16.2.2函数的图像（4知识点+5大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

16.2.2函数的图像 （4知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 函数图像识别】 2 【题型2 从函数的图像获取信息】 4 【题型3 用描点法画函数图像】 7 【题型4 实际问题中的函数图像】 12 【题型5 利用函数图像解决实际问题】 15 · 理解函数图象的定义，明确函数图象上的点与函数解析式的对应关系，区分函数图象与普通曲线的差异，能精准判断点是否在函数图象上。 · 熟练掌握描点法画函数图象的三个核心步骤，能规范画出简单函数的图象，掌握列表、描点、连线的规范操作，养成严谨的作图习惯。 · 学会从函数图象中提取关键信息，包括自变量取值、函数值、变化趋势、特殊点坐标等，能根据图象信息解决简单的计算和判断问题。 · 能将实际问题转化为函数图象问题，读懂实际情境对应的函数图象，理解图象横纵坐标、拐点、线段的实际意义，利用函数图象解决实际应用问题。03 知识•梳理 知识点1：函数图象的定义 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点，由这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。 核心结论：图象上的点，坐标满足函数解析式；坐标满足解析式的点，一定在函数图象上（点与图象的对应关系） 知识点2：描点法画函数图象的步骤（三步必记） 画图口诀：列表选值要合理，描点准确不偏移，连线光滑顺次序 1. 列表：选取自变量x的一些值，通常选取便于计算的整数，从小到大排列，计算出对应的函数值y，列成表格，注意选取的数值要覆盖函数的取值范围，数量适中（一般5-7组）。 2. 描点：根据表格中每一对(x,y)的值，在平面直角坐标系中描出对应的点，确保点的横纵坐标精准，位置不偏移。 3. 连线：按照自变量x从小到大的顺序，把描出的点用平滑的曲线（或直线）顺次连接，不能画成折线，也不能断开，端点处根据题意确定是否延伸。 知识点3：函数图象的信息读取（核心技巧） 1. 看横纵坐标：横坐标代表自变量x，纵坐标代表函数值y，先明确两个轴的实际意义（尤其是实际问题）。 2. 找特殊点：起点、终点、拐点、与坐标轴的交点，这些点的坐标是解题关键。 3. 看变化趋势：图象上升→y随x增大而增大；图象下降→y随x增大而减小；水平线段→y值不变。 4. 看取值范围：图象在x轴上的覆盖范围是自变量取值范围，在y轴上的覆盖范围是函数值取值范围。 知识点4：实际问题中函数图象的注意事项 · 实际问题中，自变量x和函数值y通常有实际意义（如时间、路程、金额、数量），取值一般为非负数，图象通常只在第一象限。 · 图象中的拐点代表实际情境发生变化，水平线段代表状态不变，线段倾斜程度代表变化快慢。 · 实际问题的函数图象多为线段、射线，不是无限延伸的直线，需结合实际情境判断。 知识点5：易错警示 · 描点画图时，连线不能画成折线，必须用平滑曲线/直线连接。 · 混淆横纵坐标，把自变量和函数值搞反，导致读图、画图错误。 · 实际问题忽略自变量取值范围，画出无限延伸的图象。 · 判断点是否在图象上，直接代入坐标验证即可，不可凭肉眼判断。 04 题型•汇总 【题型1 函数图像识别】 解题思路： 根据函数的定义（对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应）判断，核心技巧：作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，才是函数图象；同时结合函数变化趋势、自变量取值范围排除错误选项。 解题口诀：辨图像，用定义，竖线切割只一点，函数关系才成立 【典例1】．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，判断即可． 【详解】解：A、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； C、对于自变量x的一个值，y有两个值与之对应，所以不能表示y是x的函数； D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值和它对应，所以能表示y是x的函数； 故选：C． 跟随训练1．回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题意，师生队伍离学校的距离先增大，然后不变，最后变小，则符合题意的为B选项的函数图象． 跟随训练2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查函数的定义，根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数，A，B，C不符合题意； 选项D的图象，给一个x值，y有多个值对应的情况，不能表示y是x的函数，故D符合题意． 故选：D． 跟随训练3．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【答案】（2） 【分析】本题考查函数图象的识别，根据题意，可知随的增大而减小，且变化均匀，从而可以解答本题． 【详解】解：∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，表示漏水时间，表示壶底到水面的高度， ∴随的增大而匀速地减小，图象（2）适合表示与的对应关系． 故答案为：（2）． 【题型2 从函数的图像获取信息】 解题思路： 先明确横纵坐标代表的量，再找特殊点（交点、拐点、起止点），看图象升降趋势，根据坐标对应关系，求自变量或函数值，判断y随x的变化规律。 解题口诀：读图像，先看轴，找点看势记清楚，横自纵函不糊涂 【典例2】．小李家，小明家，学校依次在一条直线上．某天，小李和小明相约回家取球拍后去学校打球．他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小李到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小明取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计）．小李和小明与学校距离y（m）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（   ） A．小李家距离学校 B．小明速度为 C．小李返回学校的速度为 D．两人出发时，小李与小明相距 【答案】B 【分析】由图象可得小李家离学校，小明家离学校，由速度路程时间，可以计算两人的速度，由路程的和差关系可求两人出发时，小李和小明相距的路程，即可求解． 【详解】解：由图象可知，小李家离学校，小明家离学校， ∵小明取完球拍在家休息了后按原速返回， ∴小明返回家里的时间为， ∴小明的速度为， 小李返回学校的速度为， 两人出发时，小李和小明相距， ∴选项ACD都描述正确，不符合题意，只有B符合题意． 跟随训练1．小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”分析判断即可． 【详解】解：根据题意“儿童从学校放学回家，再到田野”，可知儿童离家距离先从大变小直到0，再慢慢变大直到一固定值，由此可知选项D符合题意． 跟随训练2．已知甲、乙两地相距，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，，分别表示小瑞、小安离开甲地的路程与小瑞离开甲地的时间的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地___________时，小安追上小瑞． 【答案】 【分析】根据速度等于路程除以时间，结合函数图象可求出两人的速度，设当小瑞离开甲地时小安追上小瑞，根据小安追上小瑞时两人的路程相同建立方程求解即可． 【详解】解：由函数图象可知，小瑞的速度为，小安的速度为，且小瑞出发1小时后小安才出发， 设当小瑞离开甲地时小安追上小瑞， 则， 解得， ∴当小瑞离开甲地时小安追上小瑞． 跟随训练3．莲都城区某一天气温（简称气温）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列问题： (1)气温y（）是时间t（）的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)这一天内，有几次气温为15（）？ 【答案】(1)气温y（）是时间t（h）的函数，理由见解析 (2)时的函数值为20，函数值的实际意义为10时的时候气温为 (3)一天内有4次气温为 【分析】（1）根据图象和函数的定义即可得出答案； （2）根据图象结合题意可得答案； （3）根据图象可得判断即可． 【详解】（1）解：气温y（）是时间t（）的函数， 理由：根据图象可知，对于每一时间t都对应一个气温y，符合函数的定义，所以气温y（）是时间t（）的函数； （2）解：由图象得出当时的函数值为20，函数值的实际意义为10时的时候气温为； （3）解：根据图象可知，一天内有4次气温为． 【点睛】此题为函数图象与实际结合的题型，关键是要培养从图形中找信息的能力． 【题型3 用描点法画函数图像】 解题思路： 严格按照“列表→描点→连线”三步操作，列表选值合理、计算准确，描点精准，连线平滑，标注清楚坐标轴、刻度和函数名称，作图规范整洁。 【典例3】．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】解：用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度． 根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 跟随训练1．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象的分析，正确分析解析式，得出函数图象的情况是解题的关键． 根据，得到当且时，，函数图象在轴下方，当时，，函数图象在轴上方，即可得到答案． 【详解】解：函数， 当且时，，函数图象在轴下方， 当时，，函数图象在轴上方， 小红得到的图象是 故选：A． 跟随训练2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 跟随训练3．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数图象逐项分析判断即可． 【详解】解：（1），故点在函数图象上，原说法正确； （2）函数与函数的图象有两个交点，和，故原说法正确， （3）函数的图象分布在第一三象限，在每个象限内，有y随x的增大而减小的性质，原说法错误； （4）若，则或，原说法错误； （5）当时函数的图象不存在，所以函数的图象不能与y轴相交，原说法正确； 正确的序号为：①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【题型4 实际问题中的函数图像】 解题思路： 先分析实际情境的变化过程，拆解不同阶段的变化规律（匀速、静止、加速、停止），对应图象的上升、水平、下降阶段，抓住自变量和函数值的实际意义，排除不符合实际的图象（如负数、无限延伸）。 解题口诀：实问题，拆过程，上升下降加水平，贴合实际选图形 【典例4】．新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从图象上获取信息，掌握好相关知识是关键． 结合图象变化的规律判断对应的路线即可． 【详解】解：从图象可知，小明离家距离变化规律为线性递增，保持不变，线性递减，最后返回起点，由此判断选项． 对于选项A：没有返回起点，故A错误； 对于选项B：符合图象变化规律，故B正确； 对于选项C：没有返回起点，故C错误； 对于选项D：圆弧段变化为非线性，且没有保持不变的部分，故D错误． 故选：B． 跟随训练1．某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（   ） A．在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B．酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C．发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D．葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 【答案】C 【分析】结合题中所给的函数图象对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：观察函数图象可得，在发酵全过程（小时），酵母菌数量先是随着时间增加而增加，达到峰值后又随着时间增加而减少，选项结论错误； 酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，增长速率由快变慢，一直在变化，选项结论错误； 发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果，选项结论正确； 葡萄糖浓度在发酵过程中一直在减少，且减少速度一直在变化，选项结论错误． 故选：． 跟随训练2．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 【答案】10 【分析】先求得调入水果的速度是4吨/天，销售水果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：调入水果的速度是吨/天， 当在第6天时，库存物资应该有24吨，在第8天时库存16吨， 所以销售水果的速度是（吨/天）， 所以剩余的16吨完全调出需要（天）， 故该水果市场这次水果销售活动（从开始进货到销售完毕）所用时间是（天）． 跟随训练3．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家离森林公园的距离是___________米； (2)小华在新华书店停留了___________分钟； (3)买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； (4)本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）从函数图象中得到纵轴代表离家距离的含义，从而得到答案． （2）根据线段水平、上升、下降分别代表的运动状态为停留、前进、返回，根据函数图像中的时间差得到停留时间． （3）在函数图象中读取信息，根据运动距离＝运动速度运动时间，计算即可得到答案． （4）根据行驶距离等于家到森林公园的距离加上折返的距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据函数图象知，小华家离森林公园的距离是米； 故答案为：； （2）解：(分钟)， ∴小华在新华书店停留了分钟； 故答案为：； （3）解：小华从新华书店到森林公园的路程为(米)， 所用时间为(分钟)， ∴小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是：(米/分)； 故答案为：； （4）解：根据函数图象可知，小华一共行驶了(米)． 故答案为：． 【题型5 利用函数图像解决实际问题】 解题思路： 先读懂图象横纵坐标的实际含义，结合图象特殊点坐标、变化趋势，提取数据信息，转化为数学计算，解决行程、销售、水量、高度等实际问题，注意单位统一和实际取值范围。 解题口诀：图像解实际，找点算数据，变化规律理清晰，实际意义要考虑 【典例5】．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（   ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A．光合作用产氧速率是温度的函数 B．随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C．为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D．最适合草莓的生长温度约为 【答案】C 【分析】观察光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的曲线，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、在至范围内，每个温度值对应唯一的光合作用产氧速率，符合函数定义，故A正确； 选项B、观察图象中代表呼吸作用耗氧速率的曲线，其走势是先上升后下降，因此，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小，故B正确； 选项C、观察图象发现，在大约和时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相等，在和时，草莓呼吸作用耗氧速率曲线在光合作用产氧速率曲线上方，此时植物不生长，因此为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间，故C错误； 选项D、最适合草莓的生长温度是光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率差值最大时对应的温度，观察图象，两条曲线之间的垂直距离在温度大约为时达到最大，故D正确， 故选：C． 跟随训练1．郧阳中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在400米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲乙之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（   ） ①甲到达终点时，乙还有80米未跑； ②甲用时； ③甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次； ④出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时长. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数图象的意义，相遇的意义，逐一判定求解即可． 【详解】解：由图象可得，甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次， 故③正确， 根据图象，可知，由此判定出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时短， 故④错误， 根据题意，得甲到达终点时，乙还有米未跑， 故选项①错误， 根据题意，得甲用时， 故选项②正确， 综上，正确的有2个． 跟随训练2．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 【答案】(1)时间 (2)80，15 【分析】（1）通过图象可得知自变量； （2）晶体有一定的熔点，表现在图象上，晶体熔化有一段图象是水平的，对应的温度就是晶体的熔点. 【详解】（1）解：由图可知，在这个变化过程中，时间是主动变化的量，温度随时间变化，所以自变量是时间； （2）解：对于晶体来说，熔化要吸热，在熔化的过程中，晶体温度不变， 由图象知，晶体在熔化过程中吸热，但温度保持不变，这个过程就是晶体的熔化过程，它对应的纵坐标的值，就是晶体的熔点， 从图中可知，该物质从第10分钟开始熔化，到第25分钟完全熔化完，所以熔化过程经历了； 跟随训练3．咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为．某种意式浓缩咖啡用的水冲泡，某种美式咖啡用的水冲泡．记放置时间为（单位：），意式浓缩咖啡的温度为（单位：），美式咖啡的温度为（单位：）． 记录的部分数据如下： 对以上数据进行分析，完成以下内容． (1)用函数图象更直观的呈现与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)探究活动中，美式咖啡放置时间约为______时，开始达到饮用最佳口感（结果保留小数点后一位） (3)如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前_____冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】根据表格数据画出与的函数图象，利用表格数据解答即可． 【详解】（1）解：与的函数图象如下： （2）解：由表格可知，当美式咖啡放置时间约为时，美式咖啡的温度为，开始达到饮用最佳口感； （3）解：由表格可知， 当美式咖啡放置时间约为时，意式浓缩咖啡放置时间约为或时，处于最佳饮用温度， 那么如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前冲泡意式浓缩咖啡． 05 过关•检测 1．某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，需注意的知识点为：高度增加先慢后快，函数图象的坡度将先缓后陡． 高度表示容器中水面上升高度；按不同的时间段，判断的变化． 【详解】解：容器的底面积先大后小，故水位上升速度先慢后快， 图象表现为先缓后陡， D选项的图象符合题意． 故选：D． 2．下列不能表示y是x的函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的识别． 能表示y是x的函数的图象，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，进而判断即可． 【详解】解：A、C、D图象中，对于每一个x值，y都有唯一的值与之对应，符合函数的定义， B图象中，对于每一个x值，y有两个值与之对应，不符合函数的定义， 故选：B． 3．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A、分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可；B、当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可；C、二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可；D、当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：大龙的速度为米/分，小磊的速度为米/分， 米， ，故A正确； 米， ，故B正确； 根据题意，得， 解得，故C错误； 根据题意，得， 解得，故D正确． 4．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象，数形结合是解题的关键． 在坐标系中描点，即可得到在同一直线上的三点，从而得到结论． 【详解】解：如图所示， 点和其它三个点不在同一条直线上， ∴错误的数据是， 故选：A． 5．在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（    ） A．菜籽油和水在加热前的温度均为 B．在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C．当加热时，菜籽油的温度是 D．菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的识别，根据图象中的数据，逐一判断即可解答，熟练读懂图中数据是解题的关键． 【详解】解：A、由图中数据可得菜籽油和水在加热前的温度均为，故A正确，不符合题意； B、由图中数据得到在水沸腾之前，水的温度上升速度是，故B错误，符合题意； C、由图中数据可得菜籽油温度上升速度是，所以当加热时，菜籽油的温度是，故C正确，不符合题意； D、菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，可得方程，解得， 故菜籽油温度比水高时，此时加热时间为，故D正确，不符合题意， 故选：B． 6．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 【答案】 D B A C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的变化情况，逐次分析即可求解． （1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案； （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案． 【详解】解（1）：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以用D刻画， 故答案为：D； （2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画, 故答案为：B． （3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画, 故答案为：A； （4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画, 故答案为：C． 7．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    【答案】24.5 【分析】本题主要考查了函数图像的识别， 根据题意和函数图像可知圆柱容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高为，从开始注水，到水刚漫过第一个实心圆柱用了9s，高度为，可先求出注水的速度为，再求出漫过“几何体”到注满所用时间，然后求和即可． 【详解】解：水流速度，则从实心圆柱上方至注满水所需时间为， ∴． 故答案为：24.5． 8．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 【答案】①④②③ 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至；②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为．据此可以得到答案． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0； ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系； ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系； ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0． 故顺序为①④②③． 故答案为：①④②③． 9．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 【答案】/ 【分析】设乙出发后经过x小时追上甲，根据乙追上甲时两人的路程相等列方程，求解即可． 【详解】解：设乙出发后经过x小时追上甲， 甲在段的速度是， 乙的速度为， ∴， 解得， ∴乙出发后经过追上甲． 10．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 【答案】24 【分析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，漫过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【详解】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚漫过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故答案为：24． 11．如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 【答案】(1)10 (2)15 (3) (4)图见解析 【分析】（1）逗留时间逗留结束时间逗留开始时间； （2）平均速度是总路程与总时间的比值； （3）首先计算出初始阶段的速度，然后用总路程除以这个速度得到所需时间； （4）匀速运动的路程与时间图象是一条经过原点的直线，路程与时间成正比，关系式为：路程速度时间． 【详解】（1）解：由图可知小明在途中逗留了； （2）解：小明回家的平均速度是； （3）解：刚出学校时的速度为：， 按照刚出学校时的速度一直走到家需要时间为：； （4）解：作图如下： 12．如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 【答案】(1)甲的速度较快 (2)在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇 【分析】（1）结合图象信息求出由题意得甲的速度为，乙的速度为，即可确定甲的速度较快； （2）由图象得当时，；当时，；当时，，从而得到在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 【详解】（1）解：由题意得甲的速度为，乙的速度为， ∴甲的速度较快； （2）解：由图象得当时，； 当时，； 当时，， 在出发8s之后，甲在乙的前面；在出发8s之前，甲在乙的后面；在出发8s时，甲、乙两人相遇． 13．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)20 (3)10或40 (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小 (5)小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由见解析 【分析】本题主要考查了画函数图象，表格表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握画函数图象的基本步骤． （1）先描点，再连线，即可得出与x的函数图象； （2）根据表格中的数据进行解答即可； （3）根据表格中的数据得出答案即可； （4）根据函数图象进行解答即可； （5）根据表格中数据进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：在温度为时两款电池相对容量相同． （3）解：在或下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量都是先增大后减小； （5）解：小林爸爸买车时应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车；理由如下： 根据表格中的数据可知：在温度较低时，磷酸铁锂电池的相对容量比锰酸锂电池的相对容量要大，所以考虑到续航持久性，应该选择配置磷酸铁锂电池的汽车． 14．阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 【答案】(1)4，4，图象见详解； (2)①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； (3)先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度． 【分析】本题考查画函数图象，图象的平移，解题的关键是综合运用相关知识解题． （1）求出a，b，利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：观察表格数据发现，当时，；当时，； 所以，； 函数图象如图所示： （2）解：函数的性质为：①该函数图象关于y轴对称：②该函数图象分别位于第一、二象限； （3）解：把函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可以得到函数的图象． 15．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为______，小明的速度为______； (2)直接写出点P的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 【答案】(1)12；18 (2)点P坐标为，点P的实际意义为：小明到达公园，小明和爸爸之间的距离为 (3)爸爸出发或后两人相距 【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，明确题意，从图象中获取信息是解题的关键． （1）根据题意和函数图象中的数据可以求得爸爸和小明的速度； （2）根据题意可以求出点P坐标以及点P的实际意义； （3）由图象可知小明和爸爸相距有两种情况，然后分别计算即可． 【详解】（1）解：根据图②和题意可知，爸爸骑行了， ∴爸爸的速度为：， ∴爸爸骑行的路程为：， ∴小明的速度为：， 故答案为：12；18； （2）解：设点P坐标为， 由图象①可知， ∴， ∴点P坐标为， ∴点P的实际意义为：小明到达公园，小明和爸爸之间的距离为； （3）解：设爸爸出发x小时后两人相距， ①小明出发后，根据题意得：， 解得：； ②小明到达终点后，， 解得：； 综上所述，爸爸出发或后两人相距． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.2.2函数的图像 （4知识点+5大题型+过关检测） 【题型1 函数图像识别】 2 【题型2 从函数的图像获取信息】 4 【题型3 用描点法画函数图像】 5 【题型4 实际问题中的函数图像】 7 【题型5 利用函数图像解决实际问题】 9 · 理解函数图象的定义，明确函数图象上的点与函数解析式的对应关系，区分函数图象与普通曲线的差异，能精准判断点是否在函数图象上。 · 熟练掌握描点法画函数图象的三个核心步骤，能规范画出简单函数的图象，掌握列表、描点、连线的规范操作，养成严谨的作图习惯。 · 学会从函数图象中提取关键信息，包括自变量取值、函数值、变化趋势、特殊点坐标等，能根据图象信息解决简单的计算和判断问题。 · 能将实际问题转化为函数图象问题，读懂实际情境对应的函数图象，理解图象横纵坐标、拐点、线段的实际意义，利用函数图象解决实际应用问题。03 知识•梳理 知识点1：函数图象的定义 一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数值y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在平面直角坐标系内描出对应的点，由这些点组成的图形，叫做这个函数的图象。 核心结论：图象上的点，坐标满足函数解析式；坐标满足解析式的点，一定在函数图象上（点与图象的对应关系） 知识点2：描点法画函数图象的步骤（三步必记） 画图口诀：列表选值要合理，描点准确不偏移，连线光滑顺次序 1. 列表：选取自变量x的一些值，通常选取便于计算的整数，从小到大排列，计算出对应的函数值y，列成表格，注意选取的数值要覆盖函数的取值范围，数量适中（一般5-7组）。 2. 描点：根据表格中每一对(x,y)的值，在平面直角坐标系中描出对应的点，确保点的横纵坐标精准，位置不偏移。 3. 连线：按照自变量x从小到大的顺序，把描出的点用平滑的曲线（或直线）顺次连接，不能画成折线，也不能断开，端点处根据题意确定是否延伸。 知识点3：函数图象的信息读取（核心技巧） 1. 看横纵坐标：横坐标代表自变量x，纵坐标代表函数值y，先明确两个轴的实际意义（尤其是实际问题）。 2. 找特殊点：起点、终点、拐点、与坐标轴的交点，这些点的坐标是解题关键。 3. 看变化趋势：图象上升→y随x增大而增大；图象下降→y随x增大而减小；水平线段→y值不变。 4. 看取值范围：图象在x轴上的覆盖范围是自变量取值范围，在y轴上的覆盖范围是函数值取值范围。 知识点4：实际问题中函数图象的注意事项 · 实际问题中，自变量x和函数值y通常有实际意义（如时间、路程、金额、数量），取值一般为非负数，图象通常只在第一象限。 · 图象中的拐点代表实际情境发生变化，水平线段代表状态不变，线段倾斜程度代表变化快慢。 · 实际问题的函数图象多为线段、射线，不是无限延伸的直线，需结合实际情境判断。 知识点5：易错警示 · 描点画图时，连线不能画成折线，必须用平滑曲线/直线连接。 · 混淆横纵坐标，把自变量和函数值搞反，导致读图、画图错误。 · 实际问题忽略自变量取值范围，画出无限延伸的图象。 · 判断点是否在图象上，直接代入坐标验证即可，不可凭肉眼判断。 04 题型•汇总 【题型1 函数图像识别】 解题思路： 根据函数的定义（对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应）判断，核心技巧：作垂直于x轴的直线，与图象只有一个交点，才是函数图象；同时结合函数变化趋势、自变量取值范围排除错误选项。 解题口诀：辨图像，用定义，竖线切割只一点，函数关系才成立 【典例1】．下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．回望93阅兵式的宏伟场面，为弘扬伟大的抗战精神，铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来，某中学组织学生代表，前往江西南昌的八一起义纪念馆参与“传承红色基因，赓续英雄血脉”主题研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听八一起义的专题讲解，历时分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了分钟．设师生队伍离学校的距离为米，离校的时间为分钟，则下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2．下列图象中，不能表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3．如图，“漏壶”是一种古代计时器．在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出．壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间；用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度，不考虑水量变化对压力的影响，则图______的图象适合表示y与x的对应关系． 【题型2 从函数的图像获取信息】 解题思路： 先明确横纵坐标代表的量，再找特殊点（交点、拐点、起止点），看图象升降趋势，根据坐标对应关系，求自变量或函数值，判断y随x的变化规律。 解题口诀：读图像，先看轴，找点看势记清楚，横自纵函不糊涂 【典例2】．小李家，小明家，学校依次在一条直线上．某天，小李和小明相约回家取球拍后去学校打球．他们同时从学校出发匀速返回家中，两人同时到家，小李到家取完球拍后立即以另一速度返回学校，小明取完球拍在家休息了后按原速返回，且同时到达学校（两人找球拍时间忽略不计）．小李和小明与学校距离y（m）与两人出发时间x（）的函数关系如图所示．下列描述中，错误的是（   ） A．小李家距离学校 B．小明速度为 C．小李返回学校的速度为 D．两人出发时，小李与小明相距 跟随训练1．小明听到弟弟诵读诗句“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”时，他想借助图象大致刻画出诗句中儿童从学校放学回家，再到田野这段时间内，离家距离的变化情况．下列图象中能大致刻画这段时间儿童离家距离与时间关系的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．已知甲、乙两地相距，小瑞、小安两人沿同一条公路从甲地出发到乙地，小瑞骑自行车，小安骑摩托车．如图，，分别表示小瑞、小安离开甲地的路程与小瑞离开甲地的时间的函数关系的图象．根据图中信息，当小瑞离开甲地___________时，小安追上小瑞． 跟随训练3．莲都城区某一天气温（简称气温）随时间变化如图所示． 请观察图象，解答下列问题： (1)气温y（）是时间t（）的函数吗？为什么？ (2)求当时的函数值，并说明函数值的实际意义． (3)这一天内，有几次气温为15（）？ 【题型3 用描点法画函数图像】 解题思路： 严格按照“列表→描点→连线”三步操作，列表选值合理、计算准确，描点精准，连线平滑，标注清楚坐标轴、刻度和函数名称，作图规范整洁。 【典例3】．如图，小颗做物理实验，用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．设弹簧秤的读数为y(单位：N)，铁块被提起的高度为x(单位：)．在铁块被提起过程中选取5组数对在直角坐标系中进行描点，则正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1．在数学函数图象的操作课上，小红利用网格画板研究函数的图象，请你根据函数学习的经验，结合解析式的结构，小红得到的图象是（   ） A． B． C． D． 跟随训练2．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 跟随训练3．小明同学利用学习函数的方法，在同一平面直角坐标系研究函数与的图象性质，他用描点法画函数图象，列出如下表格： x … 0 1 2 3 … … 0 1 2 3 … … 不存在 1 … 现有如下结论： （1）点在函数图象上； （2）方程有两个不相等的实数解，分别是或； （3）当时，函数有y随x的增大而增大的性质； （4）若，则， （5）函数的图象不能与y轴相交． 其中正确结论的序号为________． 【题型4 实际问题中的函数图像】 解题思路： 先分析实际情境的变化过程，拆解不同阶段的变化规律（匀速、静止、加速、停止），对应图象的上升、水平、下降阶段，抓住自变量和函数值的实际意义，排除不符合实际的图象（如负数、无限延伸）。 解题口诀：实问题，拆过程，上升下降加水平，贴合实际选图形 【典例4】．新情境  端午假期，小明早晨从家出发出门晨练，他不间断地匀速跑了后回家．已知小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数关系图象如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（    ）． A． B． C． D． 跟随训练1．某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（   ） A．在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B．酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C．发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D．葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 跟随训练2．某大型水果市场连续8天调进一批水果进行批发销售，在开始调进水果的第7天开始批发销售．若进货期间每天调入水果的数量与批发销售期间每天销售水果的数量各自保持不变，这个水果市场的水果存量S（吨）与时间t（天）间的函数关系如图所示，则该水果市场从开始进货到批发销售完毕所用的时间是____天． 跟随训练3．周末，小华和爸爸骑自行车从家出发去森林公园游玩，当他骑了一段路时，想起要在新华书店买一本书，于是原路返回到刚经过的新华书店，买到书后继续前往森林公园，如图是他离家的距离与时间的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小华家离森林公园的距离是___________米； (2)小华在新华书店停留了___________分钟； (3)买到书后，小华从新华书店到森林公园骑车的平均速度是___________米/分； (4)本次去森林公园途中，小华一共行驶了___________米． 【题型5 利用函数图像解决实际问题】 解题思路： 先读懂图象横纵坐标的实际含义，结合图象特殊点坐标、变化趋势，提取数据信息，转化为数学计算，解决行程、销售、水量、高度等实际问题，注意单位统一和实际取值范围。 解题口诀：图像解实际，找点算数据，变化规律理清晰，实际意义要考虑 【典例5】．光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某农科院为了更好地指导果农种植草莓，在至的气温，水资源及光照充分的条件下，得出光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率均随温度的变化而变化（如图），下列说法（仅考虑温度影响）不正确的是（   ） 小贴士 当呼吸作用耗氧速率大于光合作用产氧速率时，呼吸作用成为植物的主要活动，植物无法生长． A．光合作用产氧速率是温度的函数 B．随着温度升高，草莓的呼吸作用耗氧速率先增大后减小 C．为了避免植物无法生长，可以将温度设定在之间 D．最适合草莓的生长温度约为 跟随训练1．郧阳中学举办运动会，在1500米的项目中，参赛选手在400米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲乙之间的距离，现有以下4种说法，正确的有（   ） ①甲到达终点时，乙还有80米未跑； ②甲用时； ③甲到达终点时，途中甲乙相遇了两次； ④出发后甲乙第一次相遇比第二次相遇的用时长. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练2．下图是某种晶体熔化（晶体由固态到液态的过程）时，晶体的温度随时间变化的图象． (1)这一变化过程中，自变量是_______； (2)晶体从开始熔化到熔化结束的过程中保持温度不变，这一温度称为晶体的熔点，则该晶体的熔点为______℃，熔化过程持续了_______． 跟随训练3．咖啡的冲泡温度对咖啡的口感和风味有显著影响，不同的咖啡豆和冲泡方法需要不同的水温，咖啡的最佳饮用温度为．咖啡文化社团探究刚泡好的咖啡达到最佳饮用口感的时间．实验条件如下：实验在同一社团活动室进行，室温为．某种意式浓缩咖啡用的水冲泡，某种美式咖啡用的水冲泡．记放置时间为（单位：），意式浓缩咖啡的温度为（单位：），美式咖啡的温度为（单位：）． 记录的部分数据如下： 对以上数据进行分析，完成以下内容． (1)用函数图象更直观的呈现与，与之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)探究活动中，美式咖啡放置时间约为______时，开始达到饮用最佳口感（结果保留小数点后一位） (3)如果希望两种咖啡在某一时刻都处于最佳饮用温度，至多可提前_____冲泡意式浓缩咖啡．（结果保留小数点后一位） 05 过关•检测 1．某容器的截面如图所示，如果以固定的流量向这个空的容器注水，直至注满，下列图象中能大致表示水面高度与注水时间s之间的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不能表示y是x的函数的图象是（   ） A． B． C． D． 3．喜迎“十五运”，跟着赛事游河源！2025年11月8日，河源“媒体+”赋能农文旅的生动实践——以“乐跑埔前遇见美好”为主题的河源市首届“村跑”在源城区埔前镇举行．为了参加此次村跑，大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．图中的折线表示从开始到第二次相遇结束时，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数图象，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．用描点法画一次函数图象，某同学在列如下表格时有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） 0 1 2 3 2 A． B． C． D． 5．在验证“不同物质吸热能力不同”的试验中，数学兴趣小组准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度y（）与加热时间x（），绘制成图象如图②所示．则下列说法错误的是（    ） A．菜籽油和水在加热前的温度均为 B．在水沸腾之前，水的温度上升速度是 C．当加热时，菜籽油的温度是 D．菜籽油温度比水高时，此时加热时间为 6．下列各情境分别可以用下面哪幅图来近似刻画？ （1）一面冉冉上升的红旗_______； （2）匀速行驶的汽车_______； （3）足球守门员大脚开出去的球_______； （4）一杯越晾越凉的水_______． 7．如图①，底面积为的圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，下方实心圆柱的底面积为，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②所示，则图中的值为______．    8．以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系： ①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系. ②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系. ③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系. ④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系. 用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是__________ 9．如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发_________就追上甲． 10．如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②，若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为______． 11．如图描述了小明昨天放学回家的行程情况，请根据图象回答： (1)小明在途中逗留了______； (2)小明回家的平均速度是______； (3)如果他按照刚出学校时的速度一直走到家，______就可以到家； (4)今天小明放学后是匀速径直回家的，从学校走到家一共用了15min，请你在图中画出小明回家的路程与时间关系示意图． 12．如图，甲、乙两名学生均沿同一方向在同一直线上行走．，分别表示甲、乙两名学生在行走过程中离出发点的距离与行走时间之间的函数关系图象．试根据图象回答下列问题： (1)甲、乙两名学生中，谁的速度较快？ (2)在什么时间段内，甲在乙的前面？在什么时间段内，甲在乙的后面？在什么时间，甲、乙两人相遇？ 13．电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为锰酸锂电池在对应温度下的相对容量．（电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 (1)可以用函数刻画与x，与x之间的关系，在同一平面直角坐标系中，已经画出与x的函数图象，请画出与x的函数图象； (2)在温度为________________时两款电池相对容量相同． (3)在_________________下锰酸锂电池的相对容量与在下磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)随着温度的逐渐升高，两款电池的相对容量是如何变化的？ (5)由于冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 14．阅读与思考 函数的学习，我们经历了“认识函数表达式——画函数图象——利用函数图象研究函数性质——利用函数的图象与性质解决问题”的研究路径． 我们可以借鉴这种研究路径探究函数的图象与性质． 探究过程： 第一步：列表． x … 1 2 4 … y … 1 2 a b 2 1 … 第二步：描点、连线，画出的部分函数图象如图所示． 第三步：观察图象，总结性质．根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：__________，__________，并把函数图象补充完整； (2)参考反比例函数性质的表述，请你写出函数的两条性质； (3)类比二次函数图象的平移方式，函数的图象可以由函数的图象平移得到．请你直接写出一种平移方式． 15．小明和爸爸从家沿同一直道骑车去公园．爸爸先出发，一段时间后小明再出发，设爸爸骑行的时间为，两人离家的距离与x的关系如图①所示，两人之间的距离s与x的关系如图②所示． 请结合图象信息，解答下列问题： (1)爸爸的速度为______，小明的速度为______； (2)直接写出点P的坐标，并解释该坐标的实际意义； (3)爸爸出发多长时间后，两人相距？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $