函数与导数课件-2026届高三数学二轮复习

　函数与导数 高中数学 二轮复习 内容索引 第一部分 知识回归 对点训练 第二部分 知识回归 第 分 部 一 2．函数的奇偶性、周期性 (1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)成立，则f(x)为偶函数)． (2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． －f(x) f(x) f(x＋T)＝f(x) 2a 2a 2a 增 减 大 小 对点训练 第 分 部 二 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 BC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 CD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 BC 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 5 谢谢观看！ 1．函数的定义域和值域 (1)求函数定义域的类型和相应方法 若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围． (2)常见函数的值域 ①指数函数、对数函数的值域分别为(0，＋∞)，R； ②二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：当a>0时，值域为，当a<0时，值域为． 3．关于函数周期性、对称性的结论 (1)函数的周期性 ①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期； ②若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期； ③若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期． (2)函数图象的对称性 ①若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称． ②若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称． 4．函数的单调性 函数的单调性是函数在其定义区间上的局部性质． (1)单调性的定义的等价形式：设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上单调递增； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上单调递减． (2)若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数y＝f(g(x))的单调性． 5．指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)；y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)． (2)单调性：当a>1时，y＝ax在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增． 当0<a<1时，y＝ax在R上单调递减；y＝logax在(0，＋∞)上单调递减． 6．函数的零点 (1)零点定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：解方程f(x)＝0； ②函数零点存在定理法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解； ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解． 7．导数的几何意义 (1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． (2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上． 8．利用导数研究函数的单调性 (1)求可导函数单调区间的一般步骤 ①求函数f(x)的定义域； ②求导函数f′(x)； ③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调递增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调递减区间． (2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立； ②若可导函数f(x)在某区间上存在单调递增(减)区间，则f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集； ③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集． 9．利用导数研究函数的极值与最值 (1)求函数的极值的一般步骤 ①确定函数的定义域； ②解方程f′(x)＝0； ③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0附近两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点， 若左负右正，则x0为极小值点， 若不变号，则x0不是极值点． (2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 10．常见的含有导数的几种不等式构造原函数类型 (1)对于f′(x)±g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)±g(x)． (2)对于f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝f(x)g(x)． (3)对于f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，构造函数h(x)＝(g(x)≠0)． 例如，对于xf′(x)＋f(x)>0，构造函数h(x)＝xf(x)； 对于xf′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝(x≠0)； 对于f(x)＋f′(x)>0，构造函数h(x)＝exf(x)； 对于f′(x)－f(x)>0，构造函数h(x)＝． 1．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＝则f(4)＝(　 　) A． B．1－ C．－ D．1＋ 解析：因为函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)＝所以f(4)＝f(3)＝f(2)＝f(1)＝f(0)＝30＋sin ＝1－．故选B． 2．若函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，则a的取值范围是(　 　) A．[－2，＋∞) B．[－1，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，－1] 解析：因为函数y＝2t在R上为增函数，t＝x2＋ax－3在上单调递减，在上单调递增，且函数f(x)＝2x2＋ax－3在(1，＋∞)上单调，所以根据复合函数的单调性，可得－≤1，即a≥－2，所以a的取值范围是[－2，＋∞)．故选A． 3．函数f(x)＝的大致图象是(　 　) 　　　　　　 解析：因为f(x)＝，所以定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除A，C；当x∈(0，1)时，x2－1<0，2x－2－x>0，故f(x)<0，排除D．故选B． 4．已知a＝log3，b＝40．3，c＝log，则a，b，c的大小关系是(　 　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b 解析：因为y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log3<log31＝0，即a<0．因为y＝4x在R上单调递增，所以40．3>40＝1，即b>1．因为y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，所以log1<log<log，即0<c<1．所以b>c>a．故选A． 5．遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间x(单位：小时)的函数关系式为y＝1－0．5x0．06，当记住的单词仅剩25个时，则离初次记忆约经过了(参考数据：lg 2≈0．30，lg 3≈0．48)(　 　) A．100小时 B．300小时 C．1 000小时 D．3 000小时 解析：由题意得100(1－0．5x0．06)＝25，所以1－0．5x0．06＝，即x0．06＝，两边同时取以10为底的对数，得0．06lg x＝lg 3－lg 2≈0．48－0．3＝0．18，所以lg x≈3，x≈1 000．故选C． 6．已知函数f(x)＝x3－x＋1，则f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程是(　 　) A．4x＋y－5＝0 B．4x－y－3＝0 C．2x＋y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析：对f(x)＝x3－x＋1求导得f′(x)＝3x2－1．将x＝1代入f′(x)中，可得切线的斜率k＝f′(1)＝3×12－1＝2．已知切线过点(1，1)，斜率为2，可得切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程是2x－y－1＝0．故选D． 7．已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝1，对任意x∈R，f(x)＋xf′(x)<0，则不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(　 　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，所以g(x)在R上单调递减．又g(2)＝2f(2)＝2，由(x＋1)f(x＋1)>2，即g(x＋1)>g(2)，所以x＋1<2，解得x<1，所以不等式(x＋1)f(x＋1)>2的解集是(－∞，1)．故选A． 8．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，f(x－2)＝－f(－x)，当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，则下列结论正确的是(　 　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称 B．函数f(x－1)为奇函数 C．(n)＝0 D．f>f(log45) 解析：因为f(x－2)＝－f(－x)，所以f(x－2)＋f(－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，故A错误；令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)，又f(－x－1)＝－f(x－1)，所以F(－x)＝－F(x)，故f(x－1)为奇函数，故B正确；因为f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，令x＝1，得f(1)＝0，令x＝3，得f(1)＋f(3)＝0，令x＝4，得f(2)＋f(4)＝0，所以(n)＝506×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＝0＋f(1)＝0，故C正确；f＝f(log34－4)＝f(log34)， 又log34－log45＝－＝>＝>0，故1<log45<log34<2，又因为当x∈[0，1]时，f(x)单调递减，且周期T＝4，所以f(x＋2)＋f(－x)＝0，所以f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，所以f(x)在区间(1，2)上单调递减，所以f(log34)<f(log45)，所以f<f(log45)，故D错误．故选BC． 9．(多选)已知函数f(x)＝2ln x－x2，则(　 　) A．函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1]∪[1，＋∞) B．函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞) C．函数f(x)的极大值点为1 D．函数f(x)的最大值为－1 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－2x＝，当x>1时，f′(x)<0，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，故单调递减区间为(1，＋∞)，故A错误；当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)在(0，1)上单调递增，故单调递增区间为(0，1)，故B错误；当x＝1时，f(x)取得极大值也是最大值，故C正确；f(x)max＝f(1)＝－1，故D正确．故选CD． 10．(多选)已知函数f(x)＝x3－3x－2，则(　 　) A．f(x)有3个零点 B．过原点作曲线y＝f(x)的切线，有且仅有一条 C．y＝f(x)与y＝ax－2的图象的交点的横坐标之和为0 D．f(x)在区间(－2，2)上的值域为(－4，0) 解析：由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表， x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 f(－1) 单调递减 f(1) 单调递增 f(－1)＝－1＋3－2＝0，f(1)＝1－3－2＝－4，f(2)＝8－6－2＝0，所以f(x)有2个零点，故A错误；设切点为(x0，y0)，则切线方程为y－(x－3x0－2)＝(3x－3)(x－x0)，因为切线过原点，所以－x＋3x0＋2＝(3x－3)(－x0)，即－x＋3x0＋2＝－3x＋3x0，x＝－1，解得x0＝－1，故切线有且仅有一条，故B正确；x3－3x－2＝ax－2，即x3＝(a＋3)x，解得x＝0或x2＝a＋3，若a＋3≥0，根据对称性知，根之和为0，若a＋3<0，方程只有一个根为0，故C正确；f(－2)＝－8＋6－2＝－4，又f(－1)＝0，f(1)＝－4，f(2)＝0．故f(x)在区间(－2，2)上的值域为[－4，0]，故D错误．故选BC． $