1.3.1直角三角形 教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》 1.3.1直角三角形教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一 课题 直角三角形 课时 1 课标要求 要求学生掌握直角三角形的性质定理：两锐角互余，两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形的判定定理：两锐角互余的三角形是直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方的三角形是直角三角形．理解性质定理和判定定理是互逆定理．并能证明直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形，对于勾股定理及勾股定理的逆定理的证明比较复杂不做具体要求．供有兴趣的学生阅读． 教材分析 本节内容选自北师大版八年级数学下册第一章第三节内容，教材从实际问题入手，给学生创设学习情境，研究直角三角形的边角关系，最后用勾股定理的知识来解决实际问题，为了充分调动学生学习的积极性，发挥学生的主观能动性，是他们变被动学习为主动学习，因此让学生通过观察、引导学生去思考、讨论、归纳、概括等方法帮助学生理解本节内容，从而突破学习难点。 逆定理安排在本章，表面看是独立的内容，其实与三角形有关内容具有密切的联系，关于三角形的性质和判定的许多命题之间都存在互逆关系，这样安排既加深对原命题和逆命题的理解，又巩固了三角形的有关知识。 学情 分析 直角三角形的判定和勾股定理及其逆定理在前面已有学生通过一些直观的方法进行了探究，所以学生对这些结论有了一定的了解，虽然勾股定理的证明方法很多，但对学生来说这些都有一定的难点因此教材将其内容安排在读一读，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理证明也有一定的难度。学生比较容易识别两个命题是不是互逆，但对于逆定理正确与否，需要通过证明逆命题的真伪，所以本课安排的活动让学生再次感受从正反两个方面来探究某一个问题。 核心素养目标 1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。 2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判定定理的互逆关系 3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力． 教学重点 ①了解勾股定理及其逆定理的证明方法． ②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 教学难点 勾股定理及其逆定理的证明方法． 教学 准备 ＂ 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 复习提问，温故孕新 一、三角形按角分类 （1）锐角三角形（三个角都是锐角） （2）直角三角形（有一个是直角，有两个直角吗？为什么？ （3）钝角三角形（（有一个是钝角，有两个钝角吗？为什么？ 二、直角三角形的 定义：有一个角是直角的三角形 表示方法：Rt△ABC 面积公式： 边角关系：在Rt△ABC，∠C=90° ∠A+∠B=90°, 1， 回顾旧知 2，用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。 让学生复习回顾前面所学习的有关直角三角形的性质和判定，为本课直角三角形的性质和判定定理的证明做准备,激发学生学习兴趣和求知欲，为新课的学习做下铺垫. 三、探究 合作探究，活动领悟 探究1：直角三角形的性质定理 1, 直角三角形的性质定理1：直角三角形的两个锐角互余 已知：Rt△ABC,∠C=90° 求证：∠A+∠B=90° 证明：∵Rt△ABC,∠C=90° ∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理） ∴∠A+∠B=180°-90°=90° 2, 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 已知:△ABC是直角三角形.∠C=90° 求证: BC+AC=AB. 证明：分别以直角三角形AB、AC、BC边向外作正方形 ABHT,ACDE,BCGF,连接BE、HC,过C作AB的垂线交AB于M交HT于N,如图1-20 ∵AB=AH,AE=AE,∠EAB=∠CAH ∴△EAB≌△CAH 探究2：直角三角形的判定定理： 1, 有两个角互余的三角形是直角三角形 已知：∠A+∠B=90° 求证：△ABC是直角三角形 证明： ∵ ∠A+∠B=90° ∠A+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理） ∴∠C=180°-90°=90° 所以三角形ABC是直角三角形 2, 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三角形 已知:在△ABC中,BC+AC=AB. ( a c b B′ A′ C′ (2) ) ( a c b A B C (1 ) ) )求证:△ABC是直角三角形.∠C=90° 证明:作Rt △A′B′C′使∠C′=900, A′C′=AC,B′C′=BC(如图2),则 A′C′+B′C′=A′B′(勾股定理). ∵AC + BC = AB(已知), A′C′=AC,B′C′=BC(作图), ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ AB=A′B′(等式性质). ∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS). ∴ ∠C=∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等). ∴ △ABC是直角三角形(直角三角形定义). 探究小结 直角三角形性质定理 直角三角形判定定理 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 探究三： 一、判定下面三组互逆命题真假 1、如果两个角是对顶角,那么它们相等,【真命题】 2、如果两个角相等,那么它们是对顶角;【假命题】 3、如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧,【真命题】 4、如果小明发烧,那么他一定患了肺炎;【假命题】 5、三角形中相等的边所对的角相等,【真命题】 6、三角形中相等的角所对的边相等.【【真命题】 【强调】互逆命题 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对于逆命题来说，另一个就为原命题． 原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题!! 二、定理与逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理与勾股定理逆定理, 两直线平行,内错角相等与内错角相等,两直线平行. 直角三角形的两个锐角互余与有两个角互余的三角形是直角三角形。 1,证明直角三角形的性质定理1和2. 2, 证明直角三角形的判定定理1和2. 3, 归纳比较性质定理和判定定理。 4、 探究命题和逆命题。 5、 探究定理和逆定理。 1,通过对直角三角形的性质定理和判定定理的探究,掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法. 2结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判定定理的互逆关系。 四、变式 说出下列命题的逆命题，并判定每对命题的真假: （1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0 解：(1)“四边形是多边形”的逆命题“多边形是四边形”．原命题是真命题，而逆命题是假命题． (2)“两直线平行，同旁内角互补。”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行．”原命题与逆命题同为真命题． (3)“如果ab=0，那么a=0 b=0”的逆命题是“如果a=0，b=0，那么ab=0．”原命题是假命题，而逆命题是真命题． 自学例题 运用知识解决问题。 五、尝试 基础达标： 1. 适合条件 ∠A=∠B= ∠C 的三角形是 ( B ) A. 锐角三形 B. 直角三形 C. 钝角三形 D. 都有可能 2. 下列命题的逆命题正确的是( A ) A. 两条直线平行，内错角相等 B. 若两个实数相等，则它们的绝对值相等 C. 全等三角形的对应角相等 D. 若两个实数相等，则它们的平方也相等 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，AB=5cm，BC=3cm，则AD 的长等于 ( A ) A. 2.5cm B. 2cm C. 1.5cm D.3cm 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，点D到AB的距离DE＝38cm，那么BC＝（　D　） A．38cm B．76cm C．112cm D．114cm 5．如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF．若BE＝4，DE＝2，则△ACD的面积为（　A　） A．12 B．13 C．16 D．24 第4题 第5题 6．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的高，点O是两条高线的交点，则∠A与∠1+∠2的关系是（　B　） A．∠A＞∠1+∠2 B．∠A＝∠1+∠2 C．∠A＜∠1+∠2 D．无法确定 能力提升： 7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝1，CE＝3，H是AF的中点，那么CH的长是（　　） 8．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（14　） 第7题 第8题 拓展迁移： 9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D． （1）求证：∠ACD＝∠B； （2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE． 证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB于D， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠ACD＝∠B； （2）在Rt△AFC中，∠CFA＝90°﹣∠CAF， 同理在Rt△AED中，∠AED＝90°﹣∠DAE． 又∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE， 又∵∠CEF＝∠AED， ∴∠CEF＝∠CFE． 完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 六、提升 直角三角形的性质定理 1、直角三角形的两个锐角互余 2、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形的判定定理 1、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 命题与逆命题；定理与逆定理 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 ( 直角三角形的性质定理：两锐角互余 ) ( 互逆定理 ) ( 直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 ) ( 直角三角形的性质定理：勾股定理 ) ( 互逆定理 ) ( 直角三角形的判定定理：勾股定理逆定理 ) 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： ．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝2，则BC＝（　A　） A．1 B．2 C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A＝（　B　） A．45° B．55° C．65° D．75° 3．一个直角三角形的两条直角边分别为5、12，则斜边上的中线为（　C　） A． B． C． D． 4．如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（　B　） A．9° B．18° C．27° D．36° 5．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（4m　　） 第5题 第6题 第7题 6．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，点D在线段AC上，且∠A＝30°，∠BDC＝60°，BC＝3，则AD＝　． 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为（　9　） 能力提升： 8.如图，边长为2的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，求动点C到原点O的距离的最大值。 解：当OA=OB，连接OC， 可得OC的最大值，如图 三角形ABO是等腰直角三角形 三角形ABC是边长为2的等边三角形。 OD=BD=AD=1 AC=2，AD=1，CD= CO=OD+CD=+1 拓展迁移： 9．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB． （1）求∠B的度数； （2）求证：CE是AB边上的中线，且CE＝ AB． 解（1）：∵在△ABC中，∠ACB＝90°， CD，CE三等分∠ACB， ∴∠ACD＝∠DCE＝∠BCE＝30°，则∠BCD＝60°， 又∵CD为高， ∴∠B＝90°﹣60°＝30° 2）证明：由（1）知，∠B＝∠BCE＝30°，则CE＝BE，AC＝AB． ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， 又∵由（1）知，∠ACD＝∠DCE＝30°， ∴∠ACE＝∠A＝60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC＝AE＝EC＝AB， ∴AE＝BE，即点E是AB的中点． ∴CE是AB边上的中线，且CE＝AB． 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $