阶段质量评价 第四章 概率与统计（考查范围：4.1～4.2）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了概率与统计的核心知识，涵盖随机变量分布列、期望方差、正态分布、条件概率等内容，通过不同题型串联知识点，构建从基础计算到综合应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用分层练习设计，基础题如分布列求参数，综合题如商场促销预算分析，培养学生数据观念与模型意识。这种设计让学生巩固知识，教师能精准把握学情，提升复习效率。

阶段质量评价 第四章　概率与统计(考查范围：4.1~4.2) (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知随机变量ξ~B(4，p)，若E(ξ)=2，则P(ξ=3)=(　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. √ 解析：因为随机变量ξ~B(4，p)，由E(ξ)=2，得4p=2，解得p=，所以P(ξ=3)=××=. 2.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数a的值是 (　　) A.　　 B.　　　 C.　　　 D. √ X 3 4 5 9 P +a 解析：由题意可得++a++=1，解得a=. 3.已知甲同学从学校的4个科技类社团、3个艺术类社团、2个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在仅有一个是科技类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率 (　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析：设事件A为“所报的两个社团中仅有一个是科技类”，事件B为“所报两个社团中有一个是体育类”，则P(A)==，P(AB)==，所以P(B|A)==. 4.现有10名学生参加某项测试，可能有学生不合格，从中抽取3名学生成绩查看，记这3名学生中不合格人数为ξ，已知P(ξ=1)=，则本次测试的不合格率为(　　) A.10%　　　B.20%　　　C.30%　　　D.40% √ 解析：设10名学生中有n名不合格，从中抽取3人，其中不合格人数为ξ，由P(ξ=1)=，得=，化简得n(10-n)(9-n)=6×3×7，解得n=3，即本次测试的不合格率为×100%=30%. 5.某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X(单位：克)服从正态分布N(300，25)，则概率P(285<X≤305)为 (　　) 参考数据：①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.683；②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954； ③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997. A.0.818 6　　　B.0.84　　　C.0.878 5　　　D.0.975 9 解析：因为μ=300，σ=5，所以P(295<X≤305)=0.683，P(285<X≤315)=0.997， 所以P(285<X≤305)=P(295<X≤305)+P(285<X≤315)=0.84. √ 6.已知正态分布X~N(1，σ2)的正态曲线如图所示，则下列选项中，不能表示图中阴影部分面积的是 (　　) A.-P(X≤0) B.-P(X≥2) C.-P(1≤X≤2) D.P(X≤2)-P(X≤0) √ 解析：正态分布N(1，σ2)的正态曲线关于直线x=1对称，可得图中阴影部分可表示为P(0≤X≤1)=P(X≤1)-P(X≤0)=-P(X≤0)=-P(X≥2)，故A、B正确；由对称性可得-P(1≤X≤2)=P(X≥2)=P(X≤0)，故C错误；由对称性可得P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2)，所以图中阴影部分面积可表示为P(0≤X≤1)=[P(X≤2)-P(X≤0)]，故D正确. 7.已知随机变量X的分布列如下表所示，设Y=3X-2，则D(Y)= (　　) A.5　　　B.　　　C.-　　　D.-3 X -1 0 1 P n √ 解析：依题意，得++n=1，解得n=，E(X)=-1×+0×+1×=-，D(X)=×+×+×=.而Y=3X-2，所以D(Y)=9D(X)=5. 8.甲、乙、丙三位棋手按如下规则进行比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，由第一局的胜者与丙进行第二局比赛，败者轮空，使用这种方式一直进行到其中一人连胜两局为止，此人成为整场比赛的优胜者.甲、乙、丙胜各局的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛至多进行四局且甲获得优胜者的概率是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. √ 解析：甲获胜分为两种情况：①甲连胜两局，概率为P(A1A2)=×=，②第一局甲负乙胜，第二局甲轮空，乙不胜丙胜，第三、四局都是甲胜，概率为P(B1C2A3A4)==，所以若比赛至多进行四局，则甲获得优胜者的概率是+=. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知事件A，B，且P(A)=，P(B|A)=，P(|)=，则(　　) A.P( )= B.P(|A)= C.P(A+)= D.P(B)= √ √ √ 解析：因为P(A)=，则P()=，所以P()=P()P(|)=×=，故A正确；P(|A)=1-P(B|A)=1-=，故B正确； 因为P()=1-P(A)=，P(B|)=1-P(|)=，所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=，故D错误； 因为P()=1-P(B)=1-=，P(A)=P(A)P(|A)=×=，所以P(A+)=P(A)+P()-P(A)=+-=，故C正确. 10.已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=pi，P(ξi=0)=1-pi，i=1，2，若0<p1<p2<，则(　　) A.E(ξ1)>E(ξ2) B.E(ξ1)<E(ξ2) C.D(ξ1)>D(ξ2) D.D(ξ1)<D(ξ2) 解析：由题意可知ξi(i=1，2)服从两点分布，∴E(ξ1)=p1，E(ξ2)=p2，D(ξ1)=p1(1-p1)，D(ξ2)=p2(1-p2).又∵0<p1<p2<，∴E(ξ1)<E(ξ2)，函数y=x(1-x)在上是增函数，根据0<p1<p2<知，D(ξ1)<D(ξ2). √ √ 11.已知某校学生的数学测试成绩X服从正态分布N(102，σ2)，则下列说法正确的是 (　　) A.σ越大，测试成绩在(99，105)的概率越大 B.无论σ取何值，测试成绩落在(97，104)与落在(100，107)的概率相等 C.若随机变量Y满足2Y-X=40，则E(Y)=71 D.若随机变量Y满足2Y-X=40，且D(Y)=5，则σ=20 √ √ 解析：因为X~N(102，σ2)，则E(X)=102，σ越大，则数据越分散，所以测试成绩在(99，105)的概率越小，故A错误；因为=102，=102，所以根据正态曲线的对称性可知，无论σ取何值，测试成绩落在(97，104)与落在(100，107)的概率相等，故B正确；因为X~N(102，σ2)，2Y-X=40，则Y=X+20，所以E(Y)=E=E(X)+20=71，故C正确；因为X~N(102，σ2)，2Y-X=40，所以Y=X+20.又D(Y)=5，即D(Y)= D(X)=D(X)=5，所以D(X)=20，即σ2=20.所以σ=2，故D错误. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，…，则P(2<X≤4)=____.  解析：由题意得P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=. 13.(5分)现有甲、乙两个盒子，甲盒有2个红球和1个白球，乙盒有1个红球和1个白球.先从甲盒中取出2个球放入乙盒，再从乙盒中取出2个球放入甲盒.记事件A为“从甲盒中取出2个红球”，事件B为“乙盒还剩1个红球和1个白球”，则P(B|A)=____，P()=_____.  　 解析：第一空：P(A)==，P(B|A)===，第二空：：从甲盒中取出1个红球和1个白球，：乙盒中还剩下2个红球或者2个白球，所以P()=·=. 14.(5分)为了庆祝某中学建校120周年，该校举办校史知识竞答活动，每班各选派两名同学代表共回答4道题，每道题随机分配给其中一个同学回答.甲、乙两位同学代表高二(1)班答题，假设每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且每道题是否答对相互独立.记高二(1)班答对题目的数量为随机变量X，则X的数学期望为_____. 解析：高二(1)班答对某道题的概率P1=×+×=，由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，则X~B，所以E(X)=4×=. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)近期九江市各部门掀起创建文明城市高潮，为增强师生创建全国文明城市意识，某校组织了一次教师创建全国文明城市的知识考核，每位教师必须参加且最多参加2次考核，一旦第一次考核通过则不再参加第二次考核，2次考核未通过的教师将被扣除文明积分.已知教师甲每次考核通过的概率为，教师乙每次考核通过的概率为，且甲、乙每次是否通过相互独立. (1)求乙通过考核的概率；(6分) 解：∵乙第一次考核通过的概率P1=，乙第二次考核通过的概率P2=×=， ∴乙通过考核的概率P=P1+P2=+=. (2)求甲、乙两人考核的次数和为3的概率.(7分) 解：∵甲考核1次，乙考核2次的概率P3=×=；甲考核2次，乙考核1次的概率P4=×=， ∴甲、乙两人的考核次数和为3的概率P'=P3+P4=+=. 16.(15分)某商场在开业当天进行有奖促销活动，规定该商场购物金额前100名的顾客，均可获得3次抽奖机会，每次中奖的概率为p，每次中奖与否相互不影响.中奖1次可获得100元奖金，中奖2次可获得300元奖金，中奖3次可获得500元奖金.已知p=， (1)求顾客甲获得了300元奖金的条件下，甲第一次抽奖就中奖的概率；(5分) 解：设甲获得了300元奖金的事件为A，甲第一次抽奖就中奖的事件为B， 则P(AB)=×××=，P(A)=××=， 故P(B|A)===. (2)若该商场开业促销活动的经费为2万元，问该活动是否会超过预算?请说明理由.(10分) 解：设一名顾客获得的奖金为X元，则X的可能取值为0，100，300，500， 则P(X=0)==，P(X=100)=××=， P(X=300)=××=，P(X=500)=×=， E(X)=0×+100×+300×+500×=(元)，于是100E(X)=100×=<20 000，故该活动不会超过预算. 17.(15分)某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度(单位：分米)，按数据分成[1.2，1.3)，[1.3，1.4)，[1.4，1.5)，[1.5，1.6)，[1.6，1.7)，[1.7，1.8]这6组，得到如下的频数分布表： 以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率. 分组 [1.2， 1.3) [1.3，1.4) [1.4，1.5) [1.5，1.6) [1.6，1.7) [1.7，1.8] 频数 5 15 40 40 15 5 (1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在[1.4，1.6)中的个数，求X的分布列和数学期望；(7分) 解：从这批零件中随机选取1件，长度在[1.4，1.6)的概率P==’ 随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则P(X=0)=×=， P(X=1)=××=，P(X=2)=××=， P(X=3)=×=， 所以随机变量X的分布列为 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=2. X 0 1 2 3 P (2)若变量S满足|P(μ-σ<S≤μ+σ)-0.682 7|≤0.05，且|P(μ-2σ<S≤μ+2σ)-0.954 5|≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布N(μ，σ2)的概率分布.如果这批零件的长度Y(单位：分米)满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利被签收，否则，公司将拒绝签收，试问该批零件能否被签收?(8分) 解：由题意知μ=1.5，σ=0.1， P(1.3<Y≤1.4)=P(1.6<Y≤1.7)==0.125，P(μ-σ<Y≤μ+σ)=P(1.4<Y≤1.6)=≈0.67， P(μ-2σ<Y≤μ+2σ)=P(1.3<Y≤1.7)≈0.125+0.67+0.125=0.92. 因为|0.67-0.682 7|=0.012 7≤0.05，|0.92-0.954 5|=0.034 5≤0.05，所以这批零件的长度满足近似于正态分布N(1.5，0.01)的概率分布， 所以这批零件是合格的，将顺利被该公司签收. 18.(17分)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为92%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为97%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为96%. (1)混合零件中甲工厂零件和乙工厂零件的比例是多少?(7分) 解：设甲工厂试生产的这批零件有m个，乙工厂试生产的这批零件有n个， 事件M=“混合放在一起的零件来自甲工厂”，事件N=“混合放在一起的零件来自乙工厂”，事件C=“混合放在一起的某一零件是合格品”， 则P(M)=，P(N)=，P(C)=P(C|M)P(M)+P(C|N)P(N)=92%×+97%×=96%，解得n=4m， 即m∶n=1∶4. (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个，用频率估计概率，记这4个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望.(10分) 解：由(1)知P(M)==，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4，且X~B，则P(X=0)=××=，P(X=1)=××=，P(X=2)=××=，P(X=3)=××=，P(X=4)=××=，所以随机变量X的分布列为 所以期望为E(X)=4×=. X 0 1 2 3 4 P 19.(17分)某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题，参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率；(5分) 解：设事件Ai表示“甲第i次从B箱中抽到论述题”，i=1，2， 则P(A1)=，P()=，P(A2|A1)=，P(A2|)==. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P()P(A2|)=×+×=. (2)若同学乙从A箱中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答. ①求丙取出的第一道题是选择题的概率；(6分) 解：设事件A为“丙从B箱中取出的第一道题是选择题”， 事件B1为“乙从A箱中取出2道选择题”， 事件B2为“乙从A箱中取出1道选择题和1道论述题”， 事件B3为“乙从A箱中取出2道论述题”， 则B1，B2，B3两两互斥且B1∪B2∪B3=Ω， P(B1)==，P(B2)==，P(B3)==，P(A|B1)=，P(A|B2)=，P(A|B3)=.①丙取出的第一道题是选择题的概率为P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=×+×+×=. ②已知丙取出的第一道题是选择题，求乙从A箱中取出的是两道论述题的概率.(6分) 解：已知丙取出的第一道题是选择题，则乙从A箱中取出的是两道论述题的概率为P(B3|A)====. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $