详解】设为射手在30次射击中击中目标的次数，则， 故在30次射击中，恰有18次击中目标的概率为. 故选：B. 9．已知随机变量，那么等于（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用二项分布的数学期望公式即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 10．某同学回答问题，每道题答对的概率为，那么5道题中答对3道的概率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项分布概率公式即可求解. 【详解】符合次的独立重复实验，答对的题数服从二项分布， 所以5道题中答对3道的概率为. 故选：A 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．已知小明投篮10次，每次投篮的命中率为0.7.记10次投篮中命中的次数为，则 . 【答案】2.1 【分析】由题意知，由此能求出. 【详解】解：由题意知，， 则. 故答案为：2.1. 12．设X是一个离散随机变量，其分布列为： X 0 1 P 则实数q的值为 . 【答案】/ 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质即可求解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质，知，故， 因为，解得. 故答案为：. 13．已知，则 . 【答案】2 【分析】根据离散型随机变量的均值公式求解即可. 【详解】∵， ∴，即. 故答案为：2. 14．已知某位射击运动员一枪射中环数的分布列为 ɛ 7 8 9 10 P 0.1 0.6 0.2 0.1 则 ． 【答案】8.3 【分析】根据离散随机变量的期望的公式求解即可. 【详解】, 故答案为：8.3． 15．设随机变量的分布列为，（，2，3），则的值为 ． 【答案】 【分析】根据离散随机变量的分布列的性质易得答案. 【详解】依题意，，解得，所以a的值为. 故答案为：． 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．学校要从12名候选人中选4名同学进入学生会，已知有4名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选到. (1)求恰有1名甲班的候选人被选中的概率； (2)用表示选中的候选人中来自甲班的人数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选取总方法有种，其中有一人来自甲班的方法有种，由概率公式进行计算即可. （2）来自甲班的人数大于或等于3人的情况有3人或4人，分别求出即可. 【详解】（1）学校要从12名候选人中选4名同学进入学生会，已知有4名候选人来自甲班， 则恰有1名甲班的候选人被选中的概率为. （2）学校要从12名候选人中选4名同学进入学生会，已知有4名候选人来自甲班， 表示选中的候选人中来自甲班的人数， 则. 17．从甲地到乙地沿某条公路行驶一共200公里，遇到红灯个数的概率如下表所示： 红灯个数 0 1 2 3 4 5 6个及6个以上 概率 0.02 0.1 0.35 0.2 0.1 0.03 (1)求表中字母的值； (2)求至少遇到4个红灯的概率； (3)求至多遇到5个红灯的概率. 【答案】(1)0.2 (2)0.33 (3)0.97 【分析】（1）根据概率分布列的概率之和为1，由题中数据列出等式，即可求出的值. （2）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （3）根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题意可得， 解得. （2）记事件A为遇到红灯的个数为4， 事件为遇到红灯的个数为5， 事件为遇到红灯的个数为6个及以上， 则事件“至少遇到4个红灯”为， 因为事件互斥， 所以， 即至少遇到4个红灯的概率为. （3）记事件为遇到6个及6个以上红灯， 则至多遇到5个红灯为事件， 则. 18．顾客甲通过网络平台向水果商乙下单了一批橙子，商家乙通过快递邮寄给顾客甲，并约定两天内到（不含下单当天）.现商家乙在A、B两家快递公司中选择一家派送.对快递公司A、B以往从乙处派送水果各100次到达甲处的收货情况进行统计，得到收货时间的频数如下表： 公司 第一天 第二天 第三天 第四天 A 26 33 21 20 B 15 36 25 24 以下问题以频率代替概率. (1)通过数据分析，商家乙选择哪家快递公司更为合适； (2)双方约定：每延迟一天收货，乙须赔偿甲50元.假如乙选择A公司，求赔钱金额（元）的分布列. 【答案】(1)商家选A公司更为合适 (2)分布列见解析 【分析】（1）通过数据分析，两天内送达的概率，A公司比B公司概率大，即选A. （2）根据已知，可知赔偿金额的值可能为0元，50元，100元三种情况，并分别计算出其概率即可. 【详解】（1）由已知得A公司第一天或第二天送达的概率为P(A)==， B公司第一天或第二天送达的概率为P(B)==， 所以P(A)>P(B)，即商家选A公司更为合适； （2）赔偿金额可能取值分别为0，50，100，则 =，，， 所以的分布列为： ξ  0 50 100 P 19．某钢铁加工厂所生产的钢管内径尺寸（单位：mm）服从正态分布.对该工厂的1000个产品估计尺寸.求： (1)尺寸在范围内的产品个数； (2)尺寸在范围内的产品个数； (3)尺寸在范围内的产品个数. 参考数据：，，. 【答案】(1)683 (2)954 (3)997 【分析】根据正态分布的定义，由求出产品尺寸在各范围内的概率，进而求产品个数即可. 【详解】（1）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. （2）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. （3）根据题意，，，. ， 所以尺寸在范围内的产品个数为. 20．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中有个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率； (2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列，并求. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算即可. （2）根据的所有可能值为，再由古典概型的概率公式得出对应的概率，并列出分布列即可. 【详解】（1）已知一盘中有个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个， 令表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率计算公式有. （2）已知个粽子中豆沙粽2个， 所以的所有可能值为， 且， 综上知，的分布列为 0 1 2 所以. 21．甲、乙等五名志愿者被随机分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位的概率； (3)设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的概率分布. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）首先运用排列与组合计算五名志愿者分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者的所有基本事件的个数，再求出甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件的个数，最后根据古典概型的概率公式求值即可. （2）根据对立事件的概率公式求值即可. （3）可能取值为，分别求出,的概率，写出分布列即可. 【详解】（1）已知五名志愿者分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者， 所以总的基本事件个数为， 其中甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件个数为， 所以甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为. （2）已知甲、乙两人不在同一个岗位的事件与 乙两人在同一个岗位的事件为对立事件， 由（1）可知甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为， 则乙两人在同一个岗位的概率为， 所以甲、乙两人不在同一个岗位的概率为. （3）由题意可知，可能取值为， 当时，首先从五名志愿者中选出一名参加A岗位服务，有种选法， 再从余下的人中，选出人在同一岗位，有种选法， 然后将这组进行全排列有种排法，所以， 当时，首先从五名志愿者中选出一名参加A岗位服务，有种选法， 然后将余下的组进行全排列有种排法，. 所以，的概率分布为： 1 2 P 22．在某工厂的一次产品质量评比活动中，甲、乙两名工人各生产的5个零件所得质量评分(评分采用10分制)如下表所示： 甲 6 8 9 8 9 乙 9 6 9 9 7 (1)根据上述数据，判断谁生产的零件质量更好； (2)从甲、乙生产的得分为9分的5个零件中任取2个进行展示，设甲生产的零件被选中的个数为，求的概率分布． 【答案】(1)甲生产的零件质量更好 (2)概率分布见解析 【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式求出方差即可判断； （2）根据概率公式分别求出的取值为0，1，2时的概率即可. 【详解】（1）解法一（对应高教版）： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， ， 所以甲生产的零件质量更好. 解法二(对应人教版)： 设甲的平均数为，乙的平均数为，甲的方差为，乙的方差为， 则，， 所以， . 所以甲生产的零件质量更好. （2）的取值有0，1，2. ， 所以的概率分布为 0 1 2 23．全国文明城市创建工作是一项长期的系统工程，需要广大市民自觉参与．为了增进全体市民对创建文明城市工作的了解，某学校组织学生开展文明城市应知应会知识竞赛活动，现将抽取的名学生的成绩分成6组：，并整理得到如下的频率分布直方图． (1)求这名学生的平均成绩（同组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)为了更好地了解学生对文明城市知识的登握情况，学校决定在成绩高的第5，6组中用分层抽样的方法抽取5名学生，进行第二轮比赛，最终从这5名学生中确定2人参加该市举办的创建文明城市知识竞赛，记这2人中成绩在内的学生人数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据频率直方图中的所有小矩形的和为列方程求出，再用每组中点值为代表，估算平均值即可. （2）首先根据分层抽样的概念得出抽取的5名学生中，成绩在内的有2名学生，得出的所有取值，再分别求出对应取值的概率，列出分布列即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ，解得， 所以这名学生的平均成绩为： . （2）由频率分布直方图可知， 成绩落在内的频率之比为， 用分层抽样法抽取5名学生，则成绩在内的有3名学生， 成绩在内的有2名学生，所以的可能取值为． ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $