综合测试卷（一）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的虚部求解即可. 【详解】复数的虚部是. 故选：D. 2．在的二项展开式中，的系数为（   ） A．40 B． C．80 D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，则， 所以， 所以的系数为40. 故选：A. 3．已知向量，，则（  ） A．1 B．5 C．3 D．0 【答案】A 【分析】根据内积的坐标表示可求解. 【详解】由题可得，. 故选：A 4．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．18种 【答案】A 【分析】根据排列组合的问题结合乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意得，先将5名实习老师按1人、2人、2人，分为三组，则有种方法， 把分好的三组安排到3个班中，则有种方法， 所以总共不同的安排方法有种. 故选：A. 5．设是两条直线，，是两个平面，且，．命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间内的面面关系和线线关系，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】由题意，因为，， 若命题成立，则平面，可能平行或相交，故充分性不成立； 若命题成立，则直线可能异面或平行，故必要性不成立； 故p是q的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6．已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据离心率公式可得，进而求出焦距，设且，利用可求解. 【详解】因为离心率为，， 所以，解得， 所以，从而. 又因为的面积为，设P点的坐标为且，则 ，解得. 故选：D 7．设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义、离心率公式以及中位线定理求解即可. 【详解】 椭圆焦点坐标为、，原点是的中点. 已知的中点在轴上，根据三角形中位线性质，可得轴，即轴，为直角三角形. 已知，焦距， 在中：，因此； 斜边. 根据椭圆的定义得，代入得：， 则椭圆的离心率. 故选：A. 8．已知平面向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量垂直的坐标表示可得，利用向量线性运算的坐标表示得，最后根据向量模的坐标表示求解. 【详解】因为平面向量，，， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：B 9．若等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义及的关系求解. 【详解】当时，； 当时，. 因为数列是等比数列，所以该数列所有项都符合通项公式， 所以时，，解得. 故选：C. 10．等比数列的各项均为正数，，，则为（   ）. A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求值即可. 【详解】已知为各项为正数的等比数列， 由，因为各项为正数，所以， 由，则， 故选：C. 11．若函数的部分图象如图所示，则其解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的图象以及性质求解即可. 【详解】由题意，设函数的解析式为. 由图象得，函数在处取得最大值为3，即，即. 四分之一周期为，即，解得，故排除选项A，B. 当时，，图象过， 则，即， 得，解得， 所以函数的解析式为，故C错误； 当时，，图象过， 则，即， 得，解得， 所以函数的解析式为，故D正确， 故选：D. 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 【答案】D 【分析】根据异面直线所成角、直线与平面所成角以及二面角的解法，结合正方体的性质分析判断各选项. 【详解】选项A，连接和，因为正方体中， 所以（或其补角）是直线与所成的角， 设正方体棱长为，在中，， 所以是等边三角形，则， 故直线与所成的角是，故A选项错误； 选项B，因为平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，所以，故B选项错误； 选项C，因为平面，平面，所以. 因为，，， 所以就是二面角的平面角， 由前面分析可知，故C选项错误； 选项D，因为，，， 所以就是二面角的平面角， 又因为，所以二面角的平面角是，故D选项正确， 故选：D. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，再根据准线公式求解. 【详解】将抛物线转化为标准形式为：，则，. 所以其准线方程为：. 故答案为：. 14．从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则X的期望值为______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望计算公式求解即可. 【详解】从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球， 则取到白球的概率为，取到红球的概率为， 且X服从二项分布，即， ∴. 故答案为：． 15．如图所示，在正方体中，直线与直线所成角的大小为_______．    【答案】 【分析】根据题意，连接，结合异面直线所成角的概念及正方体的结构特征，即可求解． 【详解】    在正方体中，连接，则 ， 所以为直线与直线所成的角， 由正方体的性质可知，，所以， 即直线与直线所成的角为． 故答案为：． 16．已知向量，且，则________________. 【答案】13 【分析】根据向量垂直的坐标公式求出，再根据向量加法及内积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 所以，， 则. 故答案为：. 17．已知数列满足，且，则首项______． 【答案】2 【分析】代入递推公式求值即可. 【详解】已知， 则， ∵， ∴． 故答案为：2. 18．在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理求得的值，再结合三角形内角和求解即可； 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．某中职学校随机抽取部分学生调查其课外阅读所花费的时间（单位：min），并将所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中课外阅读所花费时间的范围是［0,100］，样本数据分组为［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100］．    (1)若课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，则共抽取了多少人？ (2)在（1）的条件下，若从课外阅读所花费时间在［40,80）的人中抽取2人，设其中抽取到［60,80）的人数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1)50 (2)分布列见解析 【分析】（1）首先求出课外阅读所花费时间在［40,60）的频率，进而得到总抽取的人数. （2）首先求出课外阅读所花费时间在［40,80）的人数，再根据概率公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图，组距为20， 进而课外阅读所花费时间在［40,60）的. 因为课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，所以总抽取的人数为. （2）课外阅读所花费时间在［60,80）的人数为. 从10人中抽取2人，抽取到［60,80）的人数为X，则的所有可能为. 则， . 20．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意作出辅助线，找到二面角的平面角，求出所需线段长度，代入余弦定理即可得解. （2）根据棱锥的体积公式，利用等体积法即可得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，    在中，，所以，同理， 所以为二面角的平面角， 在中，，故，同理， 在中，由余弦定理，得 （2）由（）可知，所以平面， 设到平面的距离为，根据三棱锥体积相等，得， 即， 在中，，则， 所以，， 所以，解得. 21．已知向量，，点A的坐标为. (1)求：，； (2)当时，求B点的坐标. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量坐标的线性运算求解即可； （2）设出点B的坐标，再由向量的坐标表示求解即可. 【详解】（1）∵向量，， ∴， ； （2）设B点的坐标为， 因为，又点A的坐标为. 则， 即，解得， ∴B点的坐标为. 22．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，求n. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的定义与通项公式即可得解； （2）利用等差数列的求和公式列式即可得解. 【详解】（1）因为在等差数列中，，，设其公差为， 则，得， 所以数列的通项公式. （2）由（1）可知，， 当时，有，解得. 23．已知的内角，，的对边分别为，，．向量，，且． (1)求的大小； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积以及正弦、余弦定理求解即可. （2）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由得. 化简得，即. 由余弦定理得. 因为，所以. （2）∵，∴由正弦定理得. 进而. 展开得， 即，即. 因为，所以， 所以，解得， ∴. 24．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上任意一点到距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线交椭圆于两点，点的坐标为，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义及离心率公式求出的值即可得解. （2）设出直线方程，联立方程组，利用韦达定理及弦长公式求出，结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为， 椭圆上任意一点到距离之和为4，则， 椭圆的离心率为，则，解得， 则，椭圆的方程为. （2）设直线的方程为， 联立方程组， 设， 由韦达定理可知，，， 则， 点到直线的距离为， 的面积为，则， 两边平方并整理得， 令，则， 解得，即， 解得， 所以直线方程为或， 化为一般式方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知为虚数单位，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．在的二项展开式中，的系数为（   ） A．40 B． C．80 D． 3．已知向量，，则（  ） A．1 B．5 C．3 D．0 4．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人，至多2人，则不同的安排方法有（    ） A．90种 B．120种 C．150种 D．18种 5．设是两条直线，，是两个平面，且，．命题，命题，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知双曲线的焦点分别为，，离心率为，，点P是双曲线上一点，且P在x轴上方，若的面积为，则P点的纵坐标为（   ） A． B． C．2 D．1 7．设，分别是椭圆的左，右焦点，点P在椭圆上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 8．已知平面向量，，若，则（    ）． A． B． C． D． 9．若等比数列的前项和，则（    ） A．3 B．1 C． D．0 10．等比数列的各项均为正数，，，则为（   ）. A． B． C．1 D．2 11．若函数的部分图象如图所示，则其解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 12．如图所示，在正方体中，下列结论正确的是（   ） A．直线与所成的角是 B．直线与平面所成的角是 C．二面角的平面角是 D．二面角的平面角是 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．抛物线的准线方程是__________． 14．从1个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取1个球，记X为取得红球的次数，则X的期望值为______． 15．如图所示，在正方体中，直线与直线所成角的大小为_______．    16．已知向量，且，则________________. 17．已知数列满足，且，则首项______． 18．在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则______． 三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．某中职学校随机抽取部分学生调查其课外阅读所花费的时间（单位：min），并将所得数据制成如图所示的频率分布直方图，其中课外阅读所花费时间的范围是［0,100］，样本数据分组为［0,20），［20,40），［40,60），［60,80），［80,100］．    (1)若课外阅读所花费时间在［40,60）的人数为6，则共抽取了多少人？ (2)在（1）的条件下，若从课外阅读所花费时间在［40,80）的人中抽取2人，设其中抽取到［60,80）的人数为X，求随机变量X的分布列． 20．如图所示，点是边长为2的等边三角形所在平面外一点，，.求:    (1)二面角的余弦值； (2)点到平面的距离. 21．已知向量，，点A的坐标为. (1)求：，； (2)当时，求B点的坐标. 22．在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为，，求n. 23．已知的内角，，的对边分别为，，．向量，，且． (1)求的大小； (2)若，求． 24．已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆上任意一点到距离之和为4，且椭圆的离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线交椭圆于两点，点的坐标为，若的面积为，求直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $