第六章平面向量及其应用章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用章末综合检测试卷 一、单选题 1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 2．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则 （    ）．    A． B． C． D． 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 7．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 10．已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11.在中，三个内角对边分别为,，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 三、填空题 12．已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 13.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量 为，则的值为 . 14．在中，内角所对的边分别为，若，则    （1） ； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为 ． 四、解答题 15．已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 16．在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 17．已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 18．在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)设是的重心，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章平面向量及其应用章末综合检测试卷 一、单选题 1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以，则． 故选：A 2．设是非零向量，则是成立的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分、必要条件，以及向量共线等知识确定正确答案. 【详解】对于非零向量，若，则同向，不一定有； 若，则同向，此时. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：C 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，则 （    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算即可求出答案. 【详解】如图，与交于点，由题意得为的中点，   则：. 故选：C. 4．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据平面向量数量积和模的坐标表示，结合投影向量的概念求解即可. 【详解】由，，得，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D 5．一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】在中，由及正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出a的值. 【详解】在中，因为，由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 7．在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得，则， 又，，则， 又共线，因此，即. 故选：C 8. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，， 则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 二、多选题 9．已知向量，，与不共线，向量，OC平分，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．向量，在上的投影向量相等 D． 【答案】BC 【分析】利用向量的加法、减法法则作出图象，利用OC平分，得到四边形为菱形，对每一个选项进行判断，即可得到答案. 【详解】因为，即,且平分，所以四边形为菱形. 对于A，因为四边形是菱形，不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为四边形为菱形，所以，又因为，， 所以，所以B正确； 对于C，设与的交点为，如图，向量在上的投影向量为， 向量在上的投影向量也为，所以C正确； 对于D，，，与不一定相等，所以D错误. 故选：BC. 10．已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误；对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题意有在方向的投影向量为，因为，所以， 因为，，所以，得，故C正确； 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BCD 11.在中，三个内角对边分别为,，，则（ ） A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【分析】A：利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简可得结果；B：假设成立后推出矛盾；C：根据向量的线性运算求出结果；D：将C的结果平方结合余弦定理可求解出关于的表示，根据的取值范围可求解出结果. 【详解】和正弦定理，可得， 即， 则， 所以， 则，即， 所以，由正弦定理，得，故A正确； 假设成立，因为，所以， 所以，且，所以， 所以，且，此时无解，假设错误，故B错误； 因为，故C正确； 因为， 所以，由余弦定理，， 所以， 又因为，所以， 由三角形性质可知，即，解得， 所以，即的范围为，故的范围为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．已知向量、满足，，且，则与的夹角 . 【答案】 【分析】由已知得出，利用平面向量数量积的运算性质和定义求出，结合向量夹角的取值范围可得出角的值. 【详解】因为，则， 所以，又因为，故. 故答案为：. 13.已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量 为，则的值为 . 【答案】 【分析】由题可得，得到为直角三角形，由投影向量的概念求解. 【详解】因为， , , 所以点在边上， 又因为点为的外心，所以的外接圆以为圆心，为直径， 所以为直角三角形，且，为中点，    因为向量在向量上的投影向量为，所以，即 ， 又，所以， 由于B为锐角，所以 故答案为： . 14．在中，内角所对的边分别为，若，则    （1） ； （2）若，在所在平面内取一点（与在两侧），使得线段，，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】（1）由两角和差的余弦公式及正弦定理化简即可； （2）令，利用正弦定理与余弦定理可得，，再根据三角形面积公式得到，由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由得 即，所以. 又，所以， 由正弦定理得. 又，所以. 因为，所以. （2）令， 则由正弦定理可得，即， 又由余弦定理得， ， 线段，不可能为钝角，所以， 所以 （时取等号）， 所以面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题 15．已知平面向量，且.求： (1)的值； (2)向量与夹角的余弦值. 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因，又, ,即, , 解得： . （2）因， ， 设向量与的夹角为，则. 16．在平行四边形中，. (1)求点的坐标； (2)若为的中点，向量，且，求的值. 【分析】（1）根据题意设点，然后写出的坐标，根据求出即可； （2）根据题意分别写出的坐标，再利用向量共线建立方程求出即可. 【详解】（1）如图所示：    因为，所以，设，则， 因为四边形是平行四边形，所以， 所以，所以点D的坐标为. （2）因为为的中点，所以， 由， 且，所以， 所以， 因为，所以， 解得. 17．已知向量，，且． (1)求及； (2)记，求函数的最小值． 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【详解】（1）由题意得， 由于， 则， 因为，所以． （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 18．在锐角中，内角的对边分别为且. (1)求角； (2)求的面积的取值范围. 【分析】（1）利用余弦定理化简得，再由正弦定理即可求解； （2）由正弦定理得，又由三角形的面积公式和三角恒等变换得，最后由是锐角三角形得的范围，进而得解. 【详解】（1）因为，所以， 又为锐角三角形，即，所以， 由正弦定理，所以，因为，所以， 又因为为锐角，所以； （2）由正弦定理有，所以， 所以的面积: ， 因为是锐角，所以，即解得， 所以，所以，所以， 则的面积的取值范围为. 19．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且，． (1)求角的大小； (2)求的取值范围； (3)设是的重心，求的最小值． 【分析】（1）利用正弦定理化角为边，再由余弦定理即可求得角； （2）利用正弦定理与和角公式求得，结合锐角三角形求得，利用正切函数的性质即可求得边的取值范围； （3）利用三角形的重心性质和余弦定理，借助于二次函数的性质即可求得答案. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 去分母得，即， 由余弦定理，可得．又，所以． （2）由正弦定理，可得． 因为三角形为锐角三角形，所以，解得．则， 则，故． （3）设的中点为，因是的重心，则， 由余弦定理，， 故当时，取得最小值，此时的最小值为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $