第七章 数列（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查数列的概念、等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列通项公式和前n项和公式。 第七章 数列 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 2．已知数列的前n项和是，则（ ） A．9 B．16 C．31 D．33 3．已知等差数列，若，，则公差为（ ） A． B．4 C．1 D．2 4．在等比数列中，，，则是（ ） A．1 B．3 C． D． 5．在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，则的值为（   ） A．360 B．270 C．180 D．90 7．已知等差数列前9项的和为27，，则公差（ ） A． B． C．1 D．2 8．基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2024年7月底，地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2024年8月该地区计划新建50个基站，以后每个月比上一个月多建40个，则地区到2025年12月底累计开通5G基站的个数为（    ） A．6590 B．5950 C．6290 D．5650 9．已知等差数列的前3项分别为，，，m为任意实数，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．若一数列为2，7，14，23，，则该数列的第8个数是 ． 12．已知数列满足，，则 . 13．若数列的前项和，则它的通项公式 ． 14．已知数列满足，，则 . 15．若数列满足，，则 ． 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 17．在等差数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 18．已知等比数列,满足,为数列的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)若,求的值 19．已知等差数列满足，且． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等比数列满足，且，求等比数列的前n项和． 20．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 21．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 22．如图（1），四边形是一边长为14cm的正方形．，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．依循相同的规律，，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形，…，，…．      (1)求． (2)求． (3)一蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图（2）所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21cm． 23．为响应国家产教融合政策，某智能制造学院与新能源车企合作开展“未来工匠”培养计划，承接了新型电动汽车电池连接器的精密加工任务.学院拟通过两种实训模式培养先进制造人才. 方案一：精英进阶训练 由工业机器人专业卓越班实施精密加工，首日完成125件合格产品，此后每个实训日平均提升5%的产出效率（每日合格品产量为前日的1.05倍）. 方案二：普惠技能拓展 组织跨专业学生开展“数字工匠”实训，首日师徒协同完成60件合格品，次日采用辅助加工后，每日较前日多完成合格品20件. 现假设企业要求：基础订单5000件需在一个月（按30天计算）内交付，每提前1天奖励3000元.若两个班级日均耗材成本都是1800元，跨专业班使用系统后日均耗材增加至2400元.试问： (1)两个班能否在一个月内独立完成基础订单； (2)若仅从实际成本（实际成本耗材成本奖金）的角度考虑，该选用哪套实训方案承接本次加工任务. （提示：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【江苏专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第七章数列的单元测试卷，主要考查数列的概念、等差数列通项公式和前n项和公式、等比数列通项公式和前n项和公式。 第七章 数列 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 2．已知数列的前n项和是，则（ ） A．9 B．16 C．31 D．33 【答案】B 【分析】利用与的关系可求. 【详解】设数列的前n项和为，则， 则. 故选：B. 3．已知等差数列，若，，则公差为（ ） A． B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式可求. 【详解】设公差为，由，， 所以. 故选：D 4．在等比数列中，，，则是（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用等比中项公式可求. 【详解】等比数列中， 因为，，成等比数列， 且，， 所以，， 故选：D. 5．在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等比数列通项公式可求. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，. 故选：D. 6．在等差数列中，，则的值为（   ） A．360 B．270 C．180 D．90 【答案】C 【分析】根据等差数列的前n项和以及等差数列的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，则. 故选：C. 7．已知等差数列前9项的和为27，，则公差（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求出，再由等差数列的通项公式求出公差即可. 【详解】因为，所以． 又因为，所以公差． 故选：C． 8．基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2024年7月底，地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G网络建设.已知2024年8月该地区计划新建50个基站，以后每个月比上一个月多建40个，则地区到2025年12月底累计开通5G基站的个数为（    ） A．6590 B．5950 C．6290 D．5650 【答案】A 【分析】根据题意，先求得总共的月数，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】因为7月底是一个节点，从8月开始算第一个月， 所以2024年8月到2024年12月有个月， 而2025年1月到2025年12月有12个月， 所以总共的月数为个月， 因为2024年8月计划新建50个5G基站，以后每个月比上一个月多建40个， 所以从2024年8月起，每月新建基站个数构成首项，公差的等差数列， 故一共开通基站的个数为. 故选：A. 9．已知等差数列的前3项分别为，，，m为任意实数，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的前3项，可求得公差，结合等差中项的性质，可求得m的值，继而求得首项，即可求得通项公式. 【详解】由题意，设等差数列的公差为d， 因为等差数列的前3项分别为，，， 所以， 由等差数列的性质可知，，即， 解得，所以， 所以数列的通项公式为. 故选：A. 10．数列中，，则此数列最大项的值是（    ） A． B．30 C．31 D．32 【答案】B 【分析】结合二次函数的性质，通过配方法即可求出最值. 【详解】， 所以当时，取得最大值， 又， 所以当或6时， 取最大值， 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 11．若一数列为2，7，14，23，，则该数列的第8个数是 ． 【答案】79 【分析】根据题意可得数列的通项公式，进而可得结果. 【详解】由题意可得：， 可得. 所以. 故答案为：79. 12．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】利用，累加即可. 【详解】因为，， 所以，，， 累加可得，解得. 故答案为：. 13．若数列的前项和，则它的通项公式 ． 【答案】 【分析】利用可求. 【详解】由题知，， 当时，， 当时，， 将代入，，满足， 所以. 故答案为：. 14．已知数列满足，，则 . 【答案】 【分析】利用已知递推式与求即可. 【详解】因为，， 所以，则； 故答案为： 15．若数列满足，，则 ． 【答案】24 【分析】根据等比数列的定义，判定数列为等比数列，利用等比数列通项公式求解. 【详解】由题意可知，数列为首项为3，公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式，可得. 故答案为：24 3、 解答题（本大题共8小题，前3小题每题10分，后5小题每题12分，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．数列的通项公式是. (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ 【答案】(1) (2)是，第16项 【分析】（1）将代入通项公式即可； （2）将代入通项公式即可. 【详解】（1）数列的通项公式是． 这个数列的第4项是：． （2）令，即， 解得或（舍， 是这个数列的项，是第16项． 17．在等差数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出等差数列的公差，再求出首项，进而得到通项公式. （2）根据（1），求出通项公式，再证明为等差数列，进而得到. 【详解】（1）因为数列为等差数列，且， 所以公差，首项， 所以数列的通项公式为， 即. （2）因为， 所以， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列. 所以数列的前项和. 18．已知等比数列,满足,为数列的前项和. (1)求数列的通项公式. (2)若,求的值 【答案】(1). (2). 【分析】（）由等比数列的通项公式即可得解. （）由等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】（1）等比数列首项. 设等比数列的公比为. 所以. 解得. 所以通项公式. （2）. 19．已知等差数列满足，且． (1)求等差数列的通项公式； (2)若等比数列满足，且，求等比数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列给定的项求解首项与公差，进而得到通项公式即可； （2）利用条件求得等比数列的公比，进而由等比数列的前n项和公式求解即可； 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ，， 则，解得， ∴， ∴． （2）设等比数列的公比为， ， ， ∴，解得， ∴ 20．数字9在《易经》中是阳数的最高位，代表尊贵之意，所以在我国古代皇家建筑中包含着许多与9有关的设计．如北京天坛圜丘的地面是由扇环形的石板铺成，中心是一块天心石，围绕它的第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈（如图所示），这样每一圈的石板数依次构成了等差数列． (1)求这个数列的公差； (2)求第3圈铺了多少块石板； (3)求第1圈到第9圈总共铺了多少块石板． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，结合公差的定义即可求解. （2）根据等差数列的通项公式即可求解. （3）根据等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，第1圈有9块石板，从第2圈开始，每一圈比前一圈多9块， 每一圈的石板数依次构成了等差数列，所以这个数列的公差为. （2）由题意得，令第一圈石板块数为，又， 则第三圈铺了块石板. （3）由题意得，， 所以第1圈到第9圈总共铺了块石板. 21．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年更换10000辆燃油性公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换为电力型和混合动力型公交车，今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力性公交车400辆，计划以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， (1)求经过n年，该市被更换的公交车总数； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a的最小值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列前项和公式与等差数列前项和公式可求； （2）令（1）中所得式子中求解即可. 【详解】（1）设，分别为第年投入的电力型公交车，混合动力型公交车数量， 由题可知，因为今年初投入了电力型公交车128辆，以后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%， 则为首项为，公比为的等比数列， 混合动力性公交车400辆，混合动力型公交车每年比上一年多投入a辆， 则为首项为，公差为的等差数列， 则的前项和， 则的前项和， 则经过n年，该市被更换的公交车总数； （2）若计划年内完成全部更换， 则， 所以， 由计算器解得，，因为， 则， 若该市计划7年内完成全部更换，a的最小值为. 22．如图（1），四边形是一边长为14cm的正方形．，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．依循相同的规律，，，，依次将，，，分成的两部分，得到正方形．不断重复这个步骤，得到正方形，…，，…．      (1)求． (2)求． (3)一蚂蚁从出发，沿路径爬行，如图（2）所示，证明：该蚂蚁所爬行的总距离不能大于21cm． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给比例关系及勾股定理计算可得； （2）首先求出，即可得解； （3）由（2）可得，设，则，，利用等比数列求和公式求出，即可得证. 【详解】（1）依题意，， 则，所以； （2）由（1）可得，，则， 所以. （3）由（2）可知，同理可得， 设，则，， 即是以为首项，为公比的等比数列，设其前项和为， 则，所以该蚂蚁所爬行的总距离不能大于. 23．为响应国家产教融合政策，某智能制造学院与新能源车企合作开展“未来工匠”培养计划，承接了新型电动汽车电池连接器的精密加工任务.学院拟通过两种实训模式培养先进制造人才. 方案一：精英进阶训练 由工业机器人专业卓越班实施精密加工，首日完成125件合格产品，此后每个实训日平均提升5%的产出效率（每日合格品产量为前日的1.05倍）. 方案二：普惠技能拓展 组织跨专业学生开展“数字工匠”实训，首日师徒协同完成60件合格品，次日采用辅助加工后，每日较前日多完成合格品20件. 现假设企业要求：基础订单5000件需在一个月（按30天计算）内交付，每提前1天奖励3000元.若两个班级日均耗材成本都是1800元，跨专业班使用系统后日均耗材增加至2400元.试问： (1)两个班能否在一个月内独立完成基础订单； (2)若仅从实际成本（实际成本耗材成本奖金）的角度考虑，该选用哪套实训方案承接本次加工任务. （提示：） 【答案】(1)能 (2)方案一 【分析】（1）根据方案一与方案二，结合等差与等比数列求解即可； （2）根据条件求出两个方案的实际成本，进而即可得到应选择方案二； 【详解】（1）由题可知，方案一首日完成125件合格产品，此后每个实训日平均提升5%的产出效率， 所以每日完成的合格产品数可看出一个首项为125，公比为1.05的等比数列； 所以方案一要完成基础订单，则，即， 解得， 即方案一要完成基础订单需要23天； 方案二首日60件合格品，次日日采用辅助加工后，每日较前日多完成合格品20件， 所以方案二是以首项为60，公差为20的等差数列； 所以方案二要完成基础订单，则，即， 解得，所以方案二要20天完成基础订单； 综上可知，两个班都能在一个月内完成基础订单； （2）由（1）可知，方案一需要23天完成，提前了7天，奖金为， 因为耗材成本为：元， 则方案一的实际成本为元， 方案二需要20天完成，提前了10天，奖金为元， 因为耗材成本为：元， 则方案二实际成本为元， 因为，所以选择方案一承接本次加工任务； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $