7.3.1 离散型随机变量的均值（1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值（1课时）P62-P66 陶新军 1（1） 学习目标 核心素养 1.理解离散型随机变量均值的概念与含义 数学抽象 2.掌握离散型随机变量均值的运算性质 数学推理 3.应用探究： （1）求均值； （2）运算性质求值； （3）实际决策问题。 数学运算 数学建模 1分钟（读） 1（2） 一.新课引入：均值方差的必要性． 1.X的分布列. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 2.分布列两个性质: 3.求分布列步骤： （1）变量（或设变量）及取值； （2）求概率； （3）写分布列 分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时，直接使用分布列并不方便，例如，要比较两名射箭运动员的射箭水平，一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性. 因此，类似于研究一组数据的均值和方差， 3（5） 二.概念形成：均值的概念与含义． 问题1:甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示: 如何比较他们射箭水平的高低呢? 假设甲射箭次,射中7环、8环、9环、10环的频率分别为 ， ， ， 甲次射箭射中的平均环数为 从平均值角度比较， 甲的射箭水平比乙高 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 2（7） 二.概念形成：均值的概念与含义． 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 含义：反映了随机变量取值的平均水平. 2（9） 三.概念深化：均值的概念与含义． 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子， 设出现的点数为X，求X的均值. 解：由题意得，X的分布列为 即点数X的均值是3.5. 1（10） 三.概念深化：均值的概念与含义． 求均值步骤： （1）设随机变量及取值； （2）求概率； （3）写分布列； （4）代均值公式。 2（12） 三.概念深化：均值的概念与含义． 观察 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5. 随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数. 根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图 (1)和(2)所示. 观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何区别与联系? ①区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本的不同而变化； ②联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加样本的平均值越来越接近于总体的均值.因此我们常用样本的平均值估计总体的均值。 3（15） 问题2 若Y=aX+b，其中a,b为常数，X为随机变量; (1)写出随机变量Y的分布列； (2)求Y的均值。 三.概念深化：均值的性质． X x1 x2 ‧‧‧ xn Y ax1+b ax2+b ‧‧‧ axn+b P p1 p2 ‧‧‧ pn （1）Y的分布列 均值的运算性质： 由题意可得，X的可能取值为0，1000，3000，6000，则X的分布列为 解： 例2 猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示. 规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 X的均值为 四.应用探究：1求均值． X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的分布列为 如果改变猜歌顺序，公益基金的均值是否相同？哪个顺序好？ 3+3（21） 例3 根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01. 该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元. 为保护设备，有以下3种方案: 方案1 运走设备，搬运费为3800元； 方案2 建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3 不采取措施. 工地的领导该如何决策呢? 解： 设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3 . 四.应用探究：2实际决策问题 ∴因此, 从期望损失最小的角度, 应采取方案2. 3+3（27） 解： 课本67页 练习1. 甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1 h内生产出的次品数分别为X1，X2，其分布列分别为 甲机床次品数的分布列 乙机床次品数的分布列 X1 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 X2 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 哪台机床更好? 请解释你所得出结论的实际含义. 由此可知，1h内甲机床平均生产1个次品，乙机床平均生产0.9个次品，所以乙机床相对更好. 四.应用探究：2实际决策问题 3（30） 四.应用探究：2实际决策问题 练习2(2025·济宁高二期中)甲、乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的10个球，其中甲箱中有8个红球和2个白球，乙箱中有5个红球和5个白球． (1)现从甲、乙两个箱子中各摸出1球，记摸到红球的个数为X，求X的分布列； (2)现做如下试验：先在两个箱子中选择一个并从中随机摸一球，若摸出的球是白球，则该试验结束；若摸出的球是红球，则从另一个箱子中再随机摸一球，无论摸出的球是白球还是红球，该试验都结束．假设从甲箱子中摸出一球是红球得奖金100元，否则不得奖金；从乙箱子中摸出一球是红球得奖金200元，否则不得奖金．为使累计得奖金额的均值最大，如果摸球顺序由你选择，你应该先从哪个箱子开始摸球？并说明理由． 2（8） 四.应用探究：2实际决策问题 2（8） 四.应用探究：2实际决策问题 分布列为 2（8） 四.应用探究：2实际决策问题 3（33） 四.应用探究：3均值运算性质． 例4 已知离散型随机变量X的概率分布如下表，则数学期望E(5X＋3)＝ ___． X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 答案：15 解：由分布列的性质，可得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3， 所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，则E(5X＋3)＝5×2.4＋3＝15. 练3 已知随机变量X的分布列为 B 四.应用探究：3均值运算性质． 2+1（36） 解： 课本66页 练习4. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 (1) 求E(X)；(2) 求E(3X+2). 四.应用探究：3均值运算性质． 1. 离散型随机变量的均值： 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 2. 均值的性质： 五.总结归纳 知识点： 题型： 1求均值； 2实际决策问题； 3运算性质求值。 作业：学科网搜7.3.1 离散型随机变量的均值 同步练习 解答 细目表 板书设计 1. 离散型随机变量的均值： X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 2. 均值的性质： 3.求均值步骤： （1）设变量及取值； （2）求概率； （3）写分布列； （4）代均值公式。 1（40） X 0 1 2 P (1)记从甲箱摸出1个球是红球为事件A，从乙箱摸出1个球是红球为事件B， 则P(A)＝＝，P(B)＝＝， 从甲、乙两个箱子中各摸出1球，摸到红球的个数X的可能取值有0，1，2， 易知事件A，B相互独立，则P(X＝0)＝P()＝P()P()＝(1－)(1－)＝， P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝，P(X＝1)＝1－－＝. 所以X的分布列为 Y 0 100 300 P (2)记从甲箱开始摸球所得奖金为Y，其所有可能取值为0，100，300， P(Y＝0)＝P()＝，P(Y＝100)＝P(A)P()＝×＝， P(Y＝300)＝P(A)P(B)＝×＝. 所以E(Y)＝0×＋100×＋300×＝160(元)； Z 0 200 300 P 记从乙箱开始摸球所得奖金为Z，其所有可能取值为0，200，300， P(Z＝0)＝P()＝，P(Z＝200)＝P(B)P()＝×＝， P(Z＝300)＝P(B)P(A)＝×＝. 分布列为 所以E(Z)＝0×＋200×＋300×＝140(元). 因为E(Y)>E(Z)，所以先从甲箱开始摸球． X －1 0 1 P m 若Y＝aX＋3，E(Y)＝，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解：由分布列的性质得＋＋m＝1， 所以m＝， 所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， 所以E(Y)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3 ＝－a＋3＝，解得a＝2. $