模拟训练02（竞赛培优综合训练，人教A版必修第二册全册）高一数学人教A版全国通用

高一数学学科素养能力竞赛模拟训练02 （内容:人教A版2019必修第二册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知样本数据，，的方差为6，则（    ） A．该组样本数据的平均数无最值 B．数据，，的方差为9 C．该组样本数据极差的最大值为6 D．该组样本数据极差的最小值为 10．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D．若函数则函数的最小值为 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 13．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为________． 14．已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，______． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分） 已知为三角形的一个内角，复数，且满足． (1)求； (2)设z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 16．(15分) △中角的对边分别为，满足，. (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. 17．(15分) 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 18．(17分) 统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 19．（17分） 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； (1)证明在底面的射影是底面三角形的垂心； (2)（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； (3)设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学学科素养能力竞赛模拟训练02 （内容:人教A版2019必修第二册） 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分(选择题共58分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．使成立的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，即， 或，解得或. 故选：C. 2．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设两个向量的夹角为，则， 所以向量在向量方向上的投影数量为， 所以投影向量为. 3．在中，，，，为边上一点，且平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 4．如图，已知正四面体ABCD的棱长为1，M、N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM和CN 所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，连接，取的中点为，连接，因M、N分别是BC与AD的中点，故， 则即异面直线AM和CN 所成角或其补角，又因正四面体，则， 则，易知，则， 在中，由余弦定理，. 故选：A. 5．某课外活动小组为研究日平均气温的变化情况，将每连续5天的日平均气温（单位： ）的记录数据作为一组样本，他们得到了满足下列条件的四个样本：①平均数为3，极差为2；②中位数为7，众数为9；③众数为5，极差为6；④平均数为4，方差为2；则这四个样本中，连续5天的日平均气温记录数据均低于的样本个数至少有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】设“连续5天的日平均温度均低于”，将天数据从小到大排序为：， ①选项，，，若，则， 与平均数为矛盾，所以①选项正确； ②选项，中位数是，众数是，所以将数据从小到大排序后，第3个数是， 第个数为，所以个数据都小于，所以②选项正确； ③选项，众数是，极差为，如，第天超过，不符合，所以③选项错误； ④选项，， ，， 若，则，矛盾，所以④选项正确； 故选：C． 6．若图G的关联结点（加黑的粗点）构成的点集记为V，V可划分为两个子集和，且图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中，则将图G称为二部图．现有下列六个图，若从这六个图中任选两个，则正确的是（  ） A．这两个图都是二部图的概率为 B．这两个图至少有一个是二部图的概率为 C．这两个图不都是二部图的概率为 D．这两个图恰有一个是二部图的概率为 【答案】B 【解析】对于图，图中出现了，则该三角形必然有一条边的两个顶点分在一个子集内， 这显然不符合二部图的定义，图也是如此，所以图与图不是二部图. 除了这两个图，其他四个图都是二部图. 例如，对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中； 对于图，当时，图中的每一条边的一个关联结点在中，另一个关联结点必在中. 从这六个图中任选两个，所有的选择为 ， ， ，共15种. 这两个图都是二部图的选择共有种，这两个图至少有一个是二部图的选择共有种， 这两个图不都是二部图的选择共有种，这两个图恰有一个是二部图的选择共有种， 故这两个图都是二部图的概率为，故A错误； 这两个图至少有一个是二部图的概率为，故B正确； 这两个图不都是二部图的概率为，故C错误； 这两个图恰有一个是二部图的概率为，故D错误. 故选：B. 7．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小.现已证明：在中， 若三个内角均小于， 则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点.根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，将向量放在坐标系中，将问题转化为点到，，三点的距离之和，再利用费马点的性质即可求解. 【解析】，，和是平面内两个互相垂直的向量， 不妨设，，， 则，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， ，表示点到点的距离， 表示点到，，三点的距离之和， 由费马点的性质可知，当时，点到三角形三个顶点的距离之和最小， 点，关于轴对称，点在轴上，如图， 在中，，又， ，解得，故点的坐标为， ，，， 此时，， 的最小值是. 故选：A. 8．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径. 如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为， 斜边上高，所以， 所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径， 如图，在矩形中，作，交于点， 在中，，，所以， 所以， 在三角形中，如图建立直角坐标系， 所以，，，截面圆， 圆与三角形各边的交点分别为，，，，， 所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为. 联立，求得，， 直线方程为， 联立，求得， 同理求得， 所以， 所以三边与球体O公共部分的长度总和是. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知样本数据，，的方差为6，则（    ） A．该组样本数据的平均数无最值 B．数据，，的方差为9 C．该组样本数据极差的最大值为6 D．该组样本数据极差的最小值为 【答案】ACD 【解析】设样本的平均数为，方差为， 选项A ：由方差的性质可得数据，，的方差和的方差相同，由具有任意性可知该组样本数据的平均数无最值，故A正确； 选项B：特值验证：取（方差为）， 新数据为， 新数据方差为.所以B错误； 选项C ：不妨设 ，所以极差为， 由不等式可得， ， 则，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D ：又时，有， 由可得， 所以，即，当或时取等号，故D正确. 故选： ACD. 10．如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 【答案】ABD 【解析】对于A，连接交于点，则为的重心，连接． 因为，所以，平面，平面， 所以平面，平面，平面与平面的交线为， 则，故，故A错误； 对于B，若在上存在点，则， 当与重合时，取最小值为，故B错； 对于C，当时，因为，，， 所以，则，即． 又平面，平面，． ，平面， 平面平面， 平面平面，故C正确； 对于D，过作交于点．若在上存在点，使得， 则．又，，平面． 平面，所以平面，又平面， ，矛盾．故D错． 故选：ABD. 11．窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为2，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．在方向上的投影向量为 D．若函数则函数的最小值为 【答案】BD 【解析】如图所示，以AE为y轴，GC为x轴建立平面直角坐标系， 设，则在中，由余弦定理可得， 整理得， 因为 . 对于A，因为， 所以，A错误； 对于B，取AB的中点为M，则， 则， 两式相减得， 由正八边形的对称性可知，当点P与点E或点F重合时，最大， 又，所以， 所以， 所以，的最大值为，B正确； 对于C，， 所以， 所以在方向上的投影向量为，C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以 ， 当时，函数取得最小值，D正确. 故选：BD 第二部分(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上) 12．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 【答案】 【解析】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 13．甲、乙两人进行羽毛球比赛，采用五局三胜制（每局比赛没有平局，先胜三局者获胜并结束比赛），第一局甲获胜的概率为，之后两人每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，设甲每局比赛概率获胜概率为（），其中，若上局获胜，则下一局获胜的概率比上局获胜概率更大且满足（），若上局未获胜，则下一局获胜的概率为，若甲乙比赛三局结束的概率为，则4局结束比赛并且甲获胜的概率为________． 【答案】 【解析】若三局结束比赛，则可能三局均为甲胜，或者三局均为乙胜， 若均为甲胜，则概率， 若均为乙胜，则概率， ， 即，解得或（舍去），所以， 若打完4场结束比赛，则需一方以获胜，因此则第4场必须是胜，前3场胜2场即可， 其中甲在第1、2、4场获胜的概率， 其中甲在第1、3、4场获胜的概率， 其中甲在第2、3、4场获胜的概率， 所以打完4场结束比赛甲获胜的概率. 14．已知某圆锥侧面展开后的扇形面积为定值，设扇形的圆心角为，则当圆锥的内切球体积最大时，______． 【答案】 【解析】设扇形面积为，圆锥的底面半径为，母线长为，高为，内切球半径为， 而，由勾股定理得， 而圆锥的内切球在轴截面中与等腰三角形三边相切， 我们以内切球的球心为顶点，向等腰三角形三边作垂线， 可将其分割为三个小三角形，其中两个小三角形以母线为底，内切球半径为高， 另一个小三角形以底面圆直径为底，内切球半径为高， 由题意得圆锥轴截面的面积与以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和相等， 而轴截面面积为， 而以内切球的球心为顶点分割出的小三角形面积之和为 ， 故，解得， 则该圆锥的内切球半径， 由扇形面积公式得，即， 且记为定值，故，即，而， 因为 ， 由基本不等式得， 而， 即，当且仅当时取等，此时， 设圆锥的内切球体积为，而由球的体积公式得， 由幂函数性质得当圆锥的内切球体积最大时，圆锥的内切球半径最大， 而，解得， 当最大时，由弧长公式得. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.（13分） 已知为三角形的一个内角，复数，且满足． (1)求； (2)设z，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 【解析】（1）且， ， 且， ， ， . （2）复数，，， 在复平面上对应的点分别为， ，，， 由余弦定理可得， 且， ， . 16．(15分) △中角的对边分别为，满足，. (1)证明：； (2)求△的内切圆半径的取值范围； (3)若，△的内切圆上有一点，求点到三点的距离的平方和的最值. 【解析】（1）证明，由知，在中由余弦定理得： （2）由 可知 又 而. （3） 由 解得，可知为直角三角形，且， 以为原点，分别为轴正方向建立平面直角坐标系， 则，设内心有 设 整理得：， ，即所求得最小值为，最大值为. 17．(15分) 将连续正整数（）从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率． (1)求； (2)当时，求的表达式； (3)令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值． 【解析】（1）当时，，即这个数中共有195个数字， 其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为. （2）当时，这个数由n个1位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，； 当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数， 个四位数组成，； 综上所述：. （3）当时，， 当时，， 当时，，即， 同理有， 由，可知， 所以当时，， 当时，，当时，， 当时，， 由关于单调递增， 故当时，有最大值为， 又，所以当时的最大值为． 18．(17分) 统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【解析】（1） 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： （2）解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：                      甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩：                  由甲、乙同学成绩数据可知： （3）欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式     …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立. 19．（17分） 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为； (1)证明在底面的射影是底面三角形的垂心； (2)（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）． （ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：； (3)设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论） 【解析】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接， 由，平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为平面，又平面，所以， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理可得：， 所以在底面的射影是底面三角形的垂心. （2）（ⅰ）所以， 由余弦定理可得：， 所以 所以， 所以， 因为， 所以， 所以. （ⅱ），又因为， 所以，所以，所以， 又因为，所以， 所以，两边同时平方化简可得： 所以. （3）在四面体中，因为两两垂直， 故分别为面对应的高， 即，又因为， 所以，对于内任意一点，连接， 因为， 所以， 又因为，则有， 等式两边同时除以，可得， 由三元不等式可得：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $