精品解析：山东聊城市临清市丕介中学2025-2026学年九年级下学期第一次数学阶段学情自测

2025-2026学年九年级下学期第一次数学阶段学情自测 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较的应用，绝对值的意义，比较四个数的绝对值大小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴从质量角度看，最接近标准的是C选项； 故选C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：D． 3. 如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据平行线的性质定理得到，再由三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式加减与幂的运算，计算各选项结果，即可选出正确答案． 【详解】解：∵A选项中，与不是同类项，不能合并，结果不是，∴A错误． ∵B选项中，，结果不是，∴B错误． ∵C选项中，根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，可得，∴C正确． ∵D选项中，，∴D错误． 6. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及换元法求方程的解，熟练掌握换元法求方程的解是解题的关键． 令，即可得出，，计算求解即可． 【详解】解：令， 即， ∵方程的解是，， ∴，， ∴或， 解得，， 故选：A． 7. 如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理和弧长公式是解题的关键．先根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理得，再代入弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 的长为：． 故选：C． 8. 某地铁站入口处设置了A，B两个闸口，两名乘客通过此入口时，都选择A闸口通过的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列表得到所有的等可能的结果数，以及符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：列表如下： 乘客1/乘客2 所以所有的等可能的结果数有4种，选择A闸口通过的结果数有1种， 所以都选择A闸口通过的概率是 9. 如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边得一半，先根据菱形的性质得到，然后根据直角三角形斜边的性质得到即可得出答案． 【详解】解：∵是菱形， ∴， 又∵E为边的中点， ∴， 故选B． 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（ ） A. 9件 B. 10件 C. 11件 D. 12件 【答案】B 【解析】 【分析】设可以购买该商品x件，根据总价=30×5+30×0.8×超过5件的数量，结合总价不超过270元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：设可以购买该商品x件， 依题意得：30×5+30×0.8（x-5）≤270， 解得：x≤10． 故选：B 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 12. 点向右平移1个单位，所得到的点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移规律可得答案． 【详解】解：将点向右平移1个单位， 即横坐标加1，纵坐标不变． ∴所得到的点的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线与交于点D，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据作图痕迹判断出垂直平分，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据作图痕迹，垂直平分，则， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规作图-作线段垂直平分线、勾股定理，判断出垂直平分是解答的关键． 14. 若一个多边形的外角和比它的内角和的少，则这个多边形的边数为____． 【答案】 【解析】 【分析】设该多边形的边数为，利用多边形内角和公式与多边形外角和定理，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为． 多边形内角和公式为，任意多边形的外角和为． 根据题意列方程得： 整理得： 解得：． 15. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，由图可求出乙的速度，即可求出甲的速度，进而即可求解，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图可得，乙车的速度是， ∴甲车的速度是， ∴， 故答案为：． 三．解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先计算乘方与开方，并化简绝对值，再合并同类二次根式即可； （2）先计算括号已见分晓分式加法，再运用分式除法法则计算即可化简，然后把代入化简式计算即可． 【详解】(1)解： ； (2)解： ； 当时，原式． 【点睛】本题考查实数混合运算，分式化简求值．熟练掌握负整指数幂，分式混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 17. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点E，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， 垂直平分， ， 在和中， ， ； （2） ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，得出，再由证明即可； （2）由全等三角形的性质得出，再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质得知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 18. 某校气象兴趣小组的同学们想预估一下该校所在城市今年9月份日平均气温状况．他们收集了该市近几年9月份每天的日平均气温，以其中天的日平均气温为样本绘制成如图统计图： 根据统计图的信息，回答下列问题： （1）这天的日平均气温的众数为__________，中位数为__________； （2）求这天的日平均气温的平均数； （3）若日平均气温在的范围内为“舒适温度”．请预估该市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 【答案】（1）， （2） （3）天 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义求解作答即可； （2）根据，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：这天的日平均气温的众数为， 中位数为第位数的平均数为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵（）， ∴平均数为； 【小问3详解】 解：∵（天）， ∴预估该市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为天； 【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数，用样本估计总体．熟练掌握众数，中位数，平均数，用样本估计总体是解题的关键． 19. 如图，某工程队测量员在坡度（即）为的山坡上一点处观察对面山顶上的一座铁塔（不计此人身高），测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为．已知塔高为80米，点的铅直高度为60米，图中的点在同一平面内． （1）求的长； （2）求铁塔．所在的山高．（参考数据，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）过点P分别作于点D，于点E，得到四边形为矩形，然后设，则，，根据解方程求解即可； （2）在中根据求出，即可求出山高． 【小问1详解】 过点P分别作于点D，于点E，则四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∴（米）； 【小问2详解】 在中， ∵，， ∴， ∴（米）． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，坡度坡角问题，分式方程的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20. 如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 （1）求函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，勾股定理： （1）利用待定系数法求解即可； （2）当时，则，可得；当时，设，则，，，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中得：， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，则， ∵， ∴； 当时，设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点P的坐标为或． 21. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图： ∵点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的半径为，． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，进而得到，证明，即可得出结论； （2）由解直角三角形得到，由勾股定理得到，即的半径为，证明，得到，即，求出，即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∵， ∴， ∴，即的半径为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 【答案】（1） （2）①存在，线段的长度的最大值为，此时；②点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，线段垂直平分线的性质，二次函数最值问题，解题的关键是学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题． （1）将点、的坐标代入函数解析式，即利用待定系数法求出二次函数解析式； （2）①设点的坐标为，则的坐标为，构建二次函数，然后由二次函数的最值问题，求得答案；②求出的垂直平分线的解析式，用方程组求出点的坐标即可解决问题． 【小问1详解】 解：，，且点、在抛物线上， ∴， 解得， 该抛物线所对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：①存在，理由如下： 令，得， 解得：， ， 如图2中， 已知，， ∴设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 点在抛物线上，且轴，点N在直线的上， 设点的坐标为，则点的坐标为， 又点在第一象限， ∴ ， ∵ 当时， 线段的长度的最大值为； ②解：如图3中， 由题意知，点在线段的垂直平分线上， 又由①知，， 的中垂线同时也是的平分线， ∴点P到坐标轴的距离相等， 设点的坐标为， 又点在抛物线上，于是有， ， 解得，， 点的坐标为：或， 若点的坐标为，此时点在第一象限， 在和中，， ， 若点的坐标为，此时点在第三象限， 则． 综上所述：点的坐标为，的面积为；或点的坐标为，的面积为． 23. 探究与证明． 已知四边形中，M，N分别是边上的点，与交于点Q． 【初探】（1）①如图1，若四边形是正方形，且于点Q，则 ； ②如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【延伸】（2）如图3，若四边形是平行四边形，且，求证：； 【拓展】（3）如图4，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）①1； ②证明：∵四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ∴； （2）证明：如图3所示，，， ， 在的延长线上取点H，使，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）①说明，得即可；②利用矩形的性质证明，得； （2）在的延长线上取点H，使，则，根据两个角相等说明，即可证明结论； （3）过C作于K，交延长线于I，连接，设，首先利用证明，进而说明，得出，在中，利用勾股定理列方程求出x的值，最后由，得． 【详解】解：（1）①解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴， 故答案为：1； ②略 （2）略 （3）如图4，过C作于K，交延长线于I，连接， 设， ，即， ，四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，，由勾股定理得：， ∴， 解得：（舍），， ， ， ． ， ， ， ， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了特殊的四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形中十字架模型是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期第一次数学阶段学情自测 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的解是，，则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，的半径为2，四边形是圆内接四边形，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某地铁站入口处设置了A，B两个闸口，两名乘客通过此入口时，都选择A闸口通过的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的对角线和相交于点O，E为边的中点，连接，若，则长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 10. 商店为了对某种商品促销，将定价为30元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款；若一次性购买5件以上，超过部分打八折，现有270元，最多可以购买该商品的件数是（ ） A. 9件 B. 10件 C. 11件 D. 12件 二．填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为__________． 12. 点向右平移1个单位，所得到的点的坐标为__________． 13. 如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，直线与交于点D，则的长为______． 14. 若一个多边形的外角和比它的内角和的少，则这个多边形的边数为____． 15. 甲、乙两车分别从，两地出发，沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达，两地后立即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程为（单位：），乙车行驶的时间为（单位：），与的函数关系如图所示，的值为______． 三．解答题：本题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在平行四边形中，边的垂直平分线交于点E，交的延长线于点F，连接，． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 18. 某校气象兴趣小组的同学们想预估一下该校所在城市今年9月份日平均气温状况．他们收集了该市近几年9月份每天的日平均气温，以其中天的日平均气温为样本绘制成如图统计图： 根据统计图的信息，回答下列问题： （1）这天的日平均气温的众数为__________，中位数为__________； （2）求这天的日平均气温的平均数； （3）若日平均气温在的范围内为“舒适温度”．请预估该市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 19. 如图，某工程队测量员在坡度（即）为的山坡上一点处观察对面山顶上的一座铁塔（不计此人身高），测得塔尖的仰角为，塔底的仰角为．已知塔高为80米，点的铅直高度为60米，图中的点在同一平面内． （1）求的长； （2）求铁塔．所在的山高．（参考数据，，，） 20. 如图所示，点在函数图像的第一象限内的分支上． 、 （1）求函数的解析式； （2）在x轴上是否存在点P，使为直角三角形？若存在，求P点的坐标． 21. 如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，连接，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）延长交的延长线于点F，若，，求的半径和的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，拋物线经过，两点，并与轴交于另一点． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设是抛物线上的一个动点，过点作直线轴于点，交直线于点． ①若点在第一象限内，试问：线段的长度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时的值；若不存在，请说明理由； ②当点运动到某一位置时，能构成以为底边的等腰三角形，求此时点的坐标及等腰的面积． 23. 探究与证明． 已知四边形中，M，N分别是边上的点，与交于点Q． 【初探】（1）①如图1，若四边形是正方形，且于点Q，则 ； ②如图2，若四边形是矩形，且，求证：； 【延伸】（2）如图3，若四边形是平行四边形，且，求证：； 【拓展】（3）如图4，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $