13.3.2 第2课时 与球有关的组合体问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（苏教版）

该高中数学课件聚焦球的截面及与多面体、旋转体的切接问题，通过习题讲评式教学，先复习球的大/小圆、切线等概念及表面积体积公式，再以例题为支架，从基础截面计算过渡到复杂组合体问题，构建知识脉络。 其亮点在于通过“思维建模”提炼截面问题的直角三角形模型，结合截面图培养空间观念（数学眼光），通过正方体切接球表面积之比等例题强化逻辑推理（数学思维），跟踪检测融入实际问题（如浮球体积）提升应用意识（数学语言）。学生能掌握解题策略，教师可直接使用系统题型与解题模板，提高教学效率。

与球有关的组合体问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 理解球的大、小圆，直线与球相切的意义.掌握球的表面积与体积公式，并能解决与球有关的组合体的相关计算问题. 1.球的截面 球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的_____，被不经过球心的平面截得的圆叫作球的_____. 2.球的切线 (1)当直线与球有_________时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的_____. 大圆 小圆 唯一交点 切点 (2)过球外一点的所有切线的切线长都_____，这些切点的集合是一个___，该圆面及所有切线围成了一个______. 3.球的表面积和体积 S球面=_____，V球=(其中R为球的半径). 相等 圆 圆锥 4πR2 πR3 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　球的截面问题 题型(二) 与球有关的切、接问题 课时跟踪检测 题型(一)　球的截面问题 01 [例1]　平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A.π B.4π C.4π D.6π √ 解析：如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点， 则OO'=，O'M=1. ∴OM==，即球的半径为. ∴V=π()3=4π. |思|维|建|模| (1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决. (2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理. 针对训练 1.已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的倍，且AC=8，BC=6，AB=10，则球的表面积是______，体积是________.  解析：如图，设球的半径为R，球心为O，截面圆心为O1， 则OO1=R.在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°. ∴O1是AB的中点，即O1A=5.又O+O1A2=OA2，∴+52=R2. ∴R2=100，R=10.∴球的表面积S球=4πR2=4π×102=400π，球的体积V球=πR3=π×103=π. 400π π 题型(二) 与球有关的切、接问题 02 角度(一)　球与正(长)方体的切接问题 　　处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题. (1)球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径. (2)球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. [例2]　有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比. 解：设正方体的棱长为a，设三个球的半径分别为r1，r2，r3. ①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过在一个平面上的四个切点及球心作截面，如图(1)所示. 所以2r1=a，r1=，S1=4π=πa2. ②球与正方体各棱的切点为每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图(2). 所以2r2=a，r2=a，所以S2=4π=2πa2. ③正方体的各个顶点都在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图(3)所示.则2r3=a，∴r3=a，S3=4π=3πa2. 因此三个球的表面积之比为S1∶S2∶S3=1∶2∶3. 角度(二)　球与其他多面体的切接问题 　　特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系.一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如几何体的中心，对角线的中点等，还需熟记棱长为a的正四面体的外接球的半径R=a，内切球的半径r=. [例3]　设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 √ 解析：如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1， 则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD=a，AO=AD=a，OO2=， ∴A=a2+a2=a2. 故该球的表面积S球=4π×a2=πa2. 角度(三)　球与旋转体的切接问题 　　球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径. [例4]　(1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 (　　) A.4π(r+R)2 B.4πr2R2 C.4πRr D.π(R+r)2 √ 解析：如图，BE=BO2=r， AE=AO1=R， 又OE⊥AB且BO⊥OA， ∴△AEO∽△OEB. ∴OE2=AE·BE=Rr. ∴球的表面积为4πOE2=4πRr. (2)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是_____.  解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r. 所以==. 针对训练 2.已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为 (　　) A.π B. C.2π D.3π √ 解析：依题意，作出圆锥与球的轴截面，如图所示，设球的半径为r，易知轴截面三角形边AB上的高为2，因此=， 解得r=，所以圆锥内切球的表面积为4π×=2π， 故选C. 3.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为______.  解析：如图所示，设球半径为R，底面中心为O'且球心为O， ∵正四棱锥P-ABCD中AB=2，∴AO'=.∵PO'=4， ∴在Rt△AOO'中，AO2=AO'2+OO'2， ∴R2=()2+(4-R)2，解得R=， ∴该球的表面积为4πR2=4π×=. 4.若圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为______.  解析：如图，由条件知，O1A=3，OO1=4，所以OA=5，所以球的表面积为100π. 100π 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.如果两个球的半径之比为1∶3，那么这两个球的表面积之比为 (　　) A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1 √ 解析：设两球的半径分别为r，3r，则表面积之比为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 (　　) A.8π B. C. D. √ 解析：作轴截面如图所示，则OO1=1.设截面圆的半径 为r，球的半径为R.由已知可得πr2=π，所以r=1，R=. 故S球=4πR2=8π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积和的 (　　) A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 √ 解析：设三个球的半径分别为x，2x，3x，则最大球的体积V大=×(3x)3=36πx3，另两球的体积之和V和=x3+×(2x)3=12πx3， 所以V大=3V和. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.体积为8的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 (　　) A.8π B.12π C.16π D.π √ 解析：因为正方体的体积为8，则其棱长为2，体对角线长为2， 因此其外接球直径为2，半径为，所以其外接球的表面积为4π×()2=12π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.如图，所有棱长都等于2的三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O上，球O的体积为(　　) A.27π B. C.28π D.π √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，三棱柱外接球的球心在上、下底面三角形 中心连线的中点处(O1，O2分别是等边三角形A1B1C1和 ABC的中心，点O是线段O1O2的中点，即外接球的球心)，C1O1=A1B1=×2=2，C1O==，所以球O的体积V=πr3=π×()3=π.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB=BC=CA=2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则下列结论正确的是(　　) A.球O的表面积为6π B.球O的内接正方体的棱长为1 C.球O的外切正方体的棱长为 D.球O的内接正四面体的棱长为2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设球的半径为R，由已知可得ABC外接圆半径为r==， ∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的， ∴R2-R2=，得R2=.球O的表面积为 4π×=6π，故A正确； 设球O的内接正方体的棱长为a， ∵正方体的体对角线即球O的直径，∴a=2R，解得a=，故B错误； 设球O的外切正方体的棱长为b，∵正方体的棱长即球O的直径长，∴b=2R=，故C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设球O的内接正四面体的棱长为c，则正四面体的高为= c，由+=，解得c=2，故D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为_____.  解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R， 因为正方体的棱长为，所以CC'=，OC=×=. 连接OC'，在Rt△C'CO中，由勾股定理， 得CC'2+OC2=OC'2，即()2+()2=R2，所以R=3. 故V半球=×πR3=18π. 18π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形，另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形，则该四面体的外接球的表面积为_____.  解析：满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC， 所以VA=AB=BC=1，VB=AC=， 其外接球即为该正方体的外接球，故其半径为R=. 所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π. 3π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____cm.  解析：作出轴截面如图，当两圆相切时半径最大， 两圆的公切点为圆柱形的中心，设铁球半径为r，r∈(0，4)， 在Rt△ABO1中，AO1=4-r，AB=-r，则有(4-r)2+=r2， 解得r=或r=(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有_____个公共点.  解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF 为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为. 而正方体的中心到每一条棱的距离均为， 所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点. 12 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知Rt△ABC的斜边AC=2，∠ACB=，现将△ABC绕AB边旋转至△ABD的位置，使∠CBD=，则所得四面体A-BCD外接球的表面积为______.  解析：如图，取CD的中点M，连接BM，∠ACB=∠ADB=， ∠CBD=，AC=AD=2，AB=2sin=，BC=BD=2cos=1， CD=，所以△BCD是等腰直角三角形，则斜边CD的中点M为△BCD外接圆的圆心. 5π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 因为AB⊥BC，AB⊥BD，BC∩BD=B，BC，BD⊂平面BCD， 所以AB⊥平面BCD.过M作平面BCD的垂线，过AB的中点N作BM的平行线，两直线的交点为O，点O即为四面体A-BCD外接球的球心. 连接OB，因为BM=CD=，OM=NB=AB=， 所以四面体A-BCD外接球的半径R=OB===， 故所求外接球的表面积为S=4πR2=5π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个 圆柱筒组成的.已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积是多少?(5分) 解：因为半球的直径是6 cm，所以半径R=3 cm. 所以两个半球的体积之和为V球=πR3=36π(cm3). 又V圆柱=πR2×2=18π(cm3)， 所以这种“浮球”的体积V=V球+V圆柱=36π+18π=54π(cm3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克?(5分) 解：根据题意，上、下两个半球的表面积之和是S球=4πR2=36π(cm2)， 又S圆柱侧=2πR×2=12π(cm2)，所以1个“浮球”的表面积S=S球+S圆柱侧=36π+12π=48π(cm2). 所以2 500个“浮球”的表面积为2 500S=2 500×48π=120 000π(cm2) =12π(m2).所以共需胶100×12π=1 200π(克). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2)，当这种酒杯内壁的表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，求R的取值范围. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：设圆柱的高为h，酒杯的容积为V，则S=2πR2+2πRh， 所以πRh=-πR2.所以V=πR3+πR2h=πR3+R=-R3+R≤πR3， 解得R≥.又h>0，所以-πR2>0，解得R<. 所以≤R<，即R的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图一个半球，挖掉一个内接直三棱柱ABC-A1B1C1(棱柱各顶点均在半球面上)，AB=AC，棱柱侧面BB1C1C是一个长为4的正方形. (1)求挖掉的直三棱柱的体积；(8分) 解：记球心为O，BC中点为E，连接AO，OE，AE， 由球的性质知BC是△ABC所在小圆直径， 又BB1C1C是一个长为4的正方形， 因此OE=AE=2，球半径为R=AO==2， 挖掉的直三棱柱的体积V=S△ABC·BB1=×4×2×4=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求剩余几何体的表面积.(7分) 解：由(1)知AC==2==2×4=8， S△ABC=×4×2=4，=16，S半球=2π×(2)2+π×(2)2=24π， 所以剩余几何体表面积为S=S半球-+++2S△ABC= 24π-16+2×8+2×4=24π+16-8. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $