专题07 奇数偶数、质数合数（期中专项训练）数学青岛版五四制四年级下册

专题07 奇数偶数、质数合数 （6种类型60道） 目录 题型一、奇数与偶数的认识 1 题型二、运算性质（奇数和偶数） 2 题型三、质数与合数的认识 5 题型四、质数与合数的综合运用 6 题型五、质因数的含义 9 题型六、分解质因数 11 题型一、奇数与偶数的认识 1．已知M是一个偶数，则5M＋24的和一定是（    ）。 A．奇数 B．5的倍数 C．偶数 D．质数 2．一个四位数，百位和个位上的数字都是奇数，且这个数是一个合数。下列说法中，一定正确的是（    ）。 A．这个数十位上的数字一定是偶数 B．这个数不可能是质数 C．这个数一定能被3整除 D．这个数至少有两个偶数数字 3．下面各组中两者之间的关系，不适合用下图表示的是（    ）。 A．长方形与平行四边形 B．质数与合数 C．长方体与正方体 D．偶数与4的倍数 4．哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。下列情形中符合这一结果的是（    ）。 A．3＝1＋2 B．20＝13＋7×1 C．18＝3＋3×5 D．15＝5＋2×5 5．口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 6．在1、11、19、27、53、87、97这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是奇数又是合数，( )既不是质数也不是合数。 7．40名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“偶数”或“奇数”） 8．“56”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是一个偶数。 9．用分别写有数字1，2，3的三张卡片摆出一个三位数，是奇数的可能性( )是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 10．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是( )。 题型二、运算性质（奇数和偶数） 11．将45名学生分成两批进行视力检测，如果一批学生人数是偶数，那么另一批学生人数是奇数还是偶数？为什么？ 12．一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 13．下面是四张写有五位数的卡片，按要求回答问题。 69777      24888      48666      34567 （1）用卡片上的数写出和是偶数的一个式子与差是奇数的一个式子。（不计算出结果） （2）用卡片上的数写出积是偶数的一个式子与积是奇数的一个式子。（不计算出结果） 14．小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 15．2025年1月，深度求索人工智能研究院开发的大型语言模型DeepSeek正式发布，在AI人工智能发展史上具有里程碑意义。小华是一个科技迷，正在看一本240页的科普书《DeepSeek实战指南》。 （1）第一个月读了全书的，第二个月读了全书的。还剩下这本书的几分之几没读完？ （2）小华翻开书本，书本的前后两页均有显示页码数，于是说：“这两个页码数之和是偶数。”你同意她的说法吗？请说明理由。 16．妈妈为了激励两个小孩养成坚持跳绳锻炼的习惯。约定：每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸。经过几天的坚持与努力，其中一个孩子已经累积获得了26张贴纸，那么另一个孩子可能获得了多少张贴纸？展示你的思考过程。 17．为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 18．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 19．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 20．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 题型三、质数与合数的认识 21．一个正方形的边长是质数，它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数和合数都有可能 D．既不是质数也不是合数 22．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．9和11 B．11和13 C．13和15 D．21和23 23．淘气和笑笑两人玩掷骰子游戏，下面（    ）游戏规则公平。 A．质数淘气胜，合数笑笑胜 B．大于4淘气胜，小于4笑笑胜 C．奇数淘气胜，偶数笑笑胜 D．2的倍数淘气胜，3的倍数笑笑胜 24．A＝2×3×5，A共有( )个因数，其中有( )个质数，有( )个合数。 25．25的因数有( )，这些因数中，质数有( )，合数有( )。 26．一个数既是30的倍数，又是30的因数，这个数是( )，它的因数有( )，这些数中( )是质数，( )是合数。 27．李阿姨新买了一部手机，并设置了一个六位数ABCDEF的开机密码：A是最小的质数，B是最小的合数，C是一位数中最大的偶数，D的最小倍数是7，E的倒数是它本身，F是2和3的公倍数。李阿姨新手机的开机密码是( )。 28．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 29．在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 30．豆包是一款AI智能助手，乐乐在豆包对话框第一次输入：我心里想了两个数，这两个数的和是18，两个数都是质数。豆包给出的答案是( )。第二次输入：两个数的积是65，豆包最后应给出的答案是( )。 题型四、质数与合数的综合运用 31．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 32．张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 33．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 34．张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 35．用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 36．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长宽都是合数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 37．某村大力发展苗木花卉种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）其中一座用于花卉种植的温室大棚长度和跨度（宽）都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米。大棚的底面周长为156米，则大棚的底面面积是多少？ （2）温室大棚产出花卉的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一花卉的面积相同，自然种植每10平方米产出的花卉有91朵，大棚种植每10平方米产出的花卉朵数是自然种植产出花卉朵数的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵？ 38．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 39．下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？ 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 40．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 题型五、质因数的含义 41．39的因数有( )，其中质因数是( )。 42．18的因数有( )，质因数有( )，把18分解质因数是( )。 43．18的因数有( )，其中质因数有( )。 44． 45．35的因数有( )，其中质因数有( )。 46．在5×6＝30中，( )和( )都是30的因数，其中( )是30的质因数。 47．在42＝6×7中，________和________都是________的因数，________是________的质因数。 48．某青年志愿服务小队共有40人，其中男、女生的人数都是质数，且男、女生人数的乘积是391。这支青年志愿服务小队中男、女生各有多少人？（男生的人数比女生少） 49．（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 50．甲乙两数只含有2、3质因数，甲数有21个约数，乙数有10个约数，它们的最大公约数是18，求此二数。 题型六、分解质因数 51．分解质因数。（用短除法） 54              105 52．用短除法分解质因数。 60                  55                  72                    91 53．用短除法把下列各数分解质因数。 54              70               88                                          54＝2×3×3×3                  70＝2×5×7                    88＝2×2×2×11 54．用短除法把下列各数分解质因数。 88                  62                    72 55．把下面各数分解质因数。 18           60           75 56．用短除法把下列各数分解质因数。 72            231 57．分解质因数。 91        117          72 58．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 59．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 60．某景区为了方便游客，打算在三个重要地段增设不同数量的垃圾箱，如果三个地段增设的垃圾箱的数量恰好是三个连续的自然数，且它们的积是210，你知道这三个地段增设的垃圾箱的数量分别是多少个吗？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 奇数偶数、质数合数 （6种类型60道） 目录 题型一、奇数与偶数的认识 1 题型二、运算性质（奇数和偶数） 6 题型三、质数与合数的认识 15 题型四、质数与合数的综合运用 19 题型五、质因数的含义 27 题型六、分解质因数 31 题型一、奇数与偶数的认识 1．已知M是一个偶数，则5M＋24的和一定是（    ）。 A．奇数 B．5的倍数 C．偶数 D．质数 【答案】C 【分析】用特殊值法，设M是一个具体的偶数，算出5M＋24的和，根据结果进行选择。 【详解】假设M＝4 5M＋24 ＝5×4＋24 ＝20＋24 ＝44 A．44能被2整除，是偶数，原说法错误； B．44不能被5整除，不是5的倍数，原说法错误； C．44是偶数，原说法正确； D．44的因数除了1和44，还有2，4，11，22，它是合数，原说法错误。 5M＋24的和一定是偶数。 2．一个四位数，百位和个位上的数字都是奇数，且这个数是一个合数。下列说法中，一定正确的是（    ）。 A．这个数十位上的数字一定是偶数 B．这个数不可能是质数 C．这个数一定能被3整除 D．这个数至少有两个偶数数字 【答案】B 【分析】奇数：末尾是1、3、5、7、9的数是奇数；偶数：末尾是2、4、6、8、0的数；合数：除了1和它本身，还有其它因数的数是合数；质数：只有1和它本身，没有其它因数的数是质数。 【详解】A．这个数十位上的数字一定是偶数；如这个数是1135，十位上的数是奇数，原说法错误。 B．这个数不可能是质数，这个数是合数，不是质数，原说法正确。 C．这个数一定能被3整除；如这个数是1135；1＋1＋3＋5＝10，10不能被3整除，原说法错误。 D．这个数至少有两个偶数数字；如1135，都是奇数，原说法错误。 一个四位数，百位和个位上的数字都是奇数，且这个数是一个合数。一定正确的是这个数不可能是质数。 3．下面各组中两者之间的关系，不适合用下图表示的是（    ）。 A．长方形与平行四边形 B．质数与合数 C．长方体与正方体 D．偶数与4的倍数 【答案】B 【分析】当两项不是包含关系时，不能用这个图表示。 【详解】A．长方形是特殊的平行四边形，可以用这个图表示； B．质数与合数不是包含关系，不能用这个图表示； C．正方体是特殊的长方体，可以用这个图表示； D．能被2整除的数是偶数，4的倍数一定是偶数，可以用这个图表示。 不适合用下图表示的是质数与合数。 4．哥德巴赫猜想一直被看作数学皇冠上的明珠，对于哥德巴赫猜想的偶数情形，目前最好的结果是我国数学家陈景润证明的结果：任何充分大的偶数都可以写成一个质数加上两个质数的乘积的形式，通常称“1＋2”。下列情形中符合这一结果的是（    ）。 A．3＝1＋2 B．20＝13＋7×1 C．18＝3＋3×5 D．15＝5＋2×5 【答案】C 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A．3＝1＋2，3是奇数，1既不是质数也不是合数，也没有两个质数的乘积的形式，排除； B．20＝13＋7×1，1既不是质数也不是合数，排除； C．18＝3＋3×5，18是偶数，3和5都是质数，符合； D．15＝5＋2×5，15是奇数，排除。 符合这一结果的是18＝3＋3×5。 5．口袋里有0、1、2、5四张数字卡片，从中任意摸出两张来组成两位数，组成的两位数有( )种情况，是奇数的可能性有( )种。 【答案】 9 4 【分析】①要组成两位数，十位上不能是0，列举出十位上的数字是1、2、5时组成的两位数，统计所有可能的情况； ②个位数字是1、5的数是奇数。 【详解】十位上的数字是1时，组成的两位数有：10、12、15共3种情况； 十位上的数字是2时，组成的两位数有：20、21、25共3种情况； 十位上的数字是5时，组成的两位数有：50、51、52共3种情况； 组成的两位数有： 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（种） 组成的9种情况中，是奇数的可能性有15、21、25、51共4种情况。 6．在1、11、19、27、53、87、97这些数中，( )是质数，( )是合数，( )既是奇数又是合数，( )既不是质数也不是合数。 【答案】 11、19、53、97 27、87 27、87 1 【分析】质数：大于1，只有1和自身两个因数的数。 合数：大于1，除了1和自身还有其他因数的数。 奇数：不能被2整除的数。 逐个分析数字： 1不满足质数与合数的定义，所以1既不是质数也不是合数。 11因数只有1和11，所以11是质数；不能被2整除，所以11同时是奇数。 19因数只有1和19，所以19是质数；不能被2整除，所以19同时是奇数。 27因数有1、3、9、27，所以27是合数；不能被2整除，所以27同时是奇数。 53因数只有1和53，所以53是质数；不能被2整除，所以53同时是奇数。 87因数有1、3、29、87，所以87是合数；不能被2整除，所以87同时是奇数。 97因数只有1和97，所以97是质数；不能被2整除，所以97同时是奇数。 【详解】质数：11、19、53、97 合数：27、87 既是奇数又是合数：27、87 既不是质数也不是合数：1 7．40名学生要分成甲、乙两队。如果甲队人数为奇数，那么乙队人数为( )。（填“偶数”或“奇数”） 【答案】奇数 【分析】根据“奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数”可知，40是偶数，把它分成两个数的和，如果其中一个是奇数，另一个也是奇数，由此求解。 【详解】因为40＝甲队人数＋乙队人数，40是偶数，甲队人数是奇数，因为奇数＋奇数＝偶数，所以乙队人数为奇数。 8．“56”是一个三位数，当里填( )时，它既是2的倍数，又是5的倍数；当里填( )时，它既是3的倍数，又是一个偶数。 【答案】 0 4 【分析】（1）根据题意，先明确2、5的倍数的共同特征，个位上是0的数，既是2的倍数又是5的倍数，据此确定第一个方框里的数字； （2）明确3的倍数的特征和偶数的定义，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，偶数是个位上为0、2、4、6、8的数，先计算已知数位的数字和，再找出同时符合两个条件的个位数字，据此解答。 【详解】（1）既是2的倍数又是5的倍数的数，个位数字必须为0，因此□里填0。 （2）5＋6＝11，这个数是偶数，个位可填0、2、4、6、8；同时是3的倍数，各位数字和需是3的倍数。11＋4＝15，15是3的倍数，符合条件，因此□里填4。 9．用分别写有数字1，2，3的三张卡片摆出一个三位数，是奇数的可能性( )是偶数的可能性。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】奇数和偶数的定义（个位为1、3的数是奇数，个位为2的数是偶数）、排列组合、可能性大小比较。先列举1、2、3组成的所有三位数，区分奇偶性后统计数量，通过数量占比比较可能性大小。 【详解】所有三位数：123、132、213、231、312、321（共6个）； 奇数（个位为1、3）：123、213、231、321（共4个）；偶数（个位为2）：132、312（共2个）； 可能性计算： 奇数可能性： 偶数可能性： 因为，所以奇数的可能性大于偶数的可能性。 10．a、b是两个不同的质数，c是最小的合数，若2a＋b＝16－c，则的积是( )。 【答案】40 【分析】合数：指自然数中除了能被1和它本身整除外，还能被其他的数整除的数。“0”“1”既不是质数也不是合数。最小的合数是4。质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数，最小的质数是2。 【详解】c是最小的合数是4，16－c＝16－4＝12； 2a＋b＝16－c＝12，则b＝12－2a； 因为2a一定是偶数，（12－2a）也一定是偶数 即b是偶数，由题知b是质数，既是质数又是偶数的只有2，所以b＝2 2a＋2＝12 解：2a＝10 a＝5 a×b×c＝5×2×4＝40 所以 �� × �� × �� 的积是40。 【点睛】明确质数里只有2一个偶数，除了2都是奇数是解题关键。 题型二、运算性质（奇数和偶数） 11．将45名学生分成两批进行视力检测，如果一批学生人数是偶数，那么另一批学生人数是奇数还是偶数？为什么？ 【答案】奇数；理由见详解 【分析】因为奇数＋偶数＝奇数，所以奇数－偶数＝奇数。 【详解】答：另一批学生是奇数；因为总人数45是奇数，其中一批学生人数是偶数，由“奇数－偶数＝奇数”可知，另一批学生人数是奇数。 12．一个整数除以2，除得的商正好是整数，而没有余数，这个整数就是偶数；反之，这个整数就是奇数。像0、2、4、36、58、146…都是偶数，像1、3、25、37、249…都是奇数。 （1）有人说：“奇数与奇数的和一定等于偶数”，你同意吗？请说明理由。 （2）关于奇数和偶数，你还能提出什么猜想？请验证你的猜想是否正确。 【答案】（1）同意； （2）猜想：奇数与偶数的和一定是奇数；正确 【分析】（1）偶数：能被2整除的数；奇数：不能被2整除的数，据此可以举例判断奇数＋奇数是否等于偶数； （2）可以提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数，根据奇数和偶数的概念举例判断猜想是否正确；注意：此题答案不唯一。 【详解】（1）3和5都是奇数，3＋5＝8，8是偶数； 7和9都是奇数，7＋9＝16，16是偶数。 答：通过举例判断说明奇数和奇数的和一定等于偶数，所以我同意这个说法。 （2）提出猜想：奇数与偶数的和一定是奇数。 1是奇数，2是偶数，1＋2＝3，3是奇数； 15是奇数，20是偶数，15＋20＝35，35是奇数。 答：通过举例判断可以说明我提出的猜想：奇数与偶数的和一定是奇数是正确的。 13．下面是四张写有五位数的卡片，按要求回答问题。 69777      24888      48666      34567 （1）用卡片上的数写出和是偶数的一个式子与差是奇数的一个式子。（不计算出结果） （2）用卡片上的数写出积是偶数的一个式子与积是奇数的一个式子。（不计算出结果） 【答案】（1）和是偶数：24888＋48666（答案不唯一） 差是奇数：69777－24888（答案不唯一） （2）积是偶数：24888×69777（答案不唯一） 积是奇数：69777×34567 【分析】（1）奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数-奇数＝奇数，奇数-偶数＝奇数； （2）偶数偶数＝偶数，偶数奇数＝偶数，奇数奇数＝奇数。据此解答。 【详解】（1）24888是偶数，48666是偶数，所以和是偶数（答案不唯一）； 69777是奇数，24888是偶数，差是奇数（答案不唯一）； （2）24888是偶数，69777是奇数，所以积是偶数（答案不唯一）； 69777是奇数，34567是奇数，所以积是奇数。 14．小宇和小恒一起玩转盘游戏，下面是小恒设计的游戏规则： （1）小宇认为小恒设计的游戏规则不公平，你知道为什么吗？ （2）请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】（1）不公平，理由见解析。 （2）示例：小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【分析】（1）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的可能性是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可。 （2）要想使游戏公平，就要使他们两人获胜的可能性同样大，根据题意设计公平的游戏规则即可（答案不唯一）。 【详解】（1）不公平，理由如下： 因为奇数＋奇数的和是偶数，偶数＋偶数的和也是偶数，所以不论指针指到几，按顺时针方向数相应的格数，得到的都是偶数，所以不论小宇转到几都是小恒赢。 所以不公平。 （2）一共有30个数，其中15个奇数，15个偶数，可以设计如下： 小宇转转盘，指针指到奇数小宇赢，指到偶数小恒赢。（答案不唯一） 【点睛】此题考查奇数和偶数的认识，可能性大小的比较，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等。 15．2025年1月，深度求索人工智能研究院开发的大型语言模型DeepSeek正式发布，在AI人工智能发展史上具有里程碑意义。小华是一个科技迷，正在看一本240页的科普书《DeepSeek实战指南》。 （1）第一个月读了全书的，第二个月读了全书的。还剩下这本书的几分之几没读完？ （2）小华翻开书本，书本的前后两页均有显示页码数，于是说：“这两个页码数之和是偶数。”你同意她的说法吗？请说明理由。 【答案】（1）； （2）不同意；理由见详解 【分析】（1）把这本书的总页数看作单位“1”，第一个月读了全书的，第二个月读了全书的，剩下的页数占总页数的分率＝1－（第一个月读的页数占总页数的分率＋第二个月读的页数占总页数的分率）； （2）联系生活实际可知，书本上前后两页的页码数应该是相邻的自然数，而相邻的自然数一个是奇数，另一个是偶数，由奇数和偶数的运算性质可知，奇数与偶数的和一定是奇数，不可能是偶数，据此解答。 【详解】（1）1－（＋） ＝1－（＋） ＝1－ ＝ 答：还剩下这本书的没读完。 （2）不同意小华的说法；因为书本前后两页的页码数是相邻的自然数，则一个是奇数另一个是偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以这两个页码数之和是奇数，而不是偶数，小华的说法错误。 16．妈妈为了激励两个小孩养成坚持跳绳锻炼的习惯。约定：每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸。经过几天的坚持与努力，其中一个孩子已经累积获得了26张贴纸，那么另一个孩子可能获得了多少张贴纸？展示你的思考过程。 【答案】23张或30张；思考过程见详解 【分析】根据“每天发给先完成跳绳任务的孩子4张贴纸，发给后完成的孩子3张贴纸”，设已经累积获得了26张贴纸的孩子有a个4张和b个3张，也就是说可以4a＋3b＝26，根据偶数的意义可知，4a和26都是偶数，则3b一定是偶数，3是奇数，那么b一定是偶数。 然后分情况讨论，当b等于哪些偶数时，a是整数，据此得出这个孩子拿了几次第一，几次第二；由此推导出另一个孩子拿了几次第一和几次第二，进而求出另一个孩子可能获得贴纸的数量。 【详解】设已经累积获得了26张贴纸的孩子有a个4张和b个3张； 4a＋3b＝26 4a和26都是偶数，则3b一定是偶数，3是奇数，那么b一定是偶数。 ①当b＝2时 4a＋3×2＝26 解：4a＋6＝26 4a＋6－6＝26－6 4a＝20 4a÷4＝20÷4 a＝5 即这个孩子拿到5次第一，2次第二； 那么另一个孩子就拿到2次第一，5次第二；他获得贴纸： 4×2＋3×5 ＝8＋15 ＝23（张） ②当b＝4时 4a＋3×4＝26 解：4a＋12＝26 4a＋12－12＝26－12 4a＝13 4a÷4＝13÷4 a＝3.25 a的值不是整数，不符合题意； ③当b＝6时 4a＋3×6＝26 解：4a＋18＝26 4a＋18－18＝26－18 4a＝8 4a÷4＝8÷4 a＝2 即这个孩子拿到2次第一，6次第二； 那么另外一个孩子就拿到6次第一，2次第二；他获得贴纸： 4×6＋3×2 ＝24＋6 ＝30（张） ④当b＝8时 4a＋3×8＝26 解：4a＋24＝26 4a＋24－24＝26－24 4a＝2 4a÷4＝2÷4 a＝0.5 a的值不是整数，不符合题意； ⑤当b＝10时，3×10＝30（张） 30＞26，超过总数，不符合题意。 答：另一个孩子可能获得了23张或30张贴纸。 17．为了加强生活垃圾分类宣传教育，提高师生参与垃圾分类的积极性和主动性，学校举办了垃圾分类知识竞赛。五（1）班同学参加了这次竞赛，一共有40道题，评分标准如下：答对一道题得3分，不答或答错一题倒扣1分，那么五（1）班同学所得总分是奇数还是偶数，为什么？ 【答案】偶数；原因见详解 【分析】答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，奇偶的运算性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数－奇数＝奇数。如果答对是奇数，那么答错也是奇数，得分和扣的分数一定是两个奇数，差为偶数；如果答对是偶数，那么答错也是偶数，得分和扣的分数一定是两个偶数，差还是偶数；据此解答即可。 【详解】假设全答对： 40×3＝120（分），得分为偶数； 假设答对39道题： 39×3－1×1＝117－1＝116（分），得分为偶数； 假设答对38道题： 38×3－1×2＝114－2＝112（分），得分为偶数； …… 由于答对的数量×3－答错的数量×1＝实际得分，总题数是40道，属于偶数，有两种情况： ①如果答对是奇数，那么答错也是奇数，得分和扣的分数一定是两个奇数，差为偶数； ②如果答对是偶数，那么答错也是偶数，得分和扣的分数一定是两个偶数，差还是偶数； 据此可得，总得分一定是偶数。 答：五（1）班同学所得总分是偶数。 18．实验小学五（1）班有41名同学，现在派他们到4个卫生区去打扫卫生，每个卫生区只能派奇数名同学。你能完成分配任务吗？请说明做法或原因。 【答案】不能；原因见详解 【分析】奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 已知五（1）班有41名同学派到4个卫生区，每个卫生区只能派奇数名同学，根据奇数和偶数的运算性质可知，四个奇数相加的和是偶数，但总人数是奇数，所以不能完成分配任务。 【详解】答：不能完成分配任务。因为奇数＋奇数＝偶数，那么四个奇数相加的和是偶数，但总人数41是奇数，所以不能完成分配任务。 19．周六，妈妈准备去文具店给小亮买文具，作文本每本2元，中性笔每支4元，钢笔每支12元，妈妈买了作文本、中性笔、钢笔若干，付给收银员100元，收银员找给妈妈35元，找的钱数对吗？请说明理由。 【答案】不对，理由见详解 【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数，据此解答。 【详解】答：不对。理由：各种商品的单价都是偶数。根据偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，所以不管每种文具买多少，它们各自的花费都是偶数，那么商品的总价就是这些偶数的和，根据偶数＋偶数＝偶数，可知商品总价一定是偶数。100是偶数，那么找零应该是偶数减偶数，结果也一定是偶数， 而35是奇数，所以找的钱数不对。 20．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。 【答案】偶数；奇数；理由见详解 【分析】由运算性质的奇偶性可知，奇数与奇数的差为偶数，奇数与偶数的差为奇数，假设出抽调到甲社区的教师人数，求出抽调到乙社区的教师人数，最后判断乙社区的教师人数为奇数还是偶数，据此解答。 【详解】情况1：假设抽调到甲社区了15人。 35－15＝20（人） 因为20为偶数，所以当抽调到甲社区的教师人数为奇数时，抽调到乙社区的教师人数为偶数。 情况2：假设抽调到甲社区了10人。 35－10＝25（人） 因为25为奇数，所以当抽调到甲社区的教师人数为偶数时，抽调到乙社区的教师人数为奇数。 答：如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为偶数，如果抽调到甲社区的教师人数为偶数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数。 【点睛】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。 题型三、质数与合数的认识 21．一个正方形的边长是质数，它的面积一定是（    ）。 A．质数 B．合数 C．质数和合数都有可能 D．既不是质数也不是合数 【答案】B 【分析】正方形的面积＝边长×边长。质数：只有1和它本身两个因数的数。合数：除了1和它本身以外还有别的因数的数。 【详解】设正方形的边长为质数（＞1）。 正方形的面积为 ，＞1且是质数； 所以有1、、至少3个因数； 根据合数的定义，一个正方形的边长是质数，它的面积一定是合数。 22．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（    ）。 A．9和11 B．11和13 C．13和15 D．21和23 【答案】B 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。“孪生质数”是指相差2的两个质数。 【详解】A．9是合数，排除选项； B．11和13都是质数，且13－11＝2，符合题意； C．15是合数，排除选项； D．21是合数，排除选项。 23．淘气和笑笑两人玩掷骰子游戏，下面（    ）游戏规则公平。 A．质数淘气胜，合数笑笑胜 B．大于4淘气胜，小于4笑笑胜 C．奇数淘气胜，偶数笑笑胜 D．2的倍数淘气胜，3的倍数笑笑胜 【答案】C 【分析】掷骰子出现的数字为：1、2、3、4、5、6。 A．除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。质数和合数的数量相同则游戏公平。 B．大于4和小于4的数量相同则游戏公平。 C．是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数，奇数和偶数的数量相同则游戏公平。 D．个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；2的倍数和3的倍数数量相同则游戏公平。 【详解】A．骰子上质数有2、3、5，合数有4、6，质数数量多于合数，那么此时淘气赢的可能性大于笑笑，游戏是不公平的； B．骰子上小于4的数有1、2、3，大于4的数有5、6，大于4的数量少于小于4的数量，此时笑笑赢的可能性更大，游戏不公平； C．骰子上奇数有1、3、5，偶数有2、4、6，奇数和偶数的数量相同，那么淘气和笑笑赢的可能性是一样大的，游戏公平； D．骰子上2的倍数有2、4、6，3的倍数有3、6，2的倍数有3个，3的倍数有2个，2的倍数多于3的倍数的数量，此时淘气赢的可能性更大，游戏不公平。 故答案为：C 24．A＝2×3×5，A共有( )个因数，其中有( )个质数，有( )个合数。 【答案】 8 3 4 【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】A＝2×3×5＝30 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6 30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，A共有8个因数，其中质数是2、3、5，有3个质数，合数是6、10、15、30，有4个合数。 25．25的因数有( )，这些因数中，质数有( )，合数有( )。 【答案】 1、5、25 5 25 【分析】如果a×b＝c（a、b、c均是不为0的自然数），则a和b是c的因数，按顺序找出25的所有因数。 自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。 【详解】1×25＝25，5×5＝25，所以25的因数有1、5、25； 1只有它本身一个因数，既不是质数，也不是合数； 5＝1×5，5只有1和它本身两个因数，5是质数； 25＝5×5，25除了1和它本身外还有其他因数，25是合数。 26．一个数既是30的倍数，又是30的因数，这个数是( )，它的因数有( )，这些数中( )是质数，( )是合数。 【答案】 30 1，2，3，5，6，10，15，30 2，3，5 6，10，15，30 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 【详解】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此这个数是30。 30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，它的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，这些数中2，3，5是质数，6，10，15，30是合数。 27．李阿姨新买了一部手机，并设置了一个六位数ABCDEF的开机密码：A是最小的质数，B是最小的合数，C是一位数中最大的偶数，D的最小倍数是7，E的倒数是它本身，F是2和3的公倍数。李阿姨新手机的开机密码是( )。 【答案】 248716 【分析】自然数中只有1和它本身两个因数的数是质数，最小的质数是2；除了1和它本身外还有其他因数的数是合数，最小的合数是4。 是2的倍数的数是偶数，一位数中最大的偶数是8。 一个数最小的倍数是它本身，所以最小倍数是7的数是7。 1的倒数是1。 要求2和3的公倍数是一位数，只有2×3＝6。据此解答。 【详解】A是最小的质数，质数中最小的是2；B是最小的合数，合数中最小的是4；C是一位数中最大的偶数，一位数的偶数最大的是8；D的最小倍数是7，一个数的最小倍数是它本身，因此D为7；E的倒数是它本身，满足此条件的一位数字是1；F是2和3的公倍数且是一位数，2和3的最小公倍数是6，因此F为6。 因此，李阿姨新手机的开机密码是248716。 28．的分数单位是( )，它有( )个这样的分数单位，再加上( )个这样的分数单位就是最小的合数。 【答案】 14 6 【分析】分数单位是把单位“1”平均分成若干份取其中的一份的数。分数的分母是几，这个分数的分数单位就是几分之一。先将带分数转化为假分数，分子是几，它就有几个这样的分数单位；最小的合数是4，先把4化成分母是5的假分数，再看分子相差几，即还需要再加上几个这样的分数单位就是最小的合数。 【详解】＝ 4＝ 20－14＝6 所以的分数单位是，它有14个这样的分数单位，再加上6个这样的分数单位就是最小的合数。 29．在2、29、60、91这些数中，( )既是质数又是偶数，( )既是合数又是奇数，( )既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 2 91 60 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 2，3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】在2，29，60，91这些数中， 91既是合数又是奇数，2既是质数又是偶数，60既是2的倍数，又是3的倍数。 30．豆包是一款AI智能助手，乐乐在豆包对话框第一次输入：我心里想了两个数，这两个数的和是18，两个数都是质数。豆包给出的答案是( )。第二次输入：两个数的积是65，豆包最后应给出的答案是( )。 【答案】 5和13、7和11 5和13 【分析】除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。找出两个正整数相加的和是18，根据质数的因数只有1和它本身，则找出两个加数是质数的式子；观察两个质数的积是65，通过两数和验证一下即可。 【详解】18＝1＋17＝2＋16＝3＋15＝4＋14＝5＋13＝6＋12＝7＋11＝8＋10＝9＋9； 即这两个数的和是18，两个数都是质数。豆包给出的答案是5和13、7和11； 5×13＝65； 7×11＝77； 即两个数的积是65，豆包最后应给出的答案是5和13。 题型四、质数与合数的综合运用 31．李爷爷是书法协会会员。下表是李爷爷收藏的不同字体的书法作品数量。李爷爷要把这些作品分类放到盒子里。哪种字体的作品可以平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）？请说明理由。 字体 隶书 楷书 行书 草书 数量/幅 31 57 91 42 【答案】楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份；理由见详解 【分析】分别检查表格中每个字体对应的数量是否为合数，即能否找到两个大于1的整数相乘等于该数量。 质数是指大于1的自然数，除了1和它本身，没有其他因数。合数是指大于1的自然数，除了1和它本身之外还有其他因数的数，因此可以分解为两个大于1的整数的乘积。 【详解】答：楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。理由： 隶书：31的因数只有1和31，不能平均分成若干份（份数、每份的作品幅数均大于1）； 楷书：57的因数有1、3、19、57，可分成3份，每份19幅，或分成19份，每份3幅，能平均分成若干份； 行书：91的因数有1、7、13、91，可分成7份，每份13幅，或分成13份，每份7幅，能平均分成若干份； 草书：42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，可分成2份，每份21幅，或分成3份，每份14幅，或分成6份，每份7幅等，能平均分成若干份； 所以楷书、行书、草书作品可以平均分成若干份。因为57、91、42都是合数，除了1和它本身之外还有其他因数，而31是质数，只有1和它本身两个因数。 32．张老师画了一幅长方形的水墨画，长和宽都是整分米数，而且都是质数，并且已知水墨画周长是36分米，这幅水墨画的面积最大是多少平方分米？ 【答案】77平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长和宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；再将长与宽和拆成两个质数相加的形式，确定长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出面积即可。 【详解】36÷2＝18（分米） 18＝11＋7＝13＋5 11×7＝77（平方分米） 13×5＝65（平方分米） 77＞65，最大面积是77平方分米。 答：这幅水墨画的面积最大是77平方分米。 33．美美用一张手工纸折爱心，妈妈告诉她这张长方形纸的周长是10分米，并且它的长、宽的分米数是两个质数，这张长方形纸的面积是多少平方分米？ 【答案】6平方分米 【分析】根据长方形周长＝（长＋宽）×2，则长＋宽＝周长÷2，据此求出长方形纸的长与宽的和；一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出和是5分米的两个质数，再根据长方形面积＝长×宽，据此求出这张长方形纸的面积。 【详解】10÷2＝5（分米） 和是5的两个质数是3和2，长方形纸的长是3分米，宽是2分米。 3×2＝6（平方分米） 答：这张长方形纸的面积是6平方分米。 34．张叔叔在花圃里种了几行玫瑰，每行的棵数相同。欢欢、笑笑和乐乐到张叔叔的花圃数了数玫瑰的总棵数。 他们谁数得对？为什么？ 【答案】笑笑；理由见详解 【分析】先根据质数和合数的意义，分析43、47、48是质数还是合数，质数不可能有几行，且每行的棵数相同；合数才可能有几行，且每行的棵数相同。据此解答。 一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 【详解】43的因数：1，43； 48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48； 47的因数：1，47； 43、47是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同； 48是合数，有可能种了2行，每行24棵；或种了3行，每行16棵；或种了4行，每棵12棵；或种了6行，每行8棵；或种了8行，每行6棵；或种了12行，每行4棵；或种了16行，每行3棵；或种了24行，每行2棵。 答：笑笑数对了。43、47都是质数，不可能有几行，且每行的棵数相同；48是合数，才可能有几行，且每行的棵数相同。 35．用一根32cm长的铁丝围成一个长方形，要求长方形的长和宽都是整厘米数，且长和宽都是质数，这个长方形的面积最大是多少？ 【答案】55平方厘米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，那么长＋宽＝周长÷2，据此求出长与宽的和，再根据质数的意义确定长、宽，然后根据长方形面积＝长×宽，把数据代入公式解答。 【详解】32÷2＝16（厘米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方厘米） 11×5＝55（平方厘米） 55＞39 答：这个长方形的面积最大是55平方厘米。 36．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长宽都是合数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】540立方厘米 【分析】根据长方体周长＝（长＋宽）×2，可确定长与宽的和是15厘米，15以内的合数是：4、6、8、9、10、12、14、15，则长、宽是9厘米和6厘米。再根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】30÷2＝15（厘米） 6和9都是合数且15＝9＋6，所以长、宽是9厘米、6厘米。 9×6×10 ＝54×10 ＝540（立方厘米） 答：这个长方体的体积是540立方厘米。 37．某村大力发展苗木花卉种植业，兴建现代化温室大棚。 （1）其中一座用于花卉种植的温室大棚长度和跨度（宽）都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米。大棚的底面周长为156米，则大棚的底面面积是多少？ （2）温室大棚产出花卉的量比自然种植要高，自然种植和大棚种植同一花卉的面积相同，自然种植每10平方米产出的花卉有91朵，大棚种植每10平方米产出的花卉朵数是自然种植产出花卉朵数的所有因数之和，那么大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵？ 【答案】（1）737平方米 （2）112朵 【分析】（1）长方形的周长＝（长＋宽）×2，已知大棚的底面周长为156米，则大棚的长＋宽＝156÷2＝78（米）。大棚的长和宽都是以米为单位的两位质数，且跨度不大于15米，据此把78分解成符合要求的两位质数相加的形式，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可解答。 （2）根据题意，先求出91的所有因数，再把它们相加即可求出大棚种植每10平方米产出的花卉有多少朵。 可以列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是91的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是91的因数。据此解答。 【详解】（1）156÷2＝78（米） 小于15的两位质数有11和13，当跨度为11米时，长度为：78－11＝67（米） 67是质数，符合题意，此时面积为67×11＝737（平方米） 当跨度为13米时，长度为：78－13＝65（米） 67不是质数，不符合题意。 答：大棚的底面面积是737平方米。 （2）91＝1×91＝7×13 1＋91＋7＋13＝112（朵） 答：大棚种植每10平方米产出的花卉有112朵。 38．数学老师买来一百多颗糖果和同学们做游戏，游戏规则如下：在游戏开始前，老师先从袋子里拿走10个以内的任意数量的糖果，再依次提问：袋子里的糖数是质数还是合数？答对可以拿走3颗糖，答错只能拿走1颗糖。32个同学全部回答合数，那么游戏结束，同学们拿走的糖果总数最少是多少颗？ 【答案】92颗 【分析】根据质数的意义，一个数如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数a，大于2的质数均为奇数。第一个同学回答合数，只能拿走1颗糖，a－1＝偶数，此时袋子里剩余糖数是合数；第二个同学可以拿走3颗糖，a－4＝奇数。每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，所以当a－4是3的倍数时，a－4以及后面的数都是合数，每个同学都能得到3颗糖果，同学们拿走的糖果总数为1＋31×3＝94（颗）；当a－4是质数时，可以拿走1颗糖果，剩余糖果数为a－5，a－5是偶数也是合数，可以拿走3颗糖果，剩余糖果数为a－8，a－8是3的倍数，是合数，后面均为3的倍数，那么同学们拿走的糖果总数为2×1＋30×3＝92（颗）。 【详解】假设老师拿走一些糖果后，袋子里的糖果颗数是质数。 情况一：1＋31×3 ＝1＋93 ＝94（颗） 情况二：2×1＋30×3 ＝2＋90 ＝92（颗） 92＜94 答：同学们拿走的糖果总数最少是92颗。 【点睛】此题主要理解质数、合数、奇数、偶数的定义，再根据奇数－奇数＝偶数，每3个连续的数中一定有一个是3的倍数，进行分析解答。 39．下面哪几个班的学生可以分成人数相同的几个小组？哪几个班不可以？为什么？ 班级 一班 二班 三班 四班 人数 39 41 40 43 【答案】一班和三班可以平均分成人数相同的小组，二班和四班不可以平均分成人数相同的小组。因为39和40是合数，可以平均分成人数相同的小组；41和43是质数，不可以平均分成人数相同的小组。 【分析】根据质数：只有1和它本身两个因数的数叫做质数；合数：除了1和它本身外，还有其他因数的数叫合数；班级人数是合数的可平均分成人数相同的几个小组，班级人数是质数的则不可平均分成人数相同的小组。 【详解】一班和三班可以平均分成人数相同的小组，二班和四班不可以平均分成人数相同的小组。因为39和40是合数，可以平均分成人数相同的小组；41和43是质数，不可以平均分成人数相同的小组。 40．宋代著名词人辛弃疾在《西江月·夜行黄沙道中》两句词：“七八个星天外，两三点雨山前”描写了天未亮前的清晨景色，非常优美。词中有7、8、2、3四个数字，请你用“因数和倍数”单元所学的知识，选出其中一个与其它三个不同的数字，并说明理由。 【答案】8和7，2，3不同；理由见详解 【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫做合数，据此分析解答。 【详解】8的因数有：1，2，4，8，有4个因数，8是合数。 7的因数有：1，7，有2个因数，7是质数。 2的因数有：1，2，有2个因数，2是质数。 3的因数有：1，3，有2个因数，3是质数。 8有4个因数是合数，7，2，3只有1和它本身2个因数是质数。所以8和7，2，3不同。 答：8和7，2，3不同。 题型五、质因数的含义 41．39的因数有( )，其中质因数是( )。 【答案】 1、3、13、39 3、13 【分析】因数是指整数a除以整数b（b≠0）的商正好是整数而没有余数，此时称b是a的因数。质因数是指一个数的因数中，除了1和本身外，没有其他因数的数。据此先列举出39的所有因数，再找出其中的质因数。 【详解】因为39能被1整除，39÷1＝39，所以1和39是39的因数；39能被3整除，39÷3＝13，所以3和13是39的因数。 因此，39的因数有1、3、13、39。 在1、3、13、39中，1既不是质数也不是合数，不符合质因数；3除了1和3本身外，没有其他因数，所以3是质因数； 13除了1和13本身外，没有其他因数，所以13是质因数；39除了1和39本身外，还有因数3和13，所以39不是质因数。 因此，其中的质因数有3、13。 42．18的因数有( )，质因数有( )，把18分解质因数是( )。 【答案】 1、2、3、6、9、18 2、3 18＝2×3×3 【分析】找18的因数：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。所以从1开始，依次用整数去整除18，能整除18的数就是18的因数。 找18的质因数：质因数是一个数的因数，并且是质数。先找出18的因数，再从这些因数中找出质数，就是18的质因数。 分解质因数：把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。一般先从简单的质数试着分解。 【详解】18的因数：18÷1＝18，18÷2＝9，18÷3＝6，因此18的因数有（1、2、3、6、9、18）。质因数：从因数中找出质数，2和3是质数，因此质因数有（2、3）。分解质因数：18＝2×9＝2×3×3，因此（18＝2×3×3）。 43．18的因数有( )，其中质因数有( )。 【答案】1、2、3、6、9、18；2、3 【分析】找18的因数可以一组一组的找，乘积是18的因数有1和18，2和9，3和6；如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，质数是除了1和它本身之外没有其它因数的数，这些数中，2和3是质因数。 【详解】由分析可知，18的因数有（1、2、3、6、9、18），其中质因数有（2、3）。 44． 【答案】见详解 【分析】所谓质因数就是，当我们把一个整数写成若干个整数的积的时候，如果每个因数都是质数。那么这些因数都叫原数的质因数，据此将10和22分解质因数再填空。 【详解】10＝2×5 22＝2×11，所以10、22都有的质因数为2，只是10的质因数为5，只是22的质因数为11，据此填空： 45．35的因数有( )，其中质因数有( )。 【答案】 1、5、7、35 5、7 【分析】根据找一个数的因数的方法，利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组的找出35的因数，再按照质数的定义，除了1和它本身之外，不能被其他自然数整除的数即为质数，在35的因数中找出质数即可得解。 【详解】35＝1×35＝5×7 则35的因数有1、5、7、35，其中质因数有5、7。 46．在5×6＝30中，( )和( )都是30的因数，其中( )是30的质因数。 【答案】 5 6 5 【分析】（1）如果a÷b＝c（a，b，c是大于0的自然数），那么b，c就是a的因数，a就是b，c的倍数。根据因数、倍数意义解答即可。 （2）一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，再从30的因数中找到是质数的因数，即30的质因数。 【详解】5×6＝30写成除法算式是30÷5＝6，根据因数、倍数的意义可知：5和6是30的因数。5是质数，6是合数，所以其中5是30的质因数。 所以在5×6＝30中，5和6都是30的因数，其中5是30的质因数。 【点睛】此题考查了因数、倍数的意义及质数的意义，注意质因数的含义。 47．在42＝6×7中，________和________都是________的因数，________是________的质因数。 【答案】 6 7 42 7 42 【分析】若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的；以及质因数的意义：如果一个整数的因数是质数，为质数的因数叫做质因数；据此解答。 【详解】在42＝6×7中，6和7都是42的因数，7是42的质因数。 【点睛】本题主要考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。 48．某青年志愿服务小队共有40人，其中男、女生的人数都是质数，且男、女生人数的乘积是391。这支青年志愿服务小队中男、女生各有多少人？（男生的人数比女生少） 【答案】 男生有17人，女生有23人。 【分析】从最小的质数开始试算，判断出两个质数的和是40且这两个数的积是391的数即可确定男生和女生的人数。先列出40以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37，找出和为40的质数对：（17，23）、（3，37），验证积是否为391，结合“男生人数比女生少”的条件即可。 【详解】 答：这支青年志愿服务小队中男生有17人，女生有23人。 49．（1），5和7都是35的因数吗？都是35的质因数吗？为什么？ （2），3和9都是27的因数吗？都是27的质因数吗？为什么？ 【答案】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 【分析】因数：因数是指整数a除以整数b（）的商正好是整数而没有余数，我们就说b是a的因数。 质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数，而这个因数一定是一个质数。据此解答。 【详解】（1），所以5和7都是35的因数，因为5与7都是质数，所以都是35的质因数。 （2），所以3和9都是27的因数，又因为，说明9是合数，所以9不是27的质因数。 50．甲乙两数只含有2、3质因数，甲数有21个约数，乙数有10个约数，它们的最大公约数是18，求此二数。 【答案】甲数是576，乙数是162 【分析】先把18分解质因数，18＝2×32，根据约数个数定理，把这两个数的约数的个数分解成两个大于1的因数的积，再结合含有质因数2和3的个数，先得出乙数，再根据乙来确定甲的大小。 【详解】18＝2×32 21＝3×7＝（2＋1）×（6＋1） 10＝2×5＝（1＋1）×（4＋1） 甲乙两数只含有2、3质因数，所以乙数可以写成一个质因数乘另一个质因数的4次方； 又因为乙数至少含有2个质因数3，所以乙数＝2×34＝162； 再看甲数，因为甲、乙至少都含有一个质因数2和一个3，最大公约数是18，乙含有4个质因数3，所以甲有且只有2个质因数3；甲＝32×26＝9×64＝576。 答：甲数是576，乙数是162。 【点睛】对于一个大于1的正整数a可以分解质因数：，则a的约数的个数就是（r1＋1）×（r2＋1）×（r3＋1）……×（rk＋1）。其中a1，a2，a3……ak都是a的质因数，r1，r2，r3……rk是a1，a2，a3……ak的指数。简单说就是：约数个数等于指数加1再相乘。 题型六、分解质因数 51．分解质因数。（用短除法） 54              105 【答案】 54＝2×3×3×3 105＝3×5×7 【分析】用短除法分解质因数的关键是：从最小的质数开始，依次试除，直到商为质数。最终结果是质数的连乘积。 【详解】                                                           52．用短除法分解质因数。 60                  55                  72                    91 【答案】60＝2×2×3×5；55＝5×11；72＝2×2×2×3×3；91＝7×13 【分析】用短除法分解质因数，是先用一个能整除这个合数的质数（通常从最小的质数2开始）去除，得出的商如果是质数，就把除数和商写成连乘的形式；如果得出的商是合数，就按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是质数为止。 【详解】                                                60＝2×2×3×5                       55＝5×11                                72＝2×2×2×3×3                       91＝7×13 53．用短除法把下列各数分解质因数。 54              70               88 【答案】54＝2×3×3×3；70＝2×5×7；88＝2×2×2×11 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数去除，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连乘形式。 【详解】54                 70                  88                                          54＝2×3×3×3                  70＝2×5×7                    88＝2×2×2×11 54．用短除法把下列各数分解质因数。 88                  62                    72 【答案】88＝2×2×2×11 62＝2×31 72＝2×2×2×3×3 【分析】短除法分解质因数的方法：分解质因数用短除法，通常从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止，分解质因数的算式叫短除法；据此解答。 【详解】 88＝2×2×2×11 62＝2×31 72＝2×2×2×3×3 55．把下面各数分解质因数。 18           60           75 【答案】18＝2×3×3；60＝2×2×3×5；75＝3×5×5 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求出质因数的过程叫做分解质因数。 【详解】                 18＝2×3×3        60＝2×2×3×5       75＝3×5×5 56．用短除法把下列各数分解质因数。 72            231 【答案】72＝2×2×2×3×3；231＝3×7×11 【分析】用“短除法”分解质因数方法：先用一个能整除这个合数的最小质数去除，如果所得的商是合数，继续用一个能整除这个商最小的质数除去，直到得出的商是质数，最后把各个除数与最后的商写成连乘形式。 【详解】72                         231                   72＝2×2×2×3×3                  231＝3×7×11 57．分解质因数。 91        117          72 【答案】91＝7×13；117＝3×3×13；72＝2×2×2×3×3 【分析】把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数；可以用短除法分解质因数，用质数去除，除到结果是质数为止，最后把所有的除数和商连乘起来。据此解答。 【详解】 91＝7×13 117＝3×3×13 72＝2×2×2×3×3 58．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 【答案】不同的铺草坪方法有4种；至少需要10米长的篱笆。 【分析】要确定不同的铺法，因为24能分解成不同的两个整数相乘的形式，像1×24、2×12、3×8、4×6，所以对应有4种铺法。对于每种铺法，根据正方形草皮的边长算出长方形草坪的长和宽，再依据长方形周长的计算方式，求出围草坪所需篱笆的长度。最后，对不同铺法所需篱笆长度进行比较，从而找出最短的篱笆长度。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以可以有以下4种铺法： 第一种：将24块草皮排成1行，此时长方形草坪的长为24×0.5＝12（米），宽为0.5米。 第二种：排成2行，每行12块，长为12×0.5＝6（米），宽为2×0.5＝1（米）。 第三种：排成3行，每行8块，长为8×0.5 ＝4（米），宽为3×0.5＝1.5（米）。 第四种：排成4行，每行6块，长为6×0.5＝3（米），宽为4×0.5＝2（米）。 第一种铺法：（12＋0.5）×2 ＝12.5×2 ＝25（米） 第二种铺法：（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（米） 第三种铺法：（4＋1.5）×2 ＝5.5×2 ＝11（米） 第四种铺法：（3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（米） 10＜11＜14＜25，所以至少要准备 10 米长的篱笆。 答：一共有4种不同的铺草坪方法，至少要准备10米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护。 59．某城市将举办一场国际论坛，会务组需要为参与论坛的48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组。要求每组的男性青年代表人数一样多，女性青年代表人数也一样多。最多可以分成多少个小组？ 【答案】12个 【分析】根据题意，将48名男性青年代表和36名女性青年代表进行混合编组，要求每组的男性、女性青年代表人数一样多，那么分成的组数是48和36的公因数，最多可以分成的组数是48和36的最大公因数。 48和36分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可得解。 【详解】48＝2×2×2×2×3 36＝2×2×3×3 48和36的最大公因数是：2×2×3＝12 即最多可以分成12个小组。 答：最多可以分成12个小组。 60．某景区为了方便游客，打算在三个重要地段增设不同数量的垃圾箱，如果三个地段增设的垃圾箱的数量恰好是三个连续的自然数，且它们的积是210，你知道这三个地段增设的垃圾箱的数量分别是多少个吗？ 【答案】5个；6个；7个 【分析】把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。由题意得，三个地段增设的垃圾箱的数量恰好是三个连续的自然数，且它们的积是210，即三个连续的自然数的积是210。可以先把210分解质因数，然后根据结果来推算三个地段的垃圾箱的数量即可。 【详解】 210＝2×3×5×7 2×3＝6，即5，6，7是三个连续的自然数且它们的积是210。 答：这三个地段增设的垃圾箱的数量分别是5个，6个和7个。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $