精品解析：四川省遂宁中学校2025-2026学年下学期八年级数学学情自测1（A）

四川省遂宁中学校（高新校区）遂宁中学初2027届数学周测1（A）数学 一、单选题 1. 代数式中是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列分式中，最简分式是　　 A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 5. 下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 6. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，， 则P与Q 大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 9. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 13. 已知，其中为常数，则______． 14. 已知（且），，，…，，若，则x的值为________． 15. 已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 三、解答题 16. 计算或解分式方程 （1）计算：  （2）计算： （3）解分式方程： （4）解分式方程： 17. 先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适数代入求值． 18. 某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 19. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省遂宁中学校（高新校区）遂宁中学初2027届数学周测1（A）数学 一、单选题 1. 代数式中是分式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：分式有：共3个 故选：C 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义的内容是解此题的关键，注意：分式的分母中含有字母． 2. 下列分式中，最简分式是　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了最简分式的定义及求法一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题在解题中一定要引起注意． 3. 下列各式从左到右变形一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 4. 如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的倍 C. 缩小为原来的倍 D. 扩大为原来的倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的计算原则是解题的关键． 将与都扩大为原来的3倍，代入代数式并化简，比较与原式的关系． 【详解】解：与都扩大为原来的3倍， 得： ， ， ， ，即与原式相等， 代数式的值不变； 故选：A． 5. 下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 6. 小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小红的骑行速度为，则小亮的速度为，根据“两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了”列出方程即可． 【详解】解：设小红的骑行速度为，则小亮的速度为， 根据题意，可得． 故选：A． 7. 对于非零的两个实数a，b，规定，若，则x的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算规则列出分式方程，解分式方程即可得到x的值． 【详解】解：∵规定非零实数a，b满足， ∴， 由题意得， 移项得， 两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并得， 解得， 检验：当时，，所以是原方程的解． 8. 已知，， 则P与Q 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 9. 已知，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对已知的三个等式的左边通分，再进行适当地变形，可分别求得，，，再将这三个式子相加，即可求出的值． 本题主要考查了分式的通分、约分等知识，熟练掌握分式的加法，将原来三个式子变形成同分母的式子是解题的关键． 【详解】解：由得，， ∴①； 由得， ， ②； 由得， ∴③； ，得， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 10. 若不等式组的解集为，且关于y的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分式方程的求解及正整数解的应用．首先解不等式组，根据解集确定a的取值范围为，然后解分式方程，得到，要求y为正整数且，结合a的取值范围，得到满足条件的整数a为3 和5，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ， 由得， ①当时，第二不等式解为，解集为，需，解得，故， ②当时，第二不等式为，恒成立，解集为， ③当时，解集不能为， 因此a的取值范围为， 解分式方程，化简得，解得， 要求y为正整数，故且为整数，即，结合，需为正整数且， 代入a值验证： ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，正整数； ，，非整数； ，，为增根， ∴满足条件整数a为3和5，和为8． 故答案为：8． 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．分式的分母不能为零，二次根式的被开方数必须非负． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴有意义，要求，且分母，即． 因此，且． 故答案为：且． 12. 已知1米纳米，某种病毒的直径是234纳米，“234纳米”用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式（其中，为正整数），先将纳米单位换算为米，再转化为符合要求的科学记数法形式即可解答． 【详解】解：因为1米纳米，所以1纳米米， 则234纳米米米． 13. 已知，其中为常数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，将等式的右边先通分，再与左式比较，根据分子对应项的系数相等即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 已知（且），，，…，，若，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探索，分式加减乘除混合运算；通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为3，根据周期性质，，从而建立方程求解. 【详解】解：∵计算序列的前几项：，，，，……， ∴此序列周期为3，即对于，有， ∵，余数为0， ∴ ∵ ∴ ∴ 经检验，，满足且 故答案为： 15. 已知，，下列结论： ①；②若，则；③无论为何实数值，始终有；④若关于的方程无解，则．其中正确的有_____（请填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查因式分解、分式的化简求值、完全平方公式以及分式方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过因式分解验证结论①；利用完全平方公式求值，即可判定结论②；由平方非负性即可证明结论③；通过解分式方程，即可判定结论④． 【详解】解：对于结论①，，成立； 对于结论②，当，时，，故，成立； 对于结论③，，故，成立； 对于结论④，方程即， ， ， ，当时，解整式方程得，此为原分式方程的增根，故原方程无解， 当时，原分式方程无解， 当或时，分式方程无解，故结论④错误， 故答案为：①②③． 三、解答题 16. 计算或解分式方程 （1）计算：  （2）计算： （3）解分式方程： （4）解分式方程： 【答案】（1）； （2）； （3）无解； （4） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质、零指数幂和负整数指数幂的运算规则，分别计算每一项后求和； （2）先通分计算括号内的加法，再将除法转化为乘法，通过因式分解约分得到最简结果； （3）先确定最简公分母去分母化为整式方程，解整式方程后需检验是否为增根； （4）考先对分母因式分解确定最简公分母，去分母化为整式方程求解，最后检验根的有效性． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 小问3详解】 解：方程两边同乘，得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是增根，原分式方程无解． 【小问4详解】 解：方程两边同乘，得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 17. 先化简，然后从0，1，2，3中选取一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，然后根据分式有意义的条件得到，，，然后将代入求解． 【详解】解： ， ∵分式有意义， ∴，， ∴，， ∵从0，1，2，3中选取一个合适的数 ∴， ∴原式． 18. 某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元． （1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？ （2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费， 请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． 【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析． 【解析】 【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解． （2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可． 【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品， 则： 解得：x＝16 经检验，x＝16 是原分式方程的解 ∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品 （2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天 需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元 方案二：乙工厂单独完成此项任务，则 需要的时间为：960÷24＝40 天 需要的总费用为：40×（120+15）＝5400元 方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则 16a+24a＝960 ∴a＝24 ∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5160元 综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱． 【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案． 19. 给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． （1）在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； （2）若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； （3）若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】（1）① （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【小问1详解】 解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； 【小问3详解】 解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $