专题01 线框模型（培优考点练）物理人教版选择性必修第二册

专题01 线框模型 一、单选题 1．如图所示，长为2L、宽为L的矩形金属线框abcd静止在光滑绝缘水平面上，金属线框的质量为m、电阻为R，水平面上两个边长均为L的正方形区域MNPQ、ACDE内分别有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，PQ、AC边之间的距离也为L，现给金属线框一个水平向右、大小为的初速度，结果线框刚好能通过两个磁场，线框运动过程中，ab边始终与MN平行，线框ad、bc边始终在磁场外，则下列判断正确的是（　　） A．线框ab边通过磁场Ⅰ时，ab边中的电流方向从b到a B．线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中，通过线框截面的电荷量为 C．线框通过磁场Ⅰ与通过磁场Ⅱ线框中产生的焦耳热相等 D．若线框的初速度为，则线框通过两个磁场后的速度小于 【答案】B 【详解】A．根据右手定则可知，线框ab边通过磁场Ⅰ时，ab边中的电流方向从a到b，故A错误； B．设线框ab边通过磁场Ⅰ时通过线框截面的电荷量为q，则根据法拉第电磁感应定律可得 由于两个正方向区域内的磁场完全相同，所以矩形金属线框abcd的每个边通过磁场区域时，通过线框截面的电荷量都为q，则对于整个过程根据动量定理有 解得匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小为 所以，故B正确； C．线框通过磁场Ⅰ时受到的平均安培力大于通过磁场Ⅱ时受到的平均安培力，因此线框通过磁场Ⅰ产生的焦耳热大于通过磁场Ⅱ产生的焦耳热，故C错误； D．若线框的初速度为，则对于整个过程根据动量定理有 解得线框通过两个磁场后的速度为，故D错误。 故选B。 2．如图所示，在光滑的绝缘水平面上，三条相互平行、间距为d的虚线间存在图示方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，一直角三角形导体框放在水平面上，AB边与虚线平行，BC边长度为d，刚开始导体框的C点刚好在最左侧的虚线上。现给导体框施加一水平向右的外力F，使导体框向右做匀速直线运动。关于运动过程中产生的感应电流I的大小、感应电动势E的大小、外力F的大小以及外力功率P的大小随位移的变化规律正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，磁感应强度为，导体框的速度为v。 A．导体框向右运动的位移在0~d的过程中，导体框中的感应电流为 可知与成正比，图像是一条过原点的倾斜直线；当时感应电流的最大值为 当导体框向右运动的位移在d-2d的过程中，导体框中的感应电流为 可知与成正比，图像是一条倾斜的直线；当时感应电流的最大值为 导体框向右运动的位移在2d~3d 的过程中，导体框中的感应电流为 可知与成正比，图像是一条倾斜直线；当时感应电流的最大值为，故A错误； B．导体框向右运动的位移在0~d的过程中，从0开始向右移动的位移为，根据几何关系可得有效长度 导体框产生的感应电动势为 可知与成正比，图像是一条过原点的倾斜直线；当时感应电动势的最大值为 导体框向右运动的位移在d-2d的过程中，从d开始向右移动的位移为，根据几何关系可得线框在左边磁场的有效长度为 产生的感应电动势大小为 根据几何关系，可得线框在右边磁场的有效长度为 产生的感应电动势大小为 根据右手定则可知，两个电源产生的电流方向相同，两个电源相互叠加增强，则总的电动势为 可知与成正比，图像是一条的倾斜直线；当时感应电动势的最大值为 导体框向右运动的位移在2d~3d 的过程中，从2d开始向右移动的位移，根据几何关系可得线框的有效长度为 导体框产生的感应电动势为 可知与成正比，图像是一条倾斜的直线；当时感应电动势的最大值为，故B正确； C．导体框向右运动的位移在0~d的过程中，导体框所受的安培力大小为 由力的平衡条件得外力的大小为 可知与成正比，图像是一条过原点的开口向上的曲线；当时外力的最大值为 当导体框向右运动的位移在d-2d的过程中，导体框所受的安培力大小为 由力的平衡条件得外力的大小为 可知与成正比，图像是一条过开口向上的曲线；当时外力的最大值为 导体框向右运动的位移在2d~3d 的过程中，导体框所受的安培力大小为 由力的平衡条件得外力的大小为 可知与成正比，图像是一条曲线；当时外力的最大值为，故C错误； D．导体框向右运动的位移在0~d的过程中，外力F的功率为 可知与成正比，图像是一条过原点的抛物线；当时外力的功率最大值为 当导体框向右运动的位移在d-2d的过程中，力F的功率为 可知与成正比，图像是一条抛物线；当时外力的功率最大值为 导体框向右运动的位移在2d~3d 的过程中，外力F的功率为 可知与成正比，图像是一条过原点的抛物线；当时外力的功率最大值为，故D错误。 故选B。 3．如图所示为竖直放置的平行光滑导轨，导轨宽度为1m，两导轨之间接入阻值为2Ω的定值电阻。将质量为0.1kg、接入电路阻值为2Ω的金属棒垂直导轨放置，在金属棒下方有两处方向垂直于导轨所在平面向外的条形匀强磁场，磁感应强度均为1T。条形磁场宽度均为0.5m，金属棒与较近的磁场的上边界间距离、两处磁场区域间的距离均为0.2m。将金属棒由静止释放，金属棒在下方磁场中做匀速直线运动，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒通过上方磁场产生的热量为0.05J B．金属棒在下方磁场中的速度为6m/s C．金属棒通过上、下磁场时，通过金属棒的电荷量之比为 D．金属棒通过上方磁场所用时间较短 【答案】A 【详解】AB．由题意知，金属棒通过下方磁场时安培力等于重力 设在下方磁场中的速度为，则电动势为 回路电流 解得金属棒在下方磁场中的速度为 从静止开始到进入下方磁场上边界过程，由功能关系可得 解得，故A正确，B错误； C．由法拉第电磁感应定律可得平均电动势 平均电流 则金属棒通过磁场过程中通过金属棒的电荷量 联立可得，因此通过金属棒的电荷量相同，故C错误； D．由题意知金属棒通过上方磁场时速度始终小于，所以金属棒通过上方磁场用时较长，故D错误。 故选A。 4．如图所示，将一电阻为R的导线弯成边长为L的正六边形线框（构成闭合回路）。虚线MN右侧有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于线框所在的平面向里。线框以大小为v方向垂直于虚线MN的速度匀速进入磁场。线框的ab边始终与MN平行，对于线框进入磁场的过程，下列说法正确的是（   ） A．线框中的感应电流方向为顺时针方向 B．线框所受的最大安培力为 C．线框中的电流先变小后变大 D．通过线框横截面的电荷量为 【答案】B 【详解】A．在线框进入磁场的过程中，通过线框的磁通量逐渐增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向，A错误； B．在线框进入磁场的过程中，切割磁场的有效长度的最大值为2L，最大感应电动势，，B正确； C．线框进入磁场过程中切割磁场的有效长度先变大后变小，即感应电动势先变大后变小，则电流先变大后变小，C错误； D．通过线框横截面的电荷量，D错误。 故选B。 5．如图所示，光滑绝缘水平面的区域Ⅰ、Ⅱ内分别存在着垂直于平面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为2B、B，区域宽度均为L。0时刻边长为L、电阻为R的单匝正方形金属线框右边框落在区域Ⅰ的左边界处，金属线框在外力作用下以垂直于区域边界向右、大小为v的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．线框进入区域Ⅰ的过程中受到的安培力大小为 B．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中整体产生的感应电动势为2BLv C．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中通过线框的电荷量为 D．线框从开始进入区域Ⅰ到完全离开区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热为 【答案】D 【详解】A．线框进入区域Ⅰ的过程中产生的感应电动势为 由欧姆定律得 受到的安培力大小为，故A错误； B．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中整体产生的感应电动势为，故B错误； C．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中的电流为 通过线框的电荷量为，故C错误； D．线框进入区域Ⅰ的过程中产生的焦耳热为 线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中产生的焦耳热为 线框完全进入Ⅱ区域到完全离开区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热为 线框从开始进入区域Ⅰ到完全离开区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热为，故D正确。 故选D。 6．如图所示，正方形线框 abcd 有一半处在足够大的匀强磁场中，虚线为磁场的边界。现使线框以 cd边为轴匀速转动，已知线框转动的周期为T。线框从图示位置转动一圈的过程中线框中感应电流随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．初始状态分析：匀强磁场方向垂直纸面向里，图示位置线框平面在纸面内，线框法线方向与磁场平行，此时穿过线框的磁通量最大，根据法拉第电磁感应定律，磁通量变化率为0，因此感应电流为，A选项中电流最大，故A错误。 BD．电流达到最大值（负峰值），不符合规律，故B、D错误。 C．和电流均为，峰值出现在和，符合电磁感应规律（转动过程中磁通量随转角按余弦规律变化，感应电流按正弦规律变化，且整个线框进入磁场后，电动势峰值符合变化规律）。故C正确。 故选C。 二、多选题 7．如图所示，固定光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上宽度为的区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直斜面向上的矩形匀强磁场（图中未画出），一个质量为、边长为的正方形导线框，从磁场区域上方由静止沿斜面下滑，开始下滑时，边到磁场上边界的距离为，当边（始终与磁场边界平行）刚到达处时，导线框恰好开始匀速下滑。重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．导线框匀速下滑的速度大小为 B．当边在磁场区域中运动时，导线框中的电流方向为 C．导线框的电阻为 D．在导线框通过磁场区域的过程中，导线框中产生的焦耳热为 【答案】AC 【详解】A．设导线框匀速下滑的速度大小为，根据功能关系有 解得，故A正确； B．当边在磁场区域中运动时，根据右手定则可知，导线框中的电流方向为，故B错误； C．根据平衡条件可得 其中 解得导线框的电阻，故C正确； D．根据能量守恒定律可知，在导线框通过磁场的过程中，导线框中产生的焦耳热，故D错误。 故选AC。 8．如图所示，相距为的两水平虚线间存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，正方形金属线框质量为，电阻为，边长为（）。从距离磁场上边界一定高度处由静止释放，线框刚好匀速进入磁场。线框完全出磁场瞬间的速度为，已知重力加速度为，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．线框开始进入磁场时的速度大小为 B．线框从进入磁场到完全离开磁场瞬间，所用的时间为 C．全过程中线框产生的焦耳热为 D．线框离开磁场过程中，通过线框某横截面的电荷量为 【答案】AC 【详解】A．设线框进磁场时的速度为，由于线框匀速进入磁场，受力平衡，则安培力 又因为，， 解得，A正确； B．平均安培力 则线框进磁场过程安培力冲量大小为 线框出磁场过程安培力冲量大小为 所以全过程中线框所受安培力的冲量大小为 线框从进入磁场到完全离开磁场瞬间，由动量定理可得 则总时间，B错误； C．全过程由能量守恒定律可得 解得，C正确； D．根据、、 可得线框离开磁场过程中，通过线框某横截面的电荷量为，D错误。 故选AC。 9．如图甲所示，光滑且足够长的固定斜面与水平面的夹角为，斜面上两平行水平虚线和之间有垂直于斜面向下的匀强磁场；以下区域有垂直于斜面向上的匀强磁场，两侧匀强磁场的磁感应强度大小相等。正方形导线框四条边的阻值相等，时刻将处于斜面上的导线框由静止释放，开始释放时边恰好与虚线重合，之后导线框的运动方向始终垂直于两虚线，其运动的图像如图乙所示，时间内导线框的速度大小为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．线框宽度小于第一个磁场宽度 B．时间内，导线框的速度大小为 C．时间内，导线框两点间的电势差为0 D．时间内，导线框的位移大小为 【答案】BCD 【详解】A．0～t1时间内，导线框的加速度逐渐减小，方向沿导轨向上，当加速度减为零时线圈匀速运动。若线框宽度小于第一个磁场宽度，则当线圈全部进入第一个磁场后，加速度突然增加变为gsin30°，线圈将有一段匀加速运动的过程，故A错误； B．设导线框每边电阻为R，边长为L。t1-t2间内，导线框做匀速运动，则有mgsin30°=F安1 又 联立得 t3-t4时间内，设导线框的速度大小为v，则mgsin30°=F安2 又 联立得 综合可得，故B正确； C．t3-t4时间内，设ab边和cd边产生的感应电动势为E，则电流为 导线框两点间的电势差为，故C正确； D．t2～t3时间内，设导线框的位移大小为x。取沿导轨向下为正方向，由动量定理得 其中 结合 联立解得，故D正确。 故选BCD。 10．福建舰采用先进的电磁弹射系统，其简化结构图如图所示。虚线MN的右侧存在一方向垂直于纸面向里的磁场，一边长为l的正方形单匝金属线框abcd静置于光滑绝缘水平面上，线框质量为m，单位长度的电阻为r，ab边在虚线MN左侧且紧靠虚线MN。现让磁场的磁感应强度B随时间t按照的规律变化，则下列说法正确的是（　　） A．离开磁场的过程中线框受向左的冲量 B．线框在时刻的电流方向为adcba C．线框离开磁场时的动能大于安培力对线框做的功 D．线框在时刻的加速度大小为 【答案】AD 【详解】AB．磁场增大，则磁通量增大，根据楞次定律可知，线框在时刻的电流方向为abcda，dc边受向左的安培力，则离开磁场的过程中线框受向左的冲量，故A正确，B错误； C．由动能定理可知，安培力对线框做的功就等于线框动能的变化量，由于线框初始状态的动能为零，故安培力做的功等于线框离开磁场时的动能，故C错误； D．根据法拉第电磁感应定律有 根据闭合电路欧姆定律有 在时刻的磁场大小为，加速度大小为 解得，故D正确； 故选AD。 11．有一边长为L、质量为m、总电阻为R的n匝正方形导线框，自磁场上方某处以某一水平初速度v0（未知）无旋转抛出，导线框下边刚进入区域Ⅰ磁场时，速度的方向与水平方向成45°夹角。如图所示。区域Ⅰ、Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，二者宽度分别为L、H，且。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．导线框离开区域Ⅱ的速度大小为 B．导线框下边刚进入区域Ⅱ时的加速度大小为3g，方向竖直向上 C．导线框在磁场中运动的最小速度大小可能比v0还要小 D．导线框自开始进入区域Ⅰ至刚完全离开区域Ⅱ的时间为 【答案】BD 【详解】A．导体框能够匀速离开区域II，说明此时安培力等于导体框的重力，此时产生的感应电动势为 安培力为 可解得竖直方向速度 由于进入区域I时导体框也做匀速运动，说明进入区域I时的竖直方向速度也是，此时导体框的速度方向与水平方向角度为45°，可知 导体框的水平方向速度是不变，所以合速度为，故A错误； B．根据计算可知导体框刚进入区域II时，竖直方向的速度也是，此时上下边框分别在两个磁场区域中，回路产生的感应电动势为 上下边框都受到安培力的作用，此时的合力为 所以加速度为，方向向上，故B正确； C．导体框在穿越区域I与区域II的过程中竖直方向上做减速运动，全部进入区域II后只受到重力的作用，所以全部进入区域II时速度是最小的，从全部进入磁场区域II到刚要穿出区域II的过程，竖直方向上做匀加速直线运动，此时有 所以竖直方向的最小速度为 此时合速度为，故C错误； D．导体框从进入磁场区域I到离开磁场区域II的过程中，竖直方向的初末速度相同，全程在竖直方向的动量定理为 导体框受到的安培力作用共分为三个阶段，第一阶段刚进入磁场I的过程，第二阶段导体框进入磁场区域II的过程，第三个阶段是穿出磁场区域II的过程，第一与第三阶段受到的安培力大小相同，此时合冲量为 第二阶段的安培力冲量为 联立方程后可解得，故D正确。 故选BD。 12．如图甲所示，用绝缘细绳将边长为L、总电阻为R的n匝正方形闭合导线框吊在天花板下，线框上下两边水平，在线框的中间位置以下区域分布有与线框平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．时间内，线圈中的电流方向为顺时针 B．时间内，绳子的拉力都小于线框的重力 C．时间内，穿过线圈的磁通量变化量大小为 D．时间内，流过线圈某横截面的电荷量为 【答案】CD 【详解】A．线框在磁场中的面积 ， 时间内，向里的磁通量逐渐增大，根据楞次定律，感应电流的磁场方向垂直纸面向外，由右手螺旋定则可知，电流方向为逆时针，故A错误； B．时间内，线框受到的安培力向上，绳子的拉力小于线框的重力，时间内，线框中向里的磁通量减小，线圈中的电流方向为顺时针，线框受到的安培力向下，绳子的拉力大于线框的重力，故B错误； C．磁通量与线圈匝数无关，时磁通量 ，时磁通量 ，因此磁通量变化量大小 ，故C正确； D．流过横截面的电荷量公式为 ，，得 ，故D正确。 故选CD。 13．如图所示，在竖直平面（纸面）内存在方向垂直纸面向里的磁场。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形导体框（底边水平），从高度为L、磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ上方由静止释放。导体框释放后，恰好匀速通过区域Ⅰ，随即进入高度为、磁感线均匀分布的变化磁场区域Ⅱ。从导体框释放开始计时，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度B随时间t按的规律变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为 B．导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为 C．导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热为 D．导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，通过导体框的电流恒为 【答案】AD 【详解】AB．设导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为h，导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为v，有 对导体框，根据物体的平衡条件有 其中 解得，，故A正确，B错误； C．根据能量守恒定律可知，导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热，故C错误； D．导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，产生的感应电动势恒为 感应电流恒为，故D正确。 故选AD。 14．如图所示，光滑水平桌面上放有一个由均匀导线绕成的正方形单匝线圈PQMN，在线圈对角线PM的一侧，存在垂直于桌面向下的匀强磁场。现从图示位置处开始，沿垂直MN边的方向，以速度将线框匀速拉入匀强磁场，在此过程中（　　） A．点电势始终高于点电势 B．线圈中的感应电动势逐渐减小 C．线圈所受安培力的方向始终与运动方向相反 D．拉力做功的功率逐渐减小 【答案】BD 【详解】A．由右手定则可知，点电势始终低于点电势，A错误； B．线圈切割磁感线的有效长度等于MN的长度减去PQ边进入磁场部分的长度，可知切割磁感线的有效长度逐渐减小，根据E=BLv，则线圈中的感应电动势逐渐减小，B正确； C．线圈进入磁场时，受安培力的有效长度为线圈与虚线部分交点的长度（AB段），线圈受的安培力方向垂直这部分长度向下，可知所受安培力的方向竖直向下，不是与运动方向相反，C错误； D．拉力做功的功率等于电功率，由于，因电动势逐渐减小，可知电功率逐渐减小，即拉力的功率逐渐减小，D正确。 故选BD。 15．如图所示，正方形导体线框abcd的质量为m，边长为L，匝数为N，总电阻为R。平面直角坐标系xOy的x轴水平向右，y轴竖直向下，x轴以下有一垂直于xOy平面的磁场，其在x方向均匀分布，沿y轴方向大小变化规律为（k为常数且）。现从O点上方距离x轴高度为h处以某一初速度将导体线框abcd水平抛出，在线框下落过程中，线框平面始终位于竖直平面内，ab边始终水平。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框在x方向一直做匀速直线运动 B．线框在磁场中受到的安培力方向竖直向上 C．线框在y方向最终做匀速运动，速度大小为 D．线框完全进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为 【答案】ABD 【详解】AB．线框在磁场中斜向下运动时产生顺时针方向的感应电流，线圈的两竖直边受安培力等大反向，则水平方向受力为零做匀速直线运动；水平下边受安培力竖直向上，水平上边受安培力竖直向下，但因下边受安培力大于上边，可知竖直方向上受向上的安培力，选项AB正确； C．当线框受到的安培力等于重力时，达到最终速度，则 其中的，解得，C错误； D．线框完全进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为，D正确。 故选ABD。 16．如图所示，水平光滑绝缘桌面上存在宽度均为、大小均为B的有界匀强磁场，Ⅰ区域的磁感应强度方向垂直纸面向外，Ⅱ区域的磁感应强度方向垂直纸面向里。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形金属线框以初速度水平向右运动，当金属框的cd边刚好进入Ⅱ区域磁场时，线框的速度刚好为零。则（　　） A．线框ab边进入Ⅰ磁场时，ab两端的电压为 B．线框ab边在Ⅱ区域磁场运动的过程中感应电流方向沿 C．线框进入Ⅰ区域磁场的时间小于在Ⅱ区域磁场运动的时间 D．金属线框的最大加速度为 【答案】BC 【详解】A．线框ab边进入Ⅰ磁场时，感应电动势 ab边两端的电压，故A错误。 B．线框ab边在Ⅱ磁场区域运动的过程中，根据右手定则或楞次定律可知，感应电流的方向为adcba，故B正确。 C．线框ab边在Ⅰ磁场中运动的平均速度大于在Ⅱ磁场中运动的平均速度，由知，线框进入Ⅰ区域磁场的时间小于在Ⅱ区域磁场运动的时间。故C正确。 D．线框刚进入Ⅰ磁场区域时 设线框ab边进入Ⅱ磁场的速率为v，由动量定理，线框ab边在Ⅰ磁场的过程中， 有 其中 线框ab边在Ⅱ磁场的过程中 其中 解得 线框刚进入磁场Ⅱ时 安培力 由牛顿第二定律得 线框的最大加速度为，故D错误。 故选BC。 三、解答题 17．如图所示，两足够长的平行金属导轨平面与水平面间夹角θ=30°，导轨电阻忽略不计，二者相距L=1m，匀强磁场垂直导轨平面，框架上垂直放置一根质量为m=0.1 kg的光滑导体棒ab，并通过细线、光滑滑轮与一质量M=0.2 kg、边长l=0.5m正方形线框相连，金属框下方h=1.0m处有垂直纸面方向的长方形有界匀强磁场；现将金属框由静止释放，当金属框刚进入磁场时，电阻R上产生的热量为Q1=0.318J，且金属框刚好能匀速通过有界磁场。已知两磁场区域的磁感应强度B大小相等。定值电阻R=1Ω。导体棒ab和金属框单位长度电阻r=1Ω/m，g=10m/s2，求： (1)两磁场区域的磁感应强度B的大小； (2)金属框刚离开磁场时系统损失的机械能； (3)金属框下方没有磁场时棒的最大速度vm。 【答案】(1)1T (2)2.136J (3) 【详解】（1）由题意知，导体棒ab接入电路的电阻为 与定值电阻R相等，故金属框由静止释放到刚进入磁场过程中金属导轨回路产生的总热量为 此过程由动能定理得 解得v=2.4m/s 金属框的总电阻为 金属框在磁场中做匀速运动时导体棒ab产生的电动势为，则有 金属框产生的电动势， 金属框在磁场中做匀速运动时由平衡条件得 得B=1T （2）由于金属框刚好能做匀速通过有界磁场，说明磁场宽度与线框边长相等 根据能量守恒得 得 （3）金属框下方没有磁场，棒的速度达到最大后做匀速运动，设此时速度为，则 根据平衡条件得 解得 18．某款电磁阻尼拉力健身器材的简化装置如图所示。矩形框架的边长，绕有匝数匝、电阻的闭合金属线圈，框架和线圈的总质量。将框架静置于下端固定的竖直弹簧上（不拴接），弹簧的压缩量，框架上端通过轻质绝缘绳索跨过轻质定滑轮与轻质拉杆相连。在区域内存在方向垂直框架平面向内、磁感应强度的匀强磁场，磁场边界与之间的距离。一位健身爱好者用恒力向下拉动拉杆，框架由静止开始竖直向上运动。边上升到时，弹簧恰好恢复原长，上升到时，健身者松手，装置触发复位机制使框架回到初始位置，整个过程框架与定滑轮不相碰。已知重力加速度，不计一切阻力。求： (1)弹簧的劲度系数k； (2)边刚进入磁场时框架的速度和加速度a的大小； (3)若边通过磁场的时间，边运动到时框架的速度大小。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）框架初始处于静止状态，由力的平衡条件得 解得 （2）框架从静止开始竖直向上运动到边刚进入磁场的过程，由动能定理得 由功的定义得 联立解得 由法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律得 框架边刚进入磁场时，由牛顿第二定律得 联立解得 （3）框架边通过磁场的过程中，由动量定理得， ， 联立解得 19．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为、边长为的正方形超导线框，其右侧有一长度大于、宽度为的长方形区间存在方向垂直桌面向下、大小为的匀强磁场。建立坐标原点位于磁场左边界中点、水平向右为正方向坐标轴，超导线框在水平桌面上的位置坐标用其右边界的中点来描述。当超导线框的位置坐标时，表示超导线框恰好开始进入磁场，此时。已知超导线框开始进磁场时的初速度，在运动过程中超导线框边长始终保持平行磁场边界。由于超导电阻为零，当超导线框进入磁场时会产生感应电流，该感应电流产生的磁场会阻止超导线框的磁通量变化，以保持超导线框的磁通量不变。已知超导线框的电感为，若超导线框中有电流，则由此电流产生的磁通量为。 (1)当超导线框运动至处时，求其中的电流； (2)超导线框运动至的过程中，求安培力所做的功与安培力的冲量； (3)求超导线框最终的速度和超导线框具有的磁能。 【答案】(1) (2)，，沿负轴方向 (3)见详解 【详解】（1）超导线框在运动过程中磁通量不变，当超导线框运动至处时，长方形区间对线框的磁通量与线框由自感产生的磁通量等大反向，满足 解得 （2）超导线框在进入磁场的过程中，回路的电流满足 故线框受到的安培力为 安培力所做的功满足 将代入，解得 线框运动到的速度可由动能定理求得，满足 解得 因此安培力的冲量为 方向沿负轴方向 （3）线框的初动能为 ①若，由 可知线框的右边可出磁场，左边仍在磁场中。因超导线框的磁通量不变，可知电流方向不变，超导线圈受力方向与速度方向一致，沿轴方向加速运动，根据对称性知，超导线圈以速度全部出磁场，电流减小至0，磁场能也为零。 ②若，超导线框完全进入磁场时减速至0。因超导线框的磁通量不变，电流最大值为 磁场能最大 20．如图所示，有一边长为d、质量为m的正方形单匝线框abcd，放在光滑水平面上。空间有垂直水平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场区域，匀强磁场区域左右边界距离大于d，已知线框总电阻为R，cd边刚进入磁场时的速度为。求： (1)cd边刚进入磁场时，cd两端的电压； (2)从cd边刚进入磁场到ab边刚好进入磁场的过程中，通过线框某截面的电荷量q； (3)若cd边刚进入磁场时的速度，ab边刚进入磁场的速度，ab边刚离开磁场的速度，求的比值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）线框cd刚进入磁场中，产生的感应电动势为 线框中的感应电流为 根据右手定则可知，线框中的电流方向为abcd，因此c点电势低于d点电势，故cd两端的电压为 （2）根据法拉第电磁感应定律可知，从cd边刚进入磁场到ab边刚好进入磁场时，产生的平均电动势 平均电流 又因为 联立解得，从cd边刚进入磁场到ab边刚好进入磁场的过程中，通过线框某截面的电荷量 （3）从线框cd边进入磁场到ab边进入磁场的过程中，根据动量定理可得 线框进入磁场中，线框受到的安培力为 其中 整理可得 解得 同理可知，ab边刚好离开时，则有 解得 故 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 线框模型 一、单选题 1．如图所示，长为2L、宽为L的矩形金属线框abcd静止在光滑绝缘水平面上，金属线框的质量为m、电阻为R，水平面上两个边长均为L的正方形区域MNPQ、ACDE内分别有垂直于纸面向外的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小相等，PQ、AC边之间的距离也为L，现给金属线框一个水平向右、大小为的初速度，结果线框刚好能通过两个磁场，线框运动过程中，ab边始终与MN平行，线框ad、bc边始终在磁场外，则下列判断正确的是（　　） A．线框ab边通过磁场Ⅰ时，ab边中的电流方向从b到a B．线框ab边通过磁场Ⅰ的过程中，通过线框截面的电荷量为 C．线框通过磁场Ⅰ与通过磁场Ⅱ线框中产生的焦耳热相等 D．若线框的初速度为，则线框通过两个磁场后的速度小于 2．如图所示，在光滑的绝缘水平面上，三条相互平行、间距为d的虚线间存在图示方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，一直角三角形导体框放在水平面上，AB边与虚线平行，BC边长度为d，刚开始导体框的C点刚好在最左侧的虚线上。现给导体框施加一水平向右的外力F，使导体框向右做匀速直线运动。关于运动过程中产生的感应电流I的大小、感应电动势E的大小、外力F的大小以及外力功率P的大小随位移的变化规律正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图所示为竖直放置的平行光滑导轨，导轨宽度为1m，两导轨之间接入阻值为2Ω的定值电阻。将质量为0.1kg、接入电路阻值为2Ω的金属棒垂直导轨放置，在金属棒下方有两处方向垂直于导轨所在平面向外的条形匀强磁场，磁感应强度均为1T。条形磁场宽度均为0.5m，金属棒与较近的磁场的上边界间距离、两处磁场区域间的距离均为0.2m。将金属棒由静止释放，金属棒在下方磁场中做匀速直线运动，重力加速度g取，则下列说法正确的是（　　） A．金属棒通过上方磁场产生的热量为0.05J B．金属棒在下方磁场中的速度为6m/s C．金属棒通过上、下磁场时，通过金属棒的电荷量之比为 D．金属棒通过上方磁场所用时间较短 4．如图所示，将一电阻为R的导线弯成边长为L的正六边形线框（构成闭合回路）。虚线MN右侧有磁感应强度大小为B的匀强磁场，方向垂直于线框所在的平面向里。线框以大小为v方向垂直于虚线MN的速度匀速进入磁场。线框的ab边始终与MN平行，对于线框进入磁场的过程，下列说法正确的是（   ） A．线框中的感应电流方向为顺时针方向 B．线框所受的最大安培力为 C．线框中的电流先变小后变大 D．通过线框横截面的电荷量为 5．如图所示，光滑绝缘水平面的区域Ⅰ、Ⅱ内分别存在着垂直于平面向里、向外的匀强磁场，磁感应强度大小分别为2B、B，区域宽度均为L。0时刻边长为L、电阻为R的单匝正方形金属线框右边框落在区域Ⅰ的左边界处，金属线框在外力作用下以垂直于区域边界向右、大小为v的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．线框进入区域Ⅰ的过程中受到的安培力大小为 B．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中整体产生的感应电动势为2BLv C．线框穿过区域Ⅰ、Ⅱ分界线的过程中通过线框的电荷量为 D．线框从开始进入区域Ⅰ到完全离开区域Ⅱ的过程中产生的焦耳热为 6．如图所示，正方形线框 abcd 有一半处在足够大的匀强磁场中，虚线为磁场的边界。现使线框以 cd边为轴匀速转动，已知线框转动的周期为T。线框从图示位置转动一圈的过程中线框中感应电流随时间变化的图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图所示，固定光滑绝缘斜面的倾角为，斜面上宽度为的区域内存在磁感应强度大小为、方向垂直斜面向上的矩形匀强磁场（图中未画出），一个质量为、边长为的正方形导线框，从磁场区域上方由静止沿斜面下滑，开始下滑时，边到磁场上边界的距离为，当边（始终与磁场边界平行）刚到达处时，导线框恰好开始匀速下滑。重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．导线框匀速下滑的速度大小为 B．当边在磁场区域中运动时，导线框中的电流方向为 C．导线框的电阻为 D．在导线框通过磁场区域的过程中，导线框中产生的焦耳热为 8．如图所示，相距为的两水平虚线间存在垂直纸面向里，磁感应强度大小为的匀强磁场，正方形金属线框质量为，电阻为，边长为（）。从距离磁场上边界一定高度处由静止释放，线框刚好匀速进入磁场。线框完全出磁场瞬间的速度为，已知重力加速度为，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．线框开始进入磁场时的速度大小为 B．线框从进入磁场到完全离开磁场瞬间，所用的时间为 C．全过程中线框产生的焦耳热为 D．线框离开磁场过程中，通过线框某横截面的电荷量为 9．如图甲所示，光滑且足够长的固定斜面与水平面的夹角为，斜面上两平行水平虚线和之间有垂直于斜面向下的匀强磁场；以下区域有垂直于斜面向上的匀强磁场，两侧匀强磁场的磁感应强度大小相等。正方形导线框四条边的阻值相等，时刻将处于斜面上的导线框由静止释放，开始释放时边恰好与虚线重合，之后导线框的运动方向始终垂直于两虚线，其运动的图像如图乙所示，时间内导线框的速度大小为，重力加速度为，下列说法正确的是（　　） A．线框宽度小于第一个磁场宽度 B．时间内，导线框的速度大小为 C．时间内，导线框两点间的电势差为0 D．时间内，导线框的位移大小为 10．福建舰采用先进的电磁弹射系统，其简化结构图如图所示。虚线MN的右侧存在一方向垂直于纸面向里的磁场，一边长为l的正方形单匝金属线框abcd静置于光滑绝缘水平面上，线框质量为m，单位长度的电阻为r，ab边在虚线MN左侧且紧靠虚线MN。现让磁场的磁感应强度B随时间t按照的规律变化，则下列说法正确的是（　　） A．离开磁场的过程中线框受向左的冲量 B．线框在时刻的电流方向为adcba C．线框离开磁场时的动能大于安培力对线框做的功 D．线框在时刻的加速度大小为 11．有一边长为L、质量为m、总电阻为R的n匝正方形导线框，自磁场上方某处以某一水平初速度v0（未知）无旋转抛出，导线框下边刚进入区域Ⅰ磁场时，速度的方向与水平方向成45°夹角。如图所示。区域Ⅰ、Ⅱ中匀强磁场的磁感应强度大小均为B，二者宽度分别为L、H，且。导线框恰好匀速进入区域Ⅰ，一段时间后又恰好匀速离开区域Ⅱ，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．导线框离开区域Ⅱ的速度大小为 B．导线框下边刚进入区域Ⅱ时的加速度大小为3g，方向竖直向上 C．导线框在磁场中运动的最小速度大小可能比v0还要小 D．导线框自开始进入区域Ⅰ至刚完全离开区域Ⅱ的时间为 12．如图甲所示，用绝缘细绳将边长为L、总电阻为R的n匝正方形闭合导线框吊在天花板下，线框上下两边水平，在线框的中间位置以下区域分布有与线框平面垂直的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示，则下列说法中正确的是（　　） A．时间内，线圈中的电流方向为顺时针 B．时间内，绳子的拉力都小于线框的重力 C．时间内，穿过线圈的磁通量变化量大小为 D．时间内，流过线圈某横截面的电荷量为 13．如图所示，在竖直平面（纸面）内存在方向垂直纸面向里的磁场。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形导体框（底边水平），从高度为L、磁感应强度大小为的匀强磁场区域Ⅰ上方由静止释放。导体框释放后，恰好匀速通过区域Ⅰ，随即进入高度为、磁感线均匀分布的变化磁场区域Ⅱ。从导体框释放开始计时，区域Ⅱ内磁场的磁感应强度B随时间t按的规律变化，重力加速度大小为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．导体框在区域Ⅰ中匀速下落的速度大小为 B．导体框释放时，其底边距区域Ⅰ上边界的高度为 C．导体框在穿过区域Ⅰ的过程中，产生的焦耳热为 D．导体框完全在区域Ⅱ中运动的过程中，通过导体框的电流恒为 14．如图所示，光滑水平桌面上放有一个由均匀导线绕成的正方形单匝线圈PQMN，在线圈对角线PM的一侧，存在垂直于桌面向下的匀强磁场。现从图示位置处开始，沿垂直MN边的方向，以速度将线框匀速拉入匀强磁场，在此过程中（　　） A．点电势始终高于点电势 B．线圈中的感应电动势逐渐减小 C．线圈所受安培力的方向始终与运动方向相反 D．拉力做功的功率逐渐减小 15．如图所示，正方形导体线框abcd的质量为m，边长为L，匝数为N，总电阻为R。平面直角坐标系xOy的x轴水平向右，y轴竖直向下，x轴以下有一垂直于xOy平面的磁场，其在x方向均匀分布，沿y轴方向大小变化规律为（k为常数且）。现从O点上方距离x轴高度为h处以某一初速度将导体线框abcd水平抛出，在线框下落过程中，线框平面始终位于竖直平面内，ab边始终水平。已知重力加速度为g，忽略空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．线框在x方向一直做匀速直线运动 B．线框在磁场中受到的安培力方向竖直向上 C．线框在y方向最终做匀速运动，速度大小为 D．线框完全进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量为 16．如图所示，水平光滑绝缘桌面上存在宽度均为、大小均为B的有界匀强磁场，Ⅰ区域的磁感应强度方向垂直纸面向外，Ⅱ区域的磁感应强度方向垂直纸面向里。一质量为m、边长为L、电阻为R的正方形金属线框以初速度水平向右运动，当金属框的cd边刚好进入Ⅱ区域磁场时，线框的速度刚好为零。则（　　） A．线框ab边进入Ⅰ磁场时，ab两端的电压为 B．线框ab边在Ⅱ区域磁场运动的过程中感应电流方向沿 C．线框进入Ⅰ区域磁场的时间小于在Ⅱ区域磁场运动的时间 D．金属线框的最大加速度为 三、解答题 17．如图所示，两足够长的平行金属导轨平面与水平面间夹角θ=30°，导轨电阻忽略不计，二者相距L=1m，匀强磁场垂直导轨平面，框架上垂直放置一根质量为m=0.1 kg的光滑导体棒ab，并通过细线、光滑滑轮与一质量M=0.2 kg、边长l=0.5m正方形线框相连，金属框下方h=1.0m处有垂直纸面方向的长方形有界匀强磁场；现将金属框由静止释放，当金属框刚进入磁场时，电阻R上产生的热量为Q1=0.318J，且金属框刚好能匀速通过有界磁场。已知两磁场区域的磁感应强度B大小相等。定值电阻R=1Ω。导体棒ab和金属框单位长度电阻r=1Ω/m，g=10m/s2，求： (1)两磁场区域的磁感应强度B的大小； (2)金属框刚离开磁场时系统损失的机械能； (3)金属框下方没有磁场时棒的最大速度vm。 18．某款电磁阻尼拉力健身器材的简化装置如图所示。矩形框架的边长，绕有匝数匝、电阻的闭合金属线圈，框架和线圈的总质量。将框架静置于下端固定的竖直弹簧上（不拴接），弹簧的压缩量，框架上端通过轻质绝缘绳索跨过轻质定滑轮与轻质拉杆相连。在区域内存在方向垂直框架平面向内、磁感应强度的匀强磁场，磁场边界与之间的距离。一位健身爱好者用恒力向下拉动拉杆，框架由静止开始竖直向上运动。边上升到时，弹簧恰好恢复原长，上升到时，健身者松手，装置触发复位机制使框架回到初始位置，整个过程框架与定滑轮不相碰。已知重力加速度，不计一切阻力。求： (1)弹簧的劲度系数k； (2)边刚进入磁场时框架的速度和加速度a的大小； (3)若边通过磁场的时间，边运动到时框架的速度大小。 19．如图所示，在光滑水平桌面上有一质量为、边长为的正方形超导线框，其右侧有一长度大于、宽度为的长方形区间存在方向垂直桌面向下、大小为的匀强磁场。建立坐标原点位于磁场左边界中点、水平向右为正方向坐标轴，超导线框在水平桌面上的位置坐标用其右边界的中点来描述。当超导线框的位置坐标时，表示超导线框恰好开始进入磁场，此时。已知超导线框开始进磁场时的初速度，在运动过程中超导线框边长始终保持平行磁场边界。由于超导电阻为零，当超导线框进入磁场时会产生感应电流，该感应电流产生的磁场会阻止超导线框的磁通量变化，以保持超导线框的磁通量不变。已知超导线框的电感为，若超导线框中有电流，则由此电流产生的磁通量为。 (1)当超导线框运动至处时，求其中的电流； (2)超导线框运动至的过程中，求安培力所做的功与安培力的冲量； (3)求超导线框最终的速度和超导线框具有的磁能。 20．如图所示，有一边长为d、质量为m的正方形单匝线框abcd，放在光滑水平面上。空间有垂直水平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场区域，匀强磁场区域左右边界距离大于d，已知线框总电阻为R，cd边刚进入磁场时的速度为。求： (1)cd边刚进入磁场时，cd两端的电压； (2)从cd边刚进入磁场到ab边刚好进入磁场的过程中，通过线框某截面的电荷量q； (3)若cd边刚进入磁场时的速度，ab边刚进入磁场的速度，ab边刚离开磁场的速度，求的比值。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $