专题12平均数.中位数.众数同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题12平均数.中位数.众数同步讲义 【题型01 计算一组数据的平均数】........................................2 【题型02 已知平均数求未知数据】........................................4 【题型03 利用平均数求相关数据的平均数】................................6 【题型04 利用平均数进行决策分析】......................................9 【题型05 计算加权平均数】.............................................11 【题型06 已知加权平均数求未知数据】...................................13 【题型07 运用加权平均数进行决策分析】.................................15 【题型08 计算一组数据的中位数】.......................................17 【题型09 已知中位数求未知数据】.......................................19 【题型10 运用中位数进行决策分析】.....................................21 【题型11 计算一组数据的众数】.........................................23 【题型12 已知众数求未知数据】.........................................25 【题型13 运用众数进行决策分析】.......................................26 【题型14 选择合适的统计量并做决策】...................................28 【解答题5题 】........................................................30 ★知识梳理 知识点01:平均数 1.算术平均数 一组数据 x1​,x2​,…,xn​的平均数： = 特点：利用了所有数据，易受极端值影响。 2.加权平均数 若数据 x1​,x2​,…,xk​ 对应的权为 f1​,f2​,…,fk​：==​ 权：表示数据的重要程度、次数、比重。 3.计算步骤 第一步：求出所有数据的总和； 第二步：数清楚数据的个数 n； 第三步：用总和除以个数 n，得到平均数。 知识点02:中位数 1.定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后： 数据个数 n 为奇数：中间那个数就是中位数。 数据个数 n 为偶数：中间两个数的平均数是中位数。 2.特点： 只与位置有关，不受极端值影响。 一组数据只有一个中位数。 知识点03:众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.特点： 一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。.. 不受极端值影响。 知识点04:三个统计量的对比（必考点） 统计量 优点 缺点 平均数 反映整体平均水平，用了所有数据 易受极端值影响 中位数 反映中间水平，不受极端值影响 没充分利用所有数据 众数 反映多数水平，不受极端值影响 可能不存在或不唯一 知识点05:常见考题一句话总结 1.求平均数：先求和，再除以个数；有次数 / 比重用加权平均。 2.求中位数：一定要先排序，再看个数奇偶。 3.求众数：看谁出现次数最多。 4.选用： 想表示整体水平 → 用平均数 数据有极大 / 极小值 → 用中位数 想表示最常见、最普遍 → 用众数 【题型1.计算一组数据的平均数】 【典例】从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 【答案】 【分析】本题考查了算术平均数，根据算术平均数的计算方法直接计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ 估计该地这一个月中午时的平均气温为， 故答案为：． 【跟踪专练1】样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】此题考查了求平均数， 根据平均数的计算公式，将所有数据之和除以数据个数即可． 【详解】解：样本数据2，8，14，16，20的平均数为：． 故选：C． 【跟踪专练2】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是______． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【分析】本题考查平均数，设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y，根据平均数列二元一次方程，根据，y是正数且，，求出x和y的值解答即可． 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 【跟踪专练3】某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 【答案】B 【分析】本题主要考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是熟练掌握平均数和中位的定义． 原44人的平均数为90，补测成绩为90，加入后总人数45，平均数不变；原中位数为86，补测成绩为90，可能影响中位数位置，需具体分析数据分布． 【详解】解：∵这一人的成绩和前44人的平均成绩相等， ∴全班45人成绩平均数不变； ∵原44人中位数为第22、23位数的平均，即86，加入90分后，总人数45，中位数为第23位数， ∴若原第22、23位均为86，加入90后第23位仍为86，中位数不变； 若原第22位为85，第23位为87（平均86），加入90后第23位为87，中位数变大； 因此，中位数可能不变或变大，无法确定； 综上，平均数不变，中位数无法确定， 故选：B． 【题型2.已知平均数求位置数据】 【典例】一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【答案】12 【分析】本题考查了算术平均数，解题的关键是掌握算术平均数得计算公式．根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数列式计算即可． 【详解】解：一组数据6，8，10，的平均数是9， ， 解得． 故答案为：12． 【跟踪专练1】某班40名学生一次体育测验成绩统计如下表．已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（    ） 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 7 x 12 y 3 A．14，4 B．13，5 C．12，.6 D．11，7 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的概念．利用建立方程组求解． 根据题意首先，根据平均数的定义可得，的关系式，然后解方程组可得，. 【详解】解：由题意知，，化简得：， 由平均数的概念得，，化简得：， 联立得方程组： 解得： 故选：B． 【跟踪专练2】体育课上，分组训练6名男生引体向上成绩（个）的中位数与平均数恰好相等．已知其中5人成绩为6，6，8， 10，11，则另一人成绩为_____________个． 【答案】1或13/13或1 【分析】本题主要考查了平均数以及中位数．设另一人成绩为x个，可求出平均数为，然后分三种情况结合中位数的定义解答，即可求解． 【详解】解：设另一人成绩为x个，则 平均数为， 若，此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：； 若， 此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：（舍去）， 若，此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：； 综上所述，另一人成绩为1或13个． 故答案为：1或13 【跟踪专练3】已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．6 B．2 C．8 D．7 【答案】A 【分析】首先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：∵数据，3，，，的平均数是， ∴， 解得：， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，6，，， 则中位数为6． 故选：A． 【点睛】本题考查中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．掌握中位数和平均数的定义是解题的关键． 【题型3.利用平均数求相关数据的平均数】 【典例】已知一组数据的平均数是15，方差是1，那么另一组数据，的平均数是____________． 【答案】26 【分析】根据平均数的变化规律可得：数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4，再进行计算即可． 【详解】解：∵数据x1，x2，x3的平均数是15， ∴数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数是2×15﹣4＝26； 故答案为：26． 【点睛】本题考查平均数的计算公式的运用：一般地设有n个数据，x1，x2，…xn，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化． 【跟踪专练1】已知一组数据的平均数是8，那么另一组数据的平均数为（    ） A．8 B．1 C．2 D．16 【答案】D 【分析】本题考查平均数的性质．熟练掌握平均数的性质和求法，是解题的关键． 已知原数据的平均数为8，每个数据乘以2后得新数据，新数据的平均数为原平均数的2倍． 【详解】解：∵原数据的平均数为8， ∴总和为． ∴新数据的总和为， ∴新数据的平均数为． 故选：D． 【跟踪专练2】已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了平均数．首先根据：、、、、的平均数是，可得，所以、、、、的平均数为，利用加法交换律和结合律进行计算即可． 【详解】解：、、、、的平均数是， ， 则、、、、的平均数为： ． 故答案为： ． 【跟踪专练3】已知数据，，…，的平均数是，则数据，，…，的平均数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数，首先根据数据，，…，的平均数是，可得，再根据平均数的计算公式可得数据，，…，的平均数是． 【详解】解：数据，，…，的平均数是， ， ， ． 故选：D ． 【题型4.利用平均数进行决策分析】 【典例】位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 【答案】 平均数 众数 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．根据平均数、中位数、众数的意义分析判断． 【详解】解：平均数体现平均水平；众数体现数据的最集中的一点，故鞋店老板最不喜欢的是平均数，最喜欢的是众数． 故填平均数；众数． 【跟踪专练1】小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米小明和小强相比（　　） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高 【答案】D 【分析】小明所在班级学生平均身高是1.41米，并不代表小明的身高就是1.41米，可能比1.41米高，也可能比1.41米矮；小强所在班级学生平均身高1.4米，并不代表小强的身高就是1.4米，可能比1.4米高，也可能比1.4米矮；进而得出结论． 【详解】解：因为平均数表示的是整班学生的平均身高，不能说明每个学生的身高，所以小明和小强的身高是无法比较的． 故选：D． 【点睛】本题考查平均数的意义，解决此题明确平均身高的含义：全部学生的身高总和÷学生人数＝平均身高． 【跟踪专练2】在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分．数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从1～9中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是______． 【答案】 【分析】根据小明选的数会使这5个数据平均数最小得到小明选的数据为1，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，得到选的数据为9，再根据最大的五位数，得到剩下的两个数字为7，8，即可得出结论． 【详解】解：∵平均数受极端值的影响较大，小明选的数会使这5个数据平均数最小， ∴小明选的数据为1， ∵中位数是5个数据排序后处于中间的数据，小亮选的数会使这5个数据中位数最大， ∴小亮选取的数据为9， ∵要使这个五位数最大， ∴剩余的两个数字是除已经选取的数据之外最大的两个数据，即为7和8， ∴最大数字为：，即产生的密码是； 故答案为：． 【点睛】本题考查平均数和中位数，熟练掌握平均数受极端值的影响大，中位数是将数据排序后，位于中间的一位或两位的平均数，是解题的关键． 【跟踪专练3】一鞋店试销一款女鞋，老板想了解哪些尺码的鞋最畅销，则下列关于尺码的统计量中最有参考意义的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差（最大值与最小值的差） 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数和极差的统计意义．解题的关键是理解各统计量的含义，根据实际问题的需求选择合适的统计量． 分析各统计量的意义：平均数反映数据的平均水平；中位数反映数据的中间位置水平；众数是一组数据中出现次数最多的数据，能反映最集中的情况；极差反映数据的波动范围．老板想了解最畅销的鞋码，即出现次数最多的尺码，故应选择众数． 【详解】解：平均数是所有数据的平均水平，不能直接反映最畅销的尺码，选项A错误； 中位数是数据按大小排序后中间的数值，也无法体现最受欢迎的尺码，选项B错误； 众数是一组数据中出现次数最多的数值，能准确反映哪种尺码的鞋最畅销，选项C正确； 极差是最大值与最小值的差，反映的是数据的波动范围，与畅销尺码无关，选项D错误． 故选：C． 【题型5.计算加权平均数】 【典例】近年来，体育学科越来越得到重视，实验中学规定学生本学期的体育成绩由健康知识、课外活动和体育技能这三部分组成，（每项满分100分），若将这三项得分依次按，，的比例计算最终成绩．八（1）班阳阳这三项的成绩如下表： 健康知识 课外活动 体育技能 95分 90分 96分 则阳阳的最终成绩为______分． 【答案】94 【分析】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数是解题的关键；根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的比例，再求和即可得到最终成绩． 【详解】解：由题意得： （分）； 故答案为94． 【跟踪专练1】为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量（单位：t），统计结果如下表： 月用水量/t 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，则平均用水量为（    ） A．4.1t B．4.2t C．4.3t D．4.4t 【答案】D 【分析】本题考查了加权平均数的计算，掌握加权平均数=总数量÷总份数，需结合各组数据的频数计算是解题的关键． 平均用水量是总用水量除以总户数，根据加权平均计算． 【详解】解：∵总户数， 总用水量， ∴平均用水量． 故选：D． 【跟踪专练2】某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，一元一次不等式的应用； 先根据四个维度所占比例求出两款软件的评分，再根据甲软件的评分更高列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得： 甲软件的评分为：， 乙软件的评分为：， 因为甲软件的评分更高， 所以， 解得：， 所以表中k（k为整数）的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元） 捐款 5 10 15 20 25 30 人数 11 9 6 2 1 1 则这所学校的同学捐款的平均数为（   ）元． A．10 B．11 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了加权平均数，用样本估计总体．先求出这30名同学的平均捐款数，利用样本估计总体的思想即可解答． 【详解】30位同学捐款的平均数为：（元）， 由此估计这所学校的同学捐款的平均数为11元， 故选：B． 【题型6.已知加权平均数求未知数据】 【典例】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 【跟踪专练1】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，设小安数学得分为分，根据加权平均数的计算公式可得，解之即可求解，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 【跟踪专练2】某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．设男、女生的人数分别为人，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男生人数为人，女生人数为人， 则有， 即， ． 男，女生人数之比为． 【跟踪专练3】学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 【答案】（1）89分；（2）86；（3）见解析 【分析】（1）根据平均数的计算公式直接进行计算即可； （2）根据丙的综合成绩为87.6分列出方程，然后求解即可； （3）根据加权平均数的计算公式分别求出其余三名候选人的综合成绩，比较即可． 【详解】解：（1）这四名候选人面试成绩的平均数是：（88+92+90+86）÷4=89（分）； （2）由题意得，x×60%+90×40%=87.6， 解得，x=86， 则表中x的值为86分； 故答案为：86分； （3）因为甲候选人的综合成绩为：90×60%+88×40%=89.2（分）， 乙候选人的综合成绩为：84×60%+92×40%=87.2（分）， 丁候选人的综合成绩为：88×60%+86×40%=87.2（分）， 所以以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙． 【点睛】本题考查的是中位数、加权平均数，掌握中位数的概念、加权平均数的计算公式是解题的关键． 【题型7.运用加权平均数进行决策分析】 【典例】一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是______． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 【答案】乙 【分析】本题考查加权平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数． 利用加权平均数的公式计算比较即可． 【详解】解：由已知可得， 甲的综合成绩：（分） 乙的综合成绩：（分） ∵， ∴乙选手的综合成绩高于甲选手的综合成绩， 故答案为：乙． 【跟踪专练1】实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展．近日，宝安区某初中学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 现场模拟 9 9 7 10 即兴演讲 9 7 9 8 若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按和的比例确定最终成绩，（    ）将以第一名的成绩胜出． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】按照模拟成绩与即兴演讲成绩依次按60%和40%的比例分别计算得到四位候选人的最终成绩，即可得到答案． 【详解】解：甲的最终成绩为：， 乙的最终成绩为：， 丙的最终成绩为：， 丁的最终成绩为：， 综上可知，丁将以第一名的成绩胜出． 故选：D 【点睛】此题考查了加权平均数，准确计算是解题的关键． 【跟踪专练2】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 【跟踪专练3】某学校考查各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面．其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低．根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考查比较合适的比例设计分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低，分配合理即可． 【详解】解：“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低，分配合理即可， 符合的是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了数据的整理，解题的关键是根据要求进行合理分配即可． 【题型8.计算一组数据的中位数】 【典例】科技创新社团开展小型无人机飞行时长测试，7架同款无人机首次满电飞行时长记录如下（单位：分钟）：23，25，18，20，22，24，22．这组数据的中位数是____． 【答案】22 【分析】本题考查中位数的定义，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．将数据按从小到大顺序排列后，找出位于中间位置的数即为中位数． 【详解】解：数据按从小到大排列为：18，20，22，22，23，24，25， 数据个数为7（奇数），中位数为第4个数，即22． 故答案为：22． 【跟踪专练1】数据1，5，3，6，3，8的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【分析】根据中位数的定义，将数据从小到大排序后，取中间两个数的平均数． 本题考查中位数的计算，先排序数据是解题关键． 【详解】将数据排序：1，3，3，5，6，8. ∵数据个数为6，是偶数， ∴中位数是第3和第4个数的平均值， 即． 故选：C． 【跟踪专练2】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【答案】9小时 【分析】本题考查了中位数的定义，根据中位数的定义可知将40位同学锻炼时间从小到大排序后，第20位同学和第21位同学的平均数即是中位数． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列后，第20位同学和第21位同学的平均数为（小时），即中位数为9小时， 故答案为：9小时． 【跟踪专练3】一次校园文化艺术节独唱比赛中，小丁对九位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟记中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得． 【详解】解：由中位数的定义可知，去掉一个最高分和一个最低分，中位数一定不会发生变化， 故选：A． 【题型9.已知中位数求未知数据】 【典例】若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，则这组数据的平均数为_____． 【答案】86.2 【分析】给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．首先根据众数和中位数确定x，y的值，再根据平均数的定义即可求解． 【详解】解：∵一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85， ∴这组数据未知的两个数是81，85， ∴这组数据的平均数为＝86.2． 故答案为：86.2． 【点睛】本题考查了算术平均数、中位数、众数的求法，熟练中位数、平均数的运算方法是解题的关键． 【跟踪专练1】甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的计算．先计算出甲的中位数，设乙第四次的成绩为x环，根据中位数的计算方法即可求出x的值．将一组数据按照从大到小（或从小到大）的顺序排列．若这一组数有奇数个数，则中位数就是最中间的这个数；若这一组数有偶数个数，则中位数为最中间两个数的平均数． 【详解】解：由表格知，甲的中位数为环， 因此乙的中位数也为8环． 设乙第四次的成绩为x环， 则乙的成绩由小到大排列为5，6，7，x，9，10，或5，6，7，9，x，10， ∴， 或， 解得，． 故选：D． 【跟踪专练2】数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 【答案】任何不小于16的数 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的计算方法是解题的关键． 根据数据可知，中位数是第三个数和第四个数的平均值，判断出第三个数和第四个数，判断出所处的位置，即可求解． 【详解】解：一共6个数，且中位数为， 按大小排列，第三个数字和第四个数字之和为， 当时，第四个数为，第三个数不大于，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为或，和等于，符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和等于，符合题目要求； 综上所述，可知． 故答案为：任何不小于的数． 【跟踪专练3】五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得最大的三个数的和是，再求出这五个数据另外2个数的和的取值范围，再写出五个学生投中的次数可能的一组数即可． 【详解】解：∵中位数是6，唯一众数是7， ∴最大的三个数的和是：， 则另外两个数中，最大也只能为5，最小也只能为0，且不重复 ∴另外2个数的和或另外2个数的和， ∴五个学生投中的次数的和或五个学生投中的次数的和， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率或， ∴他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是， 故选：B． 【点睛】此题考查了中位数和众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 【题型10.运用中位数进行决策分析】 【典例】12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛．如果小花知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这12位同学成绩的______． 【答案】中位数 【分析】本题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩与全部成绩的中位数的大小即可． 【详解】由于总共有12个人，且他们的分数互不相同，要判断是否进入前6名，只要把自己的成绩与中位数进行大小比较．故应知道中位数的多少． 故答案为：中位数． 【跟踪专练1】某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】B 【分析】要判断某同学能否进入前7名，需要知道他的分数在15个分数中的相对位置．由于分数互不相同，中位数是第8名的分数，若某同学分数高于中位数，则一定在前7名内；若低于中位数，则一定不在前7名.因此只需知道中位数． 本题考查了中位数，熟练掌握中位数相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵有15位同学，分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛， ∴将分数从高到低排列，中位数是第8名的分数. 若某同学分数高于中位数，则其分数必在前7名内； 若低于中位数，则其分数不在前7名内. ∴只需知道中位数即可判断． 故选：B． 【跟踪专练2】某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 _____ （填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】本题考查平均数，中位数的意义，根据平均数，中位数的意义，以及样本中成绩达到夺冠的成绩判断即可． 【详解】解：∵甲成绩由小到大排列为：585，596，597，598，600，601，604，610，612，613， ∴甲成绩的中位数为：， 甲成绩的平均数为：； ∵乙成绩由小到大排列为：574，580，585，590，593，598，613，618，618，624， ∴乙成绩的中位数为：， 乙成绩的平均数为：， ∵甲成绩的平均数高于乙平均数，甲成绩的中位数高于乙中位数，从折线统计图可以看出甲的成绩波动较小，且甲10次成绩中有9次达到夺冠的成绩，乙只有5次达到夺冠的成绩， ∴应选择参赛的运动员是：甲． 故答案为：甲． 【跟踪专练3】10位同学参加了朗诵比赛初赛，按成绩取前5名进入决赛．如果小华知道自己的成绩后，能判断自己是否进入决赛，那么小华需要了解这10位同学成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数的意义，针对不同要求要对统计量进行合理的选择和恰当的运用是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数的意义进行分析即可解答． 【详解】解：由于平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量，既然是10位同学中前5名能进入决赛，故最值得关注的是中位数， 故选：C． 【题型11.计算一组数据的众数】 【典例】一组数据：7，9，8，8，7，7，2，3，7，7的众数是______． 【答案】 7 【分析】本题考查了众数的概念，解决本题的关键是熟练掌握众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数值，通过统计每个数字出现的次数即可确定． 【详解】解：数据序列为：7，9，8，8，7，7，2，3，7，7， 其中数字2出现1次，数字3出现1次，数字7出现5次，数字8出现2次，数字9出现1次， ∵数字7出现次数最多， ∴众数为7． 故答案为：7． 【跟踪专练1】一组数据：3，3，2，5，5，3，4，若去掉其中一个数后，这组数据的众数保持不变，则去掉的数可能是_________________．（写出一个即可） 【答案】2（不唯一）． 【分析】本题主要考查了众数的定义，掌握中众数的定义成为解题的关键． 先根据众数的定义确定众数，然后去掉一个非众数的数即可． 【详解】解：3，3，2，5，5，3，4的众数为3， 所以去掉2、4、5后，众数为仍为3， 故答案为：2（不唯一）． 【跟踪专练2】在一次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是8和9 【答案】D 【分析】本题考查了平均数、中位数和众数的定义，熟练掌握平均数、中位数和众数的定义是解题的关键． 根据平均数、中位数、众数的定义判断各选项正误即可． 【详解】解：A、8，7，9，8，9，平均数是，故此选项说法错误，不符合题意； B、将这组数据从小到大排序为7，8，8，9，9，中位数是8，故此选项说法错误，不符合题意； C、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项说法错误，不符合题意； D、这组数据组中8出现了2次，9也出现了2次，出现的次数最多，所以众数是8和9，故此选项说法正确错误，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练3】一组数据4，5，6，4，，5，7，已知这组数据众数是4，则的值为______． 【答案】4 【分析】根据众数的定义求解即可．本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 【详解】解：一组数据4，5，6，4，，5，7，已知这组数据众数是4， ， 故答案为：4． 【题型12.已知众数求未知数据】 【典例】一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【详解】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】已知一组数据，，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为__________． 【答案】4 【分析】本题考查了众数和中位数. 先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数． 【详解】解：∵数据3，3，4，x，5，5，6的众数为3， ∴3出现的次数是3次， ∴， 数据重新排列是：，，，，，， ∴中位数是4． 故答案为：4． 【跟踪专练2】一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 本题考查了众数和中位数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数. 熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 【详解】解：数据2，，x，6，的众数为6， ， 则数据重新排列为、、2、6、6， 所以中位数为2， 故选：A ． 【跟踪专练3】某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________棵． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平均数、众数与中位数的意义，熟练掌握定义和计算公式是解题的关键； 先根据题意确定出这组数据的众数和平均数都相等，分类讨论，进而得出x的数值，再据判断． 【详解】当众数是10时， 众数与平均数相等， ， 解得：， 将这组数据按从小到大的顺序排列为8，10，10，10，12， 中位数为10， 当众数是12时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 当众数是8时， 众数与平均数相等， ， 解得：，不符合题意舍去 故这组数据的中位数为10． 故答案为：10． 【题型13.运用众数进行决策分析】 【典例】某班级准备参加学校举办的“唱红歌”合唱比赛，现有以下四首歌备选，班主任为确定选择哪一首歌作为参赛曲目，对全班学生想要选择的歌曲进行了统计，结果如表所示： 歌曲 《唱支山歌给党听》 《爱我中华》 《在希望的田野上》 《保卫黄河》 人数 11 30 10 8 最终应选择__________作为参赛曲目． 【答案】《爱我中华》 【分析】此题考查众数的意义，根据众数进行判断即可． 【详解】解：∵选择《爱我中华》曲目的人最多， ∴应选择《爱我中华》作为参赛曲目． 故答案为：《爱我中华》 【跟踪专练1】某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与中位数 【答案】C 【分析】本题考查众数的应用，掌握知识点是解题的关键． 经理多进红色运动服是因为红色销售数量最高，这对应众数的定义，即数据中出现次数最多的值． 【详解】解：∵ 红色运动服的销售数量为430件，远高于其他颜色， ∴ 众数为红色，因此经理的决定基于众数． 故选C． 【跟踪专练2】某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 【答案】③ 【分析】通过计算成绩为91、92的人数，进行判断，不影响成绩出现次数最多的结果，因此不影响众数，即可进行选择． 【详解】解：由表格数据可知，成绩为91、92的人数为50-（1+2+3+5+7+7+12+10）=3（人）， 成绩为100出现次数最多，因此成绩的众数是100， 所以众数与被遮盖的数据无关， 故答案为：③． 【点睛】本题考查众数、方差、平均数的意义和计算方法，理解各个统计量的实际意义，以及每个统计量所反应数据的特征，是正确判断的前提． 【跟踪专练3】一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表： 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（    ）． A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对这个鞋店的经理来说，他最关注的是数据的众数． 【详解】解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数． 故选：B． 【点睛】本题考查学生对统计量的意义的理解与运用，解题关键是对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【题型14.选择合适的统计量并做决策】 【典例】对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【答案】② 【分析】根据中位数的定义，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：先去掉一个最大值，去掉一个最小值，再进行统计，则上述四个统计量中，一定不会发生变化的是中位数； 故答案为：② 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数，中位数，众数，方差的意义，此题主要是了解中位数的定义． 【跟踪专练1】在一次数学测试中，王蕊的成绩是分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查统计量的选择； 根据中位数、众数、平均数及方差的定义进行判断即可． 【详解】解：班级数学成绩排列后，最中间的数或最中间两个分数的平均数是这组数的中位数，半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，王蕊的成绩是分，超过班级半数同学的成绩，故选用的统计量是中位数， 故选：B． 【跟踪专练2】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 【答案】部门5 【分析】本题考查统计与概率，解本题的关键首先考虑人数为正整数，还要掌握统计的基本知识． 分别求出得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数占完成人数的比例，可得完成人数的总和的个位数为0，再由 6个部门有153人，可得未参与部门人数个位一定为3，即可求解． 【详解】解：得分为100分的人数占完成人数的， 得分为90分的人数占完成人数的， 得分为80分的人数占完成人数的， 得分为70分的人数占完成人数的， 得分为60分的人数占完成人数的， ∵各分数人数为整数，即总参与人数整数， ∴总参与人数是10的倍数，即完成人数的总和的个位数为0， ∵ 6个部门有153人，即人， ∴未参与部门人数个位一定为3， ∴未参与答题的部门是部门5． 故答案为：部门5． 【跟踪专练3】为了迎接第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式的召开，某班11名学生参加了“我们参与冬奥会”知识竞赛，前5名获奖参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成绩的统计量中只需要知道一个量，它是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【答案】C 【分析】由于比赛设置了5个获奖名额，共有11名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：因为5位获奖者的分数肯定是11名参赛选手中最高的， 而且11个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有5个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 【解答题】 1．受疫情影响，重庆无法按原计划正常开学，在延迟开学期间各学校组织了在线教学活动．开学后，璧山中学针对八年级各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙两个班中推荐一个作为在线教学先进班级，下表是这两个班的五项指标的考评得分表（单位：分）： 班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度 甲班 10 10 6 10 7 乙班 10 8 8 9 8 根据统计表中的信息解答下列问题： (1)请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的a、b、c的值； 班级 平均分 众数 中位数 甲班 8.6 10 a 乙班 b c 8 (2)如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？ 【答案】(1) (2)乙班为网上教学先进班级 【分析】（1）根据中位数、平均数及众数的含义计算即可； （2）计算出甲乙两班五项指标得分的加权平均数，再比较即可． 【详解】（1）解：按照甲班的五项指标得分从小到大的顺序排列为6，7，10，10，10，中位数， 乙班的五项指标得分平均数； 乙班的五项指标得分中，8出现的次数最多，众数， （2）解：甲班：（分）； 乙班：（分）； 故推荐乙班为在线教学先进班级． 2．某科技公司招聘一名研发工程师，对甲、乙两名候选人进行了三项测试，测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 甲 乙 专业理论知识 技术实操水平 团队协作能力 (1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作能力同等重要，从甲、乙的平均成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为团队协作能力更重要，对专业理论知识、技术实操水平、团队协作能力分别赋权，，，计算甲、乙两人的平均成绩．从成绩看，谁将被录取？ 【答案】(1)甲将被录用 (2)乙将被录用 【分析】本题考查的知识点是运用平均数、加权平均数做决策，解题关键是掌握加权平均数的公式． （1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为：分， 乙的平均成绩为：分， ， 则甲的平均成绩好，甲将被录用； （2）解：甲的测试成绩为：（分）， 乙的测试成绩为：（分）， 则乙的综合成绩好，乙将被录用． 3．贵阳市和南宁市2025年7月抽样数据（每隔10天记录1次当天最高气温（单位：）如下表： 日期 温度城市 7月1日 7月11日 7月21日 7月31日 贵阳 26 25 24 31 南宁 32 33 30 33 (1)贵阳市7月抽样数据的平均数是__________，南宁市7月抽样数据的中位数是_________． (2)某数学小组研究发现： 相对湿度（空气中水汽的“饱和度”百分比，对人体而言在之间最舒适）：贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天．请你利用所学统计知识判断哪个城市夏天更热？ 【答案】(1)26.5， 32.5 (2)南宁市 【分析】本题考查了统计表，平均数，中位数等知识，解题的关键是： （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）根据平均相对湿度和高温的天数判断即可． 【详解】（1）解：贵阳市7月抽样数据的平均数为， 南宁市7月抽样数据从小到大排序为30，32，33，33， ∴中位数为， 故答案为：26.5 ；32.5； （2）解：∵贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；， 高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天，， ∴南宁市的夏天更热． 4．为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 【答案】46件 【分析】本题主要考查了中位数，众数的含义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．据此求解即可． 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数是50件， ∴， 将这组数据从小到大排列为42，45，46，50，50， 所以这组数据的中位数为46件． 5．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)优秀率高的年级，平均成绩低，理由见解析 【分析】本题考查了统计表和扇形统计图，旨在考查学生的数据处理能力． （1）根据七年级 名学生活动成绩的中位数为分，即可求解； （2）由八年级名学生活动成绩的扇形统计图即可求解； （3）分别求出七八年级学生的优秀率和平均分即可； 【详解】（1）解：由七年级名学生活动成绩统计表可知：或或或或， ∵七年级 名学生活动成绩的中位数为 分． ∴， 故答案为：； （2）解：由八年级名学生活动成绩的扇形统计图可知：八年级活动成绩的众数为分， 故答案为：； （3）解：七年级学生的优秀率为：， 七年级学生的平均成绩为：分； 八年级学生的优秀率为：， 八年级学生成绩为分所占百分比为：， ∴八年级学生的平均成绩为：分； ∵ ∴优秀率高的年级是七年级，平均成绩低． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12平均数.中位数.众数同步讲义 【题型01 计算一组数据的平均数】........................................2 【题型02 已知平均数求未知数据】........................................3 【题型03 利用平均数求相关数据的平均数】................................3 【题型04 利用平均数进行决策分析】......................................4 【题型05 计算加权平均数】..............................................4 【题型06 已知加权平均数求未知数据】....................................5 【题型07 运用加权平均数进行决策分析】..................................6 【题型08 计算一组数据的中位数】........................................7 【题型09 已知中位数求未知数据】........................................8 【题型10 运用中位数进行决策分析】......................................8 【题型11 计算一组数据的众数】..........................................9 【题型12 已知众数求未知数据】..........................................9 【题型13 运用众数进行决策分析】.......................................10 【题型14 选择合适的统计量并做决策】...................................10 【解答题5题 】........................................................11 ★知识梳理 知识点01:平均数 1.算术平均数 一组数据 x1​,x2​,…,xn​的平均数： = 特点：利用了所有数据，易受极端值影响。 2.加权平均数 若数据 x1​,x2​,…,xk​ 对应的权为 f1​,f2​,…,fk​：==​ 权：表示数据的重要程度、次数、比重。 3.计算步骤 第一步：求出所有数据的总和； 第二步：数清楚数据的个数 n； 第三步：用总和除以个数 n，得到平均数。 知识点02:中位数 1.定义：将一组数据从小到大（或从大到小）排列后： 数据个数 n 为奇数：中间那个数就是中位数。 数据个数 n 为偶数：中间两个数的平均数是中位数。 2.特点： 只与位置有关，不受极端值影响。 一组数据只有一个中位数。 知识点03:众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.特点： 一组数据可以有一个众数、多个众数，也可以没有众数。.. 不受极端值影响。 知识点04:三个统计量的对比（必考点） 统计量 优点 缺点 平均数 反映整体平均水平，用了所有数据 易受极端值影响 中位数 反映中间水平，不受极端值影响 没充分利用所有数据 众数 反映多数水平，不受极端值影响 可能不存在或不唯一 知识点05:常见考题一句话总结 1.求平均数：先求和，再除以个数；有次数 / 比重用加权平均。 2.求中位数：一定要先排序，再看个数奇偶。 3.求众数：看谁出现次数最多。 4.选用： 想表示整体水平 → 用平均数 数据有极大 / 极小值 → 用中位数 想表示最常见、最普遍 → 用众数 【题型1.计算一组数据的平均数】 【典例】从新宁县月中随机抽取天的中午，记录这天时的气温（单位：），结果如下：，可估计该地这一个月中午时的平均气温为______． 【跟踪专练1】样本数据2，8，14，16，20的平均数为（   ） A．8 B．9 C．12 D．18 【跟踪专练2】小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是______． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【跟踪专练3】某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定 C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小 【题型2.已知平均数求位置数据】 【典例】一组数据6，8，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【跟踪专练1】某班40名学生一次体育测验成绩统计如下表．已知该班平均成绩为76分，则x，y的值分别为（    ） 成绩/分 60 70 80 90 100 人数 7 x 12 y 3 A．14，4 B．13，5 C．12，.6 D．11，7 【跟踪专练2】体育课上，分组训练6名男生引体向上成绩（个）的中位数与平均数恰好相等．已知其中5人成绩为6，6，8， 10，11，则另一人成绩为_____________个． 【跟踪专练3】已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．6 B．2 C．8 D．7 【题型3.利用平均数求相关数据的平均数】 【典例】已知一组数据的平均数是15，方差是1，那么另一组数据，的平均数是____________． 【跟踪专练1】已知一组数据的平均数是8，那么另一组数据的平均数为（    ） A．8 B．1 C．2 D．16 【跟踪专练2】已知，，，，的平均数是，则，，，的平均数是_____． 【跟踪专练3】已知数据，，…，的平均数是，则数据，，…，的平均数是（   ） A． B． C． D． 【题型4.利用平均数进行决策分析】 【典例】位学生分别购买如下尺码的鞋子：，，，，，，，，，单位：这组数据的平均数、中位数、众数三个指标中鞋店老板最不喜欢的是______，最喜欢的是______． 【跟踪专练1】小明所在班级学生平均身高是1.41米，小强所在班级学生平均身高1.4米小明和小强相比（　　） A．小明高 B．小强高 C．一样高 D．无法确定谁高 【跟踪专练2】在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分．数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从1～9中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这5个数据平均数最小，小亮选的数会使这5个数据中位数最大，密码的5个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是6，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是______． 【跟踪专练3】一鞋店试销一款女鞋，老板想了解哪些尺码的鞋最畅销，则下列关于尺码的统计量中最有参考意义的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差（最大值与最小值的差） 【题型5.计算加权平均数】 【典例】近年来，体育学科越来越得到重视，实验中学规定学生本学期的体育成绩由健康知识、课外活动和体育技能这三部分组成，（每项满分100分），若将这三项得分依次按，，的比例计算最终成绩．八（1）班阳阳这三项的成绩如下表： 健康知识 课外活动 体育技能 95分 90分 96分 则阳阳的最终成绩为______分． 【跟踪专练1】为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量（单位：t），统计结果如下表： 月用水量/t 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，则平均用水量为（    ） A．4.1t B．4.2t C．4.3t D．4.4t 【跟踪专练2】某研发小组设计了甲、乙两款软件，邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 k 92 93 乙 91 93 93 92 若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为______． 【跟踪专练3】在我国玉树抗震救灾自愿捐款活动中，调查到了某校30名同学的捐款情况如下表：（单位：元） 捐款 5 10 15 20 25 30 人数 11 9 6 2 1 1 则这所学校的同学捐款的平均数为（   ）元． A．10 B．11 C．15 D．20 【题型6.已知加权平均数求未知数据】 【典例】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【跟踪专练1】某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【跟踪专练2】某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【跟踪专练3】学校要招聘两名数学教师，对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%，面试占40%计算应聘者的综合成绩（满分为100分），他们的各项成绩如表所示： 候选人 笔试成绩/分 面试成绩/分 甲 90 88 乙 84 92 丙 x 90 丁 88 86 （1）这四名应聘者面试成绩的平均数是_________． （2）现得知应聘者丙的综合成绩为87.6分，则表中x的值等于_________． （3）求其余三名应聘者的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选． 【题型7.运用加权平均数进行决策分析】 【典例】一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力两个方面为选手打分．各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占、演讲能力占，计算选手的综合成绩（百分制）．进入决赛的前两名选手的单项成绩如下表所示，则综合成绩最高的选手是______． 选手 演讲内容 演讲能力 甲 90 85 乙 85 95 【跟踪专练1】实施青少年生涯规划教育，有助于加深青少年的自我认知，引导青少年设立人生目标，提高学习自主性，促进身心健康发展．近日，宝安区某初中学校开展了“国际未来商业菁英生涯规划模拟挑战赛”的预选赛，甲、乙、丙、丁四位候选人进行了现场模拟和即兴演讲，他们的成绩如下表： 候选人 甲 乙 丙 丁 现场模拟 9 9 7 10 即兴演讲 9 7 9 8 若规定现场模拟成绩与即兴演讲成绩依次按和的比例确定最终成绩，（    ）将以第一名的成绩胜出． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【跟踪专练2】某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取_______． 【跟踪专练3】某学校考查各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面．其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低．根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考查比较合适的比例设计分别为（    ） A． B． C． D． 【题型8.计算一组数据的中位数】 【典例】科技创新社团开展小型无人机飞行时长测试，7架同款无人机首次满电飞行时长记录如下（单位：分钟）：23，25，18，20，22，24，22．这组数据的中位数是____． 【跟踪专练1】数据1，5，3，6，3，8的中位数是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【跟踪专练2】如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班40名同学一周参加体育锻炼时间的中位数是______． 【跟踪专练3】一次校园文化艺术节独唱比赛中，小丁对九位评委老师给自己打出的分数进行了分析，并制作了如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不会发生变化的是（    ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差 【题型9.已知中位数求未知数据】 【典例】若一组数据81，94，x，y，90的众数和中位数分别是81和85，则这组数据的平均数为_____． 【跟踪专练1】甲、乙两名运动员在6次射击测试中的成绩如下表（单位：环）： 甲的成绩 6 7 8 8 9 9 乙的成绩 5 6 7 ？ 9 10 如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为？）可以是（   ） A．6环 B．7环 C．8环 D．9环 【跟踪专练2】数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 【跟踪专练3】五名学生投篮训练，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据，经分析这五个数据的中位数为6，唯一众数是7，则他们投中次数占投篮总次数的百分率可能是（    ） A． B． C． D． 【题型10.运用中位数进行决策分析】 【典例】12位参加歌唱比赛的同学的成绩各不相同，按成绩取前6位进入决赛．如果小花知道了自己的成绩后，要判断自己能否进入决赛，他还要知道这12位同学成绩的______． 【跟踪专练1】某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【跟踪专练2】某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛．在最近的10次选拔赛中，他们的成绩（单位：）折线统计图如图所示： 历届比赛成绩表明，成绩达到就很可能夺冠．若为了稳妥夺冠，则应选择参赛的运动员是 _____ （填“甲”或“乙”）． 【跟踪专练3】10位同学参加了朗诵比赛初赛，按成绩取前5名进入决赛．如果小华知道自己的成绩后，能判断自己是否进入决赛，那么小华需要了解这10位同学成绩的（　　） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【题型11.计算一组数据的众数】 【典例】一组数据：7，9，8，8，7，7，2，3，7，7的众数是______． 【跟踪专练1】一组数据：3，3，2，5，5，3，4，若去掉其中一个数后，这组数据的众数保持不变，则去掉的数可能是_________________．（写出一个即可） 【跟踪专练2】在一次引体向上的测试中，小明等5位同学引体向上的次数分别为：8，7，9，8，9，关于这组数据，下列说法正确的是（   ） A．平均数是 B．中位数是 C．众数是 D．众数是8和9 【跟踪专练3】一组数据4，5，6，4，，5，7，已知这组数据众数是4，则的值为______． 【题型12.已知众数求未知数据】 【典例】一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一组数据，，，，，，的众数为，则这组数据的中位数为__________． 【跟踪专练2】一组数据2，，x，6，的众数为6，则这组数据的中位数为（    ） A．2 B． C．6 D． 【跟踪专练3】某校五个绿化小组一天植树的棵数如下：10，10，12，x，8．已知这组数据的众数与平均数相等，那么这组数据的中位数是________棵． 【题型13.运用众数进行决策分析】 【典例】某班级准备参加学校举办的“唱红歌”合唱比赛，现有以下四首歌备选，班主任为确定选择哪一首歌作为参赛曲目，对全班学生想要选择的歌曲进行了统计，结果如表所示： 歌曲 《唱支山歌给党听》 《爱我中华》 《在希望的田野上》 《保卫黄河》 人数 11 30 10 8 最终应选择__________作为参赛曲目． 【跟踪专练1】某商场对上周某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 数量（件） 120 150 230 75 430 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与中位数 【跟踪专练2】某班50名同学参加了“预防溺水，珍爱生命”为主题的安全知识竞赛，竞赛成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖．关于成绩的三个统计量：①平均数，②方差，③众数，与被遮盖的数据无关的是___．（填写序号即可） 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 7 7 10 12 【跟踪专练3】一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表： 型号 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 数量/双 3 5 10 15 8 3 2 鞋店经理最关心哪种型号的鞋最畅销，则下列统计量最有意义的是（    ）． A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【题型14.选择合适的统计量并做决策】 【典例】对于一组数据：x1，x2，x3，…，x10，若去掉一个最大值和一个最小值，则下列统计量一定不会发生变化的是________．①平均数；②中位数；③众数；④方差． 【跟踪专练1】在一次数学测试中，王蕊的成绩是分，超过了全班半数学生的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【跟踪专练2】某单位设有6个部门，共153人，如下表： 部门 部门1 部门2 部门3 部门4 部门5 部门6 人数 26 16 22 32 43 14 该单位组织了“学党史，促提升”每周答题活动，一共10道题，每题10分，满分100分．某周的周三，有一个部门还没有参与答题，其余5个部门全部完成了答题，得分为100分、90分、80分、70分和60分的人数之比为．尚未参与答题的部门是________． 【跟踪专练3】为了迎接第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式的召开，某班11名学生参加了“我们参与冬奥会”知识竞赛，前5名获奖参加比赛且他们所得的分数互不相同．某同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在这11名同学成绩的统计量中只需要知道一个量，它是（    ） A．众数 B．方差 C．中位数 D．平均数 【解答题】 1．受疫情影响，重庆无法按原计划正常开学，在延迟开学期间各学校组织了在线教学活动．开学后，璧山中学针对八年级各班在线教学的个性化落实情况，通过初评决定从甲、乙两个班中推荐一个作为在线教学先进班级，下表是这两个班的五项指标的考评得分表（单位：分）： 班级 课程设置 课程质量 在线答疑 作业情况 学生满意度 甲班 10 10 6 10 7 乙班 10 8 8 9 8 根据统计表中的信息解答下列问题： (1)请确定如下的“五项指标的考评得分分析表”中的a、b、c的值； 班级 平均分 众数 中位数 甲班 8.6 10 a 乙班 b c 8 (2)如果学校把“课程设置”、“课程质量”、“在线答疑”、“作业情况”、“学生满意度”这五项指标得分按照的比例确定最终成绩，请你通过计算判断应推荐哪个班为在线教学先进班级？ 2．某科技公司招聘一名研发工程师，对甲、乙两名候选人进行了三项测试，测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 甲 乙 专业理论知识 技术实操水平 团队协作能力 (1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作能力同等重要，从甲、乙的平均成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为团队协作能力更重要，对专业理论知识、技术实操水平、团队协作能力分别赋权，，，计算甲、乙两人的平均成绩．从成绩看，谁将被录取？ 3．贵阳市和南宁市2025年7月抽样数据（每隔10天记录1次当天最高气温（单位：）如下表： 日期 温度城市 7月1日 7月11日 7月21日 7月31日 贵阳 26 25 24 31 南宁 32 33 30 33 (1)贵阳市7月抽样数据的平均数是__________，南宁市7月抽样数据的中位数是_________． (2)某数学小组研究发现： 相对湿度（空气中水汽的“饱和度”百分比，对人体而言在之间最舒适）：贵阳市7月平均相对湿度，南宁市7月平均相对湿度；高温（）天数：贵阳市7月为0天，南宁市为9天．请你利用所学统计知识判断哪个城市夏天更热？ 4．为切实落实“双减”政策，丰富课后服务活动形式，某校开展学生的绘画、书法、散文、诗歌等艺术作品征集活动，从八年级5个班收集到的作品数量（单位：件）分别为50、45、42、46、x，若这组数据有唯一的众数是50件，求这组数据的中位数． 5．某校七、八年级开展了“国学朗诵”活动，对学生的活动情况按分制进行评分，成绩（单位：分） 均为不低于6的整数． 为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下： 七年级名学生活动成绩统计表                            成绩/分 6 7 8 9 人数 2 1 a b 3 已知七年级名学生活动成绩的中位数为分．请根据以上信息，完成下列问题： (1) ， ； (2)样本中， 八年级活动成绩的众数为 分； (3)若认定比赛成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $