1.3.1 第1课时 函数的单调性与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（湘教版）

1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.1 函数的单调性与导数 函数的单调性与导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.能利用导数研究函数的单调性. 2.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.函数的单调性与其导数的正负之间的关系 若在区间(a，b)内，函数y=f(x)： f'(x)的正负 f(x)的单调性 f'(x)>0 ___________________ f'(x)<0 __________________ |微|点|助|解| (1)当f'(x)=0时，f(x)是常函数； (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)的变化. 增函数 减函数 2.函数的单调区间 (1)若在区间(a，b)内，f'(x)>0，则函数f(x)在此区间内单调递增，(a，b)为f(x)的单调_______区间； (2)若在区间(a，b)内，f'(x)<0，则函数f(x)在此区间内单调递减，(a，b)为f(x)的单调_______区间. 3.导数与函数图象的关系 从函数图象上来看，导数是切线的斜率.斜率的绝对值大说明切线陡，曲线也就陡；斜率的绝对值小说明切线平，曲线也就平缓一些. 递增 递减 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f'(x)=0，那么f(x)在此区间内不增不减或为常数函数. (　　) (2)如果函数f(x)是定义在R上的增函数，那么一定有f'(x)>0. (　　) (3)在某区间内f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间内单调递增(减)的充分不必要条件. (　　) √ × √ √ 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是 (　　) A.(-∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，+∞) 解析：∵f(x)=(x-3)ex，∴f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex， 由f'(x)>0得x>2，故选D. 3.函数y=f(x)的图象如图所示，则 (　　) A.f'(3)>0 B.f'(3)<0 C.f'(3)=0 D.f'(3)的正负不确定 解析：由题图可知，函数f(x)在(1，5)内单调递减，则在(1，5)内有f'(x)<0，故f'(3)<0. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　利用导数的正负判断函数的单调性 [例1]　判断下列函数的单调性. (1)f(x)=x2-ln x； 解：函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2x-=， 因为x>0，所以x+1>0，令f'(x)>0，解得x>，所以函数f(x)在上单调递增；令f'(x)<0，解得0<x<， 所以函数f(x)在内单调递减. (2)f(x)=； 解：函数f(x)的定义域为(-∞，2)∪(2，+∞)， f'(x)==，因为x∈(-∞，2)∪(2，+∞)， 所以ex>0，(x-2)2>0，令f'(x)>0，得x>3， 所以函数f(x)在(3，+∞)上单调递增； 令f'(x)<0，得x<3，又x∈(-∞，2)∪(2，+∞)， 所以函数f(x)在(-∞，2)和(2，3)内单调递减. (3)f(x)=x3+. 解：函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， f'(x)=3x2-=3， 令f'(x)>0，得x<-1或x>1， 所以函数f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增； 令f'(x)<0，得-1<x<1且x≠0， 所以函数f(x)在(-1，0)和(0，1)内单调递减. |思|维|建|模|　利用导数判断或证明函数单调性的思路 针对训练 1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞，+∞)上是 (　　) A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.不确定 √ 解析：∵f(x)=2x-sin x，∴f'(x)=2-cos x>0在(-∞，+∞)上恒成立，∴f(x)在(-∞，+∞)上是增函数. 2.求证：f(x)=ex+在(0，+∞)上单调递增. 证明：∵f(x)=ex+，∴f'(x)=ex-e-x=e-x(e2x-1)， 当x∈(0，+∞)时，由指数函数的性质知e-x>0，e2x>1， ∴f'(x)>0，因此函数f(x)=ex+在(0，+∞)上单调递增. 题型(二)　利用导数求函数的单调区间 [例2]　确定下列函数的单调区间. (1)y=x3-9x2+24x； 解：y'=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4)， 由y'>0，得x<2或x>4； 由y'<0，得2<x<4. ∴函数的单调递增区间为(-∞，2)，(4，+∞)，单调递减区间为(2，4). (2)f(x)=(x>0且x≠1). 解：f'(x)=-，若f'(x)=0，则x=， 列表如下： x (1，+∞) f'(x) + 0 - - f(x) 递增↗ -e 递减↘ 递减↘ ∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，(1，+∞). |思|维|建|模| 求函数y=f(x)单调区间的步骤 (1)确定函数y=f(x)的定义域. (2)求导数y'=f'(x). (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 针对训练 3.求函数f(x)=x+(b>0)的单调区间. 解：函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，f'(x)='=1-， 令f'(x)>0，则(x+)(x-)>0，∴x> 或x<-. ∴函数的单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞). 令f'(x)<0，则(x+)(x-)<0，∴-<x<，且x≠0. ∴函数的单调递减区间为(-，0)和(0，). 综上所述，函数的单调递增区间为(-∞，-)和(，+∞)， 单调递减区间为(-，0)和(0，). 题型(三)　导数与函数图象的关系 [例3]　画出函数f(x)=2x3-3x2-36x+16的大致图象. 解：由题可知定义域为R，f'(x)=6x2-6x-36=6(x2-x-6)=6(x-3)(x+2). 由f'(x)>0 得x<-2或x>3， ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-2)和(3，+∞). 由f'(x)<0得-2<x<3， ∴函数f(x)的单调递减区间是(-2，3). 由已知得f(-2)=60，f(3)=-65，f(0)=16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示. |思|维|建|模| 　　由导函数图象画原函数图象的依据：根据f'(x)>0，则f(x)单调递增，f'(x)<0，则f(x)单调递减. 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)=0. 针对训练 4.已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的 (　　) √ 解析：由题意可知，当x<0和x>2时，导函数f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当0<x<2时，导函数f'(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象如图D. √ 5.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为 (　　) 解析：∵f(x)在(-∞，1)，(4，+∞)上单调递减，在(1，4)内单调递增，∴当x<1或x>4时，f'(x)<0；当1<x<4时，f'(x)>0. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图，函数y=f(x)的一个单调递减区间是 (　　) A.(x1，x3) B.(x2，x4) C.(x4，x6) D.(x5，x6) √ 解析：由题图可知，当x∈(x1，x2)，(x4，x6)时，f'(x)>0，当x∈(x2，x4)时，f'(x)<0，∴函数f(x)在(x2，x4)内单调递减，在(x1，x2)，(x4，x6)内单调递增，∴函数y=f(x)的一个单调递减区间是(x2，x4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 √ 2.函数f(x)=x-ln x的单调递增区间为 (　　) A.(0，1) B.(0，e) C.(1，+∞) D. 解析：f(x)=x-ln x的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1-=，由f'(x)>0得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，+∞).故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是 (　　) √ 解析：由y=f'(x)的图象知，y=f(x)在(-1，1)内单调递增，且在区间(-1，0)上增长速度越来越快，而在区间(0，1)上增长速度越来越慢，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.命题甲：对任意x∈(a，b)，有f'(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的.则甲是乙的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：f(x)=x3在(-1，1)内是单调递增的，但f'(x)=3x2≥0(-1<x<1)，故甲是乙的充分不必要条件，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]下列函数在定义域上为增函数的是 (　　) A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x+x C.f(x)=x-cos x D.f(x)=x2ex √ √ 解析：对于A，函数f(x)=xln x，可得f'(x)=ln x+1(x>0)，当x>时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当0<x<时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以A不符合题意；对于B，函数f(x)=ln x+x，可得f'(x)=+1(x>0)，当x>0时，f'(x)>0，f(x)单调递增，故B符合；对于C，f(x)=x-cos x，则f'(x)=1+sin x≥0，且f'(x)不恒为0，故f(x)单调递增，故C符合；对于D，函数f(x)=x2ex，可得f'(x)=ex(2x+x2)，当x>0或x<-2时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当-2<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以D不符合题意.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中y=f(x)的图象大致是 (　　) √ 解析：由函数y=xf'(x)的图象可知，当x<-1时，xf'(x)<0，f'(x)>0，此时f(x)单调递增；当-1<x<0时，xf'(x)>0，f'(x)<0，此时f(x)单调递减；当0<x<1时，xf'(x)<0，f'(x)<0，此时f(x)单调递减；当x>1时，xf'(x)>0，f'(x)>0，此时f(x)单调递增. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是 (　　) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2+2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设g(x)=exf(x)，对于A，g(x)=ex·2-x=在定义域R上 是增函数，故A正确；对于B，g(x)=(x2+2)ex，g'(x)=(x2+2x+2)ex =[(x+1)2+1]·ex>0，所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确； 对于C，g(x)=ex·3-x=在定义域R上是减函数，故C不正确； 对于D，g(x)=excos x，则g'(x)=excos，g'(x)>0在定义域 R上不恒成立，故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]设函数f(x)=，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的定义域是(0，+∞) B.当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方 C.f(x)存在单调递增区间 D.f(x)有两个单调区间 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由得x>0且x≠1，所以函数f(x)=的定义域为(0，1) ∪(1，+∞)，所以A不正确.当x∈(0，1)时，ln x<0，ex>0，所以f(x)<0，所以当x∈(0，1)时，f(x)的图象位于x轴下方，所以B正确. f'(x)=，令g(x)=ln x-，则g'(x)=+>0，所以函数g(x)单调递增，g(1)=-1<0，g(e)=1->0，故存在x0∈(1，e)，使得g(x0)=0，则方程f'(x)=0只有一个根x0，当x∈(0，1)和x∈(1，x0)时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，当x∈(x0，+∞)时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有三个单调区间，所以C正确，D不正确.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)函数f(x)=2x+2sin x的单调递增区间是__________.  解析：∵f'(x)=2+2cos x，cos x∈[-1，1]， ∴f'(x)≥0在R上恒成立，且不恒为0， ∴函数的单调递增区间为(-∞，+∞). (-∞，+∞) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知m是实数，函数f(x)=x2(x-m)，若f'(-1)=-1，则函数f(x)的单调递减区间是____________.  解析：f'(x)=2x(x-m)+x2，因为f'(-1)=-1，所以-2(-1-m)+1=-1，解得m=-2.令f'(x)=2x(x+2)+x2<0，解得-<x<0，得函数f(x)的单调递减区间是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知f(x)满足f(4)=f(-2)=1，f'(x)为其导函数，且导函数y=f'(x)的图象如图所示，则f(x)<1的解集是__________.  解析：由f(x)的导函数f'(x)的图象，知f(x)在(-∞，0]上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，当x≤0时，由f(x)<1=f(-2)，得-2<x≤0；当x>0时，由f(x)<1=f(4)，得0<x<4.综上所述，f(x)<1的解集为(-2，4). (-2，4) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，+∞)上有f'(x)>0，若f(-1)=0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是_____________________.  解析：因为在(0，+∞)上f'(x)>0， 所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，又f(x)为偶函数， 所以f(-1)=f(1)=0，且f(x)在(-∞，0)上单调递减， f(x)的草图如图所示， 所以xf(x)<0的解集为(-∞，-1)∪(0，1). (-∞，-1)∪(0，1) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=x3-ax2，a∈R，且f'(-1)=5. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) 解：由题设f'(x)=3x2-2ax， 则f'(-1)=3+2a=5⇒a=1， 所以f(x)=x3-x2且f'(x)=3x2-2x， 则f(1)=0，f'(1)=1， 所以在点(1，f(1))处的切线方程为y=x-1，即x-y-1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数f(x)的单调区间.(5分) 解：由(1)知f'(x)=x(3x-2)， 当f'(x)>0时，x<0或x>， 当f'(x)<0时，0<x<. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，， 单调递减区间为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=的图象在点M(-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. (1)求函数y=f(x)的解析式；(6分) 解：因为f(x)的图象在点M(-1，f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0. 所以f'(-1)=-，且-1+2f(-1)+5=0，即f(-1)=-2，即=-2，① 又f'(x)=，所以=-.② 由①②得a=2，b=3.(因为b+1≠0，所以b=-1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数f(x)的单调区间.(4分) 解：由(1)知，f'(x)=. 令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2， 则当x<3-2或x>3+2时，f'(x)<0； 当3-2<x<3+2时，f'(x)>0. 故f(x)=的单调递增区间是(3-2，3+2)， 单调递减区间是(-∞，3-2)和(3+2，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值；(4分) 解：由f(x)=，可得f'(x)=. ∵曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f'(1)=0，即=0，解得k=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求函数f(x)的单调区间.(6分) 解：由(1)知，f'(x)=(x>0)，设h(x)=-ln x-1(x>0)， 则h'(x)=--<0.可知h(x)在(0，+∞)上单调递减，由h(1)=0知， 当0<x<1时，h(x)>h(1)=0，故f'(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)=0，故f'(x)<0. 综上，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，+∞). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $