精品解析：河南省三门峡市渑池县2021-2022学年九年级下学期第三次大练习数学试题

2021—2022学年九年级第三次大练习 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. 4 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系可得出a+b＝3，此题得解． 【详解】解：∵a、b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根， ∴a+b＝3． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. tanB＝ D. cosB＝ 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出斜边AB，再根据锐角三角函数的定义分别求出sinA、tanA、tanB、cosB即可． 【详解】Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵AC＝2，BC＝3， ∴AB＝＝， ∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝，cosB＝＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了求锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是关键． 3. 如图，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后利用比例的性质可计算出的长． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 4. 反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出-3＜k＜-2，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：3×（-1）＜k＜（-2）×1， 即-3＜k＜-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 5. 如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆内接四边形的性质求出，再求出即可． 【详解】解：，， ， 是直径， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用弧长公式即可求出n的值，计算即可． 【详解】解：根据， 解得：n＝80， 故答案为：D． 【点睛】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）是解题的关键．注意在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． 7. 在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】函数与坐标轴有3个交点，所以此函数为二次函数，与y轴必有一个交点，所以与x轴有两个交点，故△＞0，代入求出k的范围，即可解决本题． 【详解】解：∵函数与坐标轴有3个交点 ∴此函数为二次函数 ∴k-2≠0 ∴k≠2 ∵与y轴必有一个交点 ∴与x轴有两个交点 ∴△＞0 ∴（-2k）2-4k（k-2）＞0 ∴k＞0 ∴k可以为1 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x轴、y轴的交点问题，熟练二次函数与x轴的交点是由△决定以及二次项系数不等于零是解决本题的关键． 8. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】因为 ，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，即可求得． 【详解】∵ ∴在每一象限内y随x的增大而减小 ∴1＜2 ∴当时，，当时， ∴ 故选B 【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握k的值与反比例函数图像的关系是解题的关键． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（　　） A. a﹣b+c＞0 B. abc＞0 C. 4a﹣2b+c＜0 D. 2a﹣b＝0 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞1，故A项正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，﹣＝﹣1，与y轴的交点为（0，1）， ∴a＜0，b＝2a＜0，c＝1＞0， ∴2a﹣b＝0，abc＞0，故B、D项正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在原点和点（1，0）之间， ∴另一个交点在（﹣2，0）与（﹣3，0）之间， ∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故C项错误，符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，结合二次函数图象的性质，准确进行推理判断． 10. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①由菱形的性质得出ADBC，得出△AEF∽△CBF，故①正确； ②根据相似三角形对应边成比例，可得CF＝2AF，故②正确； ③根据菱形的性质得到AD=CD，由三角形外角定理得到△CDF不是等腰三角形可得DF≠DC，故③错误； ④根据△AEF∽△CBF得到EF与BF的比值，以及AF与AC的比值，据此求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S四边形ABCD，可得S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴ADBC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵E是AD边的中点， ∴AE＝AD＝BC， ∴， ∴CF＝2AF，故①，②正确； ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=CD，∠DAC=∠DCA ∵∠DFC=∠DAC+∠ADF ∴∠DFC ≠∠DCA ∴△CDF不是等腰三角形 ∴DF≠DC，故③错误； ∵△AEF∽△CBF， ∴， ∴S△AEF＝S△ABF， ∵E是AD边的中点， ∴S△ABE＝S四边形ABCD， ∴S△ABF＝S△ABE=×S四边形ABCD= S四边形ABCD， ∴S△AEF＝S四边形ABCD， 又∵S四边形CDEF＝S△ACD−S△AEF＝S四边形ABCD−S四边形ABCD＝S四边形ABCD， ∴2S四边形CDEF＝5 S△ABF，故④正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△AEF∽△CBF是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 我国疫情防控工作进入了一个新的阶段——“常态化”，戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩包，八至十月份共销售口罩包．设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月增长率为，表示出九、十两个月销售量，3个月共销售口罩包，列出方程即可． 【详解】设平均每月增长率为， 则九月的销售量是，十月的销售利润是， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 12. 在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是 ___． 【答案】9 【解析】 【分析】由题意可得摸到一个黄球的概率为，把摸到黄球的频率作为摸到黄球的概率，即可求得m的值． 【详解】由题意，摸到一个黄球的概率为 则 解得：m=9 即m的值大约是9 故答案为：9 【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率． 13. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为______m． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意得到点B的横坐标为8，代入求出纵坐标的值，其绝对值就是的长． 【详解】解：根据抛物线的对称性， ∵， ∴， 令，则， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查二次函数图象性质的应用，解题的关键是掌握二次函数图象的性质． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】求出的度数，利用计算即可． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质和扇形面积公式，计算扇形面积时，应该先求出弧所在圆的半径以及弧所对的圆心角的度数． 15. 如图，正方形ABCD中，AD=4,AE=3DE,点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P作PQEP，交CB于点Q，则BQ的最大值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由正方形的性质及PQ⊥EP，得出∠AEP=∠BPQ，∠A=∠B=90°，从而可判定△APE∽△BQP，根据相似三角形的性质得出比例等式；再根据AD=4，AE=3DE，得出AE和DE的长，然后设BQ=y，AP=x，则BP=4-x，将相关数据代入比例等式，变形得出y关于x的二次函数，配方，即可得出答案. 【详解】解：在正方形ABCD中，∠A=∠B=90°， 且PQ⊥EP ∴∠AEP+∠APE=90°， ∠QPB+∠APE=90° ∴∠AEP=∠BPQ 又∠A=∠B=90° ∴△APE∽△BQP ∴， 又AD=4，AE=3DE， ∴AE=，DE=4-3=1， 设BQ=y，AP=x，则BP=4-x， ∴ 化简得：， 整理得：， ∴当x=2时，y有最大值为，即BQ的最大值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键. 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中． 【答案】（1） （2），3 【解析】 【分析】（1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）先计算括号内分式的加法，再将除法化为乘法计算，最后代入求值即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，求此时方程的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意可得，进而可得原方程为，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 又∵k为正整数， ∴， ∴原方程为，即， ∴， 解得． 18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（精确到0.1米）（参考数据：） 【答案】电池板离地面的高度MN的长约为9.9米． 【解析】 【分析】延长BC交MN于点H，设MH=x米，∠MEC=45°，故EH=x米，则tan∠MBH= ，进而求解． 【详解】解：延长BC交MN于点H，AD=BE=4.5， 设MH=x米， ∵∠MEC=45°， ∴EH=x米， 在Rt△MHB中，tan∠MBH=， 解得x≈8.4， 则MN=1.5+8.4=9.9（米）， ∴电池板离地面的高度MN的长约为9.9米． 【点睛】本题是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 19. 近几年，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，如图是小明同学收集的四个共享经济领域的图标，将收集到的图标制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为____________； （2）从中随机抽取一张，放回后洗匀，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：一共四张卡片，其中“共享知识”的卡片有1张， 则抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为； 【小问2详解】 解：根据题意画图如下： 共有16种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为2， 所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率是． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CP∥AB，在CP上截取CF＝CD，连接BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝2，求线段CD和BF的长． 【答案】（1）证明见解析（2）4 【解析】 【详解】试题分析：（1）连接BD，由AB是直径可得∠BDC=90°，通过证明△BCD≌△BCF，从而得证∠BDC=∠BFC=90°，再根据CP∥AB，从而得∠ABC=90°，即可证明BF是⊙O的切线； （2）设CD=x，则AD=5－x， 根据勾股定理，，即可求得x值，从而求得BD值，再根据全等三角形的对应边相等即可得. 试题解析：(1)连接BD， ∵ AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°， ∵AB=AC，∴∠ABC =∠ACB， ∵CP∥AB，∴∠ABC =∠BCF，∴ ∠ACB=∠BCF ， 由CF=CD，BC=BC，∴△BCD≌△BCF，∴∠BDC=∠BFC=90°， ∵CP∥AB，∴∠ABC=90°， ∴BF是⊙O的切线； （2）设CD=x，则AD=5－x， 根据勾股定理，， 即，解得x＝2， ∴CD=2，BD=4 ， 由（1）知△BCD≌△BCF ，∴BD=BF=4. 21. 工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系． （1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式： ①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　 　； ②下降阶段：当x＞5时，y　 　． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？ 【答案】（1）①y＝9x+15，②＝；（2）min． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数以及反比例函数的解析式； （2）利用y=30代入结合函数增减性得出答案． 【详解】（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y=kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y=9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y，由于图象过点（5，60），所以m=300，则y． 故答案为9x+15；． （2）当0≤x＜5时，y=9x+15=30，得：x，因为y随x的增大而增大，所以x，当x≥5时，y30，得：x=10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10． 答：可加工min． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键． 22. 如图，一块直角三角形木板，直角边AB的长为1.5米，三角形的面积为1.5平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的正方形面积大？请说明理由． 【答案】甲同学设计的方案较好，理由见解析． 【解析】 【分析】利用正方形的对边平行．寻找相似三角形，由“相似三角形对应边的比，等于对应边上高的比”的性质，列出等量关系，计算正方形的边长x、y，比较大小，选择合理方案． 【详解】解：由AB=1.5m，S△ABC=1.5m2，可得BC=2m， 由图1，若设甲设计的正方形桌面边长为xm， 由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA， ∴，即， ∴3-1.5x=2x，， 由图2，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高， BH交DE于P，交AC于H． 由AB=1.5m，BC=2m， 得：（m）， 由AC•BH=AB•BC可得， ， 设乙设计的桌面的边长为ym， ∵DE∥AC， ∴Rt△BDE∽Rt△BAC， ∴， 即，解得， ∵， ∵x2＞y2， ∴甲同学设计的方案较好． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 23. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 【答案】（1）抛物线的表达式为 （2）当时，有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质、等腰三角形的性质 （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，，再由，可得，当时，有最大值； 【小问1详解】 解：将，代入，得 ， 解得 所以，抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵M点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年九年级第三次大练习 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 已知a，b是方程x2﹣3x﹣4＝0的两根，则代数式a+b的值为（　　） A. 3 B. ﹣3 C. 4 D. ﹣4 2. 已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正确的是（　　） A. sinA＝ B. tanA＝ C. tanB＝ D. cosB＝ 3. 如图，，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 10 4. 反比例函数的图像如图所示，则这个反比例函数的表达式可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，为上的点．若，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知扇形半径是9cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（ ） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 7. 在平面直角坐标系中，若函数的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误是（　　） A. a﹣b+c＞0 B. abc＞0 C. 4a﹣2b+c＜0 D. 2a﹣b＝0 10. 如图，在菱形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE交AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CBF，②CF＝2AF，③DF＝DC，④2S四边形CDEF＝5S△ABF，其中正确正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每小题3分，共21分） 11. 我国疫情防控工作进入了一个新的阶段——“常态化”，戴口罩仍然是切断病毒传播的主要措施．某药店八月份销售口罩包，八至十月份共销售口罩包．设该店九、十月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程为_______． 12. 在一个暗箱里放有m个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m的值大约是 ___． 13. 一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为，当水面的宽度为16米时，水面离桥拱顶的高度为______m． 14. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为 _____． 15. 如图，正方形ABCD中，AD=4,AE=3DE,点P在AB上运动（不与A、B重合），过点P作PQEP，交CB于点Q，则BQ的最大值是______． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中． 17. 已知关于x的方程有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，求此时方程的解． 18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距4.5米的点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（精确到0.1米）（参考数据：） 19. 近几年，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，如图是小明同学收集的四个共享经济领域的图标，将收集到的图标制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为____________； （2）从中随机抽取一张，放回后洗匀，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CP∥AB，在CP上截取CF＝CD，连接BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB＝5，BC＝2，求线段CD和BF的长． 21. 工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系． （1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式： ①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝　 　； ②下降阶段：当x＞5时，y　 　． （2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？ 22. 如图，一块直角三角形木板，直角边AB的长为1.5米，三角形的面积为1.5平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的正方形面积大？请说明理由． 23. 如图，抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，连接，，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点 （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作，垂足为点N，设M点的坐标为，请用含m的代数式表示线段的长，并求出当m为何值时有最大值，最大值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $