11.4.1 课时1 线面角及直线与平面垂直的判定定理 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章 立体几何初步 11.4 空间中的垂直关系 11.4.1　直线与平面垂直 第1课时 z 1.理解异面直线所成的角 2.了解直线与平面垂直的定义 3.掌握直线与平面垂直的判定定理 学习目标 z 1.直线与直线所成角 习惯上，两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度 例如，直线l与直线m所成角的大小，指的是∠1或∠3的大小. 课题探究 z 在正方体中， 与 异面， 与 也异面. (1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？ (2)如果要利用“角”的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？ 尝试与发现 课题探究 z a b b ′ a′ O 思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ] o o 如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b a ″ 一般地，如果 是空间中的两条异面直线，过空间任一点分别作与 平行或重合直线 ， 我们把 与 所成角的大小叫做异面直线 所成的角的大小 异面直线所成的角 课题探究 z 思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变? ∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (基本事实4), 解答： 如图 设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 , 又 b∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理) b ′ a′ O ∠1 a a″ b ∠2 答 :这个角的大小与O点的位置无关. 在求作异面直线所成的角时, O点常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等) 课题探究 z 当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为 空间两直线所成的角的范围为[0° , 90° ] 课题探究 z 练一练 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF分别为棱AB，BB1的中点，求异面直线A1F与AC所成角的余弦值. 课题探究 z 课题探究 z 方法总结 求异面直线所成的角的步骤是: 一作(找)：作（或找）平行线 二证：证明所作的角（或其补角）为所求的异面直线所成的角 三求：在一恰当的三角形中求出角 作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法: ①直接平移法(可利用图中已有的平行线); ②中位线平移法; ③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线). 课题探究 z 2.直线与平面垂直 定义： 图形语言 m 符号语言 课题探究 z 回顾：直线与平面平行的研究方法与思路 课题探究 z 本PPT模板部分元素使用了幻灯片母版制作。如果需要修改，点击-视图-幻灯片母版-修改；完成后关闭编辑母版即可。 12 定义 （充要条件） 判定 （充分条件） 性质 （必要条件） 尝试与发现 利用合适的实物演示，并猜测直线与平面垂直的判定方法 1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？ 2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？ 问题 根据定义，判定直线与平面垂直，需要验证直线与平面内的所有直线都垂直．类比直线与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单易行的方法呢？ 课题探究 z 直线与平面垂直的判定定理： 文字语言 图形语言 符号语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 则这条直线与这个平面垂直． 课题探究 z 三、应用新知 三、应用新知 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 画法 课题探究 z 15 例1.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由 判定定理的应用 课题探究 z 解： 课题探究 z 方法总结 利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤： （1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直 （2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线 （3）根据判定定理得出结论 课题探究 z 证明线线垂直的常用方法： （1）由线面垂直的定义 （2）平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中垂线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等 课题探究 z 证明： SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的体高. 例2.四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥面ABCD. 由已知可得O为AC的中点. ∵在△SAC中，SA=SC， ∴SO⊥AC， 同理，SO⊥BD， ∵AC∩BD=O. ∴SO⊥面ABCD. 课题探究 z 巩固练习 如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC. 分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC. 证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC. ∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC. 又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. ∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC. 课题探究 z 1.下面叙述中： ①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直； ②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直； ③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面； ④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面.其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 B 当堂检测 z 2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于　　　　.  【解析】因为PA⊥平面ABC, 所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB, 所以∠PBA=45°. 答案:45° 当堂检测 z 3.如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F. (1)求证:PC⊥平面AEF; (2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD. 【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A, 所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB, 所以AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B, 所以AE⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC, 所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF,AE∩AF=A, 所以PC⊥平面AEF. 当堂检测 z (2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG, 同理CD⊥平面PAD,AG⊂平面PAD, 所以CD⊥AG,PC∩CD=C, 所以AG⊥平面PCD,又PD⊂平面PCD, 所以AG⊥PD. 当堂检测 z 1.线面垂直的概念 2.如何判定线面垂直 3.体会转化思想：线面垂直线线垂直 课堂总结 z $