2.2 法拉第电磁感应定律 讲义 -2025-2026学年高二下学期物理同步复习（鲁科版选择性必修第二册）

本讲义聚焦法拉第电磁感应定律这一核心知识点，从定律内容与表达式出发，通过基本计算、动生电动势（平动、转动切割）、有效长度、图像分析，逐步过渡到单杆/双杆导轨模型、倾斜导轨，最终延伸至能量转化与电路问题，构建从基础到综合的学习支架。 本资料通过13个题型系统分类，结合具体例题深化物理观念，如导轨模型培养科学思维中的模型建构与科学推理，图像问题提升信息处理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺。

第2章 第2节 法拉第电磁感应定律 题型1 法拉第电磁感应定律的内容和表达式 题型2 法拉第电磁感应定律的基本计算 题型3 导体平动切割磁感线产生的感应电动势 题型4 导体切割磁感线时的有效长度问题 题型5 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 题型6 根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势 题型7 单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 题型8 双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 题型9 双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 题型10 倾斜平面内的导轨滑杆模型 题型11 电磁感应过程中的能量类问题 题型12 电磁感应过程中的电路类问题 题型13 感生电场和感生电动势 ▉题型1 法拉第电磁感应定律的内容和表达式 【知识点的认识】 法拉第电磁感应定律 （1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 （2）公式：E＝n． 1．如图（a），面积为0.01m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面向里，且磁感应强度随时间变化的图像如图（b），定值电阻R＝3Ω，线圈总电阻为r＝1Ω，其余电阻忽略不计。a、b之间的电势差Uab为（　　） A．﹣0.5V B．0.5V C．﹣1.5V D．1.5V 2．一环形线圈固定在匀强磁场中，磁感线总是垂直线圈平面（即垂直于纸面），t＝0时刻磁场方向如图甲所示，若磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，环形线圈电阻恒定，规定绕环形线圈顺时针方向为电流i的正方向，则能正确反映线圈中感应电流随时间t的变化图象是（　　） A． B． C． D． 3．同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L，电阻为R的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0，求： （1）戒指中的感应电流大小； （2）戒指中电流的热功率。 4．如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40cm，电阻r＝2Ω，线圈与阻值R＝6Ω的电阻相连．在线圈的中心有一个直径d2＝20cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向。 （1）求通过电阻R的电流方向； （2）求通过电阻R的电流； （3）求电压表的示数。 （多选）5．如图所示，一等腰直角三角形线圈的匝数为n，ab、bc边长均为L，线圈电阻为R。线圈平面与匀强磁场垂直，且一部分处在磁场中，三角形与磁场边界的交点为d、e，其中d、e分别为边ac、bc的中点，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到3B，在此过程中（　　） A．线圈中的磁通量增加量为 B．线圈中产生的感应电动势大小为 C．线圈中产生的感应电流大小为 D．线圈整体所受安培力大小增加了 6．如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1T的匀强磁场。质量为0.5kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v﹣t图象如图2所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数； （2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，求此过程中电阻产生的焦耳热。 7．有一个金属丝圆环，圆面积为S，电阻为r，放在磁场中，让磁感线垂直地穿过圆环所在平面．在Δt时间内，磁感应强度的变化为ΔB，通过金属丝横截面的电量q与下面哪个量的大小无关（　　） A．时间Δt B．圆面积S C．金属丝圆环电阻r D．磁感应强度变化ΔB 8．如图所示，P是绕有闭合线圈的螺线管，将一磁铁从距P上端h高处由静止释放，磁铁竖直穿过P后落在海绵垫上。若仅增大h，重复操作，磁铁穿过P的过程与原来相比，下列说法正确的是（　　） A．穿过线圈的磁通变化量将增大 B．线圈对磁铁的平均阻力将变小 C．通过线圈导线截面的电荷量相同 D．磁铁在螺线管中都在做自由落体运动 9．如图甲所示，正方形导线框固定在匀强磁场中，磁感线方向与导线框所在平面垂直，初始时刻磁场方向垂直纸面向里，且规定垂直纸面向里为正方向，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，已知导线框的边长为L，总电阻为R，下列说法正确的是（　　） A．t1～t3时间内，导线框中电流的方向始终为adcba B．t1～t3时间内，导线框始终有扩张的趋势 C．t1～t3时间内，ab边受到的安培力大小为 D．t1～t3时间内，通过导线框的电荷量为 ▉题型2 法拉第电磁感应定律的基本计算 【知识点的认识】 法拉第电磁感应定律 （1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 （2）公式：E＝n． 10．如图所示的足够长光滑直导轨处于恒定磁场中。导轨左端接有恒流源（给电路提供恒定电流，即电源电动势会随着外界的变化而变化以维持电流恒定），恒流源提供的电流为I，方向如图所示。将一质量为m，电阻R的导体棒垂直导轨放置，导轨间距L，忽略其他电阻。 （1）若ab右侧有磁感应强度为B0的匀强磁场，并将导体棒在ab处静止释放后运动L的距离，求导体棒的末速度v1； （2）基于第（1）问的过程，求恒流源提供的电压随时间的变化规律； （3）若以ab为坐标原点向右建立直线坐标系，abcd正方形区域内磁场变化满足函数。求导体棒在ab处静止释放后运动到cd的末速度v2和经历的时间t2。 ▉题型3 导体平动切割磁感线产生的感应电动势 【知识点的认识】 1.如果感应电动势是由导体运动而产生的，它也叫作动生电动势。 2.当导体的运动方向与磁场垂直时，动生电动势的大小为： E＝Blv 3.适用条件：（1）匀强磁场；（2）平动切割；（3）B、l、v三者相互垂直。 4.当导体的运动方向与磁场有夹角时，如下图 即如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，则动生电动势为：E＝Blv1＝Blvsinθ，即利用速度垂直于磁场的分量。 （多选）11．某物理兴趣小组在学习了电磁感应后，想探究安培力作用下物体的运动情况。他们设计了如下过程：如图所示，在水平桌面上铺设宽度的绝缘轨道，轨道内分布着边长为l的正方形匀强磁场区域，匀强磁场的磁感应强度B＝1T，方向竖直向上。现有边长为l的正方形金属线框abcd以初速度v0＝2m/s向右进入磁场区域，cd边在磁场区域运动时受到水平向右的拉力，拉力F的大小与速度大小之间满足，且cd两端的电压随时间均匀增加，当cd边不在磁场区域时拉力F＝0，已知从ab边进入磁场到ab边出磁场的过程中金属线框产生的焦耳热，忽略一切阻力，则（　　） A．金属线框的电阻R＝2Ω B．金属线框运动过程中的最大速率为3m/s C．ab边出磁场时的速率为2.5m/s D．金属线框的质量 （多选）12．如图所示，空间有一宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，abc是由均匀电阻丝做成的等腰直角三角形线框，bc边上的高也为L．图示时刻，bc边与磁场边界平行，a点在磁场边界上。现使线框从图示位置匀速通过磁场区，速度方向始终与磁场边界垂直，若规定图示线框的位置x＝0，感应电流i沿逆时针方向为正，线框受到的安培力F方向向左为正，则下列图象可能正确的为（　　） A． B． C． D．D 13．如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与E'F'G'H'组成两组足够长的平行导轨，其中EFE'F'组成的面与水平面夹角为θ＝30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与E'F'之间的距离为2L，GHG'H水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 14．如图所示，绝缘的水平面上固定两根相互垂直的光滑金属杆，沿两金属杆方向分别建立x轴和y轴。另有两光滑金属杆1、2与两固定杆围成正方形，金属杆间彼此接触良好，空间存在竖直向上的匀强磁场。已知四根金属杆完全相同且足够长，下列说法正确的是（　　） A．分别沿x轴正向和y轴负向以相同大小的速度匀速移动金属杆1、2，回路中电流方向为顺时针 B．分别沿x轴正向和y轴负向以相同大小的速度匀速移动金属杆1、2，回路中电流随时间均匀增加 C．分别沿x轴正向和y轴负向移动金属杆1、2，移动过程保持金属杆围成的矩形周长不变，回路中的电流方向为顺时针 D．分别沿x轴正向和y轴负向移动金属杆1、2，移动过程保持金属杆围成的矩形周长不变，通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加 15．如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下，一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间变化的正确图线可能是（　　） A． B． C． D． 16．如图所示，间距L＝1m、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值R＝1Ω的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积S＝0.5m2的圆形区域内存在垂直于导轨所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为B＝6t（T），在其右侧（含边界MN）存在磁感应强度大小B0＝1T、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。t＝0时，某金属棒从MN处以v0＝8m/s的初速度开始水平向右运动，已知金属棒质量m＝1kg，与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.2，导轨、金属棒电阻不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，闭合回路中有大小为5A的逆时针方向的电流 B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流 C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向向左 D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动 17．如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6m，高0.5m，大小均为0.5T。电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8Ω，高度为1.5m，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2400kg，g取10m/s2，忽略摩擦阻力。当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时，则（　　） A．电梯下落速度达到2.5m/s时，线圈内产生的感应电流25A B．电梯可达到的最大速度为15m/s C．若电梯下落4.5m，达到最大速度的，此过程所用时间为1.2s D．电梯匀加速下降 18．如图所示，间距为d的两水平虚线之间有方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场，正方形金属线框abcd的边长为l（l＜d）。线框从ab边距磁场上边界h处自由下落，下落过程中线框始终在竖直平面内且ab边保持水平。已知ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间及dc边离开磁场瞬间线框的速度均相同。设线框进入磁场的过程中产生的热量为Q1，离开磁场的过程中产生的热量为Q2。不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 19．如图所示，两光滑的平行导轨固定在绝缘水平面上，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，两导体棒ab、cd垂直地放在导轨上与导轨始终保持良好的接触，现给导体棒ab、cd水平方向的速度分别为v1、v2，取水平向右的方向为正方向。则下列说法正确的是（　　） A．如果v1＝0、v2＞0，则感应电流方向沿a→b→d→c→a B．如果v1＜0、v2＞0，则回路中没有感应电流 C．如果v1＝v2＞0，则感应电流方向沿a→c→d→b→a D．如果v2＞v1＞0，则感应电流方向沿a→c→d→b→a ▉题型4 导体切割磁感线时的有效长度问题 【知识点的认识】 在E＝BLv中（要求B⊥L、B⊥v、L⊥v，即B、L、v三者两两垂直），式中的L应该取与B、v均垂直的有效长度（所谓导体的有效切割长度，指的是切割导体两端点的连线在同时垂直于v和B的方向上的投影的长度，下图中的有效长度均为ab的长度）。 20．如图，空间中存在平行于纸面向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根在b点被折成直角的金属棒abc平行于纸面放置，ab＝bc＝L，ab边垂直于磁场方向。现该金属棒以速度v垂直于纸面向里运动。则ac两点间的电势差Uac为（　　） A．BLv B． C．﹣BLv D． ▉题型5 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 【知识点的认识】 如果导体棒绕平行于磁场的轴转动时，因为棒上各处速度不再相等，动生电动势的计算公式E＝Blv就不再适用。 如下图所示，导体棒在磁场中旋转，切割磁感线产生感应电动势： 虽然导体棒各处速度不同，但是根据圆周运动线速度与角速度的关系可知各处速度大小呈线性变化，所以可以用中点处的线速度表示平均速度从而计算感应电动势，即 E＝BlBl ①如果转轴绕棒的一端旋转，vmin＝0，vmax＝ωl，则EBωl2 ω是棒转动的角速度 ②如果以棒上一点为圆心旋转，EBω（），l1和l2是指圆心到两端点的距离，且l1指较长的一段 ③如果以棒外一点Wie圆心旋转，EBω（），l1和l2是指圆心到两端点的距离，且l1指较长的一段 21．如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的水平金属棒，一端固定在竖直导电转轴OO'上，随轴以角速度ω匀速转动，转动时棒与圆环接触良好，在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．棒产生的电动势为 B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为BCωr2 ▉题型6 根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势 【知识点的认识】 本考点旨在针对电磁感应中的B﹣t图像或Φ﹣t图像问题。 1.B﹣t图像 （1）图像意义：B﹣t图像的纵坐标直接反映了某一时刻的磁感应强度。 （2）斜率的意义：根据法拉第电磁感应定律E＝nnS （3）拐点的意义：如果拐点的斜率为0，表示感应电动势的方向要改变。 B﹣t图像的斜率就等于，由此可以计算感应电动势。 2.Φ﹣t图像 （1）图像意义：Φ﹣t图像的纵坐标直接反映某一时刻的磁通量大小。 （2）斜率的意义：根据法拉第电磁感应定律E＝n，Φ﹣t图像的斜率就等于，由此可以计算感应电动势。 （3）拐点的意义：如果拐点的斜率为0，表示感应电动势的方向要改变。 （多选）22．如图甲所示，单匝圆形金属线圈处于匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面，以垂直纸面向里为正方向，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．0～2s内，线圈中感应电流方向沿逆时针方向 B．1s末线圈中的感应电流与3.5s末线圈中的感应电流大小相等 C．2.5s末线圈的感应电动势比3.5s末线圈的感应电动势小 D．2s末通过线圈的磁通量比3s末通过线圈的磁通量小 （多选）23．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动，运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，cd棒所受的安培力用F表示。下列图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）24．如图所示，两根平行且间距为L的光滑金属导轨固定在绝缘的水平面上，导轨电阻不计，质量均为m的两相同金属棒a、b垂直导轨放置，回路的总电阻大小为R，其右侧矩形区域内有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向竖直向上，现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨向右运动，且先后进入磁场区域，已知金属棒a离开磁场时金属棒b已经进入磁场区域，在金属棒a进入磁场到离开磁场的过程中，电流i随时间t变化的图像如图所示，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。则在金属棒a从进入磁场到离开磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 25．如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一足够长金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． ▉题型7 单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 【知识点的认识】 本考点旨在针对单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 26．如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内其间距L＝0.2m，磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R＝4.8Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r＝1.2Ω，金属棒与导轨垂直且接触良好，在ab棒上施加水平拉力使其以速度v＝12m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长。求： （1）金属棒ab产生的感应电动势； （2）水平拉力的大小F。 ▉题型8 双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 【知识点的认识】 本考点旨在针对双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 27．如图所示，两平行光滑的金属导轨，间距L＝1m，其中左侧OA、O′A′段为半径R＝5m的四分之一圆弧，中间AD、A′D′段水平，右侧DC、D′C′段与水平面夹角为37°且足够长，水平导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。初始时刻，质量m1＝1kg、在轨道间的电阻R1＝1.5Ω的导体棒a，从圆弧顶端OO′位置由静止释放，磁场内的导体棒b静置于导轨上，其质量m2＝2kg，在轨道间的电阻R2＝0.5Ω。ab棒始终不发生碰撞，导体棒b在DD′位置离开磁场时速度vb＝3m/s。两导体棒与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，不计导体棒通过水平轨道与圆弧和倾斜导轨连接处的能量损失、感应电流产生的磁场以及导轨的电阻，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）导体棒a刚进入磁场时的加速度； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热； （3）若在b离开磁场的时间内，对a施加一水平向右的恒力F＝3N，恰好能使a、b都不再离开磁场，最后静止，求从b离开磁场到a、b棒停止过程中，a、b棒产生的总焦耳热以及b停下时与DD′间的距离。 ▉题型9 双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 【知识点的认识】本考点旨在针对双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 28．如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 ▉题型10 倾斜平面内的导轨滑杆模型 【知识点的认识】本考点旨在针对倾斜平面内的导轨滑杆模型。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 29．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定，导轨宽度l，倾角为30°，上端连接一电容器C，垂直导轨平面向上的匀强磁场穿过导轨所在平面。现让一根质量为m的导体棒从静止开始滑下，已知导体棒的质量m＝B2l2C，所有电阻均不计，重力加速度大小为g＝10m/s2，当导体棒下滑的距离为x时，下列说法正确的是（　　） A．导体棒做变加速运动 B．导体棒做匀加速运动，加速度大小为5m/s2 C．当x＝5m时，导体棒的速度大小为5m/s D．当x＝5m时，导体棒的运动的时间为4s ▉题型11 电磁感应过程中的能量类问题 【知识点的认识】 1.电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的。安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程。 2.求解电能应分清两类情况 （1）若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算。 （2）若电流变化，则： ①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功； ②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能。 3.电磁感应现象中的能量转化 （1）安培力做功 （2）焦耳热的计算 ①电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt ②感应电流变化时，可用以下方法分析： a.利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安 b.利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量， 30．如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质光滑定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度大小为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中下列说法中正确的是（　　） A．细线的拉力一直减小 B．金属棒所受安培力的冲量大小为 C．金属棒克服安培力做功为m（7gh﹣5v2） D．该过程所经历的时间为 31．如图所示，半径为L的金属圆环，接有电阻均为r的三根导电辐条OP、OQ、OM，绕垂直于圆环平面、通过圆心O的轴以角速度ω匀速转动，圆环上辐条互成120°角。圆环内，在圆心角为120°的扇形区域内存在垂直圆环平面向下磁感应强度为B的匀强磁场，圆环及其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．当辐条OP在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 B．当辐条OP在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 C．当辐条OM在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 D．当辐条OM在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 32．如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 （多选）33．一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接质量为m、边长为L的正方形金属线框abcd，另一端连接质量为2m的物块。虚线区域内有磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其方向如图所示，磁场边界Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均水平，相邻边界间距均为L。最初拉住线框使其ab边与Ⅰ重合。t＝0时刻，将线框由静止释放，ab边由Ⅱ运动至Ⅲ的过程中，线框速度恒为v1。已知线框的电阻为R，运动过程中线框始终在纸面内且上下边框保持水平，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．ab边由Ⅲ运动至Ⅳ的过程中，线框速度恒为v1 B．v1 C．t时刻，ab边恰好与Ⅱ重合 D．cd边由Ⅰ运动至Ⅱ所用时间小于由Ⅲ运动至Ⅳ所用时间 （多选）34．如图所示，倾角为θ的足够长光滑金属导轨放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面斜向上，导轨底端有一根质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，导轨上端接有阻值为R的电阻，除R外其他电阻不计。给MN一个沿导轨平面向上且垂直于MN的初速度v0，向上滑动距离x时到达最高点，MN回到导轨底端时速度大小为v。已知导轨宽度为L，重力加速度为g，MN在运动过程中与导轨接触良好，且不发生转动。对导体棒从底端向上滑动到最高点和从最高点向下滑回底端这两个过程，以下说法正确的是（　　） A．向上滑动过程中的平均感应电动势为 B．向下滑动的过程中通过电阻R的电荷量为 C．从底端出发到返回底端所用的时间为 D．从底端向上滑动到最高点电阻R产生的焦耳热小于 （多选）35．武汉智能电梯公司研制出世界第一台“磁悬浮电梯”，如图为该磁动力电梯的简易装置图，即在竖直平面内有两根平行竖直金属轨道MN和PQ，两轨道的下端用导线相连；金属轨道间有一导体杆ab与轨道垂直，其正下方通过绝缘装置固定电梯轿厢，设运动过程中ab始终与轨道垂直且接触良好。该磁动力电梯上行的原理是：电磁铁所产生的垂直轨道平面、磁感应强度为B的匀强磁场沿金属导轨运动，带动ab杆向上运动，即电磁驱动。设电梯轿厢及ab杆的总质量为M（后续简称电梯），两轨道间的距离为L，ab杆电阻为R，其余部分电阻不计。不计ab杆与轨道间的阻力和空气阻力，重力加速度为g。若电磁铁产生的匀强磁场以v0的速度匀速上升，电梯上升的最大速率为vm，则下列说法正确的是（　　） A．电梯刚向上启动时，ab杆中感应电流方向为b→a B．电梯刚向上启动时，ab杆加速度 C．电梯以最大速率向上运行，ab杆产生的电功率 D．电梯以最大速率向上运行，外界在单位时间内提供的总能量 （多选）36．如图甲所示，平行光滑长直导轨MN、PQ水平放置，间距L＝1.0m，两导轨左端MP之间接有一定值电阻R＝0.15Ω，导轨电阻不计。导体棒ab垂直于导轨放在距离导轨左端d＝2.0m处，质量m＝0.1kg，接入电路的电阻为r＝0.05Ω，竖直方向的匀强磁场范围足够大，选竖直向下为正方向。从t＝0时刻开始磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，0～3s内ab棒固定不动。t＝3s时给ab棒一个向右的速度v0＝10m/s，同时施加一方向水平的外力F，使ab棒做a＝5m/s2的匀减速运动。下列说法正确的是（　　） A．前2s内电路中感应电流的大小为1.0A B．前3s内通过金属棒中电流方向由b到a C．前2s内通过电阻R的电荷量为3C D．ab棒向右运动且位移等于6.4m时外力F＝0.2N （多选）37．某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为μ，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过BB1的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 （多选）38．如图所示的光滑绝缘水平桌面上放置一边长为L、质量为m、阻值为R的正方形导体框ABCD，四条平行的水平虚线将空间分成五个区域，其中在虚线1，2间，虚线3、4间分别存在垂直水平桌面向上、向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。已知虚线1、2间（称区域Ⅰ）、虚线2、3间、虚线3、4间（称区域Ⅱ）的距离分别为L、2L、L，开始导体框的CD边与虚线1重合，0时刻给导体框水平向右的瞬时冲量Ⅰ，最终导体框的AB边与虚线4重合时，导体框的速度刚好减为零，则下列说法正确的是（　　） A．导体框进入区域Ⅰ和离开区域Ⅱ过程中的电流方向相反 B．导体框在从离开区域Ⅰ到刚进入区域Ⅱ所用的时间为 C．导体框刚要开始离开区域Ⅱ瞬间的加速度大小为 D．导体框经过区域Ⅰ和区域Ⅱ的过程中，产生的焦耳热之比为2：1 39．如图为升降机示意图。间距L＝2m的金属导轨M′M、N′N固定在绝缘水平面上，MN端接有一智能电源。电阻R＝2Ω的相同均匀导体棒ab、cd通过绝缘轻杆组成“H”字形，整体质量m＝1kg，“H”字形平放在导轨上，ab棒中点通过细绳绕过滑轮与一质量M＝2kg的货物相连，cd棒的中心右侧某位置固定有一劲度系数的绝缘轻弹簧（初始时处于原长，左端位于P点）。整个装置处于竖直向下、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。t＝0时，货物正以v0＝2m/s匀速上升，t＝1s时货物脱钩，当货物上升到最高点时（未碰到滑轮），cd棒刚好运动至P点。已知cd棒每经过一次P点，智能电源的电流方向改变，大小不变。不计一切阻力及除导体棒外其他电阻，弹簧振子周期T＝2π，已知重力加速度的大小g＝10m/s2，取π＝3。求： （1）货物匀速上升时，通过电源的电流大小与方向； （2）cd棒运动到P点前瞬间的速度大小以及此时电源的输出电压； （3）从t＝1s至cd棒第二次运动到P点过程中，流过cd棒的电荷量及电源输出的总能量。 40．如图所示，平行金属导轨MM′、NN′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在水平台面上，平行金属导轨间距均为L＝1m，MM′与PP′高度差h1＝0.6m。导轨MM′、NN′左端接有R＝3Ω的电阻，导轨平直部分存在长度为d、磁感应强度B1＝2T，方向竖直向上的匀强磁场；其中PQ与P′Q′是圆心角60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是足够长的水平长直导轨。QQ′右侧存在竖直向上的匀强磁场B2＝2T，导体棒a质量m1＝0.3kg，接在电路中的电阻R1＝2Ω；导体棒b质量m2＝0.2kg，接在电路中的电阻R2＝4Ω。导体棒a从距离导轨MM′、NN′平直部分h＝1.8m处静止释放，恰能无碰撞地从PP′滑入右侧平行导轨，且始终没有与b棒相碰。重力加速度g取10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： （1）磁场B1的宽度d的大小； （2）导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中产生的焦耳热； （3）若匀强磁场B2的长度仅为3m，b棒放置在磁场某位置，当a棒滑到原b棒位置时b棒刚好离开磁场且速率为a棒刚进磁场时的，求b棒在磁场B2中的运动时间。 41．如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1T的匀强磁场。质量为0.5kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v﹣t图像如图2所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数； （2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，求此过程中电阻产生的焦耳热。 42．如图所示，足够长的光滑斜面倾角为θ＝30°，斜面上方空间等间距分布着垂直斜面向上的条形匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T，条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为L＝0.4m，现有一边长L＝0.4m、质量m＝0.48kg、电阻R＝0.2Ω的正方形线框abcd在斜面上距离第一个条形磁场上边界L＝0.4m处由静止释放，从刚进入磁场开始经过时间t＝0.96s，线框速度达到v1＝2.8m/s，已知重力加速度g＝10m/s2，求： （1）线框ab边刚进入磁场时受到的安培力的大小F； （2）线框匀速运动的速度大小vm； （3）从释放线框到线框速度达到v1的过程，线框中产生的焦耳热Q。 43．如图所示，足够长的光滑等宽金属导轨，固定在一水平面内，导轨宽度为L。有垂直导轨平面向下的匀强磁场布满导轨，磁感应强度为B。甲、乙、丙三个金属棒，依次跨放在导轨上，棒与轨道垂直、质量均为m，金属棒接入电路的阻值分别为R、2R、2R。其中乙、丙棒由绝缘轻杆连接。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属棒和轻杆的可能形变和轻杆的质量，金属棒与导轨始终接触良好。现让金属棒甲在棒乙左侧以v0开始运动。 （1）求甲棒以速度v0运动瞬间，流过甲棒的电流大小I； （2）以甲棒获得速度v0开始到运动一段时间后乙棒速度为v，求这一过程中甲棒产生的热量Q； （3）甲棒以速度v0开始，为避免相撞，求甲棒距离乙棒的距离最小值s。 44．如图所示，固定的平行光滑金属长直导轨MN、PQ与水平面的夹角θ＝30°，导轨间距L＝0.8m，上端接有R＝2Ω的电阻，导轨中间正方形区域GHJK内有垂直轨道平面向下、磁感应强度大小B＝1.5T的匀强磁场。将质量m＝0.6kg、电阻r＝0.4Ω的金属杆ab从磁场上边界GH上方某处由静止释放，ab恰好匀速通过磁场区域。ab的长度与导轨间距相同，且ab在运动过程中始终与导轨垂直，导轨的电阻可忽略不计，取重力加速度大小g＝10m/s2，求： （1）ab通过磁场的过程中，电阻R的功率； （2）ab释放时到磁场上边界GH的距离d0。 45．如图所示，水平面内足够长的两平行光滑金属直导轨，左侧与R0＝1Ω的定值电阻相连接，右端与两半径r＝0.45m的竖直面内光滑圆弧轨道在PQ处平滑连接，PQ与直导轨垂直，轨道仅在PQ左侧空间存在竖直向上，大小为B＝1T的匀强磁场。将质量为m1＝0.2kg、电阻为R1＝2Ω的金属棒M静置在水平直导轨上，图中棒长和导轨间距均为L＝1m，M距R足够远，金属导轨电阻不计。开始时，用一恒为2N的拉力F作用于M，使M向右加速运动直至运动稳定，当M运动到GH处时撤去外力，随后择机释放另一静置于圆弧轨道最高点、质量为m2＝0.1kg的绝缘棒N，当M速度变为3m/s时恰好与N在PQ处发生第1次弹性碰撞。随后N反向冲上圆弧轨道。已知之后N与M每次碰撞前M均已静止，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）金属棒M稳定运动时的速度； （2）GH与PQ之间的距离d； （3）自金属棒M发生第1次碰撞后到最终静止，金属棒M的总位移。 46．如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨的动摩擦因数均为μ。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，以上物理量除v0未知外，其余的均已知，求： （1）当cd棒速度v0满足什么条件时？导体棒ab会相对于导轨运动； （2）若v0已知且满足第（1）问的条件，从开始运动到ab棒的速度最大时，用时为t，求ab棒的最大速度； 47．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L＝2m，M、P两点间接有阻值为R＝9Ω的电阻，一根质量为m＝1kg的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r＝1Ω，整套装置处于磁感应强度为B＝1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦（重力加速度为g）。 （1）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v＝5m/s时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； （2）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 （3）杆在下滑距离d＝19.625m时已经达到最大速度，求此过程中通过电阻的热量Q。 48．如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、单位长度的质量为m、单位长度的电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置（在左边磁场中的长度为L，在右边磁场中的长度为2L）时，线框的速度为，则下列判断正确的是（　　） A．此时线框中电流方向为逆时针，线框中感应电流所受安培力为 B．此过程中通过线框截面的电量为 C．此过程中线框产生的焦耳热为 D．线框刚好可以完全进入右侧磁场 （多选）49．如图所示，MN、PQ是两根间距为L且电阻不计的足够长平行金属导轨，左侧弧形部分光滑，右侧水平部分粗糙且处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与水平导轨平面夹角为θ，导轨右端接一阻值为R的定值电阻。一质量为m、长度为L的金属棒，垂直导轨放置，与水平导轨间的动摩擦因数为μ。现让其从导轨左端h高处由静止释放，进入磁场后经时间t停止运动。已知金属棒电阻为R，与导轨间接触良好，且始终与磁场垂直，则金属棒进入磁场区域后（　　） A．定值电阻R产生的焦耳热为 B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越小 C．定值电阻R两端的最大电压为 D．金属棒在磁场中运动的距离为 50．如图所示，MCN与PDQ是一组足够长的平行光滑导轨，间距L＝1m，MC、PD倾斜，CN、DQ在同一水平面内，CD与CN垂直，C、D处平滑连接。水平金属导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。质量m＝0.1kg、电阻R＝1Ω、长度为L的硬质导体棒a静止在水平轨道上，与a完全相同的导体棒b从距水平面高度h＝0.2m的倾斜绝缘轨道上由静止释放，最后恰好不与a棒相撞，运动过程中a、b棒始终与导轨垂直且接触良好。不计其他电阻和空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 （1）求b棒刚进入磁场时，a棒所受安培力的大小； （2）求整个过程中通过a棒的电荷量q及a棒距离CD的初始距离x0； （3）a、b棒稳定后，在释放b棒的初始位置由静止释放相同的b2棒，所有棒运动稳定后，在同一位置再由静止释放相同的b3棒，所有棒运动再次稳定后，依此类推，逐一由静止释放b4、b5、…、bn。当释放的bn最终与所有棒运动稳定后，求从bn棒开始释放到与所有棒运动保持相对稳定时，回路中产生的焦耳热Qn。 51．如图所示，有水平边界、垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2T，其上、下边界间的距离H＝1.1m。一个由同种材料、粗细均匀的导线做成的质量为m＝0.5kg、边长为L＝1m、总电阻为R＝1Ω的正方形导线框abcd，从磁场上方的某个位置，由静止开始下落，下落过程中，线框平面始终保持在同一个竖直面内，ab边与磁场的水平边界线平行，当ab边刚进入磁场和ab边刚穿出磁场时，线框加速度的大小都是a＝2m/s2，方向均竖直向上，在线框运动过程中，不计空气阻力，取g＝10m/s2。求： （1）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； （2）ab边刚进入磁场时，a、b两点间的电势差Uab； （3）从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量Q。 52．如图所示，足够长的固定光滑平行金属导轨abcde﹣a'b'c'd'e'，其中abc﹣a'b'c'部分间距为d1＝0.2m，de﹣d'e'部分间距为d2＝0.1m，bcde﹣b'c'd'e′部分水平且所在的空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.4T，ab﹣a'b'部分倾角为θ＝30°。质量为m＝0.01kg、长度为d2＝0.1m、阻值为R2＝0.1Ω的导体棒N静置在导轨的de﹣d'e'部分上。另一质量也为m＝0.01kg、长度为d1＝0.2m、阻值为R1＝0.4Ω的导体棒M从导轨的ab﹣a′b′部分由静止释放，经过时间t＝1.0s，导体棒M恰好运动到bb'进入水平轨道部分，重力加速度g取10m/s2，导体棒M经过bb′时损失的机械能忽略不计，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。从导体棒M由静止释放到两导体棒运动状态达到稳定的过程中（导体棒M没有运动到cc′处），求： （1）导体棒N加速度的最大值； （2）稳定时导体棒M和N的速度大小； （3）导体棒N中产生的焦耳热。 53．如图，两根相距l＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨间x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T．一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求： （1）回路中的电流； （2）金属棒在x＝2m处的速度； （3）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小； （4）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。 54．如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH和连接直轨BE、GD构成，整个导轨处于同一水平面内，AB∥CD∥EF∥GH，BE和GD共线且与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R的均匀金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好。初始时刻，b棒静止在宽轨上，a棒从窄轨上某位置以平行于AB的初速度v0向右运动。a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。则（　　） A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 B．经过足够长的时间后，a棒的速度大小为 C．整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量 D．整个过程中，b棒产生的焦耳热为 （多选）55．如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v时，回路产生的焦耳热为Q。若金属棒和导轨接触良好，电阻均可忽略，则（　　） A．金属棒和弹簧组成的系统机械能守恒 B．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的伸长量为 C．金属棒最后静止时电阻R上产生的总热量为 D．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的弹性势能小于 56．间距为L＝0.5m的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为B＝1T、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串接一阻值为R＝1Ω的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为x＝﹣0.5cos（2t）（x和t的单位分别是米和秒）。已知导体棒质量为m＝0.2kg，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求： （1）在时间内，通过导体棒的电荷量； （2）在时间内，T形支架对导体棒做的功； （3）当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度。 57．如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导体棒中的感应电流逐渐增大 B．导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C．通过回路中某横截面上的电荷量为 D．导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 58．如下图所示，有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高H处自由落下，其下边ab进入匀强磁场区后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd刚刚穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半，此匀强磁场的宽度也是L，则线框在穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为（　　） A．2mgL B．2mgL+mgH C．2mgLmgH D．2mgLmgH ▉题型12 电磁感应过程中的电路类问题 【知识点的认识】1.模型概述：该模型考查的是电磁感应中的电路类问题，主要涉及到求取电学中的物理量，如电流、电压、电量、功率等。 2.电磁感应与电路结合的相关问题的解决方法 （1）明确产生感应电动势的导体或部分电路，该导体或部分电路就相当于电源。 （2）画等效电路图，分清内、外电路。 （3）用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向. （4）运用闭合电路欧姆定律，串、并联电路特点，电功率，电热等公式联立求解。 （5）电磁感应中的电荷量问题：闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动面形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量（感应电荷量） q＝I•Δt•Δt＝n•n 59．如图所示，金属轮A1和绝缘轮A2可绕各自中心金属轴O1和O2转动，O1和O2平行且水平放置，A1金属轮由三根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长均为4r、电阻均为R，金属环的电阻可以忽略，三根辐条互成120°角，在图中120°的扇形区域内存在平行于轴向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘轮A2的半径为2r，另一半径为r的绝缘圆盘A3与A2同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在A3边缘上的某点，在A3上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动A3和A2绕O2轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动。A1轮的轴O1金属环边缘电刷D引出导线、与两平行的足够长的光滑水平金属导轨连接，上导轨E、F处断开，金属导轨的间距为L。两导轨之间E的左侧串联了开关S1与阻值为R的电阻；两导轨之间虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，磁场中放置一质量为M，长度也为L、电阻为R的金属棒GH，电容器的电容C与单刀双掷开关S2串联，可以掷向E或F，不计导线电阻。 （1）当S1、S2都断开，重物下落速度为v0时，求D与O1两点之间电势差U的大小； （2）S1闭合、S2断开，重物下落4r过程中，通过电阻R的电量； （3）S1断开、S2先打向E，充电稳定后再打向F，此时电容器所带电量为Q，待金属棒GH运动稳定时，求金属棒GH的速度v1。 ▉题型13 感生电场和感生电动势 【知识点的认识】1.感生电场：磁场变化时会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，它不是由电荷产生的，我们把它叫作感生电场。 2.感生电动势：如果感应电动势是由感生电场产生的，它也叫作感生电动势。其非静电力是感生电场的电场力。 3.应用——电子感应加速器 工作原理：如图甲所示，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，如图乙，电子在真空室中沿逆时针方向做圆周运动。电磁铁线圈中电流的大小、方向可以变化，产生的感生电场使电子加速。根据楞次定律，为使电子加速，电磁铁线圈中的电流应该由小变大。 60．下列说法正确的是（　　） A．有感应电流就一定有感应电动势 B．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力作用 C．感应电流的磁场方向总是和引发感应电流的磁场方向相反 D．电场、电场线、磁场、磁感线都是客观存在的物质 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 第2节 法拉第电磁感应定律 题型1 法拉第电磁感应定律的内容和表达式 题型2 法拉第电磁感应定律的基本计算 题型3 导体平动切割磁感线产生的感应电动势 题型4 导体切割磁感线时的有效长度问题 题型5 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 题型6 根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势 题型7 单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 题型8 双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 题型9 双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 题型10 倾斜平面内的导轨滑杆模型 题型11 电磁感应过程中的能量类问题 题型12 电磁感应过程中的电路类问题 题型13 感生电场和感生电动势 ▉题型1 法拉第电磁感应定律的内容和表达式 【知识点的认识】 法拉第电磁感应定律 （1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 （2）公式：E＝n． 1．如图（a），面积为0.01m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面向里，且磁感应强度随时间变化的图像如图（b），定值电阻R＝3Ω，线圈总电阻为r＝1Ω，其余电阻忽略不计。a、b之间的电势差Uab为（　　） A．﹣0.5V B．0.5V C．﹣1.5V D．1.5V 【答案】C 【解答】解：由图（b）知 由法拉第电磁感应定律 代入数据得E＝2V 根据楞次定律和安培定则可知a点电势低 回路中线圈为电源，R为外电阻，有b、a之间的电势差 Uab＝﹣1.5V，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．一环形线圈固定在匀强磁场中，磁感线总是垂直线圈平面（即垂直于纸面），t＝0时刻磁场方向如图甲所示，若磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，环形线圈电阻恒定，规定绕环形线圈顺时针方向为电流i的正方向，则能正确反映线圈中感应电流随时间t的变化图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由B﹣t图象可知，0﹣1s内，磁场垂直于纸面向里，磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为负的； 在1﹣2s内，磁场向外，磁通量减小，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为负的； 在2﹣3s内，磁场向里，磁通量增大，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为负的； 在3﹣4s内，磁场向外，磁通量减小，由楞次定律可知，感应电流沿逆时针方向，为负的； 由B﹣t图象可知，在整个过程中 不变，是定值，感应电动势ES保持不变， 电流I 大小不变，方向也不变，分析各图象可知，B正确，ACD错误； 故选：B。 3．同学以金属戒指为研究对象，探究金属物品在变化磁场中的热效应。如图所示，戒指可视为周长为L，电阻为R的单匝圆形线圈，放置在匀强磁场中，磁感应强度方向垂直于戒指平面。若磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0，求： （1）戒指中的感应电流大小； （2）戒指中电流的热功率。 【答案】解：（1）戒指中的感应电流大小等于； （2）戒指中电流的热功率等于。 【解答】解：（1）设戒指的半径为r，则有 L＝2πr 磁感应强度大小在Δt时间内从0均匀增加到B0，产生的感应电动势为 可得 则戒指中的感应电流为 （2）戒指中电流的热功率为 解：（1）戒指中的感应电流大小等于； （2）戒指中电流的热功率等于。 4．如图甲所示，水平放置的线圈匝数n＝200匝，直径d1＝40cm，电阻r＝2Ω，线圈与阻值R＝6Ω的电阻相连．在线圈的中心有一个直径d2＝20cm的有界匀强磁场，磁感应强度按图乙所示规律变化，规定垂直纸面向里的磁感应强度方向为正方向。 （1）求通过电阻R的电流方向； （2）求通过电阻R的电流； （3）求电压表的示数。 【答案】（1）通过电阻R的电流方向为A→R→B； （2）通过电阻R的电流为； （3）电压表的示数为1.5πV。 【解答】解：（1）磁感应强度方向向里且增大，根据楞次定律判断可知电流方向为A→R→B （2）根据法拉第电磁感应定律得 200πV＝2πV 感应电流为 （3）电压表的示数为 答：（1）通过电阻R的电流方向为A→R→B； （2）通过电阻R的电流为； （3）电压表的示数为1.5πV。 （多选）5．如图所示，一等腰直角三角形线圈的匝数为n，ab、bc边长均为L，线圈电阻为R。线圈平面与匀强磁场垂直，且一部分处在磁场中，三角形与磁场边界的交点为d、e，其中d、e分别为边ac、bc的中点，在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到3B，在此过程中（　　） A．线圈中的磁通量增加量为 B．线圈中产生的感应电动势大小为 C．线圈中产生的感应电流大小为 D．线圈整体所受安培力大小增加了 【答案】BD 【解答】解：A、线圈在磁场中的面积为SL2，线圈中的磁通量增加量为ΔΦ＝ΔBS＝（3B﹣B）•L2BL2，故A错误； B、根据法拉第电磁感应定律得线圈中产生的感应电动势大小为E＝n，故B正确； C、线圈中产生的感应电流大小为I，故C错误； D、线圈整体所受安培力大小等效于n条长度为de的直导线所受安培力的合力大小，即线圈整体所受安培力大小增加了ΔF＝nΔBI•n（3B﹣B）••，故D正确。 故选：BD。 6．如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1T的匀强磁场。质量为0.5kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v﹣t图象如图2所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数； （2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，求此过程中电阻产生的焦耳热。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图2可知，金属棒在0～1s做初速度为零的匀加速直线运动，1s后开始做加速度减小的加速运动，则金属棒在1s时进入磁场， 在0～1s内，金属棒的加速度为：am/s2＝4m/s2， 整个过程中，金属棒沿斜面方向受到重力的下滑分力和滑动摩擦力，由牛顿第二定律可得：mgsin37°﹣μmgcos37°＝ma， 解得：μ＝0.25； （2）金属棒达到最大速率时，金属棒此时加速度为零，金属棒此时处于平衡状态，假设金属棒的最大速度为vm， 此时金属棒切割磁感线产生的感应电动势为：E＝BLvm， 根据闭合电路欧姆定律可得：，由安培力公式可得：F＝BIL， 对金属棒受力分析可得：F+μmg•cos37°＝mg•sin37°，联立可得：vm＝8m/s； （3）有闭合电路欧姆定律和欧姆定律以及电流的定义式可得： qt，化简可得：x， 由动能定理可得：mgx•sin37°﹣μmgx•cos37°+W， 电阻产生的焦耳热等于克服安培力所做的功，则Q＝﹣W 代入数据解得Q＝2.95J。 答：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数为0.25； （2）金属棒在磁场中能够达到的最大速率为8m/s； （3）此过程中电阻产生的焦耳热为2.95J。 7．有一个金属丝圆环，圆面积为S，电阻为r，放在磁场中，让磁感线垂直地穿过圆环所在平面．在Δt时间内，磁感应强度的变化为ΔB，通过金属丝横截面的电量q与下面哪个量的大小无关（　　） A．时间Δt B．圆面积S C．金属丝圆环电阻r D．磁感应强度变化ΔB 【答案】A 【解答】解：圆环中产生的平均感应电动势大小为：S 圆环中的平均电流为： 通过金属丝横截面的电量为：q 联立以上各式解得：q 可见，电量q与时间Δt无关，与圆面积S、金属丝圆环电阻r及磁感应强度变化ΔB有关，本题选择无关的，所以应选A。 故选：A。 8．如图所示，P是绕有闭合线圈的螺线管，将一磁铁从距P上端h高处由静止释放，磁铁竖直穿过P后落在海绵垫上。若仅增大h，重复操作，磁铁穿过P的过程与原来相比，下列说法正确的是（　　） A．穿过线圈的磁通变化量将增大 B．线圈对磁铁的平均阻力将变小 C．通过线圈导线截面的电荷量相同 D．磁铁在螺线管中都在做自由落体运动 【答案】C 【解答】解：A、若仅增大h，对穿过线圈的磁通量没有影响。故A错误； BD、若仅增大h，磁铁经过线圈的时间减小，线圈中产生的感应电动势将增大，所以感应电流增大，对线圈对磁铁的阻碍作用将变大，磁铁在线圈中不做自由落体运动。故BD错误； C、若仅增大h，对穿过线圈的磁通量没有影响，所以穿过线圈的磁通量的变化相同，则通过线圈导线截面的电量：qΔt保持不变。故C正确； 故选：C。 9．如图甲所示，正方形导线框固定在匀强磁场中，磁感线方向与导线框所在平面垂直，初始时刻磁场方向垂直纸面向里，且规定垂直纸面向里为正方向，匀强磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，已知导线框的边长为L，总电阻为R，下列说法正确的是（　　） A．t1～t3时间内，导线框中电流的方向始终为adcba B．t1～t3时间内，导线框始终有扩张的趋势 C．t1～t3时间内，ab边受到的安培力大小为 D．t1～t3时间内，通过导线框的电荷量为 【答案】A 【解答】解：AB、t1～t3时间内，导线框中的磁通量先垂直纸面向里减小，后垂直纸面向外增大，根据楞次定律可知，导线框先有扩张后有缩小的趋势，导线框中电流的方向始终为adcba，故A正确、B错误； C、t1～t3时间内，穿过导线框的磁通量变化率不变，即感应电流大小不变，但磁感应强度先变小后变大，因此ab边受到的安培力先变小后变大，故C错误； D、t1～t3时间内，通过导线框的电荷量，故D错误。 故选：A。 ▉题型2 法拉第电磁感应定律的基本计算 【知识点的认识】 法拉第电磁感应定律 （1）内容：闭合电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。 （2）公式：E＝n． 10．如图所示的足够长光滑直导轨处于恒定磁场中。导轨左端接有恒流源（给电路提供恒定电流，即电源电动势会随着外界的变化而变化以维持电流恒定），恒流源提供的电流为I，方向如图所示。将一质量为m，电阻R的导体棒垂直导轨放置，导轨间距L，忽略其他电阻。 （1）若ab右侧有磁感应强度为B0的匀强磁场，并将导体棒在ab处静止释放后运动L的距离，求导体棒的末速度v1； （2）基于第（1）问的过程，求恒流源提供的电压随时间的变化规律； （3）若以ab为坐标原点向右建立直线坐标系，abcd正方形区域内磁场变化满足函数。求导体棒在ab处静止释放后运动到cd的末速度v2和经历的时间t2。 【答案】（1）若ab右侧有磁感应强度为B0的匀强磁场，并将导体棒在ab处静止释放后运动L的距离，求导体棒的末速度v1为L； （2）基于第（1）问的过程，求恒流源提供的电压随时间的变化规律为； （3）导体棒在ab处静止释放后运动到cd的末速度v2为L和经历的时间t2为。 【解答】解：（1）根据牛顿第二定律 B0IL＝ma 解得 再根据运动学公式 解得 （2）基于第（1）问，导体棒的速度 v＝at 导体棒产生的电动势为 恒流源提供的电压为 （3）运动到x位置时安培力大小为 可知安培力即所受合力随位移线性变化，根据F﹣x图像与x轴围成面积得出合力做的功，可知 根据动能定理 解得 设L﹣x＝x′，则运动到x位置时安培力大小为F＝B0Ix′ 与x′成正比，可以认为运动过程是简谐运动的一部分，且运动过程是从速度为零位置加速到速度最大的位置，运动的位移大小为振幅，即A＝L 由 其中ω是圆频率，T为简谐运动的周期，可得 故运动的时间 答：（1）若ab右侧有磁感应强度为B0的匀强磁场，并将导体棒在ab处静止释放后运动L的距离，求导体棒的末速度v1为L； （2）基于第（1）问的过程，求恒流源提供的电压随时间的变化规律为E＝IRt； （3）导体棒在ab处静止释放后运动到cd的末速度v2为L和经历的时间t2为。 ▉题型3 导体平动切割磁感线产生的感应电动势 【知识点的认识】 1.如果感应电动势是由导体运动而产生的，它也叫作动生电动势。 2.当导体的运动方向与磁场垂直时，动生电动势的大小为： E＝Blv 3.适用条件：（1）匀强磁场；（2）平动切割；（3）B、l、v三者相互垂直。 4.当导体的运动方向与磁场有夹角时，如下图 即如果导线的运动方向与导线本身是垂直的，但与磁感线方向有一个夹角θ，则动生电动势为：E＝Blv1＝Blvsinθ，即利用速度垂直于磁场的分量。 （多选）11．某物理兴趣小组在学习了电磁感应后，想探究安培力作用下物体的运动情况。他们设计了如下过程：如图所示，在水平桌面上铺设宽度的绝缘轨道，轨道内分布着边长为l的正方形匀强磁场区域，匀强磁场的磁感应强度B＝1T，方向竖直向上。现有边长为l的正方形金属线框abcd以初速度v0＝2m/s向右进入磁场区域，cd边在磁场区域运动时受到水平向右的拉力，拉力F的大小与速度大小之间满足，且cd两端的电压随时间均匀增加，当cd边不在磁场区域时拉力F＝0，已知从ab边进入磁场到ab边出磁场的过程中金属线框产生的焦耳热，忽略一切阻力，则（　　） A．金属线框的电阻R＝2Ω B．金属线框运动过程中的最大速率为3m/s C．ab边出磁场时的速率为2.5m/s D．金属线框的质量 【答案】BD 【解答】解：A.由cd两端电压随时间均匀增加，可知cd在磁场中做匀加速运动，设加速度为a，则cd边的速度v＝v0+at，由牛顿第二定律得，R为线圈总电阻，则有 代入数据得，故A错误； BCD.结合ma＝1N，由分析可知cd边刚出磁场时速度最大为vm，cd边在磁场中运动的过程中 设ab边刚出磁场的速度为v1，ab边进磁场到出磁场过程中根据功能关系有 由动量定理有 代入数据可得vm＝3m/s，m＝3kg，，故BD正确，C错误。 故选：BD。 （多选）12．如图所示，空间有一宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，abc是由均匀电阻丝做成的等腰直角三角形线框，bc边上的高也为L．图示时刻，bc边与磁场边界平行，a点在磁场边界上。现使线框从图示位置匀速通过磁场区，速度方向始终与磁场边界垂直，若规定图示线框的位置x＝0，感应电流i沿逆时针方向为正，线框受到的安培力F方向向左为正，则下列图象可能正确的为（　　） A． B． C． D．D 【答案】AC 【解答】解：AB、线框刚进入磁场时，磁通量向里增加，根据楞次定律判断可知感应电流沿逆时针方向，为正。线框穿出磁场时，磁通量向里减小，根据楞次定律判断可知感应电流沿顺时针方向，为负，可知B图错误。 线框刚进入磁场时，有效切割长度随x均匀增大，产生的感应电动势随x均匀增大，则感应电流随x均匀增大，故A正确，B错误； CD、线框刚进入磁场时，感应电动势为 E＝B•2xv＝2Bxv，感应电流为 I，线框受到的安培力为 F＝BI•2x，知F﹣x图象为过原点的开口向上的抛物线右支。同理可知，线框穿出磁场时，F﹣x图象也是过原点的开口向上的抛物线右支，故C正确，D错误。 故选：AC。 13．如图所示，电阻可忽略的导轨EFGH与E'F'G'H'组成两组足够长的平行导轨，其中EFE'F'组成的面与水平面夹角为θ＝30°，且处于垂直于斜面向下大小为B0的匀强磁场中，EF与E'F'之间的距离为2L，GHG'H水平，且处于竖直向下，大小也为B0的匀强磁场中，GH与G'H'之间的距离为L，质量为2m，长为2L，电阻为2R的导体棒AB横跨在倾斜导轨上并与导轨垂直，且与倾斜导轨之间无摩擦，质量为m，长为L，电阻为R的导体棒CD横跨在水平导轨上并与导轨垂直，且与水平导轨之间动摩擦因数为μ＝0.5，导体棒CD通过一轻质细线跨过一个定滑轮与一质量也为m的物块相连，不计细线与滑轮的阻力和空气阻力。 （1）固定AB导体棒，试求CD棒能达到的最大速度； （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为多少； （3）同时释放AB棒和CD棒，试求两导体棒能达到的最大速度分别为多大。 【答案】（1）固定AB导体棒，CD棒能达到的最大速度为。 （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为。 （3）同时释放AB棒和CD棒，两导体棒能达到的最大速度分别为，。 【解答】解：（1）CD棒达到的最大速度，根据平衡条件有：mg＝B0I1L+μmg，根据闭合电路欧姆定律有：，由此可得： （2）对AB，根据共点力平衡有：，根据闭合电路欧姆定律有：，由此可得：，AB两端的电压为： （3）对导体棒AB分析：2mgsin30°﹣2B0I3L＝2maAB，对导体棒CD分析：，由以上两式可得aAB＝2aCD始终成立，因而任意时刻vAB＝2vCD，研究CD棒，最终：，，可解得：， 答：（1）固定AB导体棒，CD棒能达到的最大速度为。 （2）若固定CD棒，将AB棒由静止释放，则AB棒两端的最大电压为。 （3）同时释放AB棒和CD棒，两导体棒能达到的最大速度分别为，。 14．如图所示，绝缘的水平面上固定两根相互垂直的光滑金属杆，沿两金属杆方向分别建立x轴和y轴。另有两光滑金属杆1、2与两固定杆围成正方形，金属杆间彼此接触良好，空间存在竖直向上的匀强磁场。已知四根金属杆完全相同且足够长，下列说法正确的是（　　） A．分别沿x轴正向和y轴负向以相同大小的速度匀速移动金属杆1、2，回路中电流方向为顺时针 B．分别沿x轴正向和y轴负向以相同大小的速度匀速移动金属杆1、2，回路中电流随时间均匀增加 C．分别沿x轴正向和y轴负向移动金属杆1、2，移动过程保持金属杆围成的矩形周长不变，回路中的电流方向为顺时针 D．分别沿x轴正向和y轴负向移动金属杆1、2，移动过程保持金属杆围成的矩形周长不变，通过金属杆截面的电荷量随时间均匀增加 【答案】B 【解答】解：A．设初始正方形边长为L，金属杆单位长度电阻为r0，分别沿x轴正向和y轴负向以相同大小的速度v匀速移动金属杆1、2。 金属杆1产生的感应电动势为：E1＝B（L﹣vt）v，方向为顺时针； 金属杆2产生的感应电动势为：E2＝B（L+vt）v，方向为逆时针。 因E2＞E1，故回路中电流方向为逆时针，故A错误； B．回路中总电阻为：R总＝2（L+vt+L﹣vt）r0＝4Lr0，可见R总不变， 回路中的电流为：，可得回路中电流随时间均匀增加，故B正确； C．分别沿x轴正向和y轴负向移动金属杆1、2，移动过程保持金属杆围成的矩形周长不变，则初始时刻为正方形时回路围成的面积最大，在移动过程中回路围成的面积变小，穿过闭合回路的磁通量减小，根据楞次定律可知，电流方向为逆时针，故C错误； D．穿过闭合回路的磁通量为 Φ＝BL1L2＝BL1（2L﹣L1） 随时间并非均匀变化，回路中总电阻保持不变，故回路电流并非定值，则通过金属杆截面的电荷量随时间不是均匀增加，故D错误。 故选：B。 15．如图，在同一水平面内有两根平行长导轨，导轨间存在依次相邻的矩形匀强磁场区域，区域宽度均为l，磁感应强度大小相等、方向交替向上向下，一边长为l的正方形金属线框在导轨上向左匀速运动，线框中感应电流i随时间变化的正确图线可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设磁感应强度为B，线圈的速度为v、电阻为R； 如果某时刻左边位于方向向外的磁场中、右边位于方向向里的磁场中，此时两边都切割磁感应线，产生的感应电动势为：E1＝2BLv， 根据电流为：i1，根据右手定则可知电流方向为顺时针； 当左右两边都处于方向相同的磁场中时，感应电动势为零，感应电流为零； 当左边位于方向向里的磁场中、右边位于方向向外的磁场中，此时两边都切割磁感应线，产生的感应电动势为：E2＝2bLv， 根据电流为：i2，根据右手定则可知电流方向为逆时针。 故D正确、ABC错误。 故选：D。 16．如图所示，间距L＝1m、足够长的平行金属导轨固定在绝缘水平面上，其左端接一阻值R＝1Ω的定值电阻。直线MN垂直于导轨，在其左侧面积S＝0.5m2的圆形区域内存在垂直于导轨所在平面向里的磁场，磁感应强度B随时间的变化关系为B＝6t（T），在其右侧（含边界MN）存在磁感应强度大小B0＝1T、方向垂直导轨所在平面向外的匀强磁场。t＝0时，某金属棒从MN处以v0＝8m/s的初速度开始水平向右运动，已知金属棒质量m＝1kg，与导轨之间的动摩擦因数μ＝0.2，导轨、金属棒电阻不计且金属棒与导轨始终垂直且接触良好，重力加速度g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，闭合回路中有大小为5A的逆时针方向的电流 B．闭合回路中一直存在顺时针方向的电流 C．金属棒在运动过程中受到的安培力方向向左 D．金属棒最终将以1m/s的速度匀速运动 【答案】D 【解答】解：A、t＝0时，金属棒产生的动生电动势大小E动＝B0Lv0＝1×1×8V＝8V，方向由M到N。圆形区域内磁感应强度B随时间均匀变化，在闭合回路中产生感生电动势大小为E感S＝6×0.5V＝3V，方向沿逆时针方向。因E动＞E感，所以金属棒中的电流方向由M→N，闭合回路中有顺时针方向的电流，电流大小为IA＝5A，故A错误； BCD、金属棒受到向左的安培力和摩擦力，向右减速，当时，感应电流为零，但金属棒仍受到向左的摩擦力，继续减速，此后，这时闭合回路中有逆时针方向的电流，金属棒受到向右的安培力和向左的摩擦力，摩擦力大于安培力，金属棒继续减速，直到安培力等于摩擦力，即BIL＝μmg时金属棒开始匀速运动，则B0L＝μmg，解得金属棒匀速运动的速度大小：v＝1m/s，故BC错误，D正确。 故选：D。 17．如图是一种电梯突然失控下落时的保护装置。在电梯后方墙壁上交替分布着方向相反的匀强磁场，每块磁场区域宽1.6m，高0.5m，大小均为0.5T。电梯后方固定一个100匝矩形线圈，线圈总电阻为8Ω，高度为1.5m，宽度略大于磁场。已知某次电梯运行试验中电梯总质量为2400kg，g取10m/s2，忽略摩擦阻力。当电梯失去其他保护，由静止从高处突然失控下落时，则（　　） A．电梯下落速度达到2.5m/s时，线圈内产生的感应电流25A B．电梯可达到的最大速度为15m/s C．若电梯下落4.5m，达到最大速度的，此过程所用时间为1.2s D．电梯匀加速下降 【答案】C 【解答】解：A、根据题意可知，上下两边切割磁感线产生感应电动势，结合右手定则可知，电梯下落速度达到2.5m/s时，感应电动势为：E1＝2NBLv1 线圈内产生的感应电流： 联立代入数据解得：I1＝50A，故A错误； B、若电梯与地面的距离足够高，最终安培力与重力平衡，电梯匀速运动，此时： 解得： 代入数据解得：vm＝7.5m/s，故B错误； C、根据题意，下落高度h＝4.5m，设所用时间为t，取向下为正方向，由动量定理有： 其中 联立代入数据解得：t＝1.2s，故C正确； D、由牛顿第二定律有：mg﹣F安＝ma 代入解得： 由上式可知，v增大的过程中，a减小，电梯做加速度减小的加速运动，故D错误。 故选：C。 18．如图所示，间距为d的两水平虚线之间有方向垂直于竖直平面向里的匀强磁场，正方形金属线框abcd的边长为l（l＜d）。线框从ab边距磁场上边界h处自由下落，下落过程中线框始终在竖直平面内且ab边保持水平。已知ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间及dc边离开磁场瞬间线框的速度均相同。设线框进入磁场的过程中产生的热量为Q1，离开磁场的过程中产生的热量为Q2。不计空气阻力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：设正方形线框的质量为m，据题知，ab边进入磁场瞬间、dc边进入磁场瞬间线框的速度相同，由能量守恒定律知线框进入磁场的过程中产生的热量Q1＝mgl 又因为ab边进入磁场瞬间、dc边离开磁场瞬间线框的速度相同，由能量守恒定律知整个过程线框产生的热量为Q1+Q2＝mg（d+l） 联立解得Q2＝mgd，所以，故A正确，BCD错误。 故选：A。 19．如图所示，两光滑的平行导轨固定在绝缘水平面上，整个空间存在竖直向上的匀强磁场，两导体棒ab、cd垂直地放在导轨上与导轨始终保持良好的接触，现给导体棒ab、cd水平方向的速度分别为v1、v2，取水平向右的方向为正方向。则下列说法正确的是（　　） A．如果v1＝0、v2＞0，则感应电流方向沿a→b→d→c→a B．如果v1＜0、v2＞0，则回路中没有感应电流 C．如果v1＝v2＞0，则感应电流方向沿a→c→d→b→a D．如果v2＞v1＞0，则感应电流方向沿a→c→d→b→a 【答案】D 【解答】解：A．如果v1＝0、v2＞0，由右手定则，产生俯视顺时针方向电流，即a→c→d→b→a，故A错误； B．如果v1＜0、v2＞0，ab、cd所围的线圈面积增大，磁通量增大，由楞次定律，abdc中有俯视顺时针方向的电流，故B错误； C．如果v1＝v2＞0，ab、cd所围的线圈面积不变，磁通量不变，根据楞次定律，不产生感应电流，故C错误； D．如果v2＞v1＞0，则abdc所围面积增大，磁通量也增大，故由楞次定律，产生俯视a→c→d→b→a的电流，故D正确。 故选：D。 ▉题型4 导体切割磁感线时的有效长度问题 【知识点的认识】 在E＝BLv中（要求B⊥L、B⊥v、L⊥v，即B、L、v三者两两垂直），式中的L应该取与B、v均垂直的有效长度（所谓导体的有效切割长度，指的是切割导体两端点的连线在同时垂直于v和B的方向上的投影的长度，下图中的有效长度均为ab的长度）。 20．如图，空间中存在平行于纸面向右的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一根在b点被折成直角的金属棒abc平行于纸面放置，ab＝bc＝L，ab边垂直于磁场方向。现该金属棒以速度v垂直于纸面向里运动。则ac两点间的电势差Uac为（　　） A．BLv B． C．﹣BLv D． 【答案】C 【解答】解：当金属棒以速度v垂直于纸面向里运动，ab边切割磁感线，bc边不切割磁感线。有效长度为L，ac两点间的电势差即为ab边切割产生的感应电动势，为：E＝﹣BLv，根据右手定则C点电势更高。故ABD错误，C正确。 故选：C。 ▉题型5 导体转动切割磁感线产生的感应电动势 【知识点的认识】 如果导体棒绕平行于磁场的轴转动时，因为棒上各处速度不再相等，动生电动势的计算公式E＝Blv就不再适用。 如下图所示，导体棒在磁场中旋转，切割磁感线产生感应电动势： 虽然导体棒各处速度不同，但是根据圆周运动线速度与角速度的关系可知各处速度大小呈线性变化，所以可以用中点处的线速度表示平均速度从而计算感应电动势，即 E＝BlBl ①如果转轴绕棒的一端旋转，vmin＝0，vmax＝ωl，则EBωl2 ω是棒转动的角速度 ②如果以棒上一点为圆心旋转，EBω（），l1和l2是指圆心到两端点的距离，且l1指较长的一段 ③如果以棒外一点Wie圆心旋转，EBω（），l1和l2是指圆心到两端点的距离，且l1指较长的一段 21．如图所示，固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长为l的水平金属棒，一端固定在竖直导电转轴OO'上，随轴以角速度ω匀速转动，转动时棒与圆环接触良好，在圆环的A点和电刷间接有阻值为R的电阻和电容为C、板间距为d的平行板电容器，有一带电微粒在电容器极板间处于静止状态。已知重力加速度为g，不计其他电阻和摩擦，下列说法正确的是（　　） A．棒产生的电动势为 B．微粒的电荷量与质量之比为 C．电阻消耗的电功率为 D．电容器所带的电荷量为BCωr2 【答案】C 【解答】解：A．由题图可知，回路中金属棒切割磁感线的有效长度为r，根据法拉第电磁感应定律可知棒产生的电动势为：，故A错误； B．金属棒电阻不计，电容两极板的电压等于金属棒产生的电动势，由微粒的重力等于电场力得： ，解得：，故B错误； C．电阻消耗的电功率为：，故C正确； D．电容器所带的电荷量为：，故D错误。 故选：C。 ▉题型6 根据B-t或者φ-t图像计算感应电动势 【知识点的认识】 本考点旨在针对电磁感应中的B﹣t图像或Φ﹣t图像问题。 1.B﹣t图像 （1）图像意义：B﹣t图像的纵坐标直接反映了某一时刻的磁感应强度。 （2）斜率的意义：根据法拉第电磁感应定律E＝nnS （3）拐点的意义：如果拐点的斜率为0，表示感应电动势的方向要改变。 B﹣t图像的斜率就等于，由此可以计算感应电动势。 2.Φ﹣t图像 （1）图像意义：Φ﹣t图像的纵坐标直接反映某一时刻的磁通量大小。 （2）斜率的意义：根据法拉第电磁感应定律E＝n，Φ﹣t图像的斜率就等于，由此可以计算感应电动势。 （3）拐点的意义：如果拐点的斜率为0，表示感应电动势的方向要改变。 （多选）22．如图甲所示，单匝圆形金属线圈处于匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面，以垂直纸面向里为正方向，磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．0～2s内，线圈中感应电流方向沿逆时针方向 B．1s末线圈中的感应电流与3.5s末线圈中的感应电流大小相等 C．2.5s末线圈的感应电动势比3.5s末线圈的感应电动势小 D．2s末通过线圈的磁通量比3s末通过线圈的磁通量小 【答案】AC 【解答】解：A、0～2s内磁通量向里增加，根据楞次定律可知，线圈中感应电流方向沿逆时针方向，故A正确； BC、根据法拉第电磁感应定律可知，感应电动势：E，所以0～2s内线圈的感应电动势小于3s～4s内线圈的感应电动势，2s～3s内线圈的感应电动势等于零，则1s末线圈中的感应电流小于3.5s末线圈中的感应电流，故C正确、B错误； D、2s末和3s末磁感应强度相同，根据磁通量定义可知，2s末通过线圈的磁通量与3s末通过线圈的磁通量相等，故D错误。 故选：AC。 （多选）23．如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒ab、cd静止在导轨上。t＝0时，棒ab以初速度v0向右滑动，运动过程中，ab、cd始终与导轨垂直并接触良好，两者速度分别用v1、v2表示，cd棒所受的安培力用F表示。下列图像中可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：AB．两导体棒中电流大小相等，方向相反，所以安培力也是等大反向，两个导体棒组成的系统合外力为0，根据动量守恒定律mv0＝2mv 解得两导体棒最终的共同速度为v 两导体棒中电流I 由于ab棒加速，cd棒减速，速度差越来越小，所以回路电流越来越小，安培力越来越小，加速度是越来越小，变速阶段速度图像为曲线，故A正确，B错误。 CD．两导体棒中电流 由于ab棒加速，cd棒减速，速度差越来越小，所以回路电流越来越小，安培力F＝BIL 故安培力越来越小，最终两导体棒共速时，安培力变为零；故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）24．如图所示，两根平行且间距为L的光滑金属导轨固定在绝缘的水平面上，导轨电阻不计，质量均为m的两相同金属棒a、b垂直导轨放置，回路的总电阻大小为R，其右侧矩形区域内有一磁感应强度大小为B的匀强磁场，磁场方向竖直向上，现两金属棒分别以初速度2v0和v0同时沿导轨向右运动，且先后进入磁场区域，已知金属棒a离开磁场时金属棒b已经进入磁场区域，在金属棒a进入磁场到离开磁场的过程中，电流i随时间t变化的图像如图所示，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好。则在金属棒a从进入磁场到离开磁场的过程中，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解答】解：CD.金属棒a以初速度2v0在磁场中运动产生的感应电流为 i0 金属棒a受到安培力作用做减速运动，则感应电流随之减小，即i﹣t图像的斜率逐渐减小；当b棒刚入磁场时，设a棒的速度为v1此时的电流为 i 若v1＝v0则有 i1 此时a、b棒产生的电动势相互抵消，电流是零，不受安培力作用，则a棒均匀速运动离开磁场；电路中无电流，故C正确，D错误； AB.若v1＜v0则有 i 此时因b棒速度大，电流方向以b棒产生的电流方向与原a棒产生的电流方向相反，电流大小为 i b棒受安培力而减速，棒受安培力而加速，则电流逐渐减小，故A正确，B错误。 故选：AC。 25．如图，两光滑导轨水平放置在竖直向下的匀强磁场中，一根导轨位于x轴上，另一根由ab、bc、cd三段直导轨组成，其中bc段与x轴平行，导轨左端接入一电阻R。导轨上一足够长金属棒MN沿x轴正向以速度v0保持匀速运动，t＝0时刻通过坐标原点O，金属棒始终与x轴垂直。设运动过程中通过电阻的电流强度为i，金属棒受到安培力的大小为F，金属棒克服安培力做功的功率为P，电阻两端的电压为U，导轨与金属棒接触良好，忽略导轨与金属棒的电阻。下列图像可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：AD、根据法拉第电磁感应定律可知，E＝BLv0，结合欧姆定律可知，结合题目图片可知，在向右运动的过程中，金属棒切割磁感线的长度先均匀增加，后不变，最后均匀减小，而电阻两端的电压等于电源电动势，因此变化规律与电流强度的变化规律类似，故AD错误； BC、根据安培力的计算公式F＝BIL可知，在切割长度的变化过程中，安培力与时间成二次方的比值关系，功率P＝i2R也是与时间成二次方的比值关系，但安培力在t＝0时刻不等于零，故B错误，C正确； 故选：C。 ▉题型7 单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题 【知识点的认识】 本考点旨在针对单杆在导轨上有外力作用下切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 26．如图所示，两根平行光滑金属导轨MN和PQ放置在水平面内其间距L＝0.2m，磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场垂直导轨平面向下，两导轨之间连接的电阻R＝4.8Ω，在导轨上有一金属棒ab，其接入电路的电阻r＝1.2Ω，金属棒与导轨垂直且接触良好，在ab棒上施加水平拉力使其以速度v＝12m/s向右匀速运动，设金属导轨足够长。求： （1）金属棒ab产生的感应电动势； （2）水平拉力的大小F。 【答案】（1）金属棒ab产生的感应电动势为1.2V。 （2）水平拉力的大小F为0.02N。 【解答】解：（1）设金属棒中感应电动势为：E＝BLv，解得：E＝1.2V （2）设过电阻R的电流大小为：，解得：I＝0.2A，因棒匀速运动，则外力等于安培力，有：F＝F安＝BIL，解得：F＝0.02N 答：（1）金属棒ab产生的感应电动势为1.2V。 （2）水平拉力的大小F为0.02N。 ▉题型8 双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题 【知识点的认识】 本考点旨在针对双杆在等宽导轨上切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 27．如图所示，两平行光滑的金属导轨，间距L＝1m，其中左侧OA、O′A′段为半径R＝5m的四分之一圆弧，中间AD、A′D′段水平，右侧DC、D′C′段与水平面夹角为37°且足够长，水平导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。初始时刻，质量m1＝1kg、在轨道间的电阻R1＝1.5Ω的导体棒a，从圆弧顶端OO′位置由静止释放，磁场内的导体棒b静置于导轨上，其质量m2＝2kg，在轨道间的电阻R2＝0.5Ω。ab棒始终不发生碰撞，导体棒b在DD′位置离开磁场时速度vb＝3m/s。两导体棒与导轨接触良好且运动过程中始终与导轨垂直，不计导体棒通过水平轨道与圆弧和倾斜导轨连接处的能量损失、感应电流产生的磁场以及导轨的电阻，取重力加速度g＝10m/s2，求： （1）导体棒a刚进入磁场时的加速度； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热； （3）若在b离开磁场的时间内，对a施加一水平向右的恒力F＝3N，恰好能使a、b都不再离开磁场，最后静止，求从b离开磁场到a、b棒停止过程中，a、b棒产生的总焦耳热以及b停下时与DD′间的距离。 【答案】（1）导体棒a刚进入磁场时的加速度大小是5m/s2，方向水平向左； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热是8.25J； （3）a、b棒产生的总焦耳热是23J，b停下时与DD′间的距离是4m。 【解答】解：（1）导体棒a下滑到进入磁场过程，由动能定理得：m1gR0 导体棒a刚进入磁场时切割磁感线产生的电动势E＝BLv0 由欧姆定律得：I 对导体棒a，由牛顿第二定律得：ILB＝m1a 代入数据解得：v0＝10m/s，a＝5m/s2，方向水平向左 （2）从b开始运动到b离开磁场过程，a、b系统动量守恒，以向右为正方向 由动量守恒定律得：m1v0＝m1va1+m2vb 由能量守恒定律得：Q 导体棒b产生的焦耳热：QbQ 代入数据解得：va1＝4m/s，Qb＝8.25J （3）b离开磁场到再次进入磁场过程，由对称性可知：2vb＝gsin37°×t 代入数据解得：t＝1s 从b返回磁场到a、b都静止过程，a、b组成的系统动量守恒，以向右为正方向， 由动量守恒定律得：m1va2﹣m2vb＝0 代入数据解得：va2＝6m/s 以向右为正方向，在时间t内，对导体棒a，由动量定理得：Ft﹣BLt＝m1va2﹣m1va1 平均感应电流 平均感应电动势j 代入数据解得，时间t内a的位移：x2＝2m 由能量守恒定律得：Fx2Q2 解得a、b棒产生的总焦耳热：Q2＝23J 从b返回磁场到静止的过程中，以向右为正方向，对导体棒b， 由动量定理得：m2vb 又Δx3＝∑（va+vb）Δt＝x+x，代入数据解得：Δx3＝12m 以向右为正方向，对a、b组成的系统，由动量守恒定律得：m1va2﹣m2vb＝0 解得：m1xa＝m2xb 解得，b停下时与DD′间的距离xb＝4m 答：（1）导体棒a刚进入磁场时的加速度大小是5m/s2，方向水平向左； （2）从b开始运动到出磁场过程中，导体棒b中产生的焦耳热是8.25J； （3）a、b棒产生的总焦耳热是23J，b停下时与DD′间的距离是4m。 ▉题型9 双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题 【知识点的认识】本考点旨在针对双杆在不等宽导轨上切割磁场的运动问题。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 28．如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【答案】C 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 则a棒与b棒的加速度大小相等，故A错误； B、规定向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理可得 稳定时有 Blva＝B•2lvb 可得 va＝2vb 联立解得va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，两棒损失的动能等于电路中产生的焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a，规定向右为正方向，根据动量定理可得 通过导体棒a的某一横截面的电荷量 又va＝2v0 联立解得，故D错误。 故选：C。 ▉题型10 倾斜平面内的导轨滑杆模型 【知识点的认识】本考点旨在针对倾斜平面内的导轨滑杆模型。模型比较复杂，可能需要综合电磁感应定律、电磁感应与电路问题的结合、电磁感应与动力学的结合、电磁感应与能量问题的结合、电磁感应与动量问题的结合等考点进行综合分析。 29．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨倾斜固定，导轨宽度l，倾角为30°，上端连接一电容器C，垂直导轨平面向上的匀强磁场穿过导轨所在平面。现让一根质量为m的导体棒从静止开始滑下，已知导体棒的质量m＝B2l2C，所有电阻均不计，重力加速度大小为g＝10m/s2，当导体棒下滑的距离为x时，下列说法正确的是（　　） A．导体棒做变加速运动 B．导体棒做匀加速运动，加速度大小为5m/s2 C．当x＝5m时，导体棒的速度大小为5m/s D．当x＝5m时，导体棒的运动的时间为4s 【答案】C 【解答】解：AB、导体棒沿光滑导轨下滑做切割磁感线运动，产生感应电动势，给电容器充电。对导体棒，根据牛顿第二定律得 mgsin30°﹣BIl＝ma 又， 联立解得 又m＝B2l2C 解得am/s2＝2.5m/s2 可知导体棒做匀加速运动，加速度大小为2.5m/s2，故AB错误； C、导体棒做初速度为零的匀加速直线运动，设下滑x＝5m时的速度为v，则有v2＝2ax，解得v＝5m/s，故C正确； D、当x＝5m时，导体棒的运动的时间为ts＝2s，故D错误。 故选：C。 ▉题型11 电磁感应过程中的能量类问题 【知识点的认识】 1.电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的。安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程。 2.求解电能应分清两类情况 （1）若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算。 （2）若电流变化，则： ①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功； ②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能。 3.电磁感应现象中的能量转化 （1）安培力做功 （2）焦耳热的计算 ①电流恒定时，根据焦耳定律求解，即Q＝I2Rt ②感应电流变化时，可用以下方法分析： a.利用动能定理，求出克服安培力做的功W安，即Q＝W安 b.利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量， 30．如图所示，倾角为30°、间距为L、足够长的光滑平行金属导轨的底端接阻值为R的电阻；质量为m的金属棒通过跨过轻质光滑定滑轮的细线与质量为4m的重物相连，滑轮左侧细线与导轨平行；金属棒的电阻为R、长度为L，金属棒始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现将重物由静止释放，其下落高度h时达到最大速度v，重力加速度大小为g，空气阻力及导轨电阻不计，此过程中下列说法中正确的是（　　） A．细线的拉力一直减小 B．金属棒所受安培力的冲量大小为 C．金属棒克服安培力做功为m（7gh﹣5v2） D．该过程所经历的时间为 【答案】C 【解答】解：A．根据题意，对重物和金属棒组成的系统受力分析可得：4mg﹣mgsin30°﹣F安＝5ma 根据安培力的计算公式可得：F安＝BIL 联立可得4mg﹣mgsin30°5ma 对重物受力分析可得：4mg﹣T＝4ma，解得细线拉力：T＝4mg﹣4ma 随着系统开始运动，加速度沿金属导轨向上，速度逐渐增大，安培力逐渐增大，则系统做加速度逐渐减小的加速运动，直至加速度为0时系统以速度v做匀速直线运动，所以细线的拉力先增大，速度最大后拉力大小保持不变，故A错误； B．根据冲量的定义式可得，金属棒所受安培力的冲量为：I安，故B错误； C．整个电路是纯电阻电路，克服安培力做的功全部转化为焦耳热，由能量守恒定律得： 4mgh＝mghsin30° 解得：Q总m（7gh﹣5v2） 根据功能关系可知金属棒克服安培力做的功：W＝Q总m（7gh﹣5v2），故C正确； D．取运动方向为正方向，对整体，根据动量定理可知：（4mg﹣mgsin30°）•Δt﹣I安＝5mv 可得：，故D错误。 故选：C。 31．如图所示，半径为L的金属圆环，接有电阻均为r的三根导电辐条OP、OQ、OM，绕垂直于圆环平面、通过圆心O的轴以角速度ω匀速转动，圆环上辐条互成120°角。圆环内，在圆心角为120°的扇形区域内存在垂直圆环平面向下磁感应强度为B的匀强磁场，圆环及其他电阻不计，下列说法正确的是（　　） A．当辐条OP在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 B．当辐条OP在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 C．当辐条OM在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 D．当辐条OM在磁场中转动时，辐条OP上的热功率为 【答案】A 【解答】解：AB、当辐条OP在磁场中转动时，根据动生电动势公式可知，辐条OP产生电动势： 辐条OQ和OM并联，总电阻为，电路总电阻为R，辐条OP上的电流： 热功率：，故A正确，B错误； CD、当辐条OM在磁场中转动时，辐条OM产生电动势：E 辐条OP和OQ并联，总电阻为，电路总电阻为R，辐条OM上的电流： 辐条OP上的电流： 辐条OP热功率，故CD项错误。 故选：A。 32．如图所示，光滑水平面上的正方形导线框，以某一初速度进入竖直向下的匀强磁场并最终完全穿出，线框的边长小于磁场宽度。下列说法正确的是（　　） A．线框进磁场的过程中电流方向为顺时针方向 B．线框出磁场的过程中做匀减速直线运动 C．线框在进和出的两过程中产生的焦耳热相等 D．线框在进和出的两过程中通过导线横截面的电荷量相等 【答案】D 【解答】解：A、线框进磁场的过程中磁通量向里增加，根据楞次定律可知电流方向为逆时针方向，故A错误； B、线框出磁场的过程中，根据牛顿第二定律可得：BIL＝ma，其中I，解得加速度大小为：a，由于速度减小，则加速度减小，线框做加速度减小的减速直线运动，故B错误； C、根据功能关系可知，产生的热等于克服安培力做的功，由于进入磁场过程中平均安培力大、而进出磁场过程中通过的位移相同，则线框进入磁场过程中产生的热比出磁场过程中多，故C错误； D、根据电荷量的计算公式可得：qt，由于进出磁场过程中，穿过线框的磁通量变化量相同，则通过导线横截面的电荷量相等，故D正确。 故选：D。 （多选）33．一绝缘细绳跨过两个在同一竖直面（纸面）内的光滑定滑轮，绳的一端连接质量为m、边长为L的正方形金属线框abcd，另一端连接质量为2m的物块。虚线区域内有磁感应强度大小均为B的匀强磁场，其方向如图所示，磁场边界Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均水平，相邻边界间距均为L。最初拉住线框使其ab边与Ⅰ重合。t＝0时刻，将线框由静止释放，ab边由Ⅱ运动至Ⅲ的过程中，线框速度恒为v1。已知线框的电阻为R，运动过程中线框始终在纸面内且上下边框保持水平，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．ab边由Ⅲ运动至Ⅳ的过程中，线框速度恒为v1 B．v1 C．t时刻，ab边恰好与Ⅱ重合 D．cd边由Ⅰ运动至Ⅱ所用时间小于由Ⅲ运动至Ⅳ所用时间 【答案】AC 【解答】解：A、依题意，ab边由Ⅱ运动至Ⅲ做匀速直线运动，速度为v1，线框受力平衡；ab边由Ⅲ运动至Ⅳ的过程中，线框仍是两条边切割磁感线，产生的感应电动势和感应电流大小不变，线框受力不变，线框仍受力平衡，仍做匀速直线运动，则线框速度恒为v1，故A正确； B、ab边由Ⅱ运动至Ⅲ的过程中，线框速度恒为v1，上下两条边切割磁感线，线框产生的感应电动势为 E＝2BLv1 线框中的电流为 I 线框受到的安培力为 F安＝2BIL 根据平衡条件可得 F安＝2mg﹣mg 解得v1，故B错误； C、设经过t时间ab边恰好与Ⅱ重合。在ab边从Ⅰ运动到Ⅱ的过程，规定向上为正方向，对系统，根据动量定理得 2mgt﹣mgt﹣∑F安t＝（2m+m）v1 其中∑F安t＝∑∑vt 联立解得t，故C正确； D、cd边由Ⅰ运动至Ⅱ线框以速度v1做匀速运动，cd边由Ⅲ运动至Ⅳ只有一边切割磁感线，线框从速度v1开始做加速运动，由于两个过程通过的位移相等，所以cd边由Ⅰ运动至Ⅱ所用时间大于由Ⅲ运动至Ⅳ所用时间，故D错误。 故选：AC。 （多选）34．如图所示，倾角为θ的足够长光滑金属导轨放置在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面斜向上，导轨底端有一根质量为m的导体棒MN垂直于导轨放置，导轨上端接有阻值为R的电阻，除R外其他电阻不计。给MN一个沿导轨平面向上且垂直于MN的初速度v0，向上滑动距离x时到达最高点，MN回到导轨底端时速度大小为v。已知导轨宽度为L，重力加速度为g，MN在运动过程中与导轨接触良好，且不发生转动。对导体棒从底端向上滑动到最高点和从最高点向下滑回底端这两个过程，以下说法正确的是（　　） A．向上滑动过程中的平均感应电动势为 B．向下滑动的过程中通过电阻R的电荷量为 C．从底端出发到返回底端所用的时间为 D．从底端向上滑动到最高点电阻R产生的焦耳热小于 【答案】BC 【解答】解：A、导体棒在上滑过程中，根据牛顿第二定律有mgsinθ+BIL＝ma 又 则得 因速度不断减小，故加速度不断减小，所以导体棒做的是加速度逐渐减小的变加速直线运动，不是做匀变速直线运动，故导体在此过程的平均速度不等于，则平均感应电动势不等于，故A错误； B、导体棒向下滑动的过程中，根据法拉第电磁感应定律得，根据闭合电路欧姆定律得，则下滑向滑动距离x通过电阻R的电荷量为，故B正确； C、对导体棒上滑过程有，取沿斜面向上为正方向，根据动量定理，有 又 解得 下滑过程，取沿斜面向下为正方向，根据动量定理，有 又 解得 故从底端出发到返回底端所用的时间为，故C正确； D、根据能量守恒定律可知，全过程中电阻R产生的焦耳热为动能的减小量，即。由题意分析，可知上升过程中在某一位置的速度大于下滑过程中同一位置的速度，所以上滑过程同一位置的安培力比下滑过程大，上滑过程中克服安培力做的功多，产生的热量较多，上滑过程中产生的焦耳热大于全过程的一半，也就是大于，故D错误。 故选：BC。 （多选）35．武汉智能电梯公司研制出世界第一台“磁悬浮电梯”，如图为该磁动力电梯的简易装置图，即在竖直平面内有两根平行竖直金属轨道MN和PQ，两轨道的下端用导线相连；金属轨道间有一导体杆ab与轨道垂直，其正下方通过绝缘装置固定电梯轿厢，设运动过程中ab始终与轨道垂直且接触良好。该磁动力电梯上行的原理是：电磁铁所产生的垂直轨道平面、磁感应强度为B的匀强磁场沿金属导轨运动，带动ab杆向上运动，即电磁驱动。设电梯轿厢及ab杆的总质量为M（后续简称电梯），两轨道间的距离为L，ab杆电阻为R，其余部分电阻不计。不计ab杆与轨道间的阻力和空气阻力，重力加速度为g。若电磁铁产生的匀强磁场以v0的速度匀速上升，电梯上升的最大速率为vm，则下列说法正确的是（　　） A．电梯刚向上启动时，ab杆中感应电流方向为b→a B．电梯刚向上启动时，ab杆加速度 C．电梯以最大速率向上运行，ab杆产生的电功率 D．电梯以最大速率向上运行，外界在单位时间内提供的总能量 【答案】ACD 【解答】解：A、磁场向上运动，相当于ab杆向下切割磁感线，由右手定则可得电流方向是b→a，故A正确； B、根据动生电动势公式，导体杆上的电动势为：E＝BLv0 回路中的电流： ab受到的安培力为：F安＝BIL，由左手定则知道，方向向上 电梯轿厢刚好能离开地面，根据牛顿第二定律可得：F安﹣Mg＝Ma 联立解得ab杆的加速度：ag，故B错误； C、当轿厢速度达到最大，向上匀速运动的速度为vm时，回路中感应电动势的大小：E1＝BL（v0﹣vm） 回路中的电流：I1 根据功率的公式，此时ab上的电功率为PR 联立以上可得：P，故C正确； D、当轿厢稳定后，由能量守恒定律可知，单位时间内，外界消耗的总能量等于电梯增加的重力势能与回路产生的焦耳热之和，即外界在单位时间内提供的总能量等于电功率与克服重力的功率之和，则有：E＝P+Mgvm 电梯做匀速直线运动，由平衡条件得：Mg 联立解得：E•v0，故D正确。 故选：ACD。 （多选）36．如图甲所示，平行光滑长直导轨MN、PQ水平放置，间距L＝1.0m，两导轨左端MP之间接有一定值电阻R＝0.15Ω，导轨电阻不计。导体棒ab垂直于导轨放在距离导轨左端d＝2.0m处，质量m＝0.1kg，接入电路的电阻为r＝0.05Ω，竖直方向的匀强磁场范围足够大，选竖直向下为正方向。从t＝0时刻开始磁感应强度B随时间t的变化关系如图乙所示，0～3s内ab棒固定不动。t＝3s时给ab棒一个向右的速度v0＝10m/s，同时施加一方向水平的外力F，使ab棒做a＝5m/s2的匀减速运动。下列说法正确的是（　　） A．前2s内电路中感应电流的大小为1.0A B．前3s内通过金属棒中电流方向由b到a C．前2s内通过电阻R的电荷量为3C D．ab棒向右运动且位移等于6.4m时外力F＝0.2N 【答案】AD 【解答】解：A、前2s内电路中感应电动势：E•SV ＝0.2V 由闭合电路欧姆定律：IA＝1A 即前2s内电路中感应电流为1.0A，故A正确； B、前3s内穿过闭合回路的磁通量先向下减小后向上增加，则由楞次定律可知，电流方向由a到b，故B错误； C、根据电流的定义变形后得：q＝It＝1×2C＝2C，所以前2s内通过电阻R的电荷量为2C，故C错误； D、根据牛顿第二定律有： 由运动学公式： 联立代入数据解得：F＝0.2N，故D正确。 故选：AD。 （多选）37．某电磁缓冲装置如图所示，两足够长的平行金属导轨置于同一水平面内，导轨左端与一阻值为R的定值电阻相连，导轨BC段与B1C1段粗糙，其余部分光滑，AA1右侧处于竖直向下的匀强磁场中，一质量为m的金属杆垂直导轨放置。现让金属杆以初速度v0沿导轨向右经过AA1进入磁场，最终恰好停在CC1处。已知金属杆接入导轨之间的阻值为R，与粗糙导轨间的摩擦因数为μ，AB＝BC＝d。导轨电阻不计，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．金属杆经过BB1的速度为 B．在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同 D．若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍 【答案】CD 【解答】解：A．设金属杆在AA1B1B区域运动时间为t，AA1的间距为L，规定向右的方向为正方向，对金属杆在AA1B1B区域运动的过程中根据动量定理有 ﹣BL•t＝mvBB1﹣mv0 金属杆在AA1B1B区域向右运动的过程中切割磁感线，根据导体棒切割磁感线产生感应电动势公式和闭合电路的欧姆定律有 E＝BLv，，qt 联立有 ， 设金属杆在BB1C1C区域运动的时间为t0，规定向右的方向为正方向，对金属杆在BB1C1C区域运动的过程中根据动量定理有 ﹣BL•t0﹣μmgt0＝0﹣mvBB1 同理金属杆在BB1C1C区域向右运动的过程中切割磁感线有 联立解得 将求出的两个vBB1相加解得 所以金属杆经过BB1的速度大于，故A错误； C．金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量为 I安＝BL•t＝BLq 根据选项A可知金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域流过金属杆的电荷量相同，则金属杆经过AA1B1B与BB1C1C区域，金属杆所受安培力的冲量相同，故C正确； B．在整个过程中，根据能量守恒有 则在整个过程中，定值电阻R产生的热量为 故B错误； D．设整个过程中金属杆运动的时间为t总，金属杆通过BB1C1C区域的时间为t1，规定向右的方向为正方向，根据动量定理有 ﹣BL•t总﹣μmgt1＝0﹣2mv0 且q•t总 解得q 联立解得 根据选项A分析可知 而t1＜t0 可得：2d 可见若将金属杆的初速度加倍，则金属杆在磁场中运动的距离大于原来的2倍，故D正确。 故选：CD。 （多选）38．如图所示的光滑绝缘水平桌面上放置一边长为L、质量为m、阻值为R的正方形导体框ABCD，四条平行的水平虚线将空间分成五个区域，其中在虚线1，2间，虚线3、4间分别存在垂直水平桌面向上、向下的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。已知虚线1、2间（称区域Ⅰ）、虚线2、3间、虚线3、4间（称区域Ⅱ）的距离分别为L、2L、L，开始导体框的CD边与虚线1重合，0时刻给导体框水平向右的瞬时冲量Ⅰ，最终导体框的AB边与虚线4重合时，导体框的速度刚好减为零，则下列说法正确的是（　　） A．导体框进入区域Ⅰ和离开区域Ⅱ过程中的电流方向相反 B．导体框在从离开区域Ⅰ到刚进入区域Ⅱ所用的时间为 C．导体框刚要开始离开区域Ⅱ瞬间的加速度大小为 D．导体框经过区域Ⅰ和区域Ⅱ的过程中，产生的焦耳热之比为2：1 【答案】BC 【解答】解：A、由楞次定律可知，导体框进入区域Ⅰ的过程，从上向下看导体框中的电流沿顺时针方向。导体框离开区域Ⅱ的过程，从上向下看导体框中的电流沿顺时针方向，故A错误； B、导体棒通过磁场时，由法拉第电磁感应定律得 由闭合电路欧姆定律得 又ΔΦ＝BΔS 综合可得流过导体截面的电荷量为：q 可得，导体框通过区域Ⅰ和Ⅱ流过导体截面的电荷量： 设CD边刚进入区域Ⅰ时，导体框的速度为v0，设导体框离开区域Ⅰ时，导体框的速度为v1。 导体框在区域Ⅰ中运动时，取向右为正方向，由动量定理有 ﹣BL•t1＝mv1﹣mv0 即 导体框在区域Ⅱ中运动时，取向右为正方向，由动量定理有 ﹣BL•t2＝0﹣mv1 即 联立解得：， 导体框在从离开区域Ⅰ到刚进入区域Ⅱ的过程以做匀速直线运动，通过的位移为L，运动时间为 ，故B正确； C、设导体框刚要离开区域Ⅱ的速度为v2，导体框从刚进入区域Ⅱ到刚要离开区域Ⅱ的过程，取向右为正方向，由动量定理有 导体框进入区域Ⅱ的过程有 解得： 由法拉第电磁感应定律 E＝BLv2 由闭合电路欧姆定律 由牛顿第二定律导体框的加速度为 解得：，故C正确； D、由能量守恒定律，导体框经过区域Ⅰ产生的热量为 导体框经过区域Ⅱ产生的热量为 又v0＝2v1 解得：，故D错误。 故选：BC。 39．如图为升降机示意图。间距L＝2m的金属导轨M′M、N′N固定在绝缘水平面上，MN端接有一智能电源。电阻R＝2Ω的相同均匀导体棒ab、cd通过绝缘轻杆组成“H”字形，整体质量m＝1kg，“H”字形平放在导轨上，ab棒中点通过细绳绕过滑轮与一质量M＝2kg的货物相连，cd棒的中心右侧某位置固定有一劲度系数的绝缘轻弹簧（初始时处于原长，左端位于P点）。整个装置处于竖直向下、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。t＝0时，货物正以v0＝2m/s匀速上升，t＝1s时货物脱钩，当货物上升到最高点时（未碰到滑轮），cd棒刚好运动至P点。已知cd棒每经过一次P点，智能电源的电流方向改变，大小不变。不计一切阻力及除导体棒外其他电阻，弹簧振子周期T＝2π，已知重力加速度的大小g＝10m/s2，取π＝3。求： （1）货物匀速上升时，通过电源的电流大小与方向； （2）cd棒运动到P点前瞬间的速度大小以及此时电源的输出电压； （3）从t＝1s至cd棒第二次运动到P点过程中，流过cd棒的电荷量及电源输出的总能量。 【答案】（1）货物匀速上升时，通过电源的电流大小为10A，方向为N→M； （2）cd棒运动到P点前瞬间的速度大小为6m/s，此时电源的输出电压为22V； （3）从t＝1s至cd棒第二次运动到P点过程中，流过cd棒的电荷量为，电源输出的总能量为。 【解答】解：（1）货物匀速上升，对货物与“H”字形，有BIL＝Mg 解得I＝10A 由右手螺旋定则可知，电流方向：N→M （2）货物脱钩，货物到最高点时间 解得 t1＝0.2s 以水平向右的方向为正方向，对导体棒动量定理有BILt1＝mvp﹣mv0 解得vp＝6m/s 向右未碰到弹簧，此时反电动势E＝BLvp 电路电流有 即 解得U＝22V （3）滑出导体棒碰到弹簧后所受合力与位移关系如图所示，设弹簧最大压缩量为x。 根据动能定理 解得 x＝0.6m 从P点开始，“H”字形与弹簧组成系统在水平面内做简谐运动，其平衡位置在P点左侧，设弹簧最大形变量为x0，有kx0＝BIL 解得x0＝0.6m 因此，振幅A＝x+x0 解得 A＝1.2m “H”字形从接触弹簧到离开弹簧 解得周期 流过导体棒的电荷量 从t＝1s至cd棒第二次运动到P点过程中，导体棒焦耳热 解得 Q1＝20J 与弹簧接触期间，导体棒焦耳热 解得 根据能量守恒定律，电源输出的总能量 解得 答：（1）货物匀速上升时，通过电源的电流大小为10A，方向为N→M； （2）cd棒运动到P点前瞬间的速度大小为6m/s，此时电源的输出电压为22V； （3）从t＝1s至cd棒第二次运动到P点过程中，流过cd棒的电荷量为，电源输出的总能量为。 40．如图所示，平行金属导轨MM′、NN′和平行金属导轨PQR、P′Q′R′固定在水平台面上，平行金属导轨间距均为L＝1m，MM′与PP′高度差h1＝0.6m。导轨MM′、NN′左端接有R＝3Ω的电阻，导轨平直部分存在长度为d、磁感应强度B1＝2T，方向竖直向上的匀强磁场；其中PQ与P′Q′是圆心角60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，QR与Q′R′是足够长的水平长直导轨。QQ′右侧存在竖直向上的匀强磁场B2＝2T，导体棒a质量m1＝0.3kg，接在电路中的电阻R1＝2Ω；导体棒b质量m2＝0.2kg，接在电路中的电阻R2＝4Ω。导体棒a从距离导轨MM′、NN′平直部分h＝1.8m处静止释放，恰能无碰撞地从PP′滑入右侧平行导轨，且始终没有与b棒相碰。重力加速度g取10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力。求： （1）磁场B1的宽度d的大小； （2）导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中产生的焦耳热； （3）若匀强磁场B2的长度仅为3m，b棒放置在磁场某位置，当a棒滑到原b棒位置时b棒刚好离开磁场且速率为a棒刚进磁场时的，求b棒在磁场B2中的运动时间。 【答案】（1）磁场B1的宽度d的大小为1.5m； （2）导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中产生的焦耳热为0.5J； （3）b棒在磁场B2中的运动时间为0.525s。 【解答】解：（1）导体棒a沿圆弧形导轨下滑的过程，根据机械能守恒定律得 m1gh 解得a棒进入磁场B1的速度大小v1＝6m/s 依题意，导体棒a从N′M′到PP′做平抛运动，到达PP′时速度方向与水平方向的夹角为60°，则有 h1，sin60° 解得a棒到达PP′时速度大小v2＝4m/s 则a棒离开时N′M′的速度大小v2′＝v2cos60°＝4×0.5m/s＝2m/s a棒沿导轨MM′、NN′平直部分运动的过程，规定向右为正方向，由动量定理得 ﹣B1L•Δt＝m1v2′﹣m1v1 通过a棒的电荷量q•Δt 联立解得d＝1.5m （2）导体棒a从PP′到QQ′的过程，根据机械能守恒定律得 m1gr（1﹣cos60°） 解得a棒刚进入磁场B2的速度v3＝5m/s 因QR与Q′R′足够长，a始终没有与b棒相碰，最终两者速度相同，设为v4，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得 m1v3＝（m1+m2）v4 解得v4＝3m/s 设导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中，整个电路产生的总焦耳热为Q，由能量守恒定律得 Qm1（m1+m2） 解得Q＝1.5J 则导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中产生的焦耳热QaQ 解得Qa＝0.5J （3）设当b棒刚离开磁场时a速度为v′a，b棒的速度为v′b，规定向右为正方向，根据动量守恒定律得 m1v3＝m1v′a+m2v′b 依题意有v′b 解得v′am/s 设b棒在磁场中运动时间为t，导体棒a、b在水平导轨运动过程中位移分别为xa、xb，则有 m1v3t＝∑m1vat+∑m2vbt 即m1v3t＝m1xa+m2xb 对b棒，规定向右为正方向，根据动量定理得 BLt＝m2vb﹣0 通过回路某一截面的电荷量qt 依题意知xa+xb＝3m 解得b棒在磁场B2中的运动时间ts＝0.525s 答：（1）磁场B1的宽度d的大小为1.5m； （2）导体棒a在金属导轨PQR、P′Q′R′中产生的焦耳热为0.5J； （3）b棒在磁场B2中的运动时间为0.525s。 41．如图1所示，两条足够长的平行金属导轨间距为0.5m，固定在倾角为37°的斜面上。导轨顶端连接一个阻值为1Ω的电阻。在MN下方存在方向垂直于斜面向上、大小为1T的匀强磁场。质量为0.5kg的金属棒从AB处由静止开始沿导轨下滑，其运动过程中的v﹣t图像如图2所示。金属棒运动过程中与导轨保持垂直且接触良好，不计金属棒和导轨的电阻，取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。 （1）求金属棒与导轨间的动摩擦因数； （2）求金属棒在磁场中能够达到的最大速率； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，求此过程中电阻产生的焦耳热。 【答案】（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数0.25； （2）金属棒在磁场中能够达到的最大速率8m/s； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，此过程中电阻产生的焦耳热2.95J。 【解答】解：（1）由图2可知，金属棒在0﹣1s内做初速度为0的匀加速直线运动，1s后做加速度减小的加速运动，可知金属棒第1s末进入磁场。 在0﹣1s过程中，由图2可知，金属棒的加速度 ① 在这个过程中，沿斜面只有重力的分力和滑动摩擦力，根据牛顿第二定律有 mgsin37°﹣μmgcos37°＝ma ② 由①②式解得，金属棒与导轨间的动摩擦因数 μ＝0.25 ③ （2）金属棒在磁场中能够达到的最大速率时，金属棒处于平衡状态，设金属棒的最大速度为vm 金属棒切割磁感线产生的感应电动势为 E＝BLvm ④ 根据闭合回路欧姆定律有 ⑤ 根据安培力公式有 FA＝ILB ⑥ 根据平衡条件有 FA+μmgcos37°＝mgsin37° ⑦ 由③④⑤⑥⑦式解得 vm＝8m/s ⑧ （3）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，可得金属棒从进入磁场通过电阻的电荷量为 ⑨ 解得，金属棒在磁场下滑的位移 ⑩ 由动能定理有 ⑪ 此过程中电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功 Q＝WA⑫ 由⑩⑪⑫式解得，此过程中电阻产生的焦耳热 Q＝2.95J 答：（1）金属棒与导轨间的动摩擦因数0.25； （2）金属棒在磁场中能够达到的最大速率8m/s； （3）已知金属棒从进入磁场到速度达到5m/s时通过电阻的电荷量为1.3C，此过程中电阻产生的焦耳热2.95J。 42．如图所示，足够长的光滑斜面倾角为θ＝30°，斜面上方空间等间距分布着垂直斜面向上的条形匀强磁场，磁感应强度大小B＝1T，条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为L＝0.4m，现有一边长L＝0.4m、质量m＝0.48kg、电阻R＝0.2Ω的正方形线框abcd在斜面上距离第一个条形磁场上边界L＝0.4m处由静止释放，从刚进入磁场开始经过时间t＝0.96s，线框速度达到v1＝2.8m/s，已知重力加速度g＝10m/s2，求： （1）线框ab边刚进入磁场时受到的安培力的大小F； （2）线框匀速运动的速度大小vm； （3）从释放线框到线框速度达到v1的过程，线框中产生的焦耳热Q。 【答案】（1）线框ab边刚进入磁场时受到的安培力的大小F为1.6N； （2）线框匀速运动的速度大小vm为3m/s； （3）从释放线框到线框速度达到v1的过程，线框中产生的焦耳热Q为4.84J。 【解答】解：（1）设线框ab边刚进入磁场时的速度为v0，根据动能定理有 解得 v0＝2m/s 线框ab边切割磁感线产生的感应电动势 E＝BLv0 解得 E＝0.8V 根据闭合电路欧姆定律有 解得 I＝4A 线框ab边刚进入磁场时受到安培力 F＝BIL 解得 F＝1.6N （2）线框匀速运动时受到的合力为零，根据受力平衡有 F安＝mgsin30° 又 F安＝BI1L 代入数据解得 vm＝3m/s （3）由题意可知，线框在沿斜面下滑的过程中始终受到安培力的作用，设线框从刚进入磁场开始经Δt时间速度变化为Δv，线框速度为v，此时有 在Δt时间内，以沿斜面向下为正方向，根据动量定理有 设经时间t＝0.96s，线框沿斜面下滑的位移为x，对上式两边求和，可得 可得 代入数据解得 x＝2.4m 由能量守恒定律有 解得 Q＝4.84J 答：（1）线框ab边刚进入磁场时受到的安培力的大小F为1.6N； （2）线框匀速运动的速度大小vm为3m/s； （3）从释放线框到线框速度达到v1的过程，线框中产生的焦耳热Q为4.84J。 43．如图所示，足够长的光滑等宽金属导轨，固定在一水平面内，导轨宽度为L。有垂直导轨平面向下的匀强磁场布满导轨，磁感应强度为B。甲、乙、丙三个金属棒，依次跨放在导轨上，棒与轨道垂直、质量均为m，金属棒接入电路的阻值分别为R、2R、2R。其中乙、丙棒由绝缘轻杆连接。忽略导轨的电阻、所有摩擦以及金属棒和轻杆的可能形变和轻杆的质量，金属棒与导轨始终接触良好。现让金属棒甲在棒乙左侧以v0开始运动。 （1）求甲棒以速度v0运动瞬间，流过甲棒的电流大小I； （2）以甲棒获得速度v0开始到运动一段时间后乙棒速度为v，求这一过程中甲棒产生的热量Q； （3）甲棒以速度v0开始，为避免相撞，求甲棒距离乙棒的距离最小值s。 【答案】（1）甲棒以速度v0运动瞬间，流过甲棒的电流大小I为； （2）以甲棒获得速度v0开始到运动一段时间后乙棒速度为v，这一过程中甲棒产生的热量Q为； （3）甲棒以速度v0开始，为避免相撞，甲棒距离乙棒的距离最小值s为。 【解答】解：（1）甲棒以速度v0运动瞬间，产生的电动势为：E＝BLv0 回路总电阻为： 根据闭合电路欧姆定律可知，流过甲棒的电流大小为： 联立解得： （2）由于通过甲棒的电流等于通过乙、丙两棒的电流之和，可知甲棒受到的安培力与乙、丙两棒受到的安培力之和大小相等，方向相反，则甲、乙、丙三棒组成的系统满足动量守恒， 则以向右的方向为正有：mv0＝mv1+2mv 根据能量守恒可得： 甲棒产生的热量为： 联立解得： （3）当甲、乙丙共速时距离s有最小值，此时由动量守恒有：mv0＝（m+2m）v共 对甲，由动量定理有： 又根据电流的定义：， 最短距离为：s＝Δx 联立解得： 答：（1）甲棒以速度v0运动瞬间，流过甲棒的电流大小I为； （2）以甲棒获得速度v0开始到运动一段时间后乙棒速度为v，这一过程中甲棒产生的热量Q为； （3）甲棒以速度v0开始，为避免相撞，甲棒距离乙棒的距离最小值s为。 44．如图所示，固定的平行光滑金属长直导轨MN、PQ与水平面的夹角θ＝30°，导轨间距L＝0.8m，上端接有R＝2Ω的电阻，导轨中间正方形区域GHJK内有垂直轨道平面向下、磁感应强度大小B＝1.5T的匀强磁场。将质量m＝0.6kg、电阻r＝0.4Ω的金属杆ab从磁场上边界GH上方某处由静止释放，ab恰好匀速通过磁场区域。ab的长度与导轨间距相同，且ab在运动过程中始终与导轨垂直，导轨的电阻可忽略不计，取重力加速度大小g＝10m/s2，求： （1）ab通过磁场的过程中，电阻R的功率； （2）ab释放时到磁场上边界GH的距离d0。 【答案】（1）ab通过磁场的过程中，电阻R的功率为12.5W； （2）ab释放时到磁场上边界GH的距离d0为2.5m。 【解答】解：（1）ab恰好匀速通过磁场区域，根据受力平衡得： mgsinθ＝BIL 解得：I＝2.5A ab通过磁场的过程中，电阻R的功率为： P＝I2R 联立解得：P＝12.5W （2）ab匀速运动时，产生的感应电动势为： E＝BLv 根据闭合电路欧姆定律得： ab从被释放的位置到磁场上边界GH的过程，根据动能定理得： 联立解得：d0＝2.5m 答：（1）ab通过磁场的过程中，电阻R的功率为12.5W； （2）ab释放时到磁场上边界GH的距离d0为2.5m。 45．如图所示，水平面内足够长的两平行光滑金属直导轨，左侧与R0＝1Ω的定值电阻相连接，右端与两半径r＝0.45m的竖直面内光滑圆弧轨道在PQ处平滑连接，PQ与直导轨垂直，轨道仅在PQ左侧空间存在竖直向上，大小为B＝1T的匀强磁场。将质量为m1＝0.2kg、电阻为R1＝2Ω的金属棒M静置在水平直导轨上，图中棒长和导轨间距均为L＝1m，M距R足够远，金属导轨电阻不计。开始时，用一恒为2N的拉力F作用于M，使M向右加速运动直至运动稳定，当M运动到GH处时撤去外力，随后择机释放另一静置于圆弧轨道最高点、质量为m2＝0.1kg的绝缘棒N，当M速度变为3m/s时恰好与N在PQ处发生第1次弹性碰撞。随后N反向冲上圆弧轨道。已知之后N与M每次碰撞前M均已静止，所有碰撞均为弹性碰撞，且碰撞时间极短，M、N始终与导轨垂直且接触良好，重力加速度g＝10m/s2。求： （1）金属棒M稳定运动时的速度； （2）GH与PQ之间的距离d； （3）自金属棒M发生第1次碰撞后到最终静止，金属棒M的总位移。 【答案】（1）金属棒M稳定运动时的速度6m/s，方向水平向右； （2）GH与PQ之间的距离1.8m； （3）自金属棒M发生第1次碰撞后到最终静止，金属棒M的总位移3.6m。 【解答】解：（1）金属棒M稳定运动时回路中电流恒定，金属棒做匀速运动，得 F安＝F F安＝BIL E＝BLv0 联立解得金属棒M稳定运动时的速度为 v0＝6m/s 方向水平向右； （2）根据题意当M速度变为v1＝3m/s时恰好与N在PQ处发生碰撞，取向左为正方向，对金属棒M从GH到PQ之间应用动量定理 即 ﹣Bq1L＝m1v1﹣m1v0 又由 联立求得 d＝1.8m （3）绝缘棒N滑到圆周最低点时，由动能定理可得 求得 v＝3m/s 金属棒M，绝缘棒N弹性碰撞，取向左为正方向，根据动量守恒和能量守恒 m1v1﹣m2v＝m1vM1+m2vN1 求得 vM1＝﹣1m/s，vN1＝5m/s 因为vN1＝5m/s、v＝3m/s对绝缘棒N分析可知绝缘棒将滑过圆弧轨道的最高点后继续向上运动然后再返回圆弧轨道，再以vN1＝5m/s的速度与金属棒相碰；发生第一次碰撞后，金属棒M向左位移为x1，取向左为正方向，根据动量定理可得 即 ﹣Bq2L＝0﹣m1|vM1| 根据前面分析同理可知 联立求得 由题可知，绝缘棒N第二次与金属棒M碰前速度为vN1，方向水平向左，碰后速度为vN2，金属棒的速度为vM2，取向左为正方向，由弹性碰撞可得 m2vN1＝m1vM2+m2vN2 求得 金属棒M再次向左运动到静止的位移x2，取向左为正方向，同理得 求得 同理可知，金属棒M与绝缘棒N第三次碰撞后的瞬时速度vM3 绝缘棒N第三次碰撞后的瞬时速度vN3 金属棒M向左的位移x3 求得 同理可知，金属棒M与绝缘棒N第四次碰撞后的瞬时速度vM4 金属棒M向左的位移x4 求得 以此类推，金属棒M与绝缘棒N第n次碰撞后金属棒M向左的位移xn 发生第1次碰撞后到最终两棒都静止，金属棒M的总位移 当n趋于无穷大时得 解得 x＝3.6m 答：（1）金属棒M稳定运动时的速度6m/s，方向水平向右； （2）GH与PQ之间的距离1.8m； （3）自金属棒M发生第1次碰撞后到最终静止，金属棒M的总位移3.6m。 46．如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内，垂直磁场方向的水平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为L，导体棒的质量均为m，电阻均为R，导轨电阻可忽略不计。两导体棒与导轨的动摩擦因数均为μ。初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速度v0，以上物理量除v0未知外，其余的均已知，求： （1）当cd棒速度v0满足什么条件时？导体棒ab会相对于导轨运动； （2）若v0已知且满足第（1）问的条件，从开始运动到ab棒的速度最大时，用时为t，求ab棒的最大速度； 【答案】（1）当cd棒速度v0满足v0条件时，导体棒ab会相对于导轨运动； （2）ab棒的最大速度为μgt； 【解答】解：（1）cd棒产生的电动势为：E＝BLv0 回路感应电流为：I 为了使导体棒ab会相对于导轨运动，应满足：F安＝BIL＞μmg 联立解得：v0 （2）设ab棒的最大速度为vab，此时cd棒的速度为vcd，回路电动势为：E′＝BL（vcd﹣vab） 回路电流为：I′ 导体棒受到的安培力为：F安′＝BI′L 此时ab棒的加速度为零，则有：F安′＝μmg 对ab棒和cd棒组成的系统，安培力对两棒的冲量大小相等，方向相反， 以向右方向为正，根据动量定理可得：﹣2μmg•t＝mvab+mvcd﹣mv0 联立解得：vabμgt 答：（1）当cd棒速度v0满足v0条件时，导体棒ab会相对于导轨运动； （2）ab棒的最大速度为μgt； 47．如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ＝30°的绝缘斜面上，两导轨间距为L＝2m，M、P两点间接有阻值为R＝9Ω的电阻，一根质量为m＝1kg的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直，金属杆的电阻为r＝1Ω，整套装置处于磁感应强度为B＝1T的匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向下，导轨电阻可忽略，让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦（重力加速度为g）。 （1）在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v＝5m/s时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小； （2）求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。 （3）杆在下滑距离d＝19.625m时已经达到最大速度，求此过程中通过电阻的热量Q。 【答案】（1）此时ab杆中的电流大小为1A，加速度的大小为3m/s2。 （2）ab杆可以达到的速度最大值为12.5m/s。 （3）此过程中通过电阻的热量为18J。 【解答】解：（1）对杆进行受力分析，如图所示： 当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中电流，解得：I＝1A。 ab杆所受安培力，由牛顿第二定律得mgsinθ﹣F＝ma，解得：，解得：a＝3m/s2。 （2）当金属杆匀速运动时，其速度达到最大值，由平衡条件，解得最大速度：，解得：vm＝12.5m/s。 （3）杆下滑距离d时，根据能量守恒定律，解得回路总热量：，解得：Q＝20J。电阻R产生的热量，解得：QR＝18J。 答：（1）此时ab杆中的电流大小为1A，加速度的大小为3m/s2。 （2）ab杆可以达到的速度最大值为12.5m/s。 （3）此过程中通过电阻的热量为18J。 48．如图所示，在光滑绝缘的水平面上方，有两个方向相反的水平方向的匀强磁场，磁场范围足够大，磁感应强度的大小左边为2B，右边为3B，一个竖直放置的宽为L、长为3L、单位长度的质量为m、单位长度的电阻为r的矩形金属线框，以初速度v垂直磁场方向从图中实线位置开始向右运动，当线框运动到虚线位置（在左边磁场中的长度为L，在右边磁场中的长度为2L）时，线框的速度为，则下列判断正确的是（　　） A．此时线框中电流方向为逆时针，线框中感应电流所受安培力为 B．此过程中通过线框截面的电量为 C．此过程中线框产生的焦耳热为 D．线框刚好可以完全进入右侧磁场 【答案】D 【解答】解：AD.根据右手定则，此时线框中电流方向为逆时针，线框中的感应电动势大小为E＝2BL3BLBLv，线框中感应电流大小为I，线框中感应电流所受安培力为F＝2BIL+3BIL＝5BIL＝5BL，根据牛顿第二定律此时线框的加速度大小为a，解得a，故A错误，D正确； B.设向右为正方向，根据动量定理有﹣2BILΔt﹣3BILΔt＝8Lm8Lmv，q＝IΔt，联立解得q，故B错误； C.由能量守恒定律有Q，故C错误； 故选：D。 （多选）49．如图所示，MN、PQ是两根间距为L且电阻不计的足够长平行金属导轨，左侧弧形部分光滑，右侧水平部分粗糙且处在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与水平导轨平面夹角为θ，导轨右端接一阻值为R的定值电阻。一质量为m、长度为L的金属棒，垂直导轨放置，与水平导轨间的动摩擦因数为μ。现让其从导轨左端h高处由静止释放，进入磁场后经时间t停止运动。已知金属棒电阻为R，与导轨间接触良好，且始终与磁场垂直，则金属棒进入磁场区域后（　　） A．定值电阻R产生的焦耳热为 B．金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越小 C．定值电阻R两端的最大电压为 D．金属棒在磁场中运动的距离为 【答案】CD 【解答】解：A、设金属棒在水平导轨上减速至0过程的位移为x0，根据能量守恒定律可知，金属棒减小的重力势能转化为回路中产生的总的焦耳热与摩擦生热，则有 mgh＝Q+Qf 定值电阻R产生的焦耳热为 解得：，故A错误； B、对导体棒受力分析如图所示： 金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力为 f＝μN＝μ（mg﹣BILcosθ） 在水平导轨上运动时，金属棒速度减小，感应电动势减小，感应电流减小，可知，金属棒在水平导轨上运动时所受摩擦力越来越大，故B错误； C、金属棒下滑至弧形导轨底端速度增大，感应电动势最大。 金属棒沿圆弧轨道下滑的过程，由机械能守恒定律有 金属棒刚进磁场时产生的感应电动势为E＝BLv0sinθ 定值电阻R两端的最大电压为 解得：，故C正确； D、金属棒在磁场中运动过程，取向右为正方向，根据动量定理有 通过回路的电荷量 感应电动势与感应电流的平均值分别为 ， 解得：，故D正确。 故选：CD。 50．如图所示，MCN与PDQ是一组足够长的平行光滑导轨，间距L＝1m，MC、PD倾斜，CN、DQ在同一水平面内，CD与CN垂直，C、D处平滑连接。水平金属导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。质量m＝0.1kg、电阻R＝1Ω、长度为L的硬质导体棒a静止在水平轨道上，与a完全相同的导体棒b从距水平面高度h＝0.2m的倾斜绝缘轨道上由静止释放，最后恰好不与a棒相撞，运动过程中a、b棒始终与导轨垂直且接触良好。不计其他电阻和空气阻力，重力加速度g取10m/s2。 （1）求b棒刚进入磁场时，a棒所受安培力的大小； （2）求整个过程中通过a棒的电荷量q及a棒距离CD的初始距离x0； （3）a、b棒稳定后，在释放b棒的初始位置由静止释放相同的b2棒，所有棒运动稳定后，在同一位置再由静止释放相同的b3棒，所有棒运动再次稳定后，依此类推，逐一由静止释放b4、b5、…、bn。当释放的bn最终与所有棒运动稳定后，求从bn棒开始释放到与所有棒运动保持相对稳定时，回路中产生的焦耳热Qn。 【答案】（1）a棒所受安培力的大小为1N； （2）整个过程中通过a棒的电荷量q为0.1C，a棒距离CD的初始距离x0为0.2m； （3）回路中产生的焦耳热Qn为。 【解答】解：（1）根据题意，对b棒由动能定理可得： b棒刚进入磁场时，感应电动势：E＝BLv0 回路中的电流： 安培力：F＝BIL 联立可得：F 代入数据得：F＝1N （2）以向右方向为正方向，对a、b棒，由动量守恒定律可得：mv0＝2mv1 对a棒，由动量定理可得： 而电荷量： 联立代入数据解得：q＝0.1C 由（1）问可得： 以上方程代入可解得： （3）当b2棒运动达到稳定后，以向右为正方向有：2mv0＝3mv2 当b3棒运动达到稳定后，以向右为正方向有：3mv0＝4mv3 当bn棒运动达到稳定后，同理有：nmv0＝（n+1）mvn 可得： 则有： 故回路中产生的焦耳热： 解得： 答：（1）a棒所受安培力的大小为1N； （2）整个过程中通过a棒的电荷量q为0.1C，a棒距离CD的初始距离x0为0.2m； （3）回路中产生的焦耳热Qn为。 51．如图所示，有水平边界、垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝2T，其上、下边界间的距离H＝1.1m。一个由同种材料、粗细均匀的导线做成的质量为m＝0.5kg、边长为L＝1m、总电阻为R＝1Ω的正方形导线框abcd，从磁场上方的某个位置，由静止开始下落，下落过程中，线框平面始终保持在同一个竖直面内，ab边与磁场的水平边界线平行，当ab边刚进入磁场和ab边刚穿出磁场时，线框加速度的大小都是a＝2m/s2，方向均竖直向上，在线框运动过程中，不计空气阻力，取g＝10m/s2。求： （1）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量q； （2）ab边刚进入磁场时，a、b两点间的电势差Uab； （3）从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量Q。 【答案】（1）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量为2C； （2）ab边刚进入磁场时，a、b两点间的电势差为﹣2.25V； （3）从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量为5.5J。 【解答】解：（1）线框进入磁场的过程中，根据电荷量的计算公式可得： qt 解得：q＝2C； （2）设ab边刚进入磁场时，安培力为F，根据牛顿第二定律可得：F﹣mg＝ma 又：F＝BIL 根据闭合电路的欧姆定律可得： 联立解得：v＝1.5m/s ab边切割磁感线感应电动势为：E＝BLv，b端电势高。 由闭合电路欧姆定律，可得： 解得：Uab＝﹣2.25V； （3）当ab边刚进入磁场和ab边刚穿出磁场时，线框加速度的大小相等，则速度大小也相等。 从ab边刚进入磁场到ab边刚穿出磁场过程中，根据动能定理可得：mgH﹣W安＝0 解得克服安培力做的功为：W安＝5.5J 根据功能关系可得：Q＝W安＝5.5J。 答：（1）线框进入磁场的过程中，通过线框的电荷量为2C； （2）ab边刚进入磁场时，a、b两点间的电势差为﹣2.25V； （3）从ab边刚进入磁场到cd边刚进入磁场的过程中，线框中产生的热量为5.5J。 52．如图所示，足够长的固定光滑平行金属导轨abcde﹣a'b'c'd'e'，其中abc﹣a'b'c'部分间距为d1＝0.2m，de﹣d'e'部分间距为d2＝0.1m，bcde﹣b'c'd'e′部分水平且所在的空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.4T，ab﹣a'b'部分倾角为θ＝30°。质量为m＝0.01kg、长度为d2＝0.1m、阻值为R2＝0.1Ω的导体棒N静置在导轨的de﹣d'e'部分上。另一质量也为m＝0.01kg、长度为d1＝0.2m、阻值为R1＝0.4Ω的导体棒M从导轨的ab﹣a′b′部分由静止释放，经过时间t＝1.0s，导体棒M恰好运动到bb'进入水平轨道部分，重力加速度g取10m/s2，导体棒M经过bb′时损失的机械能忽略不计，两导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻忽略不计。从导体棒M由静止释放到两导体棒运动状态达到稳定的过程中（导体棒M没有运动到cc′处），求： （1）导体棒N加速度的最大值； （2）稳定时导体棒M和N的速度大小； （3）导体棒N中产生的焦耳热。 【答案】（1）导体棒N加速度的最大值为3.2m/s2； （2）稳定时导体棒M和N的速度大小分别为1m/s、2m/s； （3）导体棒N中产生的焦耳热为0.02J。 【解答】解：（1）M棒在斜面上下滑时：mgsin30°＝ma 解得：a＝gsin30°＝10×0.5m/s2＝5m/s2 M棒进入磁场前的速度：v0＝at＝5×1m/s＝5m/s 此时对N棒由牛顿第二定律有：BId2＝maN 由上式可以看出，当加速度最大时，则要求电流最大 根据欧姆定律知：I 所以当vN＝0，加速度最大，此时vM＝v0＝5m/s N棒的最大加速度：anmaxm/s2＝3.2m/s2 （2）稳定时，加速度为零。安培力：BId＝0 所以电流I＝0。根据法拉第电磁感应定律有：E＝Bd1vM﹣Bd2vN＝0 所以有：0.2vM＝0.1vN 变形得到：vN＝2vM 以向右为正，由动量定理有：对M棒有：﹣B•t＝mvM﹣mv0 对N棒有：B•d2•t＝mvN﹣0 联立得到：vM＝1m/s，vN＝2m/s （3）从M棒释放到两棒稳定时，由能量守恒定律有：mghQ 根据焦耳定律可得N棒产生的热量：QN 联立解得：QN＝0.02J 答：（1）导体棒N加速度的最大值为3.2m/s2； （2）稳定时导体棒M和N的速度大小分别为1m/s、2m/s； （3）导体棒N中产生的焦耳热为0.02J。 53．如图，两根相距l＝0.4m、电阻不计的平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R＝0.15Ω的电阻相连。导轨间x＞0一侧存在沿x方向均匀增大的稳恒磁场，其方向与导轨平面垂直，变化率k＝0.5T/m，x＝0处磁场的磁感应强度B0＝0.5T．一根质量m＝0.1kg、电阻r＝0.05Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。棒在外力作用下从x＝0处以初速度v0＝2m/s沿导轨向右运动，运动过程中电阻上消耗的功率不变。求： （1）回路中的电流； （2）金属棒在x＝2m处的速度； （3）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小； （4）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率。 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）金属棒切割产生感应电动势为：E＝B0Lv＝0.5×0.4×2V＝0.4V， 由闭合电路欧姆定律，电路中的电流I （2）由题意可知，在x＝2m处，B2＝B0+kx＝1.5T， 切割产生感应电动势，E＝B2Lv2， 由上可得，金属棒在x＝2m处的速度v2＝0.67m/s （3）当x＝0m时F0＝B0IL＝0.4N， x＝2m时，FA＝B2IL＝1.2N， 金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小，W＝（ F0+FA）1.6J （4）由EIt＝W 解得t＝2s， 由动能定理：， 解得：P＝0.71W 答：（1）电路中的电流2A； （2）金属棒在x＝2m处的速度0.67m/s； （3）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中安培力做功的大小1.6J； （4）金属棒从x＝0运动到x＝2m过程中外力的平均功率0.71W． 54．如图，电阻不计的光滑金属导轨由直窄轨AB、CD，直宽轨EF、GH和连接直轨BE、GD构成，整个导轨处于同一水平面内，AB∥CD∥EF∥GH，BE和GD共线且与AB垂直，窄轨间距为，宽轨间距为L。空间有方向竖直向上的匀强磁场，宽轨所在区域的磁感应强度大小为B，窄轨所在区域的磁感应强度大小为2B。棒长均为L、质量均为m、电阻均为R的均匀金属直棒a、b始终与导轨垂直且接触良好。初始时刻，b棒静止在宽轨上，a棒从窄轨上某位置以平行于AB的初速度v0向右运动。a棒距窄轨右端足够远，宽轨EF、GH足够长。则（　　） A．a棒刚开始运动时，b棒的加速度大小为 B．经过足够长的时间后，a棒的速度大小为 C．整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量 D．整个过程中，b棒产生的焦耳热为 【答案】D 【解答】解：A、a棒刚开始运动时，产生的动生电动势为 E＝2B•v0＝BLv0 回路中的总电阻 R总＝RR 则回路中的感应电流为 在此瞬间，对b棒由牛顿第二定律可得：BIL＝ma 解得：，故A错误； B、由分析可知，a棒、b棒分别向右做速度减小的减速运动和速度增大的加速运动，回路中的感应电动势为 E总＝Ea﹣Eb＝2B•va﹣BLvb＝BL（va﹣vb） 当va＝vb＝v时，感应电动势为零，两棒将均做匀速直线运动，对两棒组成的系统合外力 F合＝BIL﹣2BI•0 所以两棒组成的系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律有 mv0＝2mv 解得： 可知，经过足够长的时间后，a棒的速度大小为，故B错误； C、根据功能关系可知，整个过程中，a棒克服安培力做的功等于ab两棒上的发热量与b棒所获得的动能之和，故C错误； D、根据能量守恒，可得在整个过程中产生的总热量为 Q 而b棒产生得热量为 ，故D正确。 故选：D。 （多选）55．如图所示，两根足够长光滑导轨竖直放置，导轨间距为L，底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直。现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，第一次达到最大速度v时，回路产生的焦耳热为Q。若金属棒和导轨接触良好，电阻均可忽略，则（　　） A．金属棒和弹簧组成的系统机械能守恒 B．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的伸长量为 C．金属棒最后静止时电阻R上产生的总热量为 D．金属棒第一次达到最大速度时弹簧的弹性势能小于 【答案】BD 【解答】解：A、金属棒从弹簧原长位置由静止释放后，速度逐渐增大，切割磁感线，产生感应电流，金属棒受到竖直向上的安培力，安培力做负功，故金属棒和弹簧组成的系统机械能不守恒，故A错误； B、金属棒第一次达到最大速度时，受到重力、弹簧的弹力和安培力，处于平衡状态，则有F+F安＝mg 安培力为：F安＝BIL 导体切割磁感线，感应电动势为：E＝BLv 根据闭合电路欧姆定律有： 弹簧的弹力为：F＝kx1 联立以上几式解得：，故B正确； D、金属棒第一次达到最大速度时，由动能定理有： 所以有： 可得：，故D正确； C、金属棒最后静止时，安培力为零，受重力和弹簧弹力，则有：mg＝kx2 根据动能定理有： 由功能关系可知回路产生的焦耳热为：Q'＝W 联立解得：，故C错误。 故选：BD。 56．间距为L＝0.5m的两根平行光滑金属导轨MN、PQ固定放置在同一水平面内，两导轨间存在大小为B＝1T、方向垂直导轨平面的匀强磁场，导轨左端串接一阻值为R＝1Ω的定值电阻，导体棒垂直于导轨放在导轨上，如图所示。当水平圆盘匀速转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动T形支架在水平方向往复运动，T形支架进而驱动导体棒在水平面内做简谐运动，以水平向右为正方向，其位移x与运动时间t的关系为x＝﹣0.5cos（2t）（x和t的单位分别是米和秒）。已知导体棒质量为m＝0.2kg，总是保持与导轨接触良好，除定值电阻外其余电阻均忽略不计，空气阻力忽略不计，不考虑电路中感应电流的磁场，求： （1）在时间内，通过导体棒的电荷量； （2）在时间内，T形支架对导体棒做的功； （3）当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度。 【答案】（1）在时间内，通过导体棒的电荷量为0.25C； （2）在时间内，T形支架对导体棒做的功为； （3）当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度为m/s或m/s。 【解答】解：（1）设简谐运动周期为T，根据：x＝﹣0.5cos（2t）m 所以s＝πs 在0～内，导体棒运动的位移大小：|xm|＝0.5m 感应电动势的平均值： 感应电流的平均值： 通过导体棒的电荷量：qΔt 联立解得：q＝0.25C （2）根据x﹣t关系式，可得t时刻导体棒的速度：v＝sin（2t）m/s　　　① 通过导体棒的感应电流： 联立解得：i＝0.5sin（2t）A　　② 根据①②可知：vm＝1m/s，im＝0.5A 在0～内，设T形支架对导体棒做功为WT，电阻R上产生的热量为Q。根据功能关系，有： 根据焦耳定律有：QR• 联立解得： （3）根据①式，可得t时刻导体棒的加速度：a＝2cos（2t）m/s2 导体棒受到的安培力：F安＝BiL＝0.25sin（2t）N 分析可知，导体棒在平衡位置的右侧向右运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力可以为0，此时，根据牛顿第二定律，有F安＝ma 联立解得：vm/s 根据简谐运动的对称性可知，导体棒在平衡位置的左侧向左运动的某一时刻，T形支架对导体棒的作用力也可以为0，此时：vm/s 答：（1）在时间内，通过导体棒的电荷量为0.25C； （2）在时间内，T形支架对导体棒做的功为； （3）当T形支架对导体棒的作用力为0时，导体棒的速度为m/s或m/s。 57．如图所示，足够长的光滑导轨OM、ON固定在竖直平面内，电阻不计，两导轨与竖直方向夹角均为30°。空间存在垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L的导体棒在竖直向上的拉力F作用下，从O点开始沿y轴向下以大小为v的速度做匀速直线运动，且棒始终与y轴垂直对称，与导轨接触良好。导体棒单位长度电阻值为r，重力加速度为g。则在导体棒从开始运动到离开导轨的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导体棒中的感应电流逐渐增大 B．导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能等于导体棒产生的焦耳热 C．通过回路中某横截面上的电荷量为 D．导体棒在导轨上运动时拉力F与y的关系为 【答案】C 【解答】解：A、设导体棒在两导轨间的长度为l，则导体棒切割磁感线在电路中产生电流的感应电动势：E＝Blv 根据闭合电路欧姆定律可知：，因为v、r、B恒定，则I恒定，导体棒中的感应电流大小保持恒定不变，故A错误； C、由于电流恒定：，所以电荷量：q＝It，故C正确； B、导体棒运动过程重力做正功WG，克服拉力F做功WF，安培力做负功，克服安培力做功转化为焦耳热Q，由动能定理得：WG﹣WF﹣Q＝0。则机械能的减少量：ΔE＝WG＝Q+WF＞Q，即导体棒沿导轨下落过程中减小的机械能大于金属棒产生的焦耳热，故B错误； D、导体棒受到重力、拉力F和安培力作用，根据共点力平衡知识可知：F+BIl＝mg 解得拉力：F＝mg﹣BIl　（其中：l＝2ytan30°） 解得：，故D错误。 故选：C。 58．如下图所示，有一边长为L的正方形导线框，质量为m，由高H处自由落下，其下边ab进入匀强磁场区后，线圈开始做减速运动，直到其上边cd刚刚穿出磁场时，速度减为ab边刚进入磁场时速度的一半，此匀强磁场的宽度也是L，则线框在穿越匀强磁场过程中产生的焦耳热为（　　） A．2mgL B．2mgL+mgH C．2mgLmgH D．2mgLmgH 【答案】D 【解答】解：设线框ab边刚进入磁场时速度大小为v。根据机械能守恒定律得： mgHmv2 解得：v 从线框下落到cd刚穿出匀强磁场的过程，根据能量守恒定律，焦耳热为： Q＝2mgL+mgHm（v）2＝2mgLmgH，故D正确，ABC错误； 故选：D。 ▉题型12 电磁感应过程中的电路类问题 【知识点的认识】1.模型概述：该模型考查的是电磁感应中的电路类问题，主要涉及到求取电学中的物理量，如电流、电压、电量、功率等。 2.电磁感应与电路结合的相关问题的解决方法 （1）明确产生感应电动势的导体或部分电路，该导体或部分电路就相当于电源。 （2）画等效电路图，分清内、外电路。 （3）用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向. （4）运用闭合电路欧姆定律，串、并联电路特点，电功率，电热等公式联立求解。 （5）电磁感应中的电荷量问题：闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动面形成感应电流，在Δt内迁移的电荷量（感应电荷量） q＝I•Δt•Δt＝n•n 59．如图所示，金属轮A1和绝缘轮A2可绕各自中心金属轴O1和O2转动，O1和O2平行且水平放置，A1金属轮由三根金属辐条和金属环组成，A1轮的辐条长均为4r、电阻均为R，金属环的电阻可以忽略，三根辐条互成120°角，在图中120°的扇形区域内存在平行于轴向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，绝缘轮A2的半径为2r，另一半径为r的绝缘圆盘A3与A2同轴且固连在一起。一轻细绳的一端固定在A3边缘上的某点，在A3上绕足够匝数后，悬挂一质量为m的重物P。当P下落时，通过细绳带动A3和A2绕O2轴转动。转动过程中，A1、A2保持接触，无相对滑动。A1轮的轴O1金属环边缘电刷D引出导线、与两平行的足够长的光滑水平金属导轨连接，上导轨E、F处断开，金属导轨的间距为L。两导轨之间E的左侧串联了开关S1与阻值为R的电阻；两导轨之间虚线右侧存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小也为B，磁场中放置一质量为M，长度也为L、电阻为R的金属棒GH，电容器的电容C与单刀双掷开关S2串联，可以掷向E或F，不计导线电阻。 （1）当S1、S2都断开，重物下落速度为v0时，求D与O1两点之间电势差U的大小； （2）S1闭合、S2断开，重物下落4r过程中，通过电阻R的电量； （3）S1断开、S2先打向E，充电稳定后再打向F，此时电容器所带电量为Q，待金属棒GH运动稳定时，求金属棒GH的速度v1。 【答案】（1）D与O1两点之间电势差U的大小为4Brv0。 （2）通过电阻R的电量为。 （3）金属棒GH的速度v1为。 【解答】解：（1）依据传动关系，轮A2的角速度满足。由于轮A1与A2边缘无相对滑动，有ω1•4r＝ω2•2r，解得轮A1的角速度。 金属辐条切割磁感线产生的感应电动势为，代入ω1得E＝4Brv0。当开关S1与S2均断开时，回路电流为零，故D与O1两点间的电势差U＝E＝4Brv0。 （2）当重物下落距离为4r时，轮A3转过的角度为。根据传动比关系，轮A1转过的角度为。 在此过程中，单根辐条扫过的面积为，计算得ΔS＝16r2，故磁通量的变化量为ΔΦ＝BΔS＝16Br2。 由于三根辐条互成120°且磁场区域亦为120°，电路中的总电阻始终为R总＝R+R＝2R。根据通过电阻的电量公式，解得通过电阻R的电量为。 （3）将开关S2打向F后，电容器通过金属棒GH放电，金属棒在安培力作用下加速运动。 当金属棒运动达到稳定时，其产生的感应电动势E1＝BLv1与电容器两极板间的电压相等，此时电容器所带电量为Q1＝CBLv1。 对金属棒应用动量定理，有BLΔq＝Mv1，其中Δq为通过金属棒的电量变化，满足Δq＝Q﹣Q1。联立方程BL（Q﹣CBLv1）＝Mv1，解得金属棒GH的稳定速度为。 答：（1）D与O1两点之间电势差U的大小为4Brv0。 （2）通过电阻R的电量为。 （3）金属棒GH的速度v1为。 ▉题型13 感生电场和感生电动势 【知识点的认识】1.感生电场：磁场变化时会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，它不是由电荷产生的，我们把它叫作感生电场。 2.感生电动势：如果感应电动势是由感生电场产生的，它也叫作感生电动势。其非静电力是感生电场的电场力。 3.应用——电子感应加速器 工作原理：如图甲所示，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，如图乙，电子在真空室中沿逆时针方向做圆周运动。电磁铁线圈中电流的大小、方向可以变化，产生的感生电场使电子加速。根据楞次定律，为使电子加速，电磁铁线圈中的电流应该由小变大。 60．下列说法正确的是（　　） A．有感应电流就一定有感应电动势 B．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力作用 C．感应电流的磁场方向总是和引发感应电流的磁场方向相反 D．电场、电场线、磁场、磁感线都是客观存在的物质 【答案】A 【解答】解：A．导线在磁场中做切割磁感线运动，导体中一定有感应电动势，由于不知道是否有闭合回路，因此不一定有感应电流，但是有感应电流，电路一定闭合，就一定有感应电动势，故A正确； B．当运动电荷的速度方向与磁场平行时，根据洛伦兹力公式f＝qvBsinθ可知，此时θ＝0°，所以电荷在磁场中不受洛伦兹力作用，故B错误； C．当磁通量增大时，感应电流的磁场与引起感应电流的磁场方向相反，当磁通量减小时，感应电流的磁场与引起感应电流的磁场方向相同，即感应电流的磁场一定是阻碍引起感应电流的磁通量的变化，故C错误； D．电场、磁场是客观存在的物质，电场线和磁感线是为了形象描绘场而假想的曲线，在场中是不存在的，故D错误。 故选：A。 学科网（北京）股份有限公司 $