培优01 相交线与平行线全章13种题型复习（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

培优01 相交线与平行线 题型1 对顶角与邻补角 核心性质：对顶角相等；邻补角互补（和为180°）。 解题思路： 1. 识别图形：对顶角是两条直线相交后“相对”的角（无公共边），邻补角是“相邻”且有公共边的角。 2. 转化角度：利用对顶角相等将未知角转化为已知角，或通过邻补角互补关系计算未知角 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 2．（25-26九年级下·广东广州·月考）如图，已知直线，，相交于点．若，，则的度数为______． 【答案】/112度 【分析】观察图形可知、与共同组成一个平角，由此求出的度数，再根据对顶角相等的性质，直接得出的度数． 【详解】解：如图， ，， ， ． 3．（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，直线和交于点O，，则的度数为 _______． 【答案】 /60度 【分析】根据对顶角相等可得的度数，再根据已知条件求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ． 4．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知，O为直线上一点． (1)如图1，若，平分，求的度数； (2)如图2，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再由邻补角的定义计算即可得出结果； （2）由和求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵B，O，A在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型2 垂线与垂线段 核心概念： 1. 垂线：两条直线相交成直角时，互相垂直（记作a⊥b），交点叫垂足。 2. 垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，垂足与该点的线段（垂线段最短）。 3. 点到直线的距离：垂线段的长度。 解题思路： 1. 判断垂直：若已知直角或垂线条件，直接用垂直定义。 2. 计算角度：结合角平分线、余角等性质，计算垂线段相关角度。 3. 最短路径：涉及“最短距离”问题时，优先用垂线段最短。 1．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，点在直线上，，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·河北秦皇岛·一模）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 3．（25-26七年级下·陕西西安·开学考试）下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 4．（25-26七年级下·上海·月考）如图，，与的度数之比为，则____． 【答案】15 【分析】由垂直的定义得，结合与的度数比，即可求解． 【详解】解：， ， 与的度数之比为，， ． 题型3 平行线的概念 核心定义：同一平面内，不相交的两条直线（记作a∥b）。 关键辨析： 1. 与相交线的区别：平行线无交点，相交线有唯一交点。 2. 与重合的区别：平行线是“不重合”的。 解题思路： 1. 判断位置关系：根据图形或已知条件，判断两条直线是否在同一平面内且不相交。 2. 利用平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 1．（25-26七年级上·山东临沂·期末）下列说法正确的是（   ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．相等的角是对顶角 C．两点之间，直线最短 D．若，则与互余 【答案】D 【详解】解：平行线的基本事实是“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”，若点在已知直线上，则无法作出与已知直线平行的直线，∴选项A错误； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但同位角不是对顶角，选项B错误； 两点之间，线段最短，直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能说“直线最短”，选项C错误； 互余的定义为：若两个角的和为，则这两个角互为余角，已知，完全符合互余的定义，选项D正确． 综上，正确的选项是D． 2．（25-26七年级上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、对顶角及直线公理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A：两点之间，线段最短，故该选项不合题意； B：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不合题意； C：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项不合题意； D：两点确定一条直线，故该选项符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级下·广西南宁·月考）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线判定定理逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. ，，    能判定，不符合题意； B. ，，能判定，不符合题意； C. ，，能判定，不符合题意； D. ，不能判定，符合题意． 4．（25-26七年级上·江苏宿迁·月考）如图，点是的边上的一点． (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)过点画的垂线，交于点：、、这三条线段大小关系是_______，（用“”号连接），理由是_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)作图见解析；；垂线段最短 【分析】本题主要考查了格点作图，会过已知点作已知直线的垂线以及掌握垂线段最短是解题的关键． （1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据过直线外一点作已知直线的垂线，这条垂线段的长度就做点到直线的距离；点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求作的的垂线； ∵垂线段最短， ∴，， ∴． 题型4 平行线的判定与性质的定义 核心区别： 1. 判定：由“角的关系”推“线平行”（因角定线），如“同位角相等，两直线平行”。 2. 性质：由“线平行”推“角的关系”（因线定角），如“两直线平行，同位角相等”。 解题思路： 1. 判定平行：找到同位角、内错角或同旁内角的关系（相等或互补）。 2. 应用性质：若已知平行，直接得出角的关系。 1．（25-26九年级下·河南南阳·开学考试）如图， ，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，， ∴， ∵ ∴． 2．（25-26七年级上·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线的定义得出，再由同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：平分， ． ， ． ， ． ∴． 4．（25-26七年级上·福建泉州·期末）某次几何课上，黄老师借助字母，命制了如下几何题目： （1）如图1，已知，，证明：，请你将推理过程补充完整； （2）如图2，若，，证明：． (1)证明：（已知）， ①__________________（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②__________________（③__________________） （④__________________） (2)模仿（1）题，写出推理过程． 【答案】(1)①；②；③等量代换；④内错角相等，两直线平行 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，平行线的判定等解答即可； （2）延长，相交于点，然后类似（1）解答即可． 【详解】（1）证明：（已知）， ①（两直线平行，内错角相等） （已知）， ②（③等量代换） （④内错角相等，两直线平行） （2）证明：延长，相交于点， ，（已知） （两直线平行，内错角相等） ，（已知） （两直线平行，内错角相等） （等量代换） 题型5 根据平行线的性质探究角的关系 核心方法：利用平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补），通过“角的传递”探究未知角与已知角的关系。 解题思路： 1. 标记已知角：在图形中标记已知的平行线和角度。 2. 找“三线八角”：确定截线与被截线，识别同位角、内错角或同旁内角。 3. 推导关系：用性质定理推导角的关系。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 2．（25-26七年级下·上海·月考）如图，平分，，且，则____°． 【答案】35 【分析】由得到，再根据平分得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴. 3．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 4．（25-26七年级上·江苏南京·期末）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（_） ∵．（已知） ∴．（_） ∴．（_） ∵．（角的和差定义） ∴_．（等量代换） 【方法应用】 （2）如图2，若，，，则_； 【变式探究】 （3）如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 （4）如图4，若，的平分线和的平分线交于点Q，则_． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；；（2）82；（3），见解析；（4）131 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过P作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点P作（点N在点P的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点P作（点H在点P的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系； （4）由角平分线定义设，，则，，进而得，，由（1）的结论得，，再根据得，进而得，据此即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，过P作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；； （2）过点P作（点N在点P的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：82； （3），，之间的数量关系是：；理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：； （4）∵的平分线和的平分线交于点Q， ∴设，， ∴，， ∴，， 由（1）的结论得：， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：131． 题型6 根据平行线的性质研究角的度数 核心思路：通过平行线的性质，将未知角转化为已知角，计算其度数。 解题步骤： 1. 利用平行性质。 2. 结合角平分线：若涉及角平分线，先拆分角，再用平行性质计算。 1．（25-26九年级下·辽宁鞍山·月考）将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平角求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 3．（25-26七年级下·上海·月考）如图，点E、F分别在线段上，线段交于点G，，找出图中与所有相等的角：_____． 【答案】，， 【分析】根据平行线的性质和对顶角相等进行求解即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴ （等量代换）， 又∵与是对顶角， ∴（对顶角相等）， ∴图中与所有相等的角有，，． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，先作平行线构造平行关系，结合旋转性质表示出相关角度，再利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 题型7 平行线的性质在生活中的应用 常见场景：梯子、探照灯、楼梯、视力表等。 解题思路： 1. 建模：将实际问题转化为几何模型（如梯子靠在墙上，形成平行线，用平行性质计算角度）。 2. 应用性质：用平行线的性质解决实际问题（如探照灯的光线是平行的，用同位角相等计算角度）。 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，可得，根据光的反射定律得到,则，再由平行线的性质得到． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， 由题意得， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 题型8 根据平行线判定与性质求角度 核心逻辑：“判定平行→应用性质”或“利用性质→判定平行”。 解题步骤： 1. 判定平行：通过角的关系判定直线平行。 2. 计算角度：用平行性质计算未知角。 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·湖北襄阳·开学考试）如图，在中，点、点分别是边、上的点，点、点是边上的点，连接、和、，若． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由． (2)若是的角平分线，，求的度数． (3)同学们，在（2）的条件下，你还可以求出哪些角的度数？（写出一个即可）___________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）通过平行线性质将转化为，再结合得到同旁内角互补，从而判定； （2）先由求出，再利用角平分线的性质得到，最后根据平行线同位角相等求出； （3）利用邻补角或平行线性质推导其他相关角的度数． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ． （2）解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， ． （3）解：根据（2）可知， ． 4．（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，，． （1）证明： （2）若，求的度数． 请在下面的解答过程的空格内填空或在横线上填写理由． 解：（1）∵，（已知） ∴∠1=_．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴_．（等量代换） ∴．（   ） （2）由（1）已证， ∴_，（   ） ∵， ∴_°．（等式的性质） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴  ____ 【答案】（1）；；同位角相等，两直线平行 （2）；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】（1）根据平行的判定进行证明即可；（2）根据平行的性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵，（已知） ∴．（两直线平行，内错角相等） 又∵，（已知） ∴．（等量代换） ∴．（同位角相等，两直线平行） （2）由（1）已证， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴ ．（等式的性质） ∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∴． 题型9 根据平行线判定与性质证明 核心要求：逻辑严谨，步步有据（每一步都有定理支撑）。 解题步骤： 1. 明确已知与求证。 2. 推导过程：用平行性质，结合已知条件，通过等量代换，用判定定理得出结论。 1．（25-26七年级下·上海·月考）如图，已知，平分，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先证明，再证明即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）看图填空： 已知：如图，为上的点，为上的点，，．求证：． 证明： （____________） ，（___________） （____________） ____________ （____________） 又（____________） ∴____________ （____________） 【答案】见解析 【分析】根据已知条件及对顶角相等求得，从而推知两直线，所以同位角；然后由已知条件推知内错角，所以两直线． 【详解】证明：已知， ，对顶角相等， 等量代换， ， 两直线平行，同位角相等， 已知， ， 内错角相等，两直线平行． 3．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据平角的定义可得，等量代换求出，然后根据平行线的判定定理得出结论； （2）先根据平行线的性质得出两组角相等，等量代换可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在边上，点分别在边和上，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质与判定定理的综合应用，关键是通过平行线的性质实现角的等量代换，再利用平行线的判定定理推导出直线的平行关系． 【详解】解：，理由如下： ∵(已知)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 又∵(已知)， ∴(等量代换)， ∴(内错角相等，两直线平行)． 题型10 命题与真假命题 核心概念： 1. 命题：判断一件事情的语句（如“对顶角相等”）。 2. 真命题：正确的命题（如“两直线平行，同位角相等”）。 3. 假命题：错误的命题（如“相等的角是对顶角”）。 解题思路： 1. 判断是否为命题：看是否是判断句。 2. 判断真假：用定理或反例验证。 1．（25-26八年级上·江西吉安·期末）下列语句是命题的是（   ） A．美丽的天空 B．负数都小于零 C．过一点作已知直线的垂线 D．你的数学作业做完了吗？ 【答案】B 【分析】判断一件事件的语句是命题，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解： A选项“美丽的天空”没有对事件做出判断，不是命题. C选项是描述作图动作，没有对事件做出判断，不是命题. D选项是疑问句，没有对事件做出判断，不是命题. B选项对负数与零的大小关系做出了明确判断，符合命题定义．∴B选项是命题， 故选：B． 2．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 命题是能够判断真假的陈述句，据此分析各选项即可． 【详解】解：A：“连接，两点”是操作指令，无法判断真假，不是命题，故该选项符合题意； B：“对顶角相等”是命题，故该选项不合题意； C：“等角的补角相等”是命题，故该选项不合题意； D：“垂线段最短”是命题，故该选项不合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）下列命题中，真命题的是（   ） A．在同一年内，如果5月4日是星期一，那么5月11日也是星期一 B．两个锐角之和一定是钝角 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题． 【详解】解：A、∵5月4日到5月11日间隔为7天，一周有7天，∴经过1个完整星期后，星期数不变，故选项符合题意； B、若两个锐角分别为和，和为，仍为锐角，故选项不符合题意； C、解方程， 去分母，得， 去括号，得， 移项合并同类项，得， 解得，故选项不符合题意； D、当时，，但，故选项不符合题意． 4．（25-26八年级上·安徽六安·期末）命题“如果，那么”是________命题（填“真”或“假”） 【答案】 真 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据乘法法则判断命题的真假，即可求解． 【详解】解：当时，无论取何数，都成立． 因此该命题是真命题． 故答案为：真． 题型11 命题的证明 核心方法：用定义、定理或公理支撑结论，逻辑严密。 解题步骤： 1. 明确命题的条件与结论：如命题“对顶角相等”，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。 2. 证明过程：用对顶角的定义（两条直线相交后相对的角），结合邻补角互补，得出角相等（等量代换）。 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理的过程叫做证明，对于命题“在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”如何来证明？小明通过画图，写出已知，求证，并加以证明，具体如下： 已知：如图，在同一平面内直线，①_____． 求证：②_____． 证明：∵（已知），∴③_____（④_____）． ∵⑤_____（已知），∴⑥_____（⑦_____）， ∴⑧_____（等式的基本事实）， ∴⑨_____（⑩_____）． 请把小明的说明过程补充完整． 【答案】①；②；③；④垂直的定义；⑤；⑥；⑦两直线平行，同位角相等；⑧；⑨；⑩垂直的定义 【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，根据得到，再由，得到，即可证明． 【详解】已知：如图，在同一平面内直线，①． 求证：②． 证明：∵（已知）， ∴③（④垂直的定义）． ∵⑤（已知）， ∴⑥（⑦两直线平行，同位角相等）， ∴⑧（等式的基本事实）， ∴⑨（⑩垂直的定义）． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 【详解】已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 题型12 推理与论证 核心能力：逻辑推理（从已知到结论的过程）。 解题思路： 1. 收集已知条件。 2. 推导中间结论。 3. 得出结论。 1．（2025八年级上·全国·专题练习）布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（    ） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【答案】B 【分析】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况，即数量不足15个的黄球、白球、黑球全部摸出，再从数量超过15个的红球、绿球、蓝球中各摸出14个，此时再任意摸出1个球，即可保证有15个同色的球． 【详解】解：根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况： 最坏情况考虑：摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：个球， 故选：B． 2．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）小华和小益进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小华出了6次石头，1次剪刀，3次布；②小益出了4次石头，3次剪刀，3次布；③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小华赢了（   ）次． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查推理论证，需根据无平局的规则，结合双方出拳次数对应分析赢的情况． 【详解】解：∵10次对决无平局， ∴小华出石头（6次）时，小益只能出剪刀或布（小益共3次剪刀、3次布，总数6次，刚好对应）， ∵石头赢剪刀， ∴这6局中小华赢了3次， 又∵小华剩余1次剪刀、3次布，对应小益的4次石头（）， ∵布赢石头， ∴这4局中小华赢了3次， ∴小华共赢了次， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山西太原·期末）有三个不透明的饮料瓶，上面标签分别贴着“橙汁”“可乐”“咖啡”，标号为1、2、3号，工作人员说三个标签全部贴错了，让小明打开2号瓶发现里边装着咖啡，则可乐在_________号瓶． 【答案】1 【分析】根据三个标签全部贴错的约束条件，结合已知2号瓶装咖啡，通过排除法推理得到可乐所在的瓶子编号． 【详解】解：由题意得，1号瓶标签为橙汁，2号瓶标签为可乐，3号瓶标签为咖啡，且所有标签全部贴错， 所以，实际1号瓶内饮料橙汁，实际2号瓶内饮料可乐，实际3号瓶内饮料咖啡， 已知2号瓶内实际装咖啡，满足实际2号瓶内饮料可乐，符合全部贴错的条件. 剩余饮料为橙汁和可乐，需要分配给1号瓶和3号瓶，由实际1号瓶内饮料橙汁，可得1号瓶内只能装可乐，剩余3号瓶内装橙汁． 4．（24-25七年级下·四川成都·月考）求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且． 【答案】满足条件的所有正整数n为 【分析】本题考查了整数问题的综合应用，正确得出当时，及时原式的取值是解题关键，首先得出，进而利用当时，及时求出原式的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：由于是正整数，且满足， ， ， 当时，令， 则， 当时，其中， 令， 则， 综上所述，满足条件的所有正整数n为． 题型13 平移 核心性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变位置；对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等；对应点的连线平行且相等。 解题思路： 1. 识别平移：判断图形是否沿某一方向移动了一定距离。 2. 应用性质： (1) 计算长度：如平移距离为2cm，则对应点的连线长度为2cm。 (2) 求面积：平移后图形的面积与原图形相等。 (3) 作辅助线：复杂图形中，用平移将分散的条件集中。 1．（25-26八年级下·重庆·开学考试）如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）如图，三角形沿着由点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，那么平移的距离为_______． 【答案】 【分析】平移的距离是平移前后对应点之间的线段长度，点的对应点是点，因此平移的距离即为线段的长度，结合已知和的长度，通过线段的和差关系即可求出的长度． 【详解】解：∵三角形平移到三角形的位置，点的对应点是点， ∴平移的距离为的长度． ∵，， ∴． 即平移的距离为． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）如图，在方格纸中平移三角形至三角形，使点A移动到点D，点B的对应点是点E． (1)画出平移后的三角形； (2)写出与的位置关系； (3)连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意，得到这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换； （2）根据平移变换的性质求解即可； （3）根据平行线的性质证明即可： 【详解】（1）解：设小正方形的边长为1，根据题意，这是一个向下平移3，再向右平移4的平移变换，画图如下： 则三角形即为所求． （2）解：根据题意，得； （3）证明：由平移可知，，， ∴ ∴， 即． 4．（25-26七年级上·上海奉贤·期末）南湖公园有很多的长方形草地，草地里修了很多有趣的小路，如图三个图形都是长为50米，宽为30米的长方形草地，且小路的宽都是1米． (1)如图1，阴影部分为1米宽的小路（），长方形除去阴影部分后剩余部分为草地，则草地的面积为_平方米； (2)如图2，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），则草地的面积为_平方米； (3)如图3，非阴影部分为1米宽的小路沿着小路的中间从入口处走到出口处，所走的路线（图中虚线）长为_米． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）图1中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （2）图2中，根据平移的性质可得到草地是长为米，宽为米的长方形，然后计算面积； （3）图3中，将路线的横向部分平移后总长度等于长方形的长，纵向部分平移后总长度为2(宽)米，相加得到路线总长． 【详解】（1）解：将图1中小路往左平移，直到E、F分别与A、B重合， 则平移后可得到草地是长为米，宽为米的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （2）解：将图2中将小路往、边平移，直到小路与草地的边重合，则平移后可得到草地是长为(米)，宽为(米)的长方形， ∴草地的面积为(平方米)． （3）解：将路线的横向部分平移，总长度为米； 将路线的纵向部分平移，总长度为(米)； ∴所走路线的长度为(米)． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优01相交线与平行线 划重点·冲高分 题型7平行线的性质在生活中的应用 题型1对顶角与邻补角 题型8根据平行线判定与性质求角度 题型2垂线与垂线段 题型9根据平行线判定与性质证明 题型3平行线的概念 相交线与平行线 题型10命题与真假命题 题型4平行线的判定与性质的定义 题型11命题的证明 题型5根据平行线的性质探究角的关系 题型12推理与论证 题型6根据平行线的性质研究角的度数 题型13平移 题型1对顶角与邻补角 解题大 核心性质：对顶角相等； 邻补角互补（和为180°）。 解题思路： 1. 识别图形：对顶角是两条直线相交后“相对”的角（无公共边），邻补角是“相邻”且有公共边的 角。 2. 转化角度：利用对顶角相等将未知角转化为已知角，或通过邻补角互补关系计算未知角 (2026陕西咸阳·模拟预测)如图，直线AB、CD相交于点O,在∠AOD内部作射线OE,若 ∠AOC=26°，OD平分∠BOE,则∠BOE的度数为() E D C B A.560 B.52° C.48 D.46° 1/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级下广东广州月考)如图，已知直线AB,CD,MN相交于点O.若∠1=22°， ∠2=46°，则∠3的度数为 A 3.(2026七年级下·广东广州专题练习)如图，直线AB和CD交于点O,∠AOC=80°.∠BOE=3∠EOD ,则∠BOE的度数为 D E B 4.(25-26七年级上湖南株洲期末)已知，O为直线AB上一点. D A B A B 图1 图2 (I)如图1，若∠AOC=130°，OD平分∠AOC,求∠BOD的度数： (2)如图2，若∠AOE:∠B0E=7:2,∠DOE=90°，求∠AOD的度数. 题型2垂线与垂线段 解题 招 核心概念： 1. 垂线：两条直线相交成直角时，互相垂直（记作aLb),交点叫垂足。 垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，垂足与该点的线段（垂线段最短）。 3.点到直线的距离：垂线段的长度。 解题思路： 1. 判断垂直：若已知直角或垂线条件，直接用垂直定义。 2:-计算角度：结仓角平分线余角等性质，.计算垂线段相关角度。 2/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3。一最短路径：涉及“最短距离”问题时，优先用垂线段最短。 1L.(25-26九年级下·辽宁葫芦岛月考)如图，点C在直线AB上，CE⊥CD,若∠BCD=20°，则∠ACE 的度数是() 5 A.100° B.110° C.160° D.70° 2.(2026河北秦皇岛一模)跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离.下图是某同学立定跳 远后留下的脚印，则他的成绩是() 215cm ,220cm -210cm 205cm 200cm 立定跳远起跳线 TT A.200cm B.205cm C.210cm D.220cm 3.(25-26七年级下·陕西西安·开学考试)下列说法中正确的有()个 ①对顶角相等：②一个锐角的补角比这个角的余角大90°；③两条直线的位置关系有相交和平行两种： ④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 A.2 B.3 C.4 D.5 4.(25-26七年级下·上海·月考)如图，B0⊥A0,∠BOC与∠AOC的度数之比为1：5，则∠BOC= 0 题型3平行线的概念 3/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解题大8 核心定义：同一平面内，不相交的两条直线（记作ab)。 !关键辨析： 1.与相交线的区别：平行线无交点，相交线有唯一交点。 2.与重合的区别：平行线是“不重合”的。 解题思路： 11.判断位置关系：根据图形或已知条件，判断两条直线是否在同一平面内且不相交。 !2,利用平行公理：过直线外一点：有且只有二条直线与已知直线平行 1.(25-26七年级上·山东临沂·期末)下列说法正确的是() A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.相等的角是对顶角 C.两点之间，直线最短 D.若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互余 2.(25-26七年级上河南许昌·期末)下列说法正确的是() A.两点之间，直线最短 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.相等的角是对顶角 D.两点确定一条直线 3.(25-26七年级下广西南宁·月考)如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是() B D A.∠A+∠2=180° B.∠A=∠3 C.∠1=∠4 D.∠1=∠3 4.(25-26七年级上江苏宿迁月考)如图，点P是∠A0B的边OB上的一点. 4/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)过点M画OB的平行线MN; (2)过点P画OA的垂线，垂足为H: (3)过点P画OB的垂线，交OA于点C:PC、PH、OC这三条线段大小关系是 (用“<” 号连接)，理由是 题型4平行线的判定与性质的定义 解 核心区别： !1.判定：由“角的关系”推“线平行”（因角定线），如“同位角相等，两直线平行”。 2. 性质：由“线平行”推“角的关系”（因线定角），如“两直线平行，同位角相等”。 解题思路： 1.判定平行：找到同位角、内错角或同旁内角的关系（相等或互补）。 2.应用性质：若已知平行，直接得出角的关系 B7CD,AEMC沉，ZC=40°·- 1. (25-26九年级下河南南阳·开学考试)如图， ,则<A的度数为() E A.40° B.50° C.60° D.70° 2.(25-26七年级上山西太原·期末)如图，AB,CD交于点0，OM⊥AB于点0.若∠COB=65°，则 LDOM = 5/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.(25-26八年级上山西太原期末)如图，D,E分别在AB和AC上，BE平分∠ABC,∠EBC=30°， ∠ADE=60°，求证：DE∥BC. 4 B 4.(25-26七年级上·福建泉州期末)某次几何课上，黄老师借助字母M,命制了如下几何题目： (1)如图1，己知AB∥OC,∠A=∠C,证明：AO∥CD,请你将推理过程补充完整： (2)如图2，若AE∥CF,AB∥CD,证明：∠A=∠C. 图2 (①)证明：：AB∥OC(已知)， .① (两直线平行，内错角相等) :∠A=∠C(已知)， ② (③ ∴AO∥CD(④ (2)模仿(1)题，写出推理过程. 题型5根据平行线的性质探究角的关系 解题大 核心方法：利用平行线的性质（同位角、内错角相等，同旁内角互补），通过“角的传递”探究未知角 与已知角的关系.一一一一一 6/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「解题思路： 1. 标记已知角：在图形中标记已知的平行线和角度。 2.找“三线八角”：确定截线与被截线，识别同位角、内错角或同旁内角。 3.推导关系：用性质定理推导角的关系。 1.(25-26七年级下浙江宁波月考)如图，ABCD,点E在CD上，点E,G在AB上，设ZAFE=a, ∠EGB=B∠FEG=O ,则() G -B D A. a+B+0=360° a+B+0=210° B. x+B-0=180° D.C+B-0=150 2.(25-26七年级下·上海·月考)如图，BD平分∠ABC,DE∥BC,且∠AED=70°，则∠DBC=, 3.(25-26七年级下·浙江宁波·月考)如图，AB∥CD,则x+y= 135 B x 130° > C30° D 4.(25-26七年级上江苏南京·期末)【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的 几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关 系 7/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，AB∥CD,P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP,试说明：∠B+∠D=∠BPD;请 将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB. ,PM∥AB.(辅助线的作法) ∴.∠B=∠BPM.(_) :AB∥CD.(已知) .PM∥CD.(_) ∴.∠D=∠DPM.() ,∠BPM+∠DPM=∠BPD.(角的和差定义) ∴.∠B+=∠BPD.(等量代换) 【方法应用】 (2)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF-°： 【变式探究】 (3)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？请说 明理由； 【拓展延伸】 (4)如图4，若EPF=98°，∠PE ∠PFC ∠Q=。 的平分线和 的平分线交于点Q,则 题型6根据平行线的性质研究角的度数 解题大超 核心思路：通过平行线的性质：将未知角转化为已知角：计算其度数 8/19 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「解题步骤： 1. 利用平行性质。 L2:_结合角平分线：若涉及角平分线，先拆分角：再用平行性质计算。 1.(25-26九年级下·辽宁鞍山月考)将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后， 光线平行（即AB/CD),若∠1=∠2=50°，则∠3的度数为(） D B 3 V11111111111111111011111111 C A.80° B.60° C.50° D.70° 2.(25-26七年级上江苏扬州·期末)在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是 在称物时的状态，已知∠2=70°，则∠1的度数是() A.130° B.110° C.70° D.20° 3.(25-26七年级下·上海·月考)如图，点E、F分别在线段AD、BC上，线段AC、EF交于点G, AB∥EF∥DC,找出图中与所有∠CGF相等的角： G B 4.(25-26七年级上·江苏无锡·期末)动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有 趣的结论 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板ABC与三角板DEF如图1所示摆放，其中∠ACB=∠EDF=90°，∠BAC=30°，∠DEF=45°， GH∥MN,点A,B在直线GH上，点E,F在直线MN上. 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H G G H M M 图1 备用图 备用图 【操作一】小宁固定三角板ABC不动，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转，设时 间为t秒，且0≤t≤60. (1)当DF与AB平行时，则t的值为 (2)当DF与AC平行时，求t的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板DEF绕点E以每秒3°的速度逆时针旋转， 小宁将三角板ABC绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，且0≤t≤60，当DF与BC平行 时，则t的值为 题型7平行线的性质在生活中的应用 解题大 常见场景：梯子、探照灯、楼梯、视力表等。 解题思路： 1. 建模：将实际问题转化为几何模型（如梯子靠在墙上，形成平行线，用平行性质计算角度）。 2 应用性质：用平行线的性质解决实际问题（如探照灯的光线是平行的，用同位角相等计算角度）·， PO 1. (25-26八年级上·辽宁铁岭·期末)如图，平行于主光轴 的光线1B和CD 经过凸透镜折射后，折射 光线BE,DF交于主光轴上一点G,若∠ABE=140°，∠CDF=160°，则LBGD的度数是() B A.609 B.70° C.80° D.90° 2.(25-26九年级下·广东深圳开学考试)如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球 面射电望远镜“中国天眼”.如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖 直方向的馈源（反射面），入射波AO经过三次反射后沿OA水平射出，且OA∥OA',已知入射波 10/19