专题2 二次函数性质综合题-【一战成名新中考】2026广西中考数学·二轮复习·专项分类提升练

一战成名新中考 专题二二次函数性质综合题(5年2考) 考情时间轴 2024 2022 2025 2023 2021 25.最值探究 25.与线段交点问题 综合训练 1.[2024广西25题10分]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值 问题展开探究 【经典回顾】二次函数求最值的方法 (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多α的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结 果，并整理成下表： a 4 2 0 2 0 -2 y的最小值 -9 -3 -5 -15 … 注：*为②的计算结果 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所 以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理； (3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值：若不正确，说明理由. 专项分类提升练·广西数学 31 2.「2025河南7在二次函数y=ax2+bx-2中，x与y的几组对应值如表所示. 2 0 … -2 -2 (1)求二次函数的表达式： (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象； (3)分类讨论将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最 大值与最小值的差为5，请直接写出n的值， Q234x 第2题图 3.[2025浙江]已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值； (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的值： (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线L1,l2之间.若 直线1,2之间的距离为16，求n-m的最大值. 32 专项分类提升练·广西数学 一战成名新中考 4.[2025长沙]我们约定：当x1,y,x2,y2满足(x+y2)2+(x2+y)2=0,且x1+y≠0时，称点(x1,y1)与 点(x2,y2)为一对“对偶点”.若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数” 请你根据该约定，解答下列问题： (1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“V”,错误的打“×”）； ①函数y=(k是非零常数)的图象上存在无数对“对偶点”； ②函数y=-2x+1一定不是“对偶函数”； ③函数y=x2+x-1的图象上至少存在两对“对偶点”. ( (2)若关于x的一次函数y=kx+b,与y=k2x+b2(b,b2都是常数，且b,·b2<0)均是“对偶函数”， 求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； (3)多解法若关于x的二次函数y=2ax2-1是“对偶函数”，求实数a的取值范围！ 专项分类提升练·广西数学 33 5.「2025南宁二中三模1数学小组利用刻度尺对二次函数图象的相关性质进行研究.如图①，点0为 两条开口向上的抛物线的公共顶点，将刻度尺绕点O旋转，与两条抛物线分别交于点A,点B(异 于点O) 【猜想】学生先对y=x2,y=2x2进行探究，对OA,OB进行多次测量，部分数据如表： OA(单位：cm) 0.5 0.8 1.3 2.1 OB(单位：cm) 1.6 2.6 4.2 (1)猜想：OB与OA的数量关系是 【验证】(2)如图②，直线y=kx(k>0)与抛物线y=ax2,y=bx2(a>b>0)分别交于点A,点B.0B与 OA的数量关系是什么？请完成填空，并补全推导过程. 证明：过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BDLx轴于点D. 设点A的横坐标为p(p≠0)，由点A是直线y=x与抛物线y=a2的交点，得仰=四2，解得 k=迎； 设点B的横坐标为g(q≠0)，由点B是直线y=kx与抛物线y=bx2的交点，得 ,解得 k= 又：k=k,a即=bg,.2= 易证△AOC∽△BOD..… q 请完成证明过程。 1 【应用】(3)①如图③，若直线y=2x与抛物线y2=x2,y= 2分别交于点A,B,直线，=-t与抛 物线，=，=之分别交于点C,D,其中4，B,CD异于点0若C,D关于y轴的对称点分 别是E,F,则线段AE与线段BF的数量关系是什么？请说明理由 ②若直线y=x(k>0)与抛物线y=a(a≠0)相交于点0，A,直线y=k(x-h)+d与抛物线y= 2(x-h)2+d相交于点P,Q,且OA=6PQ,直接写出a的值. y1=2x 对称轴 y=bx2 y=ax V/y=kx 0 B 09 OC D y3= 2 图① 图② 图③ 第5题图 34 专项分类提升练·广西数学选择方案3的总销售额为88×25+65×2=2330（元）， .2414>2372>2330. .分装方案1的总销售额最高： 6.解：(1)300,2： (2)货车从C地出发，到达B地后原路返回所用时间为3 货车从C地到B地所用时间为弩2=手（)。 M(专，120). 解法-：货车的速度为120÷号=90(A), y=120-90(x3)=-90x+240, 4 .8 ·y与x之间的函数解析式为y=-90x+240(3≤x≤？)： 解法二点拨：用待定系数法确定MN的解析式； (3)轿车出发h或b或弩h与货车相距40m 7解：(1)抛物线G的表达式为=子+分1： 1 (2)不能，理由略： (3:四边形Mp0是正方形，（分1）.N(1,). 13 Q(22 3 ·P(1,2）,如解图， y MN -2-101234x -1F 第7题解图 抛物线开口向下，.a<0 Ial越小开口越大，Ial越大开口越小，点F在(3,0)和 (4,0)之间（包括这两点）， ∴.由图象可得，当抛物线顶点为点M,且经过点(4,0)时， 开口最大，此时a最大， 1 设C,的表达式为a(x-2)户+1， 将(4.0)代入，得0=a(4宁+1，解得a=每 由图象可得，当抛物线顶点为点P,且经过点(3,0)时，开 口最小，此时a最小 ÷设G的表达式为y=a(1子 将(3.0)代人，得0=a(3-1)产+号解得a=令 3 六a的取值范围为-3 a≤49 4 专题二 二次函数性质综合题 1.解：(1)①y=x2-8x-7: ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23, .当x=4时，y的最小值为-23： 28 参考答案与重对 (2)甲同学的说法是合理的： 理由：老师给了a值后，由y=x2+2ax+a-3可知， 关于x的二次函数图象开口向上，对称轴为直线x=-a, ∴.当x=-a时，y得到最小值，所以甲同学的说法是合理 的： 11 (3)乙同学的猜想是正确的，所求的最大值为-4 2.解：(1)二次函数的表达式为y=(x+1)2-3,即y=x2+2x- 2; (2)结合(1)y=(x+1)2-3,.顶点坐标为(-1，-3). 作图如解图： 第2题解图 (3)n的值为1+5或4-√5. 3.解：(1)把(1,0)代人y=x2-ax+5,得1-a+5=0,解得a= 6: (2)t=-3; (3)·y=x2-6x+5=(x-3)2-4 .抛物线的顶点坐标为(3，-4)， 当抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x 轴平行的直线，12之间时， 要使n-m最大，则横坐标为m,n的点为其中一条直线与 抛物线的交点，x=m和x=n关于对称轴对称， 又：直线11,12之间的距离为16，为定值， .当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3，-4)，即y=-4 时，n-m最大，此时另一条直线的解析式为y=16-4=12, 如解图， y l1:y=12 l3:y=-4 x=3 第3题解图 .当x2-6x+5=12时，解得x1=7,x2=-1,此时n=7,m= -1. ∴.n-m的最大值为7-(-1)=8. 4解：(1)①V:②V;③X; (2)由题意可得x2=-y1,y2=-x1,则点(x1,y1）与点(-y1, -x,)是一对“对偶点”，其中x1≠-y1, :y=kx+b,是“对偶函数”， 其图象上必存在一对“对偶点”，有=，+6，两 (-x1=-k1y1+b1, 式相减可得k,=1, 同理可得k,=1, .两个一次函数为y=x+b1,y=x+b2, 题解析·广西数学 b1,b都是常数，且b,·b2<0, :.两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形 是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直 角三角形，如解图 yAy=x+b Y/ y=x+b, -b, Y=x+6, b Y=x+b -b2 0 Zb2元 第4题解图 其面积之和S=子+： (3)解法一：由题意可得a≠0，且x1≠-y1时， 有，=2a-1,0 （-x1=2a(-y1)2-1,② 两式相减可得x1y1=2a 1 =2a 代入①整理可得2a子名+2a1=0, ·二次函数y=2ax2-1是“对偶函数”， 1 关于的一元二次方程2a-+201=0必有实数 根， 而4=1-8a(2a -1)=8a-3, 3 3 当△=0，即8a-3=0时，a=令，由4-+3=0可得 .+y=0,此时不符合题意，这种情况舍去： .必有4=8a-3>0, 解得a>8 3 解法二：由题意可得a≠0，由于函数y=2ax2-1是“对偶 函数”，所以它的图象上一定存在一对“对偶点”点A(x1, y1)与点B(-y1,-x,)且x1≠-y 不妨设经过A,B两，点的直线的解析式为y=kx+b,由题意 可得k=1,b=y1-x1,即y=x+y1-x1, 歌 ①-②得2ax2-x+x1-y1-1=0. 由直线AB与二次函数图象必有两个不同交点， 故必有4=1-8a(x1-y-1)>0(*). jy1=2ax-1,③ -x1=2a(-y1)2-1,④ ③-④得2a(x,y)=1,将其代人(*) 可得△=1-4+8a>0,解得a>8 3 解法三：由题意可得a≠0，且x,≠-y时， 有{1=2ar-1,0 (-x1=2a(-y1)2-1,② 以上两式相减可得x+(-y) 2石，以上两式相加变形可 参考答案与重难题 一战成名新中考 11 得x(-)4a2a 所以关于：的一元二次方程广云*证云 #1-上=0必有两个 不等实数根1，y1, ⊥-)>0，解得a>8 -2-442a 从而A=(- 3 1 5解：(1)01=20B; b (2)kq=bg,bq, 证明：过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D. 设点A的横坐标为p(p≠0)，由点A是直线y=x与抛物 线y=ax2的交点，得仰=ap2,解得k=即， 设点B的横坐标为q(q≠0)，由点B是直线y=x与抛物 线y=bx2的交点，得q=bg2,解得k=bg, 又k=k, .φ=bg, OC p b 9a1 ,∠AOC=∠BOD,∠OCA=∠ODB=90°， .∴△AOC∽△B0D, 04-0C.即016 OB OD'OB a (3)0E、1 BF2,理由如下： 直线y,=2x与抛物线y2=x2分别交于点0，A, 设点A的横坐标为m(m≠0)，则y1=2m,y2=m, y1=y2,即2m=m2, 解得m=2,A(2,4), 直线=2x与抛物线=)分别交于点0，B 1 设点B的横坐标为n(n≠0)，则y=2n,=2n, 5=⅓，即2=2”， 12 解得n=-4, ∴.B(-4,-8), 同理，直线y4=-x与抛物线y2=x2的交点C的坐标为 (-1,1), 1 直线=-x与抛物线方=-2的交点D的坐标为 (2,-2), C,D关于y轴的对称点分别是E(1,1),F(-2,-2), .AE=√(2-1)+(4-1)7=√10， BF=√(-4+2)+(-8+2)F=2√10， .AE√I0_1 BF210 2； 1 ②a=±3 专题三与几何动态有关的函数分析与计算 例1解：(11=2 3 二h,1随h的增大而增大； (2)①=2(0≤≤3)， 当0≤x≤3时，y随x的增大而增大： 解析·广西数学 29