2.2 简谐运动的描述 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

简谐运动的描述 知识点一、描述简谐运动的基本概念 1．振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用表示． （2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（）． （3）意义：振幅是表示振动强弱的物理量． 注意：①振幅是一个标量，是指物体偏离平衡位置的最大距离．它没有负值，也无方向，所以振幅不同于最大位移． ②在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关．在一个稳定的振动中，物体的振幅是不变的． ③振动物体在一个全振动过程通过的路程等于个振幅，在半个周期内通过的路程是两个振幅，但个周期内通过的路程不一定等于一个振幅．可以比一个振幅大，也可以比一个振幅小． 2.全振动 （1）一个完整的振动过程，称为一次全振动． 不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的． （2）对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断： 一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方面），即物体完成了一次全振动； 二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍． 3．周期 （1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期，用表示． （2）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（）． （3）意义：周期是表示振动快慢的物理量． 周期越长表示物体运动得越慢，周期越短表示物体运动得越快． （4）简谐运动的周期公式：． 注意：公式中为做简谐运动物体的质量，为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小的比例常数． （5）测量弹簧振子周期的方法 弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成次全振动所用的时间，则 ． 值取大一些（如）可以减小周期的测量误差． 4．频率 （1）定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫做振动的频率，用表示．常把物体在内完成的全振动次数叫做频率． （2）单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹（）． （3）意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动得越慢． （4）周期与频率的关系：。 （5）固有频率和固有周期：振子获得能量后，物体开始振动．物体的振动频率，只是由振动系统本身的性质决定，与其他因素无关，其振动频率叫固有频率，振动周期也叫固有周期． 知识点二、简谐运动的描述 1．简谐运动的表达式： （1）式中表示振动质点相对于平衡位置的位移，表示振动的时间． （2）表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅． （3）叫做简谐运动的圆频率（角速度），它也表示简谐运动物体振动的快慢．与周期及频率的关系： 　　　　。 所以表达式也可写成： 或． （4）表示时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．代表了简谐运动的质点在时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位． （5）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成：，注意同一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位 是随时间变化的量． （6）相位每增加就意味着完成了一次全振动． 2．相位差 是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简谐运动的步调差异． 设两简谐运动和的振动方程分别为： 　　， ， 它们的相位差为 ． 可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差． 若 ， 则称的相位比的相位超前，或的相位比的相位落后； 若 ， 则称的相位比的相位落后，或的相位比的相位超前． （1）同相：相位差为零，一般的为 ． （2）反相：相位差为π，一般的为 ． 要点诠释：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，相位差的取值范围：． 3．简谐运动的周期性 理解简谐运动的对称性 如图所示，物体在与间运动，点为平衡位置，和两点关于点对称，则有： （1）时间的对称： ， ， ． （2）速度的对称： ①物体连续两次经过同一点（如点）的速度大小相等，方向相反． ②物体经过关于点对称的两点（如与两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反． 例题 1．如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在相距0.2m的B、C两点间做简谐运动。小球经过C点时开始计时，0.5s时首次到达B点，则1.25s内小球的路程为（　　） A．0.25m B．0.5m C．1.0m D．1.25m 2．如图所示为某弹簧振子在0~5s内的振动图像，下列说法中正确的是（　　） A．振幅为8cm B．振动周期为4s C．第1s末振子的速度为零 D．从第1s末到第2s末振子在做加速运动 3．如图1所示，竖直悬挂的弹簧振子在、两点之间做简谐运动，点为平衡位置，振子到达点开始计时，规定竖直向上为正方向。图2是弹簧振子做简谐运动的图像（部分），则（　　） A．振子从点单向运动到点的时间为 B．时刻，弹簧对振子的弹力小于振子的重力 C．时刻，振子的速度最小 D．振子在任意内的路程均为 4．用余弦函数描述一简谐运动，已知振幅为，周期为，初相，则振动曲线为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示为某质点做简谐振动的x-t图像，图像上a点的坐标为 （0，cm），则t0的值为（　　） A．1.3s B．1.2s C．1.1s D．1.0s 6．如图所示，在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O，把振子拉到A点，，然后释放振子，经过0.2s振子第1次到达O点，如果把振子拉到点，，则释放振子后，振子第1次到达O点所需的时间为（    ） A．小于0.4s B．0.2s C．大于0.2s D．0.4s 7．质点在0~4s的振动图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．由图可知，振动质点运动的轨迹是正弦曲线 B．在3s末质点的位移为10cm C．在0~4s内质点通过的路程为40cm D．在0~1s内质点做初速度为0的加速运动 8．一质点做简谐运动的位移x与时间t的关系如图所示，由图可知（　　） A．频率是2Hz B．振幅是10cm C．初相位为 D．初相位为π 9．某弹簧振子的振动图像如图所示。根据图像判断，下列说法正确的是（　　） A．第1s内振子相对平衡位置的位移与速度方向相反 B．第2s末振子相对平衡位置的位移为-20cm C．第2s末和第3s末振子相对平衡位置的位移不相同，且瞬时速度方向相反 D．第1s内和第2s内振子相对平衡位置的位移方向相同，瞬时速度方向相反 10．如图所示，水平弹簧振子在P、Q之间做简谐运动，O为其平衡位置，测得P、Q间的距离为4cm。已知小球连续通过任意8cm的路程所需要的时间均为2s，则（　　） A．该振子振动周期是1s，振幅是2cm B．该振子振动频率是1Hz C．小球完成一次全振动通过的路程是8cm D．小球在任意2.5s内通过的路程一定为10cm 11．如图，一振子沿轴做简谐运动，平衡位置位于坐标原点，简谐运动的振幅。P、Q为轴上关于点对称的两点，。时振子经过点，且沿轴正方向运动，经过振子第一次经过点，再经过振子第二次经过点，则振子做简谐运动的周期为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 12．如图所示为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．质点在0.7s时，正在远离平衡位置 B．质点在1.5s时的位移最大 C．1.2s到1.4s，质点的位移在增大 D．1.6s到1.8s，质点的位移在增大 13．如图所示，小球在水平方向做简谐运动，当小球由A向平衡位置O运动时，下列说法中正确的是（　　） A．小球的位移在减小 B．小球的运动方向向左 C．小球的位移方向向左 D．小球的位移在增大 三、解答题 14．如图，弹簧振子以O点为平衡位置，在相距25cm 的B 、C两点间做简谐运动。规定从O点向B点运动为正方向。时，振子从P点以速度向B点运动时，振子速度第一次变为；时，振子速度第二次变为。 (1)求振子振动周期T； (2)求振子振动振幅； (3)求振子在4.0s内通过的路程。 15．如图所示，弹簧振子在光滑水平面上的、两点之间做简谐运动。小球经过平衡位置点向右运动时开始计时，经过2s小球完成10次全振动，通过的路程为。 (1)求小球做简谐运动的周期。 (2)求小球做简谐运动的振幅A。 试卷第4页，共5页 试卷第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A A B C D D C 题号 11 12 13 答案 C BC AB 1．B 【详解】振子振动的振幅A=0.1m，周期为T=1s，则可知，1.25s内小球的路程为 故选B。 2．B 【详解】A．由图像可知，振幅为，A错误； B．由图像可知振动周期为，B正确； C．第末振子在平衡位置，速度达到最大值，C错误； D．从第1s末到第2s末振子经过平衡位置向下运动到达负向最大位移处，速度逐渐减小，做减速运动，D错误。 故选B。 3．D 【详解】A．由图可知，振子的周期 振子从点单向运动到点的时间为半个周期，即振子从点单向运动到点的时间为0.5s，故A错误； B．时振子在平衡位置下方，具有向上的加速度，因此弹簧对振子的弹力大于振子的重力，故B错误； C．时，振子恰好经过平衡位置，此时振子的速度最大，故C错误； D．0.5s恰好为半个周期，由图可知，振子的振幅为 则半个周期内振子通过的路程为，故D正确。 故选D。 4．A 【详解】根据题干的要求，用余弦函数来描述这个简谐运动时，振动方程为 其中 所以振动方程为 当时， 当时， 对比四个图像，只有A图符合。 故选A。 5．A 【详解】设质点的振动方程为 当t=0时，即 可得； 当t=0.1s时x=0.2cm，则 解得T=1.2s 则t0=1.3s 故选A。 6．B 【详解】简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关，与振幅无关，两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的，它们相等，所需时间为0.2s。 故选B。 7．C 【详解】A．振动图像反映质点的位移随时间的变化情况，不是质点的运动轨迹，该图并不表示质点沿曲线运动，故A错误； B．根据图像可知，在3s末质点的位移为-10cm，故B错误； C．在0~4s内质点通过的路程等于四倍振幅，即40cm，故C正确； D．在0~1s内质点从平衡位置向正向最大位移处运动，速度逐渐减小，做减速运动，故D错误。 故选C。 8．D 【详解】A．由图可知周期T=2s，则频率，A错误； B．该质点的振幅为A=5cm，B错误； CD．根据图示可知，初位置在负向最大位移处，根据 当时， 解得，故C错误D正确。 故选D。 9．D 【详解】A．第1s内振子相对于平衡位置的位移方向为正方向，速度方向也为正方向，A错误； B．第2s末振子在平衡位置，位移为零，B错误； C．第2s末振子恰好过平衡位置，速度最大，位移为零，且向x轴负方向运动；第3s末振子到达负向最大位移处，速度为零，C错误； D．第1s内和第2s内振子相对于平衡位置的位移方向都是正方向，第1s内瞬时速度向上，第2s内瞬时速度方向向下，与第1s内瞬时速度方向相反，D正确。 故选D。 10．C 【详解】A．测得P、Q间的距离为4cm。则一个周期路程为8cm，且已知小球连续通过任意8cm的路程所需要的时间均为2s，则周期为2s，振幅为2cm，故A错误； B．该振子振动频率是，故B错误； C．根据A选项可知，小球完成一次全振动通过的路程是8cm，故C正确； D．因为2.5s，通过的路程不一定为10cm，与起点位置有关，故D错误。 故选C。 11．C 【详解】由题可知，Q到最大位移处所用时间为 则O点到Q点时间 又因为 解得振子的周期为 故选C。 12．BC 【详解】A．根据图像可知，质点在0.7 s时正在向平衡位置运动，故A错误； BCD．由于质点做简谐运动的位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在1.5 s时的位移到达最大；质点在1.2s到1.4s过程中，正在远离平衡位置，所以其位移在增加；1.6s到1.8s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故BC正确，D错误。 故选BC。 13．AB 【详解】简谐运动的位移是相对平衡位置O而言的，不是相对运动的起点，由于振子在O点右侧由A向O运动，所以振子的位移方向向右，运动方向向左，位移不断减小，故选AB。 14．(1)1.0s (2)12.5cm (3)200cm 【详解】（1）时，振子从P点以速度向B点运动时，振子速度第一次变为；时，振子速度第二次变为；可知以上过程振子经历了半个周期，则振子振动周期为 （2）振子在相距25cm 的B 、C两点间做简谐运动，则振子振动振幅为 （3）由于 可知振子在4.0s内通过的路程为 15．(1) (2) 【详解】（1）小球完成一次全振动的时间是小球做简谐运动的周期，由题意可得，小球做简谐运动的周期为 （2）完成一次全振动，小球通过的路程为，根据题意可知10次全振动的路程 解得 学科网（北京）股份有限公司 $