专题03 带电粒子在磁场中的运动的多解问题的作用（培优考点练）物理人教版选择性必修第二册

品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题03带电粒子在磁场中运动的多解问题 一、单选题 1.如图所示，在竖直平面内的Oy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大 小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN,MN到x轴的距离为d,上、 下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。 已知粒子所带电荷量为4、质量为m、速度大小均为29，不计粒了的重力、空气阻力及粒子何的相互作 m 用，则( + M个 xd x 0 3π1m A.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 2qB B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为√15d C.薄板接收到的粒子数占总粒子数量的？ D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为m 6gB 2.如图所示，在直角三角形bc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量 为m、电荷量为十q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于b边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内 有粒子射出。已知bc边的长度为L,bc和aC的夹角为0°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说 法正确的是() XX XX A.粒子的入射速度为BgL 4m B.粒子的入射速度为V5BgL 6m C.粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为L 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D,从bc边射出的粒了在磁场内运动的最长时间为2B。 3.垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的 正方向。一电荷量g=1×10C、质量m=1×10kg的带电粒子，位于某点O处，在t=0时刻以初速度 。=2πm/s沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从t=0时刻开始 的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为() 米B/T 0.1 0 →t/π×10-3s 1015 -0.1 A.2√2πm/sB.4vV2πm/s C.2√2m/s D.42m/s 二、多选题 4.如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画 出)，P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为1.6×10ms的带电粒子。已知P点与OA、 OB间的距离分别为9cm、8cm,磁感应强度大小B=4.0×10-2T。带电粒子质量m=2×101”kg,电荷量 9=-1.6×10°C,不计粒子重力。下列说法正确的是（) B A.OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B.OA边界上有粒子射出的部分长度为(V19+3)cm C.如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D.如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 5.如图所示，在x0y平面存在一半径R=2a的匀强磁场，磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向外，在圆 心O处有一粒子源，粒子源沿0y平面，朝第三象限90°范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子 源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为9，质量为m。在 y=a处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点 坐标为-a,)。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的 同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是() 2/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B A.粒子速度大小为v=9B@ m B.挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为V5-)a C.若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动30° D.若圆形磁场区域的半径调为R=a，磁场圆心位置移动到(-α，O),则能打在挡板上的粒子均垂直打在 水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数月多于发射粒子总数的， 6.如图所示，在ab边界的右侧和bc边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为B。bc足 够长，ab距离为d,且ab⊥bc,O、a、b、c共面。在O点有一粒子源，O点到ab、bc的距离均为d。 打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为m,电荷量为9的带正电粒子，速率v=9B诞 m 不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是() ●● 。。。。。 r------- ● ● ● ● C A.从b边射出磁场的粒子数占总粒子数的} B.从c边射出酸场的粒子数占总粒子数的 2 C.到达bc边的粒子在磁场中运动的最短时间为6B Tum D.能够打在ab和bc边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为9：2 三、解答题 7.如图所示，在无限长的平行边界AB和CD之间，充满了垂直纸面向外和垂直纸面向里的匀强磁场。磁 感应强度大小均为B。直线EF为磁场的分界线，与边界AB、CD的交点分别为E、F,且EF⊥AB。边界上 有与E、F等距的P、Q两点。一质量为m、带电量为q(q>0)的正电粒子从Q点以平行于EF的速度射 入微场。已知平行边界AB与CD之间间距为2，PE=QP=号不讨粒子重力，结果保留根号。求： 3/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A P E ×××××× ● ×××××× ● ×××××× ×××××× ● ×××××× ● ×××××X C F (1)粒子恰好经过F点的速度大小； (2)要使粒子不从CD边界飞出，粒子入射速度最小值Vm; (3)若粒子能经过P点从AB边界飞出，粒子入射速度的所有可能值。 8.在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装 置的模型。在平面直角坐标系x0y的第二象限内，一半径为”的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁 场I,磁场I的边界圆刚好与两坐标轴相切，与x轴的切点为P,与y轴的切点为Q,在第一象限内有沿y轴 负方向的匀强电场，在x轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，磁场Ⅱ中有一垂直于y轴的足够 长的接收屏。P点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出带正电粒子，粒 子射出的初速度大小均为。。己知沿y轴正向射出的粒子恰好通过Q点，该粒子经电场偏转后以与x轴正方 向成45的方向进入磁场Ⅱ，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场I、Ⅱ的磁感应强度大小均为B，不计粒子 的重力及粒子间的相互作用。 P II (1)求粒子的比荷k: (2)求匀强电场的电场强度大小E; (3)将接收屏沿y轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场Ⅱ偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿y轴 负方向移动的距离L。 9.如图所示，平面直角坐标系xOy中，第I象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面 向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为qq>0)的带电粒子以初速度V,从y轴上P(0,h点沿x轴正方 4/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 向开始运动，经过电场后从x轴上的点Q ,0进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第I象限。不 6 计粒子重力。求： O。。。。。···。 (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第I象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 10.如图所示，在平面直角坐标系Oy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的P(0,√3L)点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射 入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为(0≤α≤180°)。a=150°时，粒子垂直x轴离开磁场， 不计粒子的重力。求： y个。 B ● L.v (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离： (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 11.在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图 所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大 小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均 为m、电荷量均为+q9>0)的同种粒子，M,点到圆心的距离为kR(0≤k≤1，粒子源发射出的各种速率的 粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 5/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 kR (1)当k=0时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值”： (②当k=】时，求速度为3q8的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比， 4m (3)当k=0.5时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值”2；若有部分粒子可从外圆射出，求没 有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值%。 12.如图所示，直角坐标系xOy的第二象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿x轴负方向 的另一匀强电场，两电场的场强大小相等。y轴右侧区域I和区域Ⅱ内分别存在磁感应强度大小不同、方 向均垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的分界线与y轴平行，在分界线上有一长为6L的绝缘弹性薄挡板， 挡板关于x轴对称。现在P(-L,0)点沿y轴正方向射入一初速度大小为，的带正电的粒子，粒子进入第二象 限运动，穿过y轴上的M点进入区域I的磁场，在M点的速度方向与y轴正方向成0=37°角，之后又垂直 挡板从挡板的上边缘进入区域Ⅱ。粒子在区域Ⅱ运动过程中会与挡板的中央发生碰撞，后又经区域I、第 三象限回到x轴负半轴。已知该粒子的质量为m、电荷量为9，不计粒子重力，si37。=0.6,在与挡板进 行碰撞时粒子的电荷量和动能均无变化。则在此过程中，求： M Vo PO (1)M点到原点O的距离y; (2)区域I中磁场的磁感应强度大小B; (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间t; (4)粒子第一次回到x轴负半轴时的速度大小。 13.如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的 匀强磁场，磁感应强度大小均为B。折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L。现有一 质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力。 6/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ×××××××××× x B ●B° ●● (1)若P、Q之间外加一个与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为射出的微粒沿直线Q运动到Q点，则 电场强度应为多大？ (2)撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度应该满足什么条件？ (3)求（2)中微粒从P点到Q点所用的时间。 14.如图所示，有一个位于x轴上方带电的平行板电容器，极板长度为2L、极板间距为√3L,电容器的右 极板与y轴重合且下端在原点O。y轴右侧有一与y轴平行的虚线y',在y轴和虚线y之间存在垂直于xOy 平面的匀强磁场，x轴上方磁场方向垂直纸面向外，x轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为m、 电荷量为9、不计重力的带正电粒子沿y轴正方向以大小为的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器 内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端P射入磁场中。求： y个 ●1 ×× (1)电容器内的电场强度大小以及粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子从P进入磁场后，经x轴上方磁场偏转（未到达虚线y)后不会打到电容器的右极板上，x轴上方 磁场的磁感应强度应满足怎样的条件； (③)若x轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为12，粒子在x轴上方轨道半径为r=25 。虚线y与y轴之 3 间距离满足怎样关系时，粒子垂直线y离开磁场。 15.如图所示，在xOy坐标系中，第I、Ⅱ象限匀强磁场的磁感应强度大小分别为B和2B,磁场方向均垂 直纸面向里。在x轴下方存在匀强电场，电场方向垂直x轴向上。第IV象限内的M点以及y轴上的N点到 x轴的距离均为l。在M点由静止释放一质量为m、电荷量为的质子，质子进入第I象限经磁场偏转后垂 直y轴经过N点，然后运动到O点，被放在O点的粒子捕捉器所捕获，不计质子重力。求： 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2B B × N × × M ()电场强度的大小： (2)质子从M点运动到0点的时间； (3)若在第V象限内的Q(1,-y)点由静止释放质子，质子不进入第Ⅱ象限而到达0点，求y的可能值以及对 应的质子从Q点到O点的时间。 16.如图甲所示，矩形区域ABCD内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.2T,M、N 分别为AD、BC边中点。现在从M点平行AB方向以某一初速度，射入一个质量为m,电荷量为q的正电 粒子，发现该粒子刚好从B点离开磁场区域，已知磁场区域的AD边长2L,AB边长为√3L,L=0.2m, 该粒子的比荷9=5x10C/kg,不计粒子重力。 B/T 0.2 0 ● 3T T 4 4 -0.2 ● B 甲 乙 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，t=0时刻，粒子同样从M点平行 4 AB射入，发现粒子恰好能从N点离开，已知T,=π×I0s,求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及 3 粒子运动的时间。 17.如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆 形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O,磁感应强度大小为B,方向垂直xOy平面向里。 位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒 为(-L,0)。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平 行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m,电荷量为9，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速 度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互 作用忽略不计。求： 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y + S × + × 、× + + B (1)该粒子流的速度： (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第(3)问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 18.如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷9的带正电粒子经过电压为U。的加速电场后，沿平 m 行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸 面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为飞的粒子恰好落在F点。己知偏转电场两板间的电压 2 U=三U,9=60°，4G1GH,GF=4L,不计重力作用。 3 匀强磁场 G M P 偏转电场 ++++ 加速电场 粒子源S (1)求比荷为K的粒子经过P点时的速度大小和与板AG的夹角O: (2)求磁感应强度的大小B: (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 19.如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B。为己知量；第二 象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E(未知)的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子， 由点A(-L,0)处以大小为o的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成0-60°的 夹角。O时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。 求： B B E 0 2 3 4 πm t 2B9 -2Bo 分 (1)匀强电场的电场强度E; (2)从0至t= 3πm 2B9 时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在t= 2π1m 时刻的x坐标。 Boqg 20.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在垂直纸 面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等.一质量为m、电荷量为+9的粒子从图中x轴上的P (-L,0)点以速度vo垂直于x轴进入磁场，并直接偏转到y轴正半轴上的Q点，再进入第一象限，Q点 到坐标原点O的距离是L的k倍，不计粒子重力。 P (1)若k=1,求此时的磁感应强度大小B: (2)若k=V3,求粒子从P点到Q点的时间t; (3)若粒子能运动到坐标为(0,5L)的A点（图中未标出），求磁感应强度B的可能值。 21.如图所示，在xOy平面内，有圆心为O、半径为L的圆形区域，圆形区域内无磁场，圆形区域外存在 磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为十q的粒子位于坐标为(0,2L )的P点，粒子的重力忽略不计。 10/11 专题03 带电粒子在磁场中运动的多解问题 一、单选题 1．如图所示，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为，不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最长时间为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板接收到的粒子数占总粒子数量的 D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【详解】A．由洛伦兹力提供向心力 解得 运动周期 最长时间对应圆心角 则最长时间，故A错误； B．薄板的上表面接收到粒子最远点对应轨迹为半圆，最远点距点为 最近点距点为 则薄板的上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； C．如图与相切的轨迹为临界情况，对应的圆心角，则速度偏向角等于，从点出发时与轴正向夹角为，则薄板接收到的粒子数占总粒子数量的，故C正确； D．最短时间为粒子刚好到达点，对应圆心角为，由几何关系可得 则最短时间，不等于，故D错误。 故选C。 2．如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出。已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　） A．粒子的入射速度为 B．粒子的入射速度为 C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为 D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为 【答案】A 【详解】AB．粒子进入磁场向上做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示 由几何关系可得 则粒子的入射速度，故A正确，B错误； C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为，故C错误； D．与bc边相切恰从bc边射出粒子的对应的圆心角最大为 从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为，故D错误。 故选A。 3．垂直于纸面的均匀磁场，其方向随时间呈周期性变化。变化规律如图所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。一电荷量、质量的带电粒子，位于某点O处，在时刻以初速度沿某方向开始运动，不计重力的作用，不计磁场的变化可能产生的其他影响。从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设粒子运动半径为r，根据洛伦兹力提供向心力有 解得 周期为 由图可知磁场变化的周期为 根据 可得在时间内偏转的角度为 同理在在时间内偏转的角度为 设粒子的出发点为，经磁场变化的一个周期的终点为，由图可知，磁场先向里再向外，故作出其在磁场变化的一个周期内的运动轨迹，如图所示 由几何关系可得粒子的位移即为a、b两点的距离，则有 从时刻开始的磁场变化的一个周期内，带电粒子的平均速度的大小为 故选D。 二、多选题 4．如图所示，两边界OA、OB相互垂直，在OA上方、OB右侧有垂直于纸面向外的匀强磁场（图中未画出），P点处有一粒子源，可向纸面内任意方向发射速度大小为的带电粒子。已知P点与OA、OB间的距离分别为9cm、8cm，磁感应强度大小。带电粒子质量，电荷量，不计粒子重力。下列说法正确的是（　　） A．OB边界上有粒子射出的部分长度为12cm B．OA边界上有粒子射出的部分长度为 C．如果减小带电粒子的速度大小，可以使粒子从O点射出 D．如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变 【答案】BD 【详解】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 解得 作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图甲所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故A错误； B．作出OA边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图乙所示 根据几何关系可知，OA边界上有粒子射出的部分长度 其中 解得，故B正确； C．结合上述图甲与图乙可知，如果减小带电粒子的速度大小，粒子轨道半径减小，粒子从可以使粒子从O点射出OA、OB上射出部分长度减小，但粒子不可能从O点射出，故C错误； D．如果将磁场改为垂直纸面向里，作出OB边界上有粒子射出部分的上下两临界点的轨迹如图丙所示 根据几何关系可知，OB边界上有粒子射出的部分长度 解得 即如果将磁场改为垂直纸面向里，OB边界上有粒子射出的部分长度不变，故D正确。 故选BD。 5．如图所示，在平面存在一半径的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在圆心O处有一粒子源，粒子源沿平面，朝第三象限范围内的各个方向发射同种带正电的粒子，且粒子源朝各个方向发射的粒子数目均匀分布，发射出的粒子速度大小相等，所带电荷量为q，质量为m。在处有一平行于x轴放置的水平挡板，挡板足够长，与圆形磁场区域分别交于A、B两点，挡板上C点坐标为。从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，且发现有两种不同方向的粒子会打在挡板上的同一位置。若不计带电粒子重力，粒子打在挡板上就被吸收，则下列说法正确的是（　　） A．粒子速度大小为 B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置的区域长度为 C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，挡板至少要逆时针转动 D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，则能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，且打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的 【答案】ABD 【详解】A．从粒子源发出的粒子恰好均能打在挡板上，则沿方向射出的粒子轨迹恰好与挡板相切，由几何关系可得，粒子的轨迹半径为 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 解得，故A正确； B．挡板上有两种不同方向的粒子会打在同一位置，如图所示，根据“旋转圆”的知识可知，该区域长度是C到A之间的部分 根据几何知识可知，区域长度为，故B正确； C．若挡板可绕C点转动，要保证所有粒子均打在挡板上的不同位置，粒子到达挡板上恰好没有重叠时，如图所示 根据旋转圆的知识并结合几何知识可知，此时挡板与x轴的夹角为，即挡板至少要逆时针转动，故C错误； D．若圆形磁场区域的半径调为，磁场圆心位置移动到，粒子源发射位置不变，粒子运动的轨迹半径仍为a，其轨迹如图所示 根据“磁发散”原理可知，能打在挡板上的粒子均垂直打在水平挡板上，水平向左射入的粒子能够从C点射出；速度方向与轴负方向夹角为45°的粒子从O点射入磁场时，由几何关系可知，则射出位置点到C点的水平距离为 区域长度 则打在AC区域上的粒子数目多于发射粒子总数的，故D正确。 故选ABD。 6．如图所示，在边界的右侧和边界的上方有一垂直纸面向外匀强磁场，磁感应强度大小为。足够长，距离为，且，、、、共面。在点有一粒子源，点到、的距离均为。打开粒子源发射装置，能够沿纸面向各个方向均匀发射质量为，电荷量为的带正电粒子，速率。不计粒子重力及粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是（　　） A．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 B．从边射出磁场的粒子数占总粒子数的 C．到达边的粒子在磁场中运动的最短时间为 D．能够打在和边上的所有粒子在磁场中运动最长路径与最短路径之比为 【答案】AD 【详解】A．如图所示，当速度方向与夹角为，粒子恰好经过点，当速度方向与夹角满足，粒子到达边，所以从边出磁场的粒子数为总数的，故A正确； B．如图所示，从边出磁场的粒子数需要满足，则占粒子总数为，故B错误； C．如图所示，当射入点与边上的点的连线与边垂直时，此粒子在磁场中运动时间最短，运动时间 故C错误； D．如图所示，当转过圆心角为时路径最长，转过圆心角为时路径最短，故D正确。 故选AD。 三、解答题 7．如图所示，在无限长的平行边界AB和CD之间，充满了垂直纸面向外和垂直纸面向里的匀强磁场。磁感应强度大小均为B。直线EF为磁场的分界线，与边界AB、CD的交点分别为E、F，且EF⊥AB。边界上有与E、F等距的P、Q两点。一质量为m、带电量为q（q＞0）的正电粒子从Q点以平行于EF的速度射入磁场。已知平行边界AB与CD之间间距为2a，PE＝QF＝，不计粒子重力，结果保留根号。求： (1)粒子恰好经过F点的速度大小； (2)要使粒子不从CD边界飞出，粒子入射速度最小值； (3)若粒子能经过P点从AB边界飞出，粒子入射速度的所有可能值。 【答案】(1) (2) (3)，， 【详解】（1）粒子恰好经过F点的轨迹如图所示 由几何关系 由洛伦兹力提供向心力 解得 （2）当粒子的轨迹与CD边界相切时，此时入射速度有最小值。 轨迹如图所示 则 即 由几何关系 解得 由洛伦兹力提供向心力 解得 （3）粒子在磁场中的周期性单元轨迹如图所示 由几何关系，（n＝1、2、3、……） 解得（n＝1、2、3、……） 由（2）知粒子要经过P点，则粒子不能从CD边界飞出，即，由此可得n＝1、2、3 由洛伦兹力提供向心力 由此可知当n＝1时，可得 解得 当n＝2时，可得 解得 当n＝3时，可得 解得 8．在粒子物理学的研究中，经常用电场和磁场来控制或者改变粒子的运动。如图所示为一控制粒子运动装置的模型。在平面直角坐标系的第二象限内，一半径为的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁场I的边界圆刚好与两坐标轴相切，与轴的切点为，与轴的切点为，在第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，在轴下方区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场II，磁场II中有一垂直于轴的足够长的接收屏。点处有一粒子源，粒子源在坐标平面内均匀地向第二象限的各个方向射出带正电粒子，粒子射出的初速度大小均为。已知沿轴正向射出的粒子恰好通过点，该粒子经电场偏转后以与轴正方向成的方向进入磁场II，并恰好能垂直打在接收屏上。磁场I、II的磁感应强度大小均为，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。 (1)求粒子的比荷； (2)求匀强电场的电场强度大小； (3)将接收屏沿轴负方向平移，直至仅有三分之一的粒子经磁场II偏转后能直接打到屏上，求接收屏沿轴负方向移动的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从点沿轴正向射入的粒子恰好通过点，则粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为，如图所示，根据洛伦兹力提供向心力有   解得 （2）从点沿轴正向射入的粒子在电场中做类平抛运动，设粒子出电场时沿轴负方向的分速度为，如图所示，由题意可知 沿轴方向有 根据牛顿第二定律有 联立解得      （3）由于粒子在磁场I中做圆周运动的半径为，根据磁发散原理，所有粒子均沿轴正方向射出磁场Ⅰ，设某一粒子进入磁场II时，与轴正方向夹角为0， 则该粒子进入磁场时速度为，如图所示 设该粒子在磁场中做圆周运动，半径为，洛伦兹力提供向心力，有 则轨迹的圆心到轴的距离为 代入第一问结果，得 由此可见，所有粒子进磁场II后做圆周运动的圆心均在离轴距离为的水平线上，即此时接收屏距离轴的距离为，根据圆的特点，打到屏上的速度垂直于半径，而半径在接收屏所在的平面，因此所有粒子均能垂直打在接收屏上。 在点沿与轴负方向成向左上方射出的粒子恰好能打在屏上时，该粒子左侧的所有粒子都可以打在屏上，右侧的粒子则不能打在屏上，即有三分之一的粒子经磁场偏转后能直接打在屏上，设这时屏需要移动的距离为L，如图所示， 设该粒子在磁场I中轨迹如图，出磁场时坐标 进入磁场II时的速度大小为，在电场中，根据动能定理有    根据洛伦兹力提供向心力有 解得 即仅有三分之一的粒子经磁场II偏转后能直接打到屏上，接收屏沿轴负方向移动的距离为 9．如图所示，平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为的带电粒子以初速度从y轴上点沿x轴正方向开始运动，经过电场后从x轴上的点进入磁场，粒子恰能不经过第Ⅲ象限又回到第Ⅰ象限。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)匀强磁场的磁感应强度大小； (3)粒子第8次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中仅受电场力的作用做类平抛运动，由P到Q，由牛顿第二定律可得 竖直方向，有     水平方向，有 联立解得， （2）粒子在Q点的速度大小为 解得 设与x轴正方向夹角为，则 可知 在磁场中洛伦兹力提供向心力，有 又根据几何关系 联立解得， （3）如图所示 粒子从第Ⅳ象限进入第Ⅰ象限后做类似斜抛运动，速度方向与x轴正方向成37°，大小为，由运动对称性知CD沿x轴方向距离与DE沿x轴方向距离相等，则 粒子第n次从第Ⅰ象限进入第Ⅳ象限经过x轴的横坐标为 又 解得 当时，可得 10．如图所示，在平面直角坐标系Oxy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为+q的相同粒子从y轴上的点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为（）。时，粒子垂直x轴离开磁场，不计粒子的重力。求： (1)粒子入射速率； (2)粒子离开磁场的位置到O点的最大距离； (3)粒子在磁场中运动的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，粒子垂直x轴离开磁场，运动轨迹如图所示 根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径为 洛伦兹力提供向心力 所以粒子入射速率 （2）粒子离开磁场距离O点最远时，设位置为M，粒子在磁场中的轨迹为半圆，此时PM是圆的一条直径，如图所示 根据几何关系可知 解得 （3）当粒子速度方向沿y轴正方向运动时，在磁场中运动时间最长，此时由几何关系知，粒子圆弧轨迹对应的圆心角为 其中周期 所以最长时间为 11．在高能物理的稳态磁约束聚变研究中，常用环状磁场来约束带电粒子的活动范围，其模型简化图如图所示，圆心均为O点的内圆半径为R、外圆半径为2R的圆环形区域内有方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，内圆半径上的M点有一粒子源，可沿平行纸面的各个方向发射速度大小不同、质量均为m、电荷量均为的同种粒子，M，点到圆心的距离为，粒子源发射出的各种速率的粒子在各个方向都是均匀分布的。不计粒子重力和粒子间的相互作用力。 (1)当时，求粒子不从外圆射出去的速度的最大值； (2)当时，求速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比； (3)当时，若粒子都不会从外圆射出去，求此时速度的最大值；若有部分粒子可从外圆射出，求没有从外圆射出去的粒子中，速度的最大值。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由牛顿第二定律有 解得 当时，从圆心O点沿半径方向向外发射粒子如图所示。 由几何关系有 解得运动半径 故 （2）当时，速度为的粒子，运动半径，入射点在内圆上，向纸面内各个方向均匀发射，如图所示。 当入射方向与环的半径夹角为时，那么进入磁场再进入内圆再进入磁场时的夹角都为，也就是不会从外圆出去。由几何关系可知，在图中OM线上方范围入射的粒子都会从外圆射出去，在OM线下方范围入射的粒子都不会从外圆射出去。所以当时，速度为的粒子中，从外圆射出去的粒子数和被约束在外圆以内的粒子数之比为。 （3）当时，由几何关系，下图中粒子源发出速度大小相同的粒子，从A点竖直向上进入磁场，角最大，最有可能从外圆射出去，即如果它都没有出去，则这个速度大小的粒子从其他方向发射也不会从外圆射出去，此时角为。 由余弦定理有 解得 所以 同理，由几何关系可知，图丙中粒子源发出的粒子，从B点向下进入磁场，角最大，最有可能射不出外圆，若它刚好射不出，此时角为，有 所以 速度大小为的粒子中，只有沿MB方向射出的恰好不会从外圆射出去，其他方向发射的都会从外圆射出去；速度大小比小的粒子沿各个方向发射都不会从外圆射出去，速度大小介于到之间的粒子要看发射方向，一部分会从外圆射出去，一部分不会从外圆射出去。 12．如图所示，直角坐标系的第二象限内存在沿轴正方向的匀强电场，第三象限内存在沿轴负方向的另一匀强电场，两电场的场强大小相等。轴右侧区域Ⅰ和区域Ⅱ内分别存在磁感应强度大小不同、方向均垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场的分界线与轴平行，在分界线上有一长为的绝缘弹性薄挡板，挡板关于轴对称。现在点沿轴正方向射入一初速度大小为的带正电的粒子，粒子进入第二象限运动，穿过轴上的点进入区域Ⅰ的磁场，在点的速度方向与轴正方向成角，之后又垂直挡板从挡板的上边缘进入区域Ⅱ。粒子在区域Ⅱ运动过程中会与挡板的中央发生碰撞，后又经区域Ⅰ、第三象限回到轴负半轴。已知该粒子的质量为、电荷量为，不计粒子重力，，在与挡板进行碰撞时粒子的电荷量和动能均无变化。则在此过程中，求： (1)点到原点的距离； (2)区域Ⅰ中磁场的磁感应强度大小； (3)粒子在区域Ⅱ中的运动时间； (4)粒子第一次回到轴负半轴时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）（1）粒子在第二象限做类平抛运动，在的速度大小为，方向与轴正方向成角，沿轴正方向做匀速运动，有， 沿轴正方向做匀加速运动，有， 由以上各式可得 （2）由（1）可得 在区域Ⅰ中粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力 如图所示 根据几何关系有 可得， （3）粒子在区域Ⅱ中也做匀速圆周运动，可能轨迹如上图所示 则半径的可能值满足（，2，3……） 圆周运动周期 粒子在区域Ⅱ中的运动时间（，2，3……） 解得 （4）由对称性可知，粒子从轴负半轴上的点进入第三象限，与关于对称，在点的速度方向与轴正方向成角，在第三象限，粒子沿轴正方向做匀速运动，则 沿轴负方向做匀加速运动，则 由对称性可知 粒子回到轴负半轴时的速度大小 13．如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小均为。折线的顶角，P、Q是折线上的两点，。现有一质量为、电荷量为的带负电微粒从点沿方向射出，不计微粒的重力。 (1)若P、Q之间外加一个与磁场方向垂直的匀强电场，能使速度为射出的微粒沿直线运动到点，则电场强度应为多大？ (2)撤去电场，为使微粒从点射出后，途经折线的顶点而到达点，求初速度应该满足什么条件？ (3)求（2）中微粒从点到点所用的时间。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）由电场力与洛伦兹力平衡可得 得 （2）根据运动的对称性，微粒能从点经点运动到点，应满足（n为整数） 其中为每次偏转圆弧对应的弦长，偏转圆弧对应的圆心角为或 设圆弧的半径为，则有 解得 结合 由以上各式可解得 （3）如图所示，当取奇数时，微粒从到的过程中圆心角的总和为 故其运动时间 当取偶数时，微粒从到的过程中圆心角的总和为 故其运动时间为 14．如图所示，有一个位于x轴上方带电的平行板电容器，极板长度为2L、极板间距为，电容器的右极板与y轴重合且下端在原点O。y轴右侧有一与y轴平行的虚线y′，在y轴和虚线y′之间存在垂直于xOy平面的匀强磁场，x轴上方磁场方向垂直纸面向外，x轴下方磁场方向垂直纸面向里。某时刻一质量为m、电荷量为q、不计重力的带正电粒子沿y轴正方向以大小为v0的初速度紧挨电容器左极板下端射入电容器内，经电场偏转后，粒子刚好从电容器的右极板最上端P射入磁场中。求： (1)电容器内的电场强度大小以及粒子进入磁场时的速度大小； (2)若粒子从P进入磁场后，经x轴上方磁场偏转（未到达虚线y′）后不会打到电容器的右极板上，x轴上方磁场的磁感应强度应满足怎样的条件； (3)若x轴上、下磁场的磁感应强度大小之比为1:2，粒子在x轴上方轨道半径为。虚线y′与y轴之间距离满足怎样关系时，粒子垂直线y′离开磁场。 【答案】(1)，2v0 (2) (3)（n=0，1，2，3……） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿电场方向，有 垂直电场方向，有 粒子进入磁场时的速度大小为， 联立解得， （2）粒子从P进入磁场后，经磁场偏转后不会打到电容器的右极板上，需要粒子进入x轴下方磁场，临界条件是粒子轨迹与x轴相切，设粒子在x轴上方磁场中运动的半径为r0，粒子进入磁场时速度与y轴正方向的夹角为θ，则 解得 粒子与x轴相切时，有 粒子与x轴相切时对应磁感应强度的最大值为Bm，则 解得 所以经磁场偏转后不会打到右极板上，x轴上方磁感应强度 （3）当粒子在x轴上方轨迹半径为时，有，， 则 根据几何关系可知，粒子在x轴上方的运动轨迹为半圆，设粒子从上到下穿越x轴时速度与x轴成α角，根据几何关系可知 根据题意，画出粒子的部分运动轨迹，如图所示 如果粒子在x轴的下方垂直打到y′上，y′与y的距离满足（n=0，1，2，3……） 如果粒子在x轴的上方垂直打到y′上，y′与y的距离满足（n=0，1，2，3……） 所以（n=0，1，2，3……） 15．如图所示，在坐标系中，第I、II象限匀强磁场的磁感应强度大小分别为和，磁场方向均垂直纸面向里。在轴下方存在匀强电场，电场方向垂直轴向上。第IV象限内的点以及轴上的点到轴的距离均为。在点由静止释放一质量为、电荷量为的质子，质子进入第I象限经磁场偏转后垂直轴经过点，然后运动到点，被放在点的粒子捕捉器所捕获，不计质子重力。求： (1)电场强度的大小； (2)质子从点运动到点的时间； (3)若在第IV象限内的点由静止释放质子，质子不进入第II象限而到达点，求的可能值以及对应的质子从点到点的时间。 【答案】(1) (2) (3)； 【详解】（1）根据题意作出质子的运动轨迹如图所示 为圆弧，在第I象限内，有 质子从运动到过程中，根据动能定理有 解得 （2）质子在磁场中运动的周期为 则质子在第I、II象限内运动的时间分别为 质子在电场中运动的时间为 所以质子从到的时间 （3）设质子从点出发到达轴时的速度为，由动能定理得 解得 质子不经过轴到达点处，则有， 联立解得 设质子第一次通过轴时经历的时间为，则 解得 在电场中运动的总时间为 质子在第I象限内运动的总时间为 则质子从点到点经历的总时间为 16．如图甲所示，矩形区域内部有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，、分别为、边中点。现在从点平行方向以某一初速度射入一个质量为，电荷量为的正电粒子，发现该粒子刚好从点离开磁场区域，已知磁场区域的边长，边长为，，该粒子的比荷，不计粒子重力。 (1)求该粒子射入磁场时的速度大小； (2)若取垂直纸面向外为磁场的正方向，磁感应强度按图乙的方式变化，时刻，粒子同样从点平行射入，发现粒子恰好能从点离开，已知，求该粒子射入磁场的速度可能的取值以及粒子运动的时间。 【答案】(1) (2)（、2、3…），（、2、3…） 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图1所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可知 代入数据，解得 由洛伦兹力提供向心力 代入数据，解得粒子射入磁场时的速度大小 （2）因为，而粒子圆周运动周期为 粒子的轨迹如图2所示 设粒子做匀速圆周运动的半径为，由几何关系可得 由 联立上述方程可解得（、2、3…） 粒子运动时间 由于周期性，粒子转过的角度为（、2、3…） 代入上述公式，可解得（、2、3…） 代入数据解得（、2、3…） 17．如图所示，在x轴上方存在一垂直xOy平面向外的匀强磁场（未画出）。x轴下方有一个半径为R的圆形磁场区域，其圆心为y轴上的A点，边界过坐标原点O，磁感应强度大小为B，方向垂直xOy平面向里。位于x轴负半轴的一绝缘板（厚度可忽略）CD中心有一小孔，孔径大小可以调整，小孔左端P点横坐标恒为。位于圆形磁场右侧有一个粒子发射装置S可以发射一束在y轴方向均匀分布、速率相同并且平行于x方向的带负电粒子流，粒子的质量为m，电荷量为，粒子束的宽度为2R。处于装置中央的粒子速度方向对准A点，且经过图示磁场区域后刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限。粒子的重力及相互作用忽略不计。求： (1)该粒子流的速度； (2)距离x轴0.5R的粒子，第一次经过x轴时与y轴正方向的夹角； (3)若粒子束有一半能从板上的小孔通过，求小孔的宽度； (4)在第（3）问的小孔宽度下，使x轴上方磁场的磁感应强度变为原来的k倍，求通过小孔的粒子所占比例。 【答案】(1) (2) (3) (4)当时，比例为0；当时，比例为；当时，比例为 【详解】（1）由题可知粒子速度方向对准A点时有 洛伦兹力提供向心力 解得 （2）如图所示，由几何规律可知，圆形磁场边界，出射速度与磁场区域半径的夹角等于入射速度与磁场区域半径的夹角 入射时 解得 （3）设粒子从O点进入第二象限后，经磁场偏转再次经过x轴时所在位置离O点距离为x，根据洛伦兹力提供向心力可知 其中由（1）可知，粒子速度方向对准A点时，刚好从坐标原点射出并从P点射入第三象限，所以粒子在x轴上方磁场区域圆周运动的半径 又因为 所以粒子从O点入射时，y方向速度越大，偏转位移x越大，由于初始粒子沿y轴方向均匀分布，粒子束有一半能从板上的小孔通过，也即距离x轴的粒子均能从小孔通过，其中距离x轴0.5R时，也即的粒子刚好击中孔的右边界，此时 故小孔宽度为 （4）由（3）可知，k越大，x越小，对此分为如下三种情况： （i）当从O点沿y轴正向入射时（x最大），若击中小孔的右边界，则无粒子能通过小孔，则有 解得 所以当时，粒子所占比例 （ii）若偏转位移最大的粒子能通过小孔，即 解得 此时击中小孔右边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 而粒子偏转角度越小越容易打中小孔（越靠近A点所在水平方向上），故粒子所占比例 （iii）若，则偏转位移最大的粒子击在P点左侧，能通过小孔则击中小孔左边界的粒子从O点入射时，其与y轴的夹角为，满足关系 解得 同时还要满足粒子偏转距离x大于小孔右边界，故粒子所占比例为 18．如图所示，粒子源S产生的初速度为零，不同比荷的带正电粒子经过电压为的加速电场后，沿平行板中线方向进入匀强偏转电场，通过极板AG上的小孔P 离开电场，再从GF的中点M进入存在垂直纸面向外的匀强磁场的直角三角形区域，其中比荷为K的粒子恰好落在F点。已知偏转电场两板间的电压，，，，不计重力作用。 (1)求比荷为K的粒子经过P 点时的速度大小和与板AG的夹角θ； (2)求磁感应强度的大小B； (3)若粒子源S产生的粒子最终均能落在FH上，求粒子比荷的范围。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）在加速电场中，由动能定理 解得 在偏转电场中，由动能定理 联立，解得 由几何关系，则 解得 （2）由几何关系，可知粒子以速度 垂直于GF进入磁场，在磁场中做圆周运动，且可知轨道半径 由 解得 （3）设比荷为 则可得经加速电场加速后速度 偏转后速度 则由类平抛运动的几何关系可知，粒子仍在P 点以相同偏转角度射出，从M点垂直于GF进入匀强磁场， 则半径 解得 粒子落在FH上，可知 运动轨迹如图所示 半径最小时为，粒子打在F点，则 半径最大时为，运动轨迹与GH相切于点Q，则由几何关系 则 即 解得 19．如图甲所示，平面直角坐标系xOy第一、四象限内存在垂直于坐标平面的匀强磁场（未画出），规定垂直于纸面向外为磁场的正方向，磁场的磁感应强度随时间t的变化规律如图乙所示，B0为已知量；第二象限内存在沿y轴负方向、电场强度大小为E（未知）的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由点A（−L，0）处以大小为v0的初速度射入电场区域，其方向平行于xOy平面且与x轴正方向成θ=60°的夹角。t=0时刻粒子经y轴上的P点沿x轴正方向射入磁场区域。不考虑磁场变化的影响，忽略粒子的重力。求： (1)匀强电场的电场强度E； (2)从t=0至时间内，粒子动量变化量的大小； (3)粒子在时刻的x坐标。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在P点的速度 设粒子由A至P运动的时间为t0，则 在沿y轴正方向上，根据动量定理，有 联立解得 （2）t=0时刻，粒子在P点，其速度为 设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0，磁场中做圆周运动的周期分别为T1、T2，则周期分别为， 其中横轴1份时间单位 为3份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时刻，粒子速度恰好沿x轴正方向，大小为 此段时间内，粒子动量变化量大小为 （3）设粒子在磁感应强度大小分别为B0、2B0磁场中运动的半径分别为r1、r2，根据洛伦兹力提供向心力，有 解得 同理有 为4份时间单位 粒子运动轨迹如图所示 可知当时，粒子在x轴上的坐标为 可得 20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第一象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，第二象限存在垂直纸面向外的匀强磁场，两磁场磁感应强度大小相等．一质量为m、电荷量为+q的粒子从图中x轴上的P（，0）点以速度v0垂直于x轴进入磁场，并直接偏转到y轴正半轴上的Q点，再进入第一象限，Q点到坐标原点O的距离是L的k倍，不计粒子重力。 (1)若，求此时的磁感应强度大小B1； (2)若，求粒子从P点到Q点的时间t； (3)若粒子能运动到坐标为（0，5L）的A点（图中未标出），求磁感应强度B的可能值。 【答案】(1) (2) (3)（n=1，2，3，4，5，6，7，8，9） 【详解】（1）当时，粒子恰做四分之一圆周运动，根据几何关系可得 由洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）若时，轨迹如图所示 根据几何关系可得 解得 则有 可得 粒子圆周运动周期为 粒子运动时间为 （3）设粒子到达A点的过程中，经过y轴n次，第一次到达y轴的位置与坐标原点的距离为y0，对应的角度为θ，根据第一次进入第一象限的角度，轨迹逐渐经历如图甲（劣弧）、乙（半圆弧）、丙（优弧）、丁（与下边界相切）的变化过程 在磁场中运动有 对于甲：（，）， 对于乙：当 时，n=3， 对于丙：（，，）， 求得通式（，，） 对于丁：， 结合通式求得 则n最大取9，综上求得（n=1，2，3，4，5，6，7，8，9） 21．如图所示，在xOy平面内，有圆心为O、半径为L的圆形区域，圆形区域内无磁场，圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子位于坐标为（0，2L）的P点，粒子的重力忽略不计。 (1)若该粒子沿y轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (2)若该粒子沿x轴正方向从P点射出，经磁场后恰能经过O点，求粒子速度大小； (3)若该粒子沿x轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (4)若该粒子沿x轴正方向以速率从P点射出，且能够再次回到P点，求该粒子从出发到再次过P点所经历的时间t和路程s。 【答案】(1) (2) (3)和 (4)， 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 粒子恰好不进入圆形磁场区域的轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 有 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 作出粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 （3）若该粒子从P点沿x轴正方向射入磁场且不进入圆形无磁场区域的临界轨迹如图所示 当粒子轨迹和无磁场圆最高点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 当粒子轨迹和无磁场圆最低点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子速度大小范围为和 （4）若该粒子从P点以初速度，沿x轴正方向射入磁场，根据洛伦兹力提供向心力可知 轨迹圆半径为 周期 能够再次回到P点，粒子运动的轨迹如图所示 轨迹与圆的交点形成一个等边三角形，边长为，粒子从P点出发回到P点经过3个240°圆弧和3条边长。经过的时间为 经过的路程为 22．用磁场实现对微观粒子的控制在高能物理、材料科学、核磁共振、微流控芯片等领域有着广泛的应用。如图所示为一种能够实现用磁场控制微观粒子的装置内部磁场分布图，轴上方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小，轴下方存在方向垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小；在坐标原点处有一粒子源，可以同时发射速度大小为、方向分别沿轴正、负方向的两个带电粒子、。已知带电粒子质量均为，电荷量均为，粒子相遇时两者的运动互不影响，不计粒子重力及粒子间的相互作用。 (1)若、两粒子同时经过点，求该情况下的最小值； (2)若，且在坐标系内的磁场为矩形磁场，为使两粒子发射后能够在磁场中相遇次，求矩形磁场的最小面积； (3)两粒子发射后的运动轨迹会有很多交点，若，且两粒子发射时间不同，为使两粒子能相遇在横坐标最小的轨迹交点处，求两粒子发射的时间差。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由洛伦磁力提供向心力，有 解得 由洛伦磁力提供向心力，有 解得 若B最小，说明H点是P、Q粒子在x轴上第一次相遇的点，P、Q粒子同时从O点出发，运动轨迹如图1所示 可知 解得B的最小值为 （2）当时，由洛伦磁力提供向心力，有 解得 由洛伦磁力提供向心力，有 解得 P、Q两粒子同时发射后，每经过一个周期在x轴上相遇一次，P粒子每个周期内轨迹与x轴的交点向正方向移动 n个周期向正方向移动 所以磁场右边界的x轴坐标为 磁场的左边界x轴坐标为 磁场沿x轴方向宽度为 磁场沿y轴方向宽度为 所加矩形磁场的最小面积 （3）横坐标最小的轨迹交点如图2中所示的G点 O1O2之间距离与AO之间距离相等，易知 可得=45° 结合 可得， P粒子运动至G点转过国心角为45°，所用时间     Q粒子运动至G点，在x轴下方转过圆心角为180°，在x轴上方转过圆心角为135°，所用时间 两粒子从O点出发的时间之差 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $