第8章 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统整合了平面向量与三角函数核心知识，通过体系构建梳理向量数量积运算、三角恒等变换等内容，以知识框架串联知识点内在逻辑，帮助学生建立完整知识网络。 其亮点在于聚焦数学运算与逻辑推理素养，设计高考真题及分层培优例题，如向量数量积最值、三角函数式证明等，提供多种解法培养思维，助力学生巩固提升，教师可精准开展针对性复习教学。

章末整合提升 体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·必修第三册（B 版） 素养提升 素养提升 一、数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题 的过程.本章中向量数量积的运算、最值，三角函数式的求值都彰显核心 素养中的数学运算. 数学·必修第三册（B 版） 【例1】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷3题）已知向量a＝（0，1），b＝（2， x），若b⊥（b－4a），则x＝（　D　） A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 解析： 法一　因为b⊥（b－4a），所以b·（b－4a）＝0，所以b2 －4a·b＝0即4＋x2－4x＝0，故x＝2，故选D. D 培优一｜平面向量的数量积 法二　因为a＝（0，1），b＝（2，x），所以b－4a＝（2，x）－4 （0，1）＝（2，x）－（0，4）＝（2，x－4）.因为b⊥（b－4a），所 以b·（b－4a）＝0，所以2×2＋x（x－4）＝0，所以（x－2）2＝0，解 得x＝2，故选D. 数学·必修第三册（B 版） （2）已知向量a与b的夹角为120°，且｜a｜＝｜b｜＝2，则a在a－b 方向上的投影的数量为（　B　） A. 1 B. C. D. B 数学·必修第三册（B 版） 解析： 由向量的数量积公式可得a·（a－b）＝｜a｜｜a－b｜· cos ＜a，a－b＞，∴a在a－b方向上的投影的数量为｜a｜ cos ＜a，a－ b＞＝ ＝ .又a·b＝｜a｜｜b｜ cos ＜a， b＞＝2×2× cos 120°＝－2，｜a｜＝｜b｜＝2，∴｜a｜ cos ＜a，a －b＞＝ ＝ ，故选B. 数学·必修第三册（B 版） 培优二｜平面向量中的最值问题 【例2】　如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均 为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则 · 的最大值与最小 值的和为 ⁠. ​ 数学·必修第三册（B 版） 解析：因为 · ＝｜ ｜×｜ ｜ cos ＜ ， ＞，所以取｜ ｜最大同时 在 上的投影的数量最大，则 · 取得最大值.如图 1所示，当 A，C分别是最大的正三角形底边的端点，B点是C点上方且紧 靠C的一点时，｜ ｜最大，且 在向量 上的投影的数量也达到最 大，所以此时 · 取得最大值，最大值为3×（ 2＋ ）＝ . 如图2所示，当 B，C分别是最大的正三角 形的底边的端点，且 A 点是B，C之间的一 点时，＜ ， ＞＝π，此时 · ＝2 ×1×（－1）＝－2达到最小值.综上所述， · 的最大值与最小值的和为 －2＝ . 数学·必修第三册（B 版） 培优三｜三角函数式的求值 【例3】　（1）（2024·全国甲卷理8题）已知 ＝ ，则tan（α＋ ）＝（　B　） A. 2 ＋1 B. 2 －1 C. D. 1－ 解析： 根据题意有 ＝ ，即1－tan α＝ ，所以tan α＝1－ ，所以tan（α＋ ）＝ ＝ ＝2 －1，故选B. B 数学·必修第三册（B 版） （2）（2024·新高考Ⅰ卷4题）已知 cos （α＋β）＝m，tan αtan β＝2，则 cos （α－β）＝（　A　） A. －3m B. － C. D. 3m 解析： 因为 cos （α＋β）＝m，所以 cos α cos β－ sin α sin β＝m，而 tan αtan β＝2，即 ＝2，所以 sin α sin β＝2 cos α cos β，故 cos α cos β－2 cos α cos β＝m，即 cos α cos β＝－m，从而 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝3 cos α cos β＝－3m.故选A. A 数学·必修第三册（B 版） （3）（2024·新高考Ⅱ卷13题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α＋tan β＝4，tan αtan β＝ ＋1，则 sin （α＋β）＝ 　　－ 　　. － 解析： 法一　由题意得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－ 2 ，因为α∈（2kπ，2kπ＋ ），β∈（2mπ＋π，2mπ＋ ），k， m∈Z，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋π，（2m＋2k）π＋2π），k， m∈Z，又因为tan（α＋β）＝－2 ＜0，则α＋β∈（（2m＋2k）π＋ ，（2m＋2k）π＋2π），k，m∈Z，则 sin （α＋β）＜0，则 ＝－2 ，联立 sin 2（α＋β）＋ cos 2（α＋β）＝1，解得 sin （α＋β）＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 法二　由法一得tan（α＋β）＜0， sin （α＋β）＜0，故α＋β为第四象限 角.不妨在角α＋β的终边上选取一点P（1，－2 ），则r＝｜OP｜＝ ＝3，所以 sin （α＋β）＝－ . 法三　易得tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2 .又tan α＋tan β＝ ＋ ＝ ＝4，所以 sin （α＋β）＝4 cos α cos β.由α 为第一象限角，β为第三象限角，得 cos α＞0， cos β＜0，所以 sin （α＋ β）＝4 cos α cos β＜0.由tan（α＋β）＝－2 ，结合 sin 2（α＋β）＋ cos 2 （α＋β）＝1，得 sin （α＋β）＝－ . 数学·必修第三册（B 版） 二、逻辑推理 　　在逻辑推理核心素养的形成过程中，学生能够发现问题和提出问题； 能掌握推理的基本形式，表述论证的过程；能理解数学知识之间的联系， 构建知识框架；形成论据充分、条理清楚、合乎逻辑的思维品质. 数学·必修第三册（B 版） 【例4】　若三个不共线的向量 ， ， ，满足 · ＝ · ＝ · ＝0，则点O 为△ABC的（　A　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 A 培优四｜向量数量积的应用 数学·必修第三册（B 版） 解析：　由题意知 与 ＋ ＝ （E在∠BAC的外角平分 线上）垂直，所以点O在∠BAC的平分线上.同理，点O在∠ABC的平分 线上.故点O为△ABC的内心. 数学·必修第三册（B 版） 培优五｜三角函数式的化简与证明 【例5】　证明： ＝tan θ. 证明：法一　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 数学·必修第三册（B 版） 法二　左边＝ ＝ ＝ ＝tan θ＝右边. 数学·必修第三册（B 版） 培优六｜三角恒等变换与三角函数的综合问题 【例6】　已知函数f（x）＝2 sin x cos x－2 cos 2x（x∈R）. （1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间； 解： f（x）＝2 sin x cos x－2 cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－1＝2 sin （ 2x－ ）－1， ∴f（x）的最小正周期为π.令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，则kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）， ∴f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） （2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，然后把所得函数图象 上所有点的横坐标缩小到原来的 ，得到g（x）的图象，求函数g（x） 在［0， ］上的值域. 解： f（x）的图象向左平移 个单位长度得到y＝2 sin ［2（ x＋ ） － ］－1＝2 sin （ 2x＋ ）－1的图象， 再将y＝2 sin （ 2x＋ ）－1图象上所有点的横坐标缩小到原来 ，得到y ＝2 sin （ 4x＋ ）－1的图象， 数学·必修第三册（B 版） ∴g（x）＝2 sin （ 4x＋ ）－1， 当x∈［0， ］时，4x＋ ∈［ ， ］. 当4x＋ ∈［ ， ］，即x∈［0， ］时，g（x）单调递增， 当4x＋ ∈［ ， ］，即x∈［ ， ］时，g（x）单调递减， 又g（0）＝0，g（ ）＝1，g（ ）＝－2，∴g（x）在［0， ］上的 值域为[－2，1]. 数学·必修第三册（B 版） $