第五章 立体几何（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在如图的正方体中，互为异面直线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．在三棱柱中，分别是的中点，则下列直线中与平面平行的是（　　） A． B． C． D． 4．下列条件中能推出直线平面的是（    ） A．与内一条直线平行 B．与内两条相交直线平行 C．与内无数直线都不相交 D．与无公共点 5．若直线与平面有两个公共点，则（　　） A． B． C． D． 6．表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．，且 B．且 C．，且 D．，且 7．下列命题中，正确的是（    ） A．空间中，垂直于同一条直线的两条直线一定平行. B．若一条直线平行于一个平面，则该直线与该平面内的所有直线都平行. C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行. D．若一条直线垂直于一个平面，则该直线与该平面内的所有直线都垂直. 8．如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是平行直线的图形（   ） A．   B．   C．   D．   9．下列命题中不正确的是（   ） A．两个平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 10．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 11．若，则与的关系是（    ） A． B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 12．若点在直线上，直线不在平面内，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有． 14．如图所示，正方体中，面对角线与所成角的大小为______．    15．在正方体中，直线与平面的位置关系是_____． 16．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为________． 18．下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 序号 正误 原因分析 ① × 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的 ② × 平面是无大小、无厚薄之分的 ③ × 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 ④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集 三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．在长方体中，，，，求直线与所成角的大小. 20．已知在平面内，是平面的一条斜线，若，，，求与平面所成的角． 21．如图，正三棱柱中，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．证明：； 22．如图所示，已知正方体的棱长为2． (1)写出图中与棱垂直的平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小． 23．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)求三棱锥的体积． 24．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且. (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 立体几何 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在如图的正方体中，互为异面直线的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义即可选出正确答案. 【详解】异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不平行，也不相交. A选项：在正方体中，，不是异面直线； B选项：与不同在任何一个平面内，既不平行也不相交，是异面直线； C选项：在正方体中，，不是异面直线； D选项：与相交于点 ，不是异面直线. 故选：B 2．在正方体中，与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的几何特征，结合异面直线成角的概念即可解答. 【详解】如图，连接， 因为为正方体， 所以，， 所以为平行四边形，所以， 所以为与所成的角， 因为正方体的面对角线相等， 所以为等比三角形， 所以，即与所成角的大小为.    故选：C. 3．在三棱柱中，分别是的中点，则下列直线中与平面平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用中位线性质结合线面平行的判定定理判断即可. 【详解】因为分别是的中点， 所以是的中位线， 所以，又， 所以， 且平面，且平面， 所以平面，故A正确， 与平面相交，故B错误， 与平面相交，故C错误， 与平面相交，故D错误，    故选：A. 4．下列条件中能推出直线平面的是（    ） A．与内一条直线平行 B．与内两条相交直线平行 C．与内无数直线都不相交 D．与无公共点 【答案】D 【分析】根据题意，结合线面平行的定义和判定定理，即可求解. 【详解】若与内一条直线平行，则或，故选项A不符合题意； 与内两条相交直线平行，是不存在的，故选项B不符合题意； 若与内无数直线都不相交，则或，故选项C不符合题意； 若与无公共点，则，故选项D符合题意. 故选：D. 5．若直线与平面有两个公共点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面的基本性质及线面的位置关系判断. 【详解】若一条直线与一个平面有两个不同公共点，则这条直线在该平面内，即. 故选：A. 6．表示平面，表示直线，则的一个充分条件是（   ） A．，且 B．且 C．，且 D．，且 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理及性质即可得解. 【详解】A选项，若,且，则直线平面或，充分性不成立，故错误； B选项，若且，则直线平面或，充分性不成立，故错误； C选项，若，且，则直线平面或，充分性不成立，故错误； D选项，当,且时，由面面平行的性质知，故正确. 故选：D. 7．下列命题中，正确的是（    ） A．空间中，垂直于同一条直线的两条直线一定平行. B．若一条直线平行于一个平面，则该直线与该平面内的所有直线都平行. C．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行. D．若一条直线垂直于一个平面，则该直线与该平面内的所有直线都垂直. 【答案】D 【分析】根据空间几何的基本性质和定义，逐一分析即可. 【详解】选项A，在空间中，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，错误， 选项B，直线与平面平行时，仅与平面内不与它异面的直线平行，与多数直线是异面关系，错误， 选项C， 两个平面都垂直于第三个平面时，它们可能平行，也可能相交，错误， 选项D，根据直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它与平面内的任意一条直线都垂直，正确， 故选：D. 8．如图，分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是平行直线的图形（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据线线平行的证明条件和平行公理依次分析即可求解. 【详解】对于A选项，连接，因为是中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，故A选项正确； 对于B选项，因为平面，且平面，所以与既不平行也不相交，故B选项错误； 对于C选项，易证得与交于一点，故C选项错误； 对于D选项，因为平面，且平面，所以与既不平行也不相交，故D选项错误. 故选：A. 9．下列命题中不正确的是（   ） A．两个平面，一条直线平行于平面，则一定平行于平面 B．平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面 C．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行 D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 【答案】A 【分析】根据平面平行的性质判定即可； 【详解】对于A，两个平面，一条直线平行于平面，则直线a可能与平行，也可能在内，所以A不正确； 对于B，平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面，所以B正确； 对于C，三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确； 对于D，分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线，所以D正确； 故选：A 10．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出与平面所成的角即可得解. 【详解】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 11．若，则与的关系是（    ） A． B．与异面 C．与相交 D．与无公共点 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质求解即可. 【详解】由题意知， ． 当 时，共面； 当与 不平行时，异面． 无论哪种情况， 与都没有公共点． 故选：D. 12．若点在直线上，直线不在平面内，则下列描述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点线面关系的符号表示即可解得. 【详解】由题，点在直线上可表示为， 直线不在平面内可表示为， 故选：C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．，，是三直线，是平面，若，，，，且__________（填上一个条件即可），则有． 【答案】 【分析】根据线面垂直的判定定理即可得解. 【详解】由线面垂直的判定定理可知：，，，，且，则， 故答案为：． 14．如图所示，正方体中，面对角线与所成角的大小为______．    【答案】 【分析】根据题意结合正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为在正方体中， 所以为等边三角形，所以， 则面对角线与所成角的大小为， 故答案为：. 15．在正方体中，直线与平面的位置关系是_____． 【答案】垂直 【分析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面，平面，所以. 又，平面，所以平面． 故答案为：垂直. 16．在菱形中，，，现将其沿对角线折成直二面角（如图），则______. 【答案】 【分析】取中点，连接，，根据直二面角的定义得出，结合勾股定理即可得解. 【详解】 取中点，连接，， 因为四边形为菱形，所以，， 将菱形沿对角线折成直二面角，则为二面角的平面角即， 因为即菱形的边长为，且，所以， 在中，， 故答案为：. 17．棱长为的正方体中，二面角的正切值为________． 【答案】 【分析】取中点O，连接，证明即为所求二面角的平面角，在中求解即得. 【详解】 如图，取中点O，连接， ∵正方形，∴， 又易知，为的中点，所以， ∴即为所求二面角的平面角， 因为平面，平面， ∴，∵， 在中，． 故答案为：. 18．下列对平面的描述语句： ①平静的太平洋面就是一个平面； ②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚； ③四边形确定一个平面； ④平面可以看成空间中点的集合，它当然是一个无限集． 其中正确的是________． 【答案】④ 【分析】根据平面的基本性质，逐一分析4个命题的真假，综合可得答案． 【详解】 序号 正误 原因分析 ① × 太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，且无限延展的 ② × 平面是无大小、无厚薄之分的 ③ × 如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面 ④ √ 平面是空间中点的集合，是无限集 故答案为：④． 三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．在长方体中，，，，求直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】根据长方体的性质找到直线与所成的角，求出的值即可得解. 【详解】 如图所示，作出图像，在长方体中，∥ ， 所以即为直线与所成的角或其补角， 又因为，， 所以，所以， 所以直线与所成的角为. 20．已知在平面内，是平面的一条斜线，若，，，求与平面所成的角． 【答案】45°． 【分析】通过题意可知与为等腰直角三角形．取中点为，连接，，可知为等腰直角三角形，进而可知即为与平面所成的角，通过即可求出的值. 【详解】解：，， ． 又，， 为等腰直角三角形． 同理也为等腰直角三角形． 如下图所示，取中点为，连接，， ，，， 为等腰直角三角形，． 又，，平面， 为在平面内的射影，为与平面所成的角． 在中，， ，即与平面所成的角为45°．    21．如图，正三棱柱中，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上．证明：； 【答案】证明见解析 【分析】由平面平面，根据面面平行的性质，证得，再结合，即可证得； 【详解】证明：因为正三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面平面， 所以， 又因为正三棱柱中，侧面为平行四边形， 故有，所以. 22．如图所示，已知正方体的棱长为2． (1)写出图中与棱垂直的平面； (2)求三棱锥的体积； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)平面，平面 (2) (3)45° 【分析】（1）根据正棱柱的结构特征即可求解. （2）根据三棱锥的体积公式，即可求解. （3）根据立体几何的射影知识，找到线面角，并求出该角的大小. 【详解】（1）由正棱柱的结构特征即可知，平面与棱垂直，平面与棱垂直， （2）正方体的棱长为2， 所以， 又平面， . （3）平面 是在平面上的射影，即是直线与平面所成的角， 又在中，， 是等腰直角三角形，即 故直线与平面所成角的大小为. 23．如图，在直三棱柱中，底面是直角三角形，，是的中点．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找到异面直线所成角，再在三角形中易得答案； （2）根据三棱锥体积公式易得答案. 【详解】（1）作交于，连．    则就是异面直线与所成角，， 因为，直三棱柱，平面，因为平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 则． 又，， 则． （2）由知，不在平面，在平面， 所以平面，因此点、到平面的距离相等， 因为，因为是直角三角形，所以， 因为，平面， 所以平面， 所以三棱锥的高为， 体积为． 24．如图，在四棱锥中，底面是正方形，面，且. (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出底面三角形面积，再利用三棱锥的体积公式求解即可. （2）根据线面垂直的性质与判定，确定二面角的平面角，进而求解即可. 【详解】（1）因为底面是正方形. 所以. 所以 因为平面. 所以是三棱锥的高. 所以. （2）因为平面.所以. 又因为底面是正方形.所以 因为.不在平面内.所以平面. 因为平面.所以. 因为平面与平面相交于. 所以是二面角的平面角. 因为. 所以为等腰直角三角形. 所以.即二面角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $