第五章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块一》（人教版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 5．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 9．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 10．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 12．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 14．在正方体中，直线与所成角的大小为______． 15．在正方体中，平面与平面的交线为__________. 16．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    17．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是___________（填上所有正确命题的序号）． 18．如图，平面，为等边三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______.    三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．已知长方体中，，，求异面直线与所成角的大小. 20．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 21．如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，分别是，的中点，平面． (1)判断与平面的位置关系； (2)求三棱锥的体积． 23．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 24．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一》（人教版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第五章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 2．如图在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找到与平行的直线，即可找到异面直线所成角，结合正方体性质即可求解. 【详解】如图所示，连接： 因为正方体中，且，所以四边形是平行四边形， 所以， 所以异面直线与所成的角即角， 设正方体棱长为，则， 所以为等边三角形，角. 即异面直线与所成的角为. 故选：C. 3．如图，在直三棱柱中，，则直线与的夹角（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线所成角的定义，结合直三棱柱的结构特征即可得解. 【详解】在直三棱柱中，， 所以为直线与的夹角， 因为在直三棱柱中，， 又，所以. 故选：B. 4．如图所示，在正方体中，直线与平面所成角的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线面角的定义，结合正方体的结构特征即可得解. 【详解】由正方体的性质可知平面， 所以为直线与平面所成的角， 而，所以直线与平面所成角的大小为. 故选：B. 5．在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可得出. 【详解】平行于同一直线的两直线平行，由平行公理得①正确； 垂直于同一条直线的两直线平行、相交或异面，②错； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，③错； 垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质得④正确； 共2个命题正确. 故选：C. 6．在正方体中，异面直线与AC所成的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线所成的角，结合正方体的结构性质即可得解. 【详解】如图， 连接，在正方体中， （或其补角）为与AC所成角， 连接，则，. 故选：B. 7．在正方体中，E，F分别为AB，AD的中点，则异面直线与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行的传递性，异面直线所成角的知识，解三角形，最后求解所成角大小即可. 【详解】 连接， 在正方体中，分别是的中点， 所以， 所以， 则异面直线与所成角为， 因为，即为等边三角形， 所以. 故选：C. 8．正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 9．如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法不正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与平面所成的角为45° D．异面直线与所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面平行的判定定理，线面垂直的性质以及线面角、异面直线所成角的定义求解. 【详解】如图，连接，，因为，分别为，的中点， 所以，分别为，的中点，则. 因为平面，平面，所以平面，故A正确； 因为平面，平面，所以. 又，所以，故B正确； 因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角， 而直线与平面所成的角为， 所以直线与平面所成的角为，故C正确； 因为，所以与所成的角即为与所成的角，为，故D错误. 故选：D. 10．已知点P是正方形所在平面外一点，且平面ABCD，则平面PAB（    ）. A．与平面PBC，平面PAD都垂直 B．与平面PBC，平面PAD都相交，但不垂直 C．与平面PBC垂直，与平面PAD都相交但不垂直 D．与平面PAD垂直，与平面PBC都相交但不垂直 【答案】A 【分析】利用线面垂直性质、面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又在正方形中，， 又平面，平面， 则平面， 因为平面，所以平面平面； 因为在正方形中，， 所以平面， 因为平面，则平面平面. 故选：A. 11．如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，则（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，即可判断求解. 【详解】连接，如图，    对于A，在中，由中位线定理得且； 因为底面是平行四边形，且，为中点， 故，则且， 所以四边形是平行四边形， 所以，又， 所以与不平行，故选项A错误； 对于B，连接交于点O，连接，则， 又，故不平行，故选项B错误； 对于C，假设平面， 则由线面平行的性质定理可知，存在直线平面，使得， 因为，所以， 易知平面，而平面，所以平面， 而平面，平面，即与平面相交，显然矛盾， 所以直线与平面不平行，故选项C错误； 对于D，因为，又平面，平面， 所以平面，故选项D正确； 故选：D. 12．在四面体，，平面，从该四面体的四个面中任取两个作为一对，其中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4 对 【答案】C 【分析】先根据题设条件，得到平面，平面，再结合题目已知平面，根据平面与平面垂直的定理分析求解. 【详解】 又∵平面，平面， ∴， 题目已知，且平面，， 得到平面. 而平面，， 得到平面， 根据平面与平面垂直的定理，一个平面过另外一个平面的垂线，则这两个平面垂直，可知平面平面，平面平面，平面平面. 而平面与其它平面（平面，平面，平面，）不包含相互垂直的直线. 因此，相互垂直的平面有3对. 故选：C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 13．在如图所示长方体中，直线与直线的位置关系为_____.（平行、相交、异面） 【答案】异面 【分析】利用异面直线的判定方法即可得解. 【详解】因为直线平面，平面，且， 所以直线与直线的位置关系为异面. 故答案为：异面. 14．在正方体中，直线与所成角的大小为______． 【答案】 【分析】构造两条异面直线所成的角，再求角的大小. 【详解】根据题意，连接，，如图所示：    由在正方体中，可得， 异面直线与所成角等于， 的三边分别是正方体三个面的对角线， 是等边三角形，， 直线与所成角的大小为. 故答案为：. 15．在正方体中，平面与平面的交线为__________. 【答案】/ 【分析】结合图形，分析两平面的交线即可得解. 【详解】如图，    因为平面，平面， 所以平面平面. 故答案为：. 16．如图，在直二面角中，AC和BD分别在平面α和β上，他们都垂直于AB，且，则________.    【答案】 【分析】连接，证明，进而求出. 【详解】连接，    在直二面角中，， 又，，， 所以，又， 则，又， 所以在中， . 故答案为：. 17．已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题： ①若，，，则；②若，，，则； ③若，，，则；④若，，，则． 其中正确的命题是___________（填上所有正确命题的序号）． 【答案】① 【分析】根据面面，线面，线线的位置关系即可得解. 【详解】已知，是两条不同的直线，，为两个不同的平面， 对于①，若，，，则，故①正确； 对于②，若，，，则与平行或相交，故②错误； 对于③，当时，也满足，，，故③错误； 对于④，若，，，则与平行，相交或异面，故④错误， 故答案为：①. 18．如图，平面，为等边三角形，且，则直线与平面所成角的正弦值为_______.    【答案】/ 【分析】取的中点，连接，根据线面垂直的性质和判定，可证明平面，即直线与平面所成角，在中可求解. 【详解】    如图，取的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 在等边三角形中，，且，在平面内， 所以平面. 所以在平面内的射影为，即直线与平面所成角. 因为平面，平面，所以. 在，，所以， 在等边三角形中，， 在中，. 故答案为： 三、解答题（本大题共6小题，23、24题8分，25、26题10分，27、28题12分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．已知长方体中，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】先将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再由边的关系即可求解. 【详解】， 为与所成角的平面角（或补角）， 在中，，， ，     ，   即异面直线与所成角为.    20．在三棱锥中，平面.    (1)求三棱锥的侧面积； (2)求点A到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求得三角形的三边，结合三角形的面积公式即可求解. （2）根据棱锥的结构特征，体积公式即可求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 又，所以均为直角三角形. 又， 所以，. 所以为等腰三角形，. ，. 所以三棱锥的侧面积为. （2）由（1）知，. 因为平面，所以. 设点A到平面的距离为，则. 解得，即点A到平面的距离为：． 21．如图所示，在正方体中，，求： (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线所成的角化为三角形中的角即可解得. （2）将线面角化为平面角，根据已知求得三角形边长进行计算即可解得. 【详解】（1）由题，为正方体， 则， 则即为异面直线与所成的角， 又知为正方形，为正方形对角线， 则， 即所求异面直线与所成角为. （2）由题，为正方体， 则平面，平面， 故，又， 则为与平面所成的角， 由题可知， 则，， 在直角三角形中，， 故所求线面角的正切值为. 22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，分别是，的中点，平面． (1)判断与平面的位置关系； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)平面 (2)2 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理可得，再根据线面平行的判定定理可得结论； （2）先求得底面的面积和三棱锥的高，再根据三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1）与平面平行，理由如下： 连接，如图 分别是的中点，． 又平面平面， 平面． （2）四边形是边长为2的正方形， ， 又平面， ． 23．如图所示，已知正方体的棱长为1，．求：    (1)与平面所成的角的正切值； (2)二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，可证得平面，得为所求角，再由直角三角形求正切值即可； （2）由勾股定理得，由线面垂直的判定可得平面，进而可得平面平面，即可得出所求二面角大小. 【详解】（1）如图所示，作于点，连接.    因为平面⟂平面，平面平面， 所以平面，则为与平面所成的角． 因为，，所以． 又， 所以． 即与平面所成的角的正切值为. （2）因为，且， 所以. 因为，， 所以平面．又因为平面， 所以平面平面． 故平面与平面所成角为 ，即二面角为. 24．如图所示，在四棱锥中，已知底面为正方形，底面，，与底面所成的角为．求：    (1)二面角的正切值； (2)该四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，连接，交于O，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及二面角的定义，易判断即是二面角的大小，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，先求得底面的边长，继而求得底面的面积，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】（1）    连接，交于O，连接， 因为底面，底面， 所以， 又底面为正方形，所以, 因为平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以即是二面角的大小， 因为底面， 所以是与底面所成的角，即, 所以，, 所以， 即二面角的正切值为； （2）因为底面为正方形，， 所以正方形的边长， 因为底面，所以， 所以四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $