8.3特殊平行四边形题型突破（十三题型）2025-2026学年青岛版数学八年级下册

8.3特殊平行四边形题型突破2025-2026学年青岛版 八年级下册（十三题型） 题型一：利用菱形的性质求值 1.如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 2.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．24 C．28 D．32 3.如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（　　） A．96 B．48 C．24 D．12 4．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 题型二：菱形的判定 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 3．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 4.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 5.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 题型三：菱形的判定与性质综合证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 3.如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积． 题型四：利用矩形的性质求值 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　） A．6 B．8 C． D． 2．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 3.如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 4．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 5.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 题型五：直角三角形斜边上中线的性质 1.如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 2.如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图，在中，，点D为边的中点，若，，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 4.如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 5.如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是 ． 题型六：矩形与折叠问题 1.如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 2.如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 3.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 4.如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ． 5.如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为 ． 题型七：矩形的判定 1.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 2.如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 3.下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 4.满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 5.如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型八：矩形的判定与性质综合证明 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 3.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 题型九：利用正方形的性质求值 1.正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 2.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    4.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 题型十：正方形与折叠问题 1.如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 2.如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 4.如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 题型十一：正方形的判定 1.下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 2.下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 3．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 4.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 5.如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 题型十二：正方形多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　） ①AP＝EF ②∠PFE＝∠BAP ③△APD一定是等腰三角形 ④PD＝EC A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 题型十三：正方形的判定与性质综合证明 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】 8.3特殊平行四边形题型突破2025-2026学年青岛版 八年级下册（十三题型） 题型一：利用菱形的性质求值 1.如图，若四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的边长是（　　） A．13 B．12 C．26 D．52 【答案】A 2.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 3.如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝12，则菱形ABCD的面积为（　　） A．96 B．48 C．24 D．12 【答案】C 4．如图，菱形ABCD中，过顶点C作CE⊥BC交对角线BD于点E，若∠A＝130°，则∠BEC＝ °． 【答案】65 5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为AB的中点，点F在OD上，DF＝OF，连接EF交OA于点G，若OG＝1，连接CE，S△BEC＝12，则线段CE的长为 　　． 【答案】3． 题型二：菱形的判定 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件仍不能判断四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AO2+BO2＝AB2 C．AC＝BD D．∠BAC＝∠ACB 【答案】C 2.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD 【答案】D 3．依据所标数据，下列四边形不一定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C． 4.如图，已知▱ABCD的对角线交于点O，下列条件不能证明▱ABCD是菱形的是（　　） A．∠ABD＝∠ADB B．OA2+OB2＝CD2 C．∠BAO＝∠DCO D．∠ABO＝∠CBO 【答案】C． 5.如图所示，中，E、F、D分别是上的中点，要使四边形是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 （在基础上添加） 【答案】 题型三：菱形的判定与性质综合证明 1.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过E作EF∥AB交BC于点F． （1）求证：四边形ABFE是菱形； （2）若AB＝5，BE＝8，，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）略 （2）36 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠FBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）解：如图，连接AF交BE于M，过A作AN⊥BC于N， 由（1）可知，四边形ABFE是菱形， ∴BF＝AB＝5，BM＝EM＝BE＝4，AM＝FM，AF⊥BE， ∴∠AMB＝90°， ∴AM＝＝＝3， ∴AF＝2AM＝6， ∵AN⊥BF， ∴S菱形ABFE＝BF•AN＝AF•BE， 即5AN＝×6×8， 解得：AN＝， ∵BC＝BF+CF＝5+＝， ∴S平行四边形ABCD＝BC•AN＝×＝36． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC，BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若BE＝5，OE＝3，求线段DE的长． 【答案】（1） 略（2） 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AD＝AB， ∵AB＝BC， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD， ∵DE⊥BC， ∴OE＝BD， ∴BD＝2OE＝6， 在Rt△BED中，BE＝5，由勾股定理得：DE＝＝． ∴线段DE的长为． 3.如图：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，且BE＝DF． （1）求证：平行四边形ABCD是菱形； （2）若AB＝5，AC＝6，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△AEB≌△AFD（ASA）， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）解：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝6， ∴AC⊥BD， AO＝OC＝AC＝×6＝3， ∵AB＝5，AO＝3， ∴BO＝＝＝4， ∴BD＝2BO＝8， ∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24． 题型四：利用矩形的性质求值 1．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（　　） A．6 B．8 C． D． 【答案】B 2．如图，矩形中，，E是的中点，，则长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 3.如图，是矩形的对角线，平分交于点．若，则 ． 【答案】/度 4．如图，在矩形中，过对角线交点作交于点，交于点，，，则的面积为 ． 【答案】5 5.如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为 ． 【答案】40 题型五：直角三角形斜边上中线的性质 1.如图，在中，，D是的中点，，则的长是（   ） A．3 B．6 C． D．4 【答案】A 2.如图，在中，，为边上的中线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，在中，，点D为边的中点，若，，则的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 4.如图，在中，D是的中点，，则的长是 ． 【答案】 5.如图，在△ABC中，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上的一点且，连接，若，则线段的长是 ． 【答案】12 题型六：矩形与折叠问题 1.如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其顶点与重合，折痕为．若，，则长为 ． 【答案】 2.如图，长方形沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，，，则的长为 ． 【答案】6 3.如图，将矩形纸片沿折叠，使点与边上的点重合．若，，则的长为 ． 【答案】 4.如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ． 【答案】11 5.如图，在矩形中，点E在边上，将矩形沿所在直线折叠，点D恰好落在边上的点F处．若，，则折痕的长为 ． 【答案】 题型七：矩形的判定 1.已知▱ABCD中，对角线AC，BD交于O点，如果能够判断▱ABCD为矩形，还需添加的条件是（　　） A．AB＝BC B．AB＝AC C．OA＝OB D．AC⊥BD 【答案】C 2.如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 3.下列命题中正确的是（   ） A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．对角线垂直的四边形是菱形 D．一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 4.满足下列条件的四边形是矩形的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线互相平分且垂直的四边形 D．四边相等的四边形 【答案】B 5.如图，在中，对角线与相交于点，则添加下列选项的条件后，能判定是矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 题型八：矩形的判定与性质综合证明 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】（1）略 （2）8 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）解：∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 2.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，且FC＝AE，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分∠DAB，FC＝3，DF＝5，求BF的长． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∵FC＝AE， ∴CD﹣FC＝AB﹣AE， 即DF＝BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）解：∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵DC∥AB， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DFA＝∠DAF， ∴AD＝DF＝5， 在Rt△AED中，由勾股定理得：DE＝＝4， 由（1）得：四边形DEBF是矩形， ∴BF＝DE＝4． 3.在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上且DF＝BE，连接AF，BF． （1）求证：四边形BFDE是矩形； （2）若CF＝6，BF＝8，AF平分∠DAB，求DF的长． 【答案】（1） 略（2）10 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∵DF＝BE， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∵DE⊥AB， ∴∠DEB＝90°， ∴四边形BFDE是矩形； （2）解：∵四边形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°， ∴∠BFC＝90°， 在Rt△BCF中，CF＝6，BF＝8， ∴BC＝＝＝10， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∵AB∥DC， ∴∠DFA＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠DFA， ∴AD＝DF， ∵AD＝BC， ∴DF＝BC， ∴DF＝10． 题型九：利用正方形的性质求值 1.正方形ABCD的一条对角线长为2，则正方形ABCD的周长为（　　） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】D 2.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为CD边中点，正方形ABCD的周长为8，则OH的长为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 3.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为    【答案】 4.如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为 . 【答案】 5.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ． 【答案】 题型十：正方形与折叠问题 1.如图所示，在正方形纸片的与边上分别取，两点，将纸片沿着折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，若，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 2.如图，在正方形中，是的中点．将沿对折至，延长交于点，则的长是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 3.如图，在正方形中，，点E、F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上的点处，则的长为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 4.如图，正方形纸片的边长为3，点E、F分别在边上，将分别沿折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知，则的长为 ． 【答案】 题型十一：正方形的判定 1.下列说法正确的是（   ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】D 2.下列条件不能判定平行四边形是正方形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 3．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 4.如图，在菱形中对角线，交于点，要使该菱形成为正方形，则应添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 5.如图，矩形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，要使四边形是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 题型十二：正方形多结论问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 2.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE+DF＝EF；④正方形对角线AC＝1+，其中正确的序号是（　　） A．①②④ B．①② C．②③④ D．①③④ 【答案】A 3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP．其中正确结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 4.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论，其中正确结论的序号是（　　） ①AP＝EF ②∠PFE＝∠BAP ③△APD一定是等腰三角形 ④PD＝EC A．①②④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 题型十三：正方形的判定与性质综合证明 1.如图，已知点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． （1）求证：四边形EFGH是正方形； （2）若AB＝7，AE＝3，求四边形EFGH的周长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴AB﹣AE＝BC﹣BF＝CD﹣CG＝AD﹣DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH， 在△AEH，△BFE，△CGF，△DHG中， ， ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）， ∴EH＝EF＝FG＝GH，∠AEH＝∠BFE，∠AHE＝∠BEF， ∴四边形EFGH是菱形，∠AEH+∠BEF＝∠AHE+∠BFE， ∵∠AEH+∠AHE＝90°， ∴∠AEH+∠BEF＝90°， ∴∠FEH＝180°﹣90°＝90°， ∴四边形EFGH是正方形； （2）解：∵AB＝7，AE＝3， ∴BE＝AH＝AB﹣AE＝7﹣3＝4， ∴EH＝＝＝5， ∵四边形EFGH是正方形， ∴四边形EFGH的周长＝5×4＝20． 2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC． （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝2，求四边形AFDE的面积． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝2， ∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝2． ∴四边形AFDE的面积为2×2＝4． 3.如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM． （1）求证：矩形DEFM是正方形； （2）求CE+CM的值． 【答案】（1） 略（2）6 【解答】解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠ACD． ∵EG⊥CD，EH⊥BC， ∴EG＝EH， ∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EGCH是矩形， ∴∠GEH＝90°． ∵四边形DEFM是矩形， ∴∠DEF＝90°． ∴∠DEG＝∠FEH． ∵∠EGD＝∠EHF＝90°， ∴△EGD≌△EHF（ASA）， ∴ED＝EF． ∴矩形DEFM是正方形； （2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形， ∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°． ∴∠ADE＝∠CDM． ∴△ADE≌△CDM（SAS）， ∴AE＝CM． ∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6． 学科网（北京）股份有限公司 $