阶段质量评价 第6章 空间向量与立体几何-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（苏教版）

阶段质量评价 第6章　空间向量与立体几何 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a=(2，-1，3)，b=(4，x，y)，且a∥b，则x+y=(　　) A.-4 B.-2 C.4 D.2 √ 解析：因为向量a=(2，-1，3)，b=(4，x，y)，且a∥b，所以b=λa，即(4，x，y)=λ(2，-1，3)，可得解得所以x+y=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，=3，设=a，=b，=c，则=(　　) A.a-b+c B.a-b+c C.a+b+c D.a-b+c √ 解析：=-=(+)-=a-b+c，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 3.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是 (　　) A.(-1，1，1) B.(1，1，1) C. D. √ 解析：由题意，得=(-1，1，0)，=(-1，0，1)，设n=(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得∴x=y=z.令x=1，有n=(1，1，1)，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.在四面体OABC中，空间的一个点M满足=++λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于(　　) A. B. C. D. √ 解析：因为M，A，B，C四点共面，=++λ，所以+ +λ=1，解得λ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 5.已知两条异面直线的方向向量分别是m=(1，-2，3)，n=(2，1，0)，这两条异面直线所成的角为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：设两条异面直线所成的角为θ，且这两条异面直线的方向向量分别是m=(1，-2，3)，n=(2，1，0)，则cos θ== =0，且0<θ≤，所以两条异面直线所成的角θ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.已知O是坐标原点，空间向量=(1，1，2)，=(-1，3，4)，=(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||=(　　) A.9 B.8 C.3 D.2 √ 解析：由题意得D(0，2，3)，所以=(-2，-2，-1)，所以||= =3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.若A(2，2，1)，B(0，0，1)，C(2，0，0)，则点A到直线BC的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：=(2，2，0)，=(2，0，-1)，则在上的投影向量的模为=，则点A到直线BC的距离为= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，AE⊥平面ABCD，若AE=1，则平面ADE与平面BCE所成的角为 (　　) A.45° B.60° C.120° D.150° √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为AE⊥平面ABCD，且四边形ABCD为 正方形，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0， 0)，C(1，1，0)，E(0，0，1)，所以=(0，1， 0)，=(-1，0，1)，设平面BCE的法向量为n= (x，y，z)，则取n=(1，0，1).又平面ADE的法向量为m=(1，0，0)，设平面ADE与平面BCE所成的角为θ，则cos θ ==，又0°≤θ≤90°，所以θ=45°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图，正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a，对角线 B1D和BD1相交于点O，则下列结论正确的是(　　) A.·=a2 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x， y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则D(0，0，0)， A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)， B1(a，a，a)，C1(0，a，a)，O=(0， a，-a)，=(-a，0，-a)，·=a2，A正确；=(0，a，0)，=(-a，a，a)，·=a2，B错误；=(0，a，0)，=·=a2，C正确；=(-a，0，0)， =(a，0，a)，·=-a2，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是 (　　) A.(2a+b)∥a B.5|a|=|b| C.a⊥(5a+6b) D.a在b上的投影向量为 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：易知2a+b=(-1，2，7)，显然≠≠，故A错误；易知|a|==，|b|==5⇒5|a|=|b|，故B正确；易知5a+6b=(8，19，35)⇒a·(5a+6b)=-2×8+(-1)×19+1 ×35=0，故C正确；a在b上的投影向量为·b=×(3，4，5)= ，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.如图，在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点，则下列结论正确的是 (　　) A.BF⊥CE B.DF∥平面B1CE C.BF⊥平面B1CE D.直线DF与直线CE所成角的余弦值为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：以点D为原点，建立如图所示的空间直角 坐标系，设AB=2，则D(0，0，0)，E(2，1，0)， F(1，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2， 0).=(2，-1，0)，=(-1，-2，2)，=(1，0， 2)，=(-2，0，-2).因为·=-2+2=0，所以 BF⊥CE，A正确.设平面B1CE的法向量为m=(x，y，z)，则令x=1得，y=2，z=-1，故m=(1，2，-1)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 因为·m=(1，0，2)·(1，2，-1)=1-2=-1≠0，所以与m不垂直，则直线DF与平面B1CE不平行，B错误. 若BF⊥平面B1CE，则BF⊥B1C.因为·=2+0-4≠0，所以直线BF与直线B1C不垂直，矛盾，C错误. cos<>===，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.(5分)已知a=(-2，1，3)，b=(-1，2，1)，若a⊥(a-λb)，则λ=______.  2 解析：a-λb=(-2，1，3)-λ(-1，2，1)=(λ-2，1-2λ，3-λ)，因为a⊥(a-λb)，所以a·(a-λb)=0，即(-2，1，3)·(λ-2，1-2λ，3-λ)=-2λ+4+1-2λ+9-3λ=-7λ+14=0，解得λ=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.(5分)已知向量n=(2，0，1)为平面α的一个法向量，点A(-1，1，2)在α内，则点P(1，2，3)到平面α的距离为_________.  解析：由题意可得=(-2，-1，-1)，所以·n=-4-1=-5， 设点P(1，2，3)到平面α的距离为d，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.(5分)为了测量一斜坡的坡度，小明设计如下的方案：如图，设斜坡面β与水平面α的交线为l，小明分别在水平面α和斜坡面β选取A，B两点，且AB=7，A到直线l的距离AA1=3，B到直线l的距离B1B=4， A1B1=2，则斜坡面β与水平面α夹角的大小为________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：设与的夹角为θ，因为=++，所以=(++)2=+++2·+2·+2·，又·=·=0，即49=9+12+16+2×3×4cos θ，所以cos θ=，又θ∈[0，π]，所以θ=，所以斜坡面β与水平面α夹角的大小为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)如图，在三棱柱ABC⁃A1B1C1中，M，N分 别是A1B，A1C1上的点，且2BM=A1M，C1N=2A1N， 设=a，=b，=c. (1)试用a，b，c 表示向量；(5分) 解：因为2BM=A1M，C1N=2A1N，根据空间向量的运算法则，可得=-=-(-)=-++=-a+b+c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=2，求线段MN的长.(8分) 解：因为∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=2，可得a·b=0且b·c=a·c=2， 则||2==(4a2+b2+4c2-4a·b+4b·c-8a·c) =(16+4+16-0+8-16)=，所以||=，即线段MN的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.(15分)如图，在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，AD=2， CD=DD1=1，M，N分别为AD1，BC的中点. (1)求证：MN∥平面C1D1DC；(8分) 解：证明：在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中，建立如图所示 的空间直角坐标系，由AD=2，CD=DD1=1，M，N分别 为AD1，BC的中点，得M，N(1，1，0)， A(0，2，0)，=，显然平面C1D1DC的 一个法向量n==(0，2，0)，则·n=0，于是⊥n，有∥平面C1D1DC，而MN⊄平面C1D1DC，所以MN∥平面C1D1DC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)判断MN与平面B1C1M是否垂直，并说明理由.(7分) 解：由(1)知，C1(1，0，1)，则有=， 而·=1×1-×=≠0， 于是向量与向量不垂直，即直线MN与MC1不垂直， 而MC1⊂平面B1C1M， 所以MN与平面B1C1M不垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.(15分)(2025·全国Ⅰ卷)如图所示的四棱锥P⁃ ABCD中，PA⊥平面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD. (1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(5分) 解：证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴AB⊥PA，又∵AB⊥AD且PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD， 又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若PA=AB=，AD=+1，BC=2，P，B，C， D在同一个球面上，设该球面的球心为O. ①证明：O在平面ABCD上；(5分) ②求直线AC与直线PO所成角的余弦值.(5分) 解：①证明：法一　取PB中点M，PC中点N， 连接AM，MN，在AD上取AH=1，连接NH. ∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥PA. 又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，BC⊥PB. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 ∴△PBC截面圆的圆心为PC中点N， 又∵AM⊥PB，AM⊥BC，PB∩BC=B， ∴AM⊥平面PBC， ∵MN∥BC∥AH，且MN=BC=1，AH=1， ∴四边形AHNM为平行四边形，即HN∥AM， ∴HN⊥平面PBC，球心在直线NH上， 又∵HB=HC=HD=.∴H即为球心O，∴O在平面ABCD上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 法二　以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设△BCD外接圆圆心为O1，易知BC中垂线为y=1；BD中垂线为y=x+1，联立解得O1(0，1，0)， 由于PO1=，BO1=，∴PO1=BO1，此时O与O1重合， 故O在平面ABCD上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 ②由(1)(2)知，建立如图所示坐标系Axyz， A(0，0，0)，C(，2，0)，P(0，0，)，O(0，1，0)， =(，2，0)，=(0，1，-)， ∵cos<>====. ∴AC与PO所成角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.(17分)如图，在△AOP中，OA⊥OP，OA=2，OP= .将△AOP绕OP旋转60°得到△BOP，D，E分别为 线段OP，AP的中点. (1)求点D到平面ABP的距离；(7分) 解：因为OA⊥OP，将△AOP绕OP旋转60°得到△BOP，所以OB⊥OP.又OA∩OB=O，OA，OB⊂平面AOB，所以PO⊥平面AOB.取AB中点C，连接PC，OC，作DF⊥PC，垂足为F. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 因为PA=PB，OA=OB，点C为AB中点，所以AB⊥PC，AB⊥OC. 又PC∩OC=C，PC，OC⊂平面POC，所以AB⊥平面POC. 因为DF⊂平面POC，所以AB⊥DF. 又因为DF⊥PC，PC∩AB=C，AB，PC⊂平面PAB，所以DF⊥平面PAB，即点D到平面PAB的距离为DF的长度.因为PO⊥平面AOB，OC⊂平面AOB， 所以PO⊥OC.因为△AOB是边长为2的等边三角形，所以OC=.又OP=，所以∠OPC=45°，所以DF=DP·sin 45°=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)求平面OBE与平面ABP所成锐角的余弦值.(10分) 解：以点C为坐标原点，CB，CO所在直线为x， y轴，以过点C，垂直于平面BOC的直线为z轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则C(0，0，0)， P(0，)，A(-1，0，0)，B(1，0，0)，O(0， ，0)，E，所以= =(1，-，0).设平面OBE的法向量为n=(x，y，z)，可得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 即取y=1，则n=(，1，2).取PC中点G，连接OG，由等腰△COP，得OG⊥PC，则G，由(1)知OG⊥平面PAB，所以=为平面ABP的一个法向量.设平面OBE与平面ABP所成锐角为θ，则cos θ===， 所以平面OBE与平面ABP所成锐角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.(17分)如图，在空间直角坐标系中，四棱锥 P⁃OABC的底面是边长为的正方形，底面 OABC在xOy平面内，且抛物线Q：y=mx2经过 O，A，C三点，点B在y轴正半轴上，PB⊥平面 OABC，侧棱OP与底面OABC所成的角为45°. (1)求m的值；(3分) 解：由四棱锥P⁃OABC是底面边长为的正方形，得A(1，1，0)， 所以m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若N(x，y，0)是抛物线Q上的动点，M是棱OP 上的一个定点，它到平面OABC的距离为a(0<a<2)， 写出M，N两点之间的距离d(x)，并求d(x)的最小 值；(8分) 解：因为PB⊥平面OABC，所以∠POB即为直线PO与平面OABC所成的角，即∠POB=45°.因为点M到平面OABC的距离为a(0<a<2)， 所以点M(0，a，a)， 由N(x，y，0)是抛物线Q上的动点，得y=x2，即N(x，x2，0)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 则d(x)=|MN|==. 令t=x2≥0，设f(t)=t2+(1-2a)t+2a2，对称轴为直线t=， 当即0<a≤时， 函数f(t)=t2+(1-2a)t+2a2在[0，+∞)上单调递增， 则f(t)min=f(0)=2a2，此时d(x)min=a； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 当即<a<2时，函数f(t)=t2+(1-2a)t+2a2在t=处取得最小值，即f(t)min=-+2a2=，此时d(x)min=. 综上d(x)min= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (3)是否存在一个实数a(0<a<2)，使得当d(x)取得最小 值时，异面直线MN与OB互相垂直?请说明理由.(6分) 解：不存在.理由如下： 当a∈时，点N与原点重合， 则直线MN与OB为相交直线，不符合题意； 当a∈时，若d(x)取最小值，则x2=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 不妨设x>0，则N，B(0，2，0)， 则=(0，2，0)，=. 当异面直线MN与OB垂直时，·=0， 即2=0，无解. 综上所述，不存在一个实数a(0<a<2)，使得异面直线MN与OB垂直. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $