长方体和正方体的表面积（教学设计）-2025-2026学年数学五年级下册冀教版

教学设计 案例名称 长方体和正方体的表面积 提供者 - 教材分析 （1）本节课的主要教学内容是长方体和正方体的表面积的概念及计算方法。 （2）本节课主要以复习长方体和正方体的特征（6 个面的形状、相对面的面积关系等）为基础，引导学生理解 “表面积” 的实际意义（即物体所有面的总面积），并推导出长方体表面积公式 [（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2] 和正方体表面积公式（棱长 × 棱长 ×6），同时通过生活实例（如贴彩纸、测量包装盒）巩固公式应用。 （3）通过学习本节课，学生能够从实际问题（如 “至少需要多少彩纸”）出发，建立 “表面积” 的概念，掌握根据长、宽、高或棱长计算表面积的方法；通过观察、讨论和动手测量生活中的长方体 / 正方体，培养空间观念，体会数学与生活的联系（如用表面积知识解决包装、计算占地面积等问题），提升解决实际问题的能力。 教学目标 （1）会用数学的眼光观察现实世界：通过观察长方体和正方体的实物模型，识别其表面由 6 个面组成，感知表面积是物体表面所有面的总面积，初步建立空间观念，发现生活中与长方体、正方体表面积相关的实际问题。 （2）会用数学的思维思考现实世界：通过分析长方体和正方体展开图中各面的面积关系，推导并理解表面积计算公式（长方体：（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2，正方体：棱长 × 棱长 ×6），培养逻辑推理能力，能运用公式解决简单的表面积计算问题。 （3）会用数学的语言表达现实世界：能用数学语言准确描述表面积的概念及公式的推导过程，规范说明表面积计算步骤的合理性，清晰表达长方体和正方体表面积的计算结果。 教学重难点 （1）教学重点：在真实情境中理解长方体和正方体表面积的意义，掌握其表面积计算公式（长方体：/，正方体：棱长 × 棱长 ×6），并能运用公式解决简单的实际问题（如计算包装盒表面积）。 （2）教学难点：建立空间观念，准确确定长方体每个面的长和宽与长方体长、宽、高的对应关系，避免混淆不同面的边长，从而正确计算每个面的面积。 教学方法 问题探究法、讨论法、直观演示法、动手实践法、归纳总结法 教学环境及资源准备 （1）长方体和正方体立体模型（含可标注长、宽、高的可拆卸面）。 （2）长方体和正方体表面展开图实物（含不同展开类型的纸质模板）。 （3）学生用学具包（含直尺、不同规格的长方体 / 正方体硬纸板、记录单）。 教学过程 一、复习引入（5 分钟） 教师：同学们，上节课我们刚刚认识了 “立体图形家族” 中的两位成员 ——长方体和正方体。现在老师想邀请大家当一回 “小小侦探”，用眼睛和手来回忆它们的特征（出示提前准备好的长方体和正方体实物模型，让学生轮流触摸观察）。首先，请大家思考：长方体有几个面？ 这些面都是什么形状？相对的两个面之间有什么关系？（停顿 30 秒，引导学生用手指模型指认） 学生：长方体有 6 个面！一般情况下，每个面都是长方形，相对的面面积相等！（有学生举手补充：如果长方体有两个面是正方形，那这两个面也是相对的，其他四个面还是长方形！） 教师：非常棒！不仅记得基础特征，还考虑到了特殊情况！那正方体呢？它的面又有什么特点？ 学生：正方体也有 6 个面，都是正方形，而且这 6 个面的面积全都相等！ 教师：（出示标注长、宽、高的长方体和正方体示意图，长 a、宽 b、高 h，正方体棱长 a）现在请大家回忆，长方体的棱长之和怎么计算？正方体呢？ 学生：长方体棱长之和是（长 + 宽 + 高）×4，也就是（a+b+h）×4；正方体棱长之和是棱长 ×12，也就是 a×12！ 教师：没错！我们已经掌握了长方体和正方体的 “骨架” 特征，但如果我们想给它们 “穿上漂亮的外衣”，比如给长方体礼品盒贴彩纸，给正方体魔方包包装纸，这时候需要计算什么呢？（教师举起准备好的长方体礼品盒模型）请大家仔细观察这个盒子的表面，它一共有几个面？我们把这些面的总面积叫做什么？ 学生：6 个面！这个总面积应该叫 “表面积”！ 教师：（板书课题：长方体和正方体的表面积）恭喜大家发现了新的知识点！今天我们就一起来探索如何计算这个 “表面总面积”。 二、探究新知（20 分钟） （一）长方体表面积的意义与计算方法 教师：聪聪的妈妈想给他的生日礼品盒（出示标注长 24cm、宽 15cm、高 12cm 的长方体模型，模型上用不同颜色标出长、宽、高对应的面）贴一层漂亮的彩纸，至少需要多少彩纸呢？（停顿，故意让学生停顿思考 20 秒）其实就是求这个长方体 6 个面的总面积，也就是它的表面积（板书：长方体表面积 = 6 个面的总面积）。现在请大家在草稿纸上画出这个长方体的 “展开示意图”（教师提供简单的网格纸，学生分组操作），并尝试用两种方法计算它的表面积。（巡视观察学生操作，重点关注：①是否能正确标注每个面的长和宽；②是否想到 “相对面面积相等” 的特点；③计算过程是否出现错误） 教师：（3 分钟后）好，时间到！哪位同学愿意分享你的计算方法？可以上台指着展开图说一说。 学生 1：我是把6 个面的面积分别算出来再相加！上面和下面都是长 × 宽（24×15），前面和后面都是长 × 高（24×12），左面和右面都是宽 × 高（15×12），所以总和是 24×15+24×12+15×12+24×15+24×12+15×12。 教师：这个方法很直观！我们可以把相同的面合并一下，写成 24×15×2+24×12×2+15×12×2，计算结果是多少呢？（学生快速计算） 学生 1：24×15=360，360×2=720；24×12=288，288×2=576；15×12=180，180×2=360；720+576+360=1656（平方厘米）。 教师：计算准确！有没有同学用了不同的思路？ 学生 2：（举手）我发现长方体有三组相对的面，所以可以先算 “长 × 宽”“长 × 高”“宽 × 高” 这三个面的面积和，再乘以 2！也就是（24×15+24×12+15×12）×2。 教师：（走到学生 2 身边，指着展开图）这个思路更简洁！为什么后面要乘以 2 呢？（引导学生观察） 学生 2：因为 “长 × 宽”“长 × 高”“宽 × 高” 分别对应上面 / 下面、前面 / 后面、左面 / 右面，每个方向都有两个面，所以要乘 2！ 教师：（板书公式）总结一下两种方法的本质：长方体 6 个面的总面积 =（前面面积 + 上面面积 + 右面面积）×2，而前面面积 = 长 × 高，上面面积 = 长 × 宽，右面面积 = 宽 × 高，所以公式可以写成：长方体表面积 =（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2（强调公式中的 “×2” 是因为相对面各算一次，每个面都有两个）。（带领全班齐读公式） （二）正方体表面积的计算方法 教师：我们已经掌握了长方体的表面积计算方法，接下来看看更 “特殊” 的正方体。（出示棱长为 5cm 的正方体模型，同时展示其展开图教具）正方体的 6 个面有什么特点？（学生回答：6 个面都是正方形，每个面的面积都相等） 教师：那它的表面积怎么算呢？请大家结合刚才的长方体经验，试着推导公式。（学生小组讨论，教师巡视引导：“长方体是先算三个不同面的面积和再乘 2，正方体的三个面其实都是一样的，你觉得怎么处理？”） 学生 3：（兴奋地举手）正方体的每个面都是正方形，面积是棱长 × 棱长，6 个面就是 6 个这样的正方形面积！所以表面积 = 棱长 × 棱长 ×6！ 教师：（板书公式）完全正确！如果用字母 a 表示正方体的棱长，表面积公式就是？（学生齐答：S=6a²）我们来验证一下：棱长 5cm 的正方体，一个面的面积是 5×5=25cm²，6 个面就是 25×6=150cm²，对吗？（学生点头） 教师：（突然提问）如果正方体的棱长扩大到原来的 2 倍，表面积会怎么变化？（学生思考后答：“表面积会扩大 4 倍！”）为什么？（引导学生举例：原棱长 5cm，表面积 6×5²=150；扩大后棱长 10cm，表面积 6×10²=600，600÷150=4） 学生：因为面积是平方关系，棱长扩大 2 倍，面积就扩大 2²=4 倍，6 个面的话还是乘 4！ 教师：（点头微笑）这个发现很棒！通过刚才的推导，我们把长方体和正方体的表面积公式都掌握了，现在我们来 “实战演练”！ 三、巩固练习（10 分钟） （1）基础计算：公式直接应用 教师：（课件出示题目）一个长方体饼干盒，长 20cm，宽 15cm，高 30cm，它的表面积是多少？（学生独立列式，教师巡视，发现有学生出现两种写法：①（20×15+20×30+15×30）×2；②20×15×2+20×30×2+15×30×2） 教师：请两位同学上台板演，其他同学在座位上验算。（学生板演后，教师引导全班观察：“这两种方法结果一样吗？为什么？”） 学生：结果一样！因为本质都是把 6 个面的面积相加，只是第一种方法先加后乘，第二种方法先乘后加，乘法分配律！ 教师：（板书结果）计算结果：（20×15+20×30+15×30）×2=（300+600+450）×2=1350×2=2700（平方厘米）。 （2）易错点辨析：“无盖 / 有盖” 问题 教师：（出示情境图：一个长方体鱼缸，长 80cm，宽 40cm，高 50cm，鱼缸顶部没有玻璃盖子）现在我们要给这个鱼缸的外面贴一层透明膜，需要计算多少平方厘米的膜？（停顿，学生独立思考） 学生 4：（犹豫地举手）应该算 5 个面！因为鱼缸没有盖子，所以只有底面和四个侧面！ 教师：（追问）为什么没有盖子？（引导学生观察图：“鱼缸是用来装水的，顶部开口不需要膜”）那公式需要怎么调整？ 学生 4：长方体表面积原本是 6 个面，现在少了上面，所以应该是：长 × 宽 + 2×（长 × 高 + 宽 × 高）！ 教师：（点头）非常好！这时候公式就变成了无盖长方体表面积 = 长 × 宽 + 2×（长 × 高 + 宽 × 高）。如果是有盖的长方体，就是 6 个面；如果是正方体鱼缸，无盖的话就是 5 个面，对吗？ （3）生活应用：测量与计算 教师：（分发软尺和记录表）现在请大家拿出课前准备好的长方体物品（如书本、文具盒、橡皮盒等），测量它们的长、宽、高，然后计算表面积。（学生分组合作，教师巡视指导：“测量时注意单位要统一哦！”“如果物品是正方体，直接用棱长计算！”） 学生 5：（举着自己的文具盒）我的文具盒长 20cm，宽 5cm，高 3cm，表面积是（20×5+20×3+5×3）×2=（100+60+15）×2=175×2=350 cm²！ 教师：其他同学核对一下，请大家思考测量时需要注意什么？（学生回答：“要注意长宽高都是从哪里到哪里，比如高度是指厚度还是高度”） 四、课堂小结（5 分钟） 教师：今天我们学习了 “长方体和正方体的表面积”，谁能说说你最大的收获？（引导学生从知识和方法两方面总结） 学生 6：我知道了长方体表面积公式是（长 × 宽 + 长 × 高 + 宽 × 高）×2，正方体表面积公式是棱长 × 棱长 ×6！ 学生 7：我学会了怎么根据实际情况判断 “算几个面”，比如无盖、有盖、有开口的东西，要区别对待！ 教师：（微笑点头）同学们总结得都很棒！我们来回顾一下知识脉络：从长方体和正方体的面的特征出发，通过展开图观察相对面的关系，推导出表面积公式，再用公式解决实际问题！（再次板书公式，强调 “相对面相等” 是推导公式的关键，而 “是否有盖子” 是实际应用的易错点） 教师：（最后提问）如果我们遇到一个 “不规则” 的立体图形，比如三棱柱，它的表面积怎么算呢？（学生思考后答：“还是算所有面的面积之和！”）对，无论什么立体图形，表面积都是所有外表面的面积总和！希望大家课后能把今天的知识用到生活中，比如帮妈妈算算家里冰箱需要多少包装纸，或者自己动手做一个长方体模型，验证表面积计算是否正确！ 作业布置 （1）计算下面长方体和正方体的表面积（单位：厘米）：①长方体：长 10，宽 6，高 4；②正方体：棱长 5。 （2）测量身边一个长方体或正方体物体（如文具盒、魔方等）的长、宽、高（或棱长），记录数据并计算其表面积。 学科网（北京）股份有限公司 $