2026年中考数学第二轮专题复习之解答题复习 6 一次函数及应用 (题型特点、答题要点、避坑指南、真题练习)

2026 年中考第二轮复习 解答题专题 6. 一次函数及应用 本课时是中考解答题必考中档核心题型，以一次函数的图象与性质为基础，融合待定系数法、方程不等式、实际建模、几何面积、函数最值等考点，是衔接代数与几何、理论与应用的关键板块，也是二轮复习必须满分突破的重点内容。 一、题型特点 1. 考点固定，结构清晰：核心考查待定系数法求解析式、函数图象性质、自变量取值范围、实际问题建模、与反比例函数 / 几何图形综合、方案最值，设问多为 2-3 小问，梯度明显、逻辑连贯。 2. 数形结合，应用性强：以行程、购物优惠、工程、温度变化、芯片采购等生活情境为载体，侧重考查从图象提取信息、将实际问题转化为函数模型的能力。 3. 综合交汇，难度分层：基础设问为求解析式、点坐标；中档为图象分析、取值范围；难题为方案最值、几何面积、参数范围，步骤分明确，规范书写至关重要。 4. 方法统一，易掌握：解题流程高度固定，是中考 “稳分、送分” 的核心题型，熟练方法后不易失分。 二、答题要点 1. 待定系数法求解析式：设，代入两点坐标列方程组求解，是解题基础。 2. 图象信息提取：抓起点、拐点、交点，明确横纵坐标实际意义，判断增减性与倾斜程度。 3. 实际建模三步走：审题找等量关系→设变量列函数式→结合自变量实际意义（非负、整数）确定范围。 4. 方案最值求解：根据k的正负判断增减性，结合自变量范围求最值。 5. 几何综合处理：求面积用 “割补法”，交点问题联立解析式，参数范围结合图象判断。 三、避坑指南 1. 忽略：判定一次函数时遗漏系数不为 0 的条件。 2. 增减性混淆：未根据k正负判断y随x的变化趋势，导致最值错误。 3. 自变量范围漏限：实际问题未考虑人数、数量为正整数，取值范围出错。 4. 联立计算失误：与反比例函数综合时，解方程组符号错误。 5. 面积计算错误：割补法找错底和高，遗漏绝对值。 6. 书写不规范：未写 “解”“设”，作答不完整，丢失步骤分。 本课时以解析式为基础、图象为工具、应用为核心，复习时强化待定系数法、数形结合、建模思想，规范解题步骤，即可稳稳拿下全部分数。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）已知是关于的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】 【解析】 （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将代入中解析式，即可求解． 【解答】 （1）解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， 正比例函数的解析式为：， （2）把代入得： ， 解得：． 2.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【解答】 （1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， 点的坐标为． （2）解：联立， ， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又当时，在的下方， 要大于， ． 3.（24-25·江苏模拟）【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象记作直线，与轴的夹角为． （1）若，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇利用被动声呐发现敌方潜艇正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜点整，潜艇测得潜艇在其北偏东方向，点分，测得潜艇在其北偏东方向，经过解算，潜艇将在点分航行至潜艇的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 【答案】 见解析 【解析】 （1）在任取一点，设，求出点坐标，进而求解即可； （2）时，在直线上取点，过点作轴于点，则，，在中，求即可得证； 【解答】 （1）如图，在上任取一点，过作轴于点， 设， ， ， ， 将点代入得，， 解得， 故答案为：； （2）证明：在上任取一点，过点做轴．如图， 设， ， ，． 在中，． 4.（22-23·湖北中考）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 油温 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是___一次______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求关于的函数解析式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】 一次 当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【解析】 （1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【解答】 （1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （3）当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 5.（24-25·辽宁模拟）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 凳面的宽度 【分析数据】 如图③，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】 在同一条直线上，函数解析式为： 【解析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【解答】 （1）， 解：设函数解析式为：， 当，， ， 解得：， 函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， 函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， 当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 6.（22-23·浙江中考）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 水面高度（观察值） 任务  分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．    任务  利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． 任务  计算任务得到的函数解析式的值． 请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】 任务：见解析；任务；任务：，；任务：见解析 【解析】 任务：根据表格每隔水面高度数据计算即可； 任务：根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度与流水时间的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务：先求出对应时间的水面高度，再按要求求值； 设，然后根据表格中数据求出此时的值是关于的二次函数解析式；由此求出的值最小时值即可； 任务：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为可以代替单位长度要素． 【解答】 解：任务：变化量分别为，；； ；； 任务：设， 时，，时，； 水面高度与流水时间的函数解析式为． 任务：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ． 设，则 ． 当时，最小． 优化后的函数解析式为． 任务：时间刻度方案要点： ①时间刻度的刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每表示表示时间约为． 7.（25-26·湖南模拟）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为时，求的值． 【答案】 【解析】 （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【解答】 （1）解：由题意得：点在一次函数的图象上， ， ； 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：对于一次函数，令，则； ； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ； ； 解得： 8.（25-26·山东模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】 ； 【解析】 （1）把点坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点作轴交直线于，则，再根据列式求解即可． 【解答】 （1）解：一次函数的图象经过， ， ， 一次函数解析式为； 反比例函数的图象经过， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，与反比例函数的图象相交于点， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 如图所示，过点作轴交直线于， ， 点的横坐标为， 在中，当时，， ， ， ． 9.（25-26·江苏模拟）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求，两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求的值． 【答案】 ， 【解析】 （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点和点的坐标，再代入，即可求得答案． 【解答】 （1）解：令，则， 解得， 点的坐标为， 令，则， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，垂足为， ，， ， 令，则， ， 点的坐标为， 点的坐标为， 点在一次函数的图象上， ， 解得． 10.（24-25·辽宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】 见解析 四边形面积的最大值为． 【解析】 （1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】 （1）解：证明：对于直线， 令，则；令，则， ，， ，， ， ； （2）解：点的坐标为， ，， 点关于直线的对称点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形面积 ， 当，四边形面积有最大值，最大值为． 11.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】 一次函数解析式为，反比例函数解析式为 或 点坐标为或 【解析】 （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【解答】 （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为 将代入， 则， 反比例函数解析式为：， 将代入， 则， ， 将，代入， 则， 解得： 一次函数解析式为：； （2）解：， 观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ， 设， 的面积为， ， ，即 解得：或 点坐标为或．  12.（24-25·四川中考） 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有、两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用、两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从、两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用、两种食品各多少份？ 【答案】 选用、两种食品分别为份和份； 应选用、两种食品分别为份和份； 【解析】 （1）先设选用、两种食品分别为份和份，结合选用、两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【解答】 （1）解：设选用、两种食品分别为份和份， 这两种食品中摄入能量和蛋白质， ， ， 选用、两种食品分别为份和份； （2）解：设选用种食品份， 依题意，， 即选用种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ， 随的增大而减小， 当时能量最低， 即， 应选用、两种食品分别为份和份． 13.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，随增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【解答】 （1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由得函数的解析式为 在中，， 在中，随增大而减小， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于， 当时，， ； 当时，解得， 当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值， ， ， 综上所述，． 14.（25-26·上海模拟）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往市，他驾车从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求与之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少？ 【答案】 与之间的关系式为； 该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，的值，再计算即可求解． 【解答】 （1）解：设与之间的关系式为，将，代入得， 解得， 与之间的关系式为； （2）解：当时，，，答：该车的剩余电量占“满电量”的． 15.（24-25·四川模拟）号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．号、号气球所在位置的海拔，（单位：）与上升时间（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：   （1）    ，    ； （2）请分别求出，与的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【答案】 ，; ，； 或. 【解析】 （1）根据号探测气球的出发海拔和速度即可计算的值，根据的值、号探测气球的出发海拔和运动时间可计算号探测气球的速度可计算的值； （2）由可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可； （3）由题意可得或，分别计算即可． 【解答】 （1）解：，.故答案为，； （2）由可得与函数图象的交点坐标为，设，， 将分别代入可得，, 解得，， ，； （3）由题意可得或，当时，， 解得， 当时，， 解得， 当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 16.（24-25·河北模拟）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．   （1）求的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】 ，； 【解析】 （1）把点的坐标代入直线解析式可求解，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【解答】 （1）解：把点代入，得．设直线的函数表达式为，把点，代入得，解得，直线的函数表达式为． （2）解：点在线段上，点在直线上，，，．， 的值随的增大而减小，当时，的最大值为． 17.（24-25·新疆模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】 ， 【解析】 （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【解答】 （1）解：将，代入函数解析式得，，解得， 函数的解析式为：， 当时，得， 点的坐标为． （2）由题意得，，即， 又由，得， 解得， 的取值范围为． 18.（24-25·新疆模拟）某同学设计了一个动画，有两道光线，，其中为常数，将第一象限区域设计为感光灯板． （1）当光线经过点时，求出的值，并指出点是否在光线上； （2）若光线与的交点落在第一象限内，两光线可以聚焦使灯板发光．求此时整数的取值个数． 【答案】 ；点在光线上 或，共个 【解析】 （1）待定系数法求出的值，再求出时的函数值，进行判断即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，根据交点在第一象限，求出的取值范围，即可得解． 【解答】 （1）解：把，代入得，，解得； 的表达式为，当时，， 点在光线上； （2）解：联立解析式得，解得，光线与的交点坐标为， 交点在第一象限， ，解得， 整数的值为或，共个． 19.（24-25·天津中考）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 小华离家的距离 0.1 0.6 1.8 ②填空：小华从公园返回家的速度为_____0.12_______； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】 ①②③ 【解析】 （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【解答】 （1）解：①小华去书店的速度为， 分钟时小华离家的距离为； 由图可知分钟时，小华离家的距离为； 分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， 当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 20.（25-26·甘肃模拟）如图，点在轴上，点和点都在轴上． （1）直线的表达式是______________________ （2）在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是__________ （3）当的取值范围是__________时，直线在直线的上方 （4）直线向右平移____2__个单位后经过点 【答案】 【解析】 （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）假设直线向右平移个单位后经过点，得出平移后解析式为，将代入即可求解； 【解答】 （1）解：设这个一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的表达式是； （2）解：根据图象可得，在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是； （3）解：根据图象可得，当直线在直线的上方时，； （4）解：直线的表达式是， 假设直线向右平移个单位后经过点， 则平移后解析式为， 将代入得， 解得：， 故直线向右平移个单位后经过点． 21.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． （1）求所在直线的表达式； （2）从点处发射激光．①当激光轴时，与交于点，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时的取值范围． 【答案】 ①；② 【解析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点的横坐标为，然后将代入所在直线的表达式可求得点的纵坐标即可；②先根据所在直线过、两点可求得一个临界点，在根据当轴时，与交于点，即可取无限大，据此即可解答． 【解答】 （1）解：设直线的函数解析式为，则有：，解得：， 设直线的函数解析式为． （2）解：①如图： 点处发射激光，轴，与交于点， 点的横坐标为， 将代入所在直线的表达式可得：, , 线段的长度为． ②所在直线的表达式为， ，即 ，， 当所在直线过时，，解得：， 由当轴时，与交于点，即可取无限大 的取值范围．   22.（24-25·河北模拟）(10分) 如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求的值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 【答案】 ； 或 【解析】 （1）把点坐标代入，求出的值；联立两个函数关系式求出点的坐标即可； （2）联立，求出，根据为整点，，为整数，求出的值即可； （3）先求出直线与直线和的两个交点间距离为，然后分两种情况求出的值即可． 【解答】 （1）解：把点坐标代入，得， ，， 联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ， 为整点， 为整数，为整数， 又，为整数， ， 点的坐标为； （3）解：把代入得：， 把代入得：， ， 直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时； 综上分析可知：或． 23.（23-24·重庆模拟）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点．设点的运动时间为秒，线段的长度为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时的值． 【答案】 图象见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 （1）分点在上和上分别讨论即可； （2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可； （3）根据函数图象，利用关系，由图象找出的对应值即可． 【解答】 （1）解：，点为中点， ，， 点以每秒的速度沿匀速运动到点，运动时间为秒， 点运动的路程为， ①当点在上，即当时， ， ②当点在上时，即当时， ， ， 与的函数关系式为：； （2）列表如下： 函数图象如下： 该函数的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）由可知在中，， 直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值， 观察图象，当时，， 当的长度与的长度相等时． 24.（23-24·云南模拟）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点． （1）求一次函数的零点； （2）若二次函数的零点为，，，两点的坐标依次，，如果，求的值； （3）直线的零点为，且与抛物线交于、两点，若时，线段有最小值，求． 【答案】 或 【解析】 （1）直接根据函数零点的定义解答即可； （2）利用函数零点的定义求得，，再根据利用两点间距离公式代入即可求得； （3）先利用零点定义求得，联立直线与抛物线求得交点坐标，再结合线段有最小值，分三种情况求解即可． 【解答】 （1）解：对于一次函数， 令，则，解得， 一次函数的零点是； （2）当，则， 解方程得： ， 即， 解得 （3）直线的零点为， ， ． 联立直线与抛物线解析式，消去，得：， 整理得：， 设方程的解为则： ， 线段有最小值，知：最小值为 令，得， 令，得：，的最小值为 分以下三类讨论： ①若，即：时，时，， ， （舍）或． ②若，即：时，时， ，无解． ③若，即：时，时，， ， （舍）或． 综上，或．   25.（24-25·安徽中考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，连接． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】 【解析】 （1）把代入求出，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【解答】 （1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 26.（23-24·江苏中考）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__80______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值___或或_____． 【答案】 购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 ①；②或或 【解析】 （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【解答】 （1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 27.（24-25·江西中考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计，各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计的示数． （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出，的值． 【答案】 弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； ； ，． 【解析】 （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝块重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，将代入计算即可． 【解答】 （1）解：由图②可知，当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ， 设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， 深度为． 28.（24-25·广东中考）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为元 ②购买个足球的价格比购买一个篮球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共个，且足球的个数不超过篮球个数的倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】 每个篮球元，每个足球元 当购买篮球个的时候，所花费用最少 【解析】 （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设篮球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【解答】 （1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球元，每个足球元． （2）设篮球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； 且为整数， 当最小值为时，最小值为元； 答：当购买篮球个的时候，所花费用最少． 29.（22-23·新疆中考）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 （1）当购物金额为元时，选择超市____A__（填“”或“”）更省钱； 当购物金额为元时，选择超市_B_____（填“”或“”）更省钱； （2）若购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 【答案】 ，，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱 不一定，理由见解析 【解析】 （1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解； （2）根据题意列出函数关系，根据当时，，得出时选择超市更省钱，结合题意，即可求解； （3）根据题意以及的结论，举出反例即可求解． 【解答】 （1）解：购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为元， ， 当购物金额为元时，选择超市更省钱； 购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为元 ， 当购物金额为元时，选择超市更省钱； 故答案为：． （2）解：依题意，， 当时，超市没有优惠，故选择超市更省钱， 当时， 解得： 当时，选择超市更省钱， 综上所述，或时选择超市更省钱， 当时，选择超市更省钱， 当时，两家一样， 综上所述，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱； （3）在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大， 例如：当超市购物元，返元，相当于打折，即优惠率为 ， 当超市购物元，返元，则优惠率为， 在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，   30.（23-24·江苏模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是_______． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线为常数，上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】 见解析 见解析 ①互相垂直；②， 男同学人数是人 【解析】 （1）根据新定义，类比画出的号加法线； （2）根据新定义，类比画出的号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【解答】 （1）解：在图②中画出的号加法线，如图所示， 作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线． （2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号减法线． （3）①如图所示， 的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， 的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直 ②则，，则， 故答案为：，． （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即， 号乘法线的函数表达式为； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人， 依题意，， 即画出号乘法线与的号减法线，如图所示， 交点对应的横坐标为， 男同学人数是人； （6）如图所示， 号减法线的解析式为，号加法线的解析式为 号乘法线为常数，上任一点的函数值与的号减法线和的号加法线． 设号乘法线的解析式为， ，则过定点， 如图所示， 当时，． 当时，， 将代入，得， 结合函数图象可得． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第二轮复习 解答题专题 6. 一次函数及应用 本课时是中考解答题必考中档核心题型，以一次函数的图象与性质为基础，融合待定系数法、方程不等式、实际建模、几何面积、函数最值等考点，是衔接代数与几何、理论与应用的关键板块，也是二轮复习必须满分突破的重点内容。 一、题型特点 1. 考点固定，结构清晰：核心考查待定系数法求解析式、函数图象性质、自变量取值范围、实际问题建模、与反比例函数 / 几何图形综合、方案最值，设问多为 2-3 小问，梯度明显、逻辑连贯。 2. 数形结合，应用性强：以行程、购物优惠、工程、温度变化、芯片采购等生活情境为载体，侧重考查从图象提取信息、将实际问题转化为函数模型的能力。 3. 综合交汇，难度分层：基础设问为求解析式、点坐标；中档为图象分析、取值范围；难题为方案最值、几何面积、参数范围，步骤分明确，规范书写至关重要。 4. 方法统一，易掌握：解题流程高度固定，是中考 “稳分、送分” 的核心题型，熟练方法后不易失分。 二、答题要点 1. 待定系数法求解析式：设，代入两点坐标列方程组求解，是解题基础。 2. 图象信息提取：抓起点、拐点、交点，明确横纵坐标实际意义，判断增减性与倾斜程度。 3. 实际建模三步走：审题找等量关系→设变量列函数式→结合自变量实际意义（非负、整数）确定范围。 4. 方案最值求解：根据k的正负判断增减性，结合自变量范围求最值。 5. 几何综合处理：求面积用 “割补法”，交点问题联立解析式，参数范围结合图象判断。 三、避坑指南 1. 忽略：判定一次函数时遗漏系数不为 0 的条件。 2. 增减性混淆：未根据k正负判断y随x的变化趋势，导致最值错误。 3. 自变量范围漏限：实际问题未考虑人数、数量为正整数，取值范围出错。 4. 联立计算失误：与反比例函数综合时，解方程组符号错误。 5. 面积计算错误：割补法找错底和高，遗漏绝对值。 6. 书写不规范：未写 “解”“设”，作答不完整，丢失步骤分。 本课时以解析式为基础、图象为工具、应用为核心，复习时强化待定系数法、数形结合、建模思想，规范解题步骤，即可稳稳拿下全部分数。 四、真题练习 1.（24-25·江苏模拟）已知是关于的正比例函数，当时，． （1）求关于的函数表达式； （2）若点是该函数图象上的一点，求的值． 【答案】 【解析】 （1）设正比例函数的解析式为：，将点代入解析式即可求解； （2）将代入中解析式，即可求解． 【解答】 （1）解：设正比例函数的解析式为：， 将点代入解析式可得：， 解得：， 正比例函数的解析式为：， （2）把代入得： ， 解得：． 2.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． （1）当时，求点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【解答】 （1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， 点的坐标为． （2）解：联立， ， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又当时，在的下方， 要大于， ． 3.（24-25·江苏模拟）【知识回顾】 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象记作直线，与轴的夹角为． （1）若，则______； （2）当时，求证：． 【知识应用】 电影《蛟龙行动》中有这样一段情节： 静止潜伏于水下的我方潜艇利用被动声呐发现敌方潜艇正沿某固定直线航向以每分钟海里的速度潜航进入我国海域．午夜点整，潜艇测得潜艇在其北偏东方向，点分，测得潜艇在其北偏东方向，经过解算，潜艇将在点分航行至潜艇的北偏东方向．请利用以上信息，以我方潜艇为坐标原点，建立合适的坐标系，计算出敌方潜艇的航线图象的函数表达式．［参考数据：，］ 【答案】 见解析 【解析】 （1）在任取一点，设，求出点坐标，进而求解即可； （2）时，在直线上取点，过点作轴于点，则，，在中，求即可得证； 【解答】 （1）如图，在上任取一点，过作轴于点， 设， ， ， ， 将点代入得，， 解得， 故答案为：； （2）证明：在上任取一点，过点做轴．如图， 设， ， ，． 在中，． 4.（22-23·湖北中考）某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间 油温 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温（单位：）与加热的时间（单位：）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是___一次______函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求关于的函数解析式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】 一次 当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【解析】 （1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【解答】 （1）解：由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； （2）设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， 关于的函数解析式为； （3）当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 5.（24-25·辽宁模拟）综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究，第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识：第三小组负责汇报和交流，下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 凳面的宽度 【分析数据】 如图③，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【答案】 在同一条直线上，函数解析式为： 【解析】 （1）用待定系数法求解即可； （2）将代入函数解析式，解方程即可． 【解答】 （1）， 解：设函数解析式为：， 当，， ， 解得：， 函数解析式为：， 经检验其余点均在直线上， 函数解析式为，这些点在同一条直线上； （2）解：把代入得： ， 解得：， 当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度为． 6.（22-23·浙江中考）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间 水面高度（观察值） 任务  分别计算表中每隔水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系．    任务  利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为；越小，偏差越小． 任务  计算任务得到的函数解析式的值． 请确定经过的一次函数解析式，使得的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】 任务：见解析；任务；任务：，；任务：见解析 【解析】 任务：根据表格每隔水面高度数据计算即可； 任务：根据每隔水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度与流水时间的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务：先求出对应时间的水面高度，再按要求求值； 设，然后根据表格中数据求出此时的值是关于的二次函数解析式；由此求出的值最小时值即可； 任务：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为可以代替单位长度要素． 【解答】 解：任务：变化量分别为，；； ；； 任务：设， 时，，时，； 水面高度与流水时间的函数解析式为． 任务：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ． 设，则 ． 当时，最小． 优化后的函数解析式为． 任务：时间刻度方案要点： ①时间刻度的刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每表示表示时间约为． 7.（25-26·湖南模拟）如图，一次函数的图象交轴于点，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交轴于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当的面积为时，求的值． 【答案】 【解析】 （1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解； （2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解； 【解答】 （1）解：由题意得：点在一次函数的图象上， ， ； 在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：对于一次函数，令，则； ； 一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：； 对于一次函数，令，则； ； ； 解得： 8.（25-26·山东模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】 ； 【解析】 （1）把点坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案； （2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点作轴交直线于，则，再根据列式求解即可． 【解答】 （1）解：一次函数的图象经过， ， ， 一次函数解析式为； 反比例函数的图象经过， ， ， 反比例函数解析式为； （2）解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，与反比例函数的图象相交于点， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 如图所示，过点作轴交直线于， ， 点的横坐标为， 在中，当时，， ， ， ． 9.（25-26·江苏模拟）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图象交于点，连接． （1）求，两点的坐标； （2）若是以为底边的等腰三角形，求的值． 【答案】 ， 【解析】 （1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案； （2）过点作，垂足为，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点和点的坐标，再代入，即可求得答案． 【解答】 （1）解：令，则， 解得， 点的坐标为， 令，则， 点的坐标为； （2）解：如图，过点作，垂足为， ，， ， 令，则， ， 点的坐标为， 点的坐标为， 点在一次函数的图象上， ， 解得． 10.（24-25·辽宁中考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． （1）求证：； （2）设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】 见解析 四边形面积的最大值为． 【解析】 （1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】 （1）解：证明：对于直线， 令，则；令，则， ，， ，， ， ； （2）解：点的坐标为， ，， 点关于直线的对称点为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形面积 ， 当，四边形面积有最大值，最大值为． 11.（25-26·山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时的取值范围； （3）点为轴上一动点，连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】 一次函数解析式为，反比例函数解析式为 或 点坐标为或 【解析】 （1）由待定系数法求解即可； （2）根据图象即可求得； （3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标． 【解答】 （1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点和，点的横坐标为 将代入， 则， 反比例函数解析式为：， 将代入， 则， ， 将，代入， 则， 解得： 一次函数解析式为：； （2）解：， 观察图象，当时，的取值范围是或； （3）解：设与轴交于点， 当时， ， 设， 的面积为， ， ，即 解得：或 点坐标为或．  12.（24-25·四川中考） 国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有、两种食品，每份食品的质量为，其核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：） 蛋白质（单位：） 脂肪（单位：） 碳水化合物（单位：） （1）若要从这两种食品中摄入能量和蛋白质，应选用、两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共，从、两种食品中摄入的蛋白质总量不低于，且能量最低，应选用、两种食品各多少份？ 【答案】 选用、两种食品分别为份和份； 应选用、两种食品分别为份和份； 【解析】 （1）先设选用、两种食品分别为份和份，结合选用、两种食品分别为份和份，列出方程组，进行计算，即可作答． （2）结合每份食品的质量为，每份午餐选用这两种食品共，则选用种食品份，再列出不等式，得，然后设能量为，则，运用一次函数的性质进行作答即可． 【解答】 （1）解：设选用、两种食品分别为份和份， 这两种食品中摄入能量和蛋白质， ， ， 选用、两种食品分别为份和份； （2）解：设选用种食品份， 依题意，， 即选用种食品份， 则 ， 解得， 设能量为， 则 ， 随的增大而减小， 当时能量最低， 即， 应选用、两种食品分别为份和份． 13.（24-25·北京模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求的取值范围． 【答案】 【解析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式可判断出在中，随增大而减小，那么当时，函数的最小值一定要大于，据此可得不等式；求出不等式的解集，根据题意可得是的解集或解集的一部分，据此求解即可． 【解答】 （1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由得函数的解析式为 在中，， 在中，随增大而减小， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于， 当时，， ； 当时，解得， 当时，对于的每一个值，函数的值都小于的值， ， ， 综上所述，． 14.（25-26·上海模拟）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往市，他驾车从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求与之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少？ 【答案】 与之间的关系式为； 该车的剩余电量占“满电量”的． 【解析】 （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当时，的值，再计算即可求解． 【解答】 （1）解：设与之间的关系式为，将，代入得， 解得， 与之间的关系式为； （2）解：当时，，，答：该车的剩余电量占“满电量”的． 15.（24-25·四川模拟）号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．号、号气球所在位置的海拔，（单位：）与上升时间（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：   （1）    ，    ； （2）请分别求出，与的函数关系式； （3）当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【答案】 ，; ，； 或. 【解析】 （1）根据号探测气球的出发海拔和速度即可计算的值，根据的值、号探测气球的出发海拔和运动时间可计算号探测气球的速度可计算的值； （2）由可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可； （3）由题意可得或，分别计算即可． 【解答】 （1）解：，.故答案为，； （2）由可得与函数图象的交点坐标为，设，， 将分别代入可得，, 解得，， ，； （3）由题意可得或，当时，， 解得， 当时，， 解得， 当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 16.（24-25·河北模拟）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点．   （1）求的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】 ，； 【解析】 （1）把点的坐标代入直线解析式可求解，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 【解答】 （1）解：把点代入，得．设直线的函数表达式为，把点，代入得，解得，直线的函数表达式为． （2）解：点在线段上，点在直线上，，，．， 的值随的增大而减小，当时，的最大值为． 17.（24-25·新疆模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求该函数的解析式及点的坐标； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】 ， 【解析】 （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式即可求解． 【解答】 （1）解：将，代入函数解析式得，，解得， 函数的解析式为：， 当时，得， 点的坐标为． （2）由题意得，，即， 又由，得， 解得， 的取值范围为． 18.（24-25·新疆模拟）某同学设计了一个动画，有两道光线，，其中为常数，将第一象限区域设计为感光灯板． （1）当光线经过点时，求出的值，并指出点是否在光线上； （2）若光线与的交点落在第一象限内，两光线可以聚焦使灯板发光．求此时整数的取值个数． 【答案】 ；点在光线上 或，共个 【解析】 （1）待定系数法求出的值，再求出时的函数值，进行判断即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，根据交点在第一象限，求出的取值范围，即可得解． 【解答】 （1）解：把，代入得，，解得； 的表达式为，当时，， 点在光线上； （2）解：联立解析式得，解得，光线与的交点坐标为， 交点在第一象限， ，解得， 整数的值为或，共个． 19.（24-25·天津中考）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 小华离家的距离 0.1 0.6 1.8 ②填空：小华从公园返回家的速度为_____0.12_______； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】 ①②③ 【解析】 （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【解答】 （1）解：①小华去书店的速度为， 分钟时小华离家的距离为； 由图可知分钟时，小华离家的距离为； 分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， 当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 20.（25-26·甘肃模拟）如图，点在轴上，点和点都在轴上． （1）直线的表达式是______________________ （2）在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是__________ （3）当的取值范围是__________时，直线在直线的上方 （4）直线向右平移____2__个单位后经过点 【答案】 【解析】 （1）根据待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）根据图象即可求解； （4）假设直线向右平移个单位后经过点，得出平移后解析式为，将代入即可求解； 【解答】 （1）解：设这个一次函数的解析式为， 把代入得， 解得， 直线的表达式是； （2）解：根据图象可得，在直线上且位于轴右侧的所有点的纵坐标的取值范围是； （3）解：根据图象可得，当直线在直线的上方时，； （4）解：直线的表达式是， 假设直线向右平移个单位后经过点， 则平移后解析式为， 将代入得， 解得：， 故直线向右平移个单位后经过点． 21.（24-25·新疆模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，，，连接． （1）求所在直线的表达式； （2）从点处发射激光．①当激光轴时，与交于点，求线段的长度； ②已知所在直线的表达式为，请直接写出激光与线段（不含端点）有交点时的取值范围． 【答案】 ①；② 【解析】 （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题意可得点的横坐标为，然后将代入所在直线的表达式可求得点的纵坐标即可；②先根据所在直线过、两点可求得一个临界点，在根据当轴时，与交于点，即可取无限大，据此即可解答． 【解答】 （1）解：设直线的函数解析式为，则有：，解得：， 设直线的函数解析式为． （2）解：①如图： 点处发射激光，轴，与交于点， 点的横坐标为， 将代入所在直线的表达式可得：, , 线段的长度为． ②所在直线的表达式为， ，即 ，， 当所在直线过时，，解得：， 由当轴时，与交于点，即可取无限大 的取值范围．   22.（24-25·河北模拟）(10分) 如图，直线为常数，与轴交于点，直线与轴交于点，两直线交于点． （1）若点坐标为，求的值和点坐标； （2）规定：横、纵坐标均为整数的点为整点，当为整数时，求为整点时的坐标； （3）设在直线上，且落在内部（不含边界）整点的个数为，直接写出的值． 【答案】 ； 或 【解析】 （1）把点坐标代入，求出的值；联立两个函数关系式求出点的坐标即可； （2）联立，求出，根据为整点，，为整数，求出的值即可； （3）先求出直线与直线和的两个交点间距离为，然后分两种情况求出的值即可． 【解答】 （1）解：把点坐标代入，得， ，， 联立， 解得：， 点的坐标为； （2）解：联立， 解得：， ， 为整点， 为整数，为整数， 又，为整数， ， 点的坐标为； （3）解：把代入得：， 把代入得：， ， 直线与直线和的两个交点间距离为，且， 当直线与直线和的两个交点中有一个点是整点时； 当直线与直线和的两个交点中都不是整点时； 综上分析可知：或． 23.（23-24·重庆模拟）如图，在等腰中，，，点为中点，点从点出发，沿方向以每秒的速度匀速运动到点．设点的运动时间为秒，线段的长度为． （1）请直接写出关于的函数关系式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当的长度与的长度相等时的值． 【答案】 图象见解析，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一） 【解析】 （1）分点在上和上分别讨论即可； （2）列表、描点、连线，画出函数图象，从函数的某一方面性质，比如增减性写出一条即可； （3）根据函数图象，利用关系，由图象找出的对应值即可． 【解答】 （1）解：，点为中点， ，， 点以每秒的速度沿匀速运动到点，运动时间为秒， 点运动的路程为， ①当点在上，即当时， ， ②当点在上时，即当时， ， ， 与的函数关系式为：； （2）列表如下： 函数图象如下： 该函数的性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （3）由可知在中，， 直线时，与图象交点的横坐标就是要求的的值， 观察图象，当时，， 当的长度与的长度相等时． 24.（23-24·云南模拟）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点． （1）求一次函数的零点； （2）若二次函数的零点为，，，两点的坐标依次，，如果，求的值； （3）直线的零点为，且与抛物线交于、两点，若时，线段有最小值，求． 【答案】 或 【解析】 （1）直接根据函数零点的定义解答即可； （2）利用函数零点的定义求得，，再根据利用两点间距离公式代入即可求得； （3）先利用零点定义求得，联立直线与抛物线求得交点坐标，再结合线段有最小值，分三种情况求解即可． 【解答】 （1）解：对于一次函数， 令，则，解得， 一次函数的零点是； （2）当，则， 解方程得： ， 即， 解得 （3）直线的零点为， ， ． 联立直线与抛物线解析式，消去，得：， 整理得：， 设方程的解为则： ， 线段有最小值，知：最小值为 令，得， 令，得：，的最小值为 分以下三类讨论： ①若，即：时，时，， ， （舍）或． ②若，即：时，时， ，无解． ③若，即：时，时，， ， （舍）或． 综上，或．   25.（24-25·安徽中考）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，连接． （1）求，，的值； （2）求的面积． 【答案】 【解析】 （1）把代入求出，把代入求出，再把和代入求解即可； （2）根据直线解析式求出点的坐标得到长，依据，进而计算即可得解． 【解答】 （1）解：把代入得， ， 把代入得， 点的坐标为， 把和代入得： ， 解得：， ， ． （2）解：令时，则， 解得， 点的坐标为， ． 26.（23-24·江苏中考）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共需要元． （1）求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． （2）若该公司计划购买、两种型号的芯片共颗，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． （3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是__80______． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值___或或_____． 【答案】 购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 ①；②或或 【解析】 （1）根据题意列方程组求解即可； （2）结合不等式约束条件，将问题转化为求函数最小值即可； （3）求出解析式代入计算即可；求出甲乙两车的函数解析式，分类讨论即可． 【解答】 （1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 27.（24-25·江西中考）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计，的下方，从离桌面的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计，各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 （1）当小铝块下降时，直接写出弹簧测力计和弹簧测力计的示数． （2）当时，求弹簧测力计的示数关于的函数解析式． （3）当弹簧测力计悬挂的小铝块下降时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出，的值． 【答案】 弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； ； ，． 【解析】 （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝块重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为，将代入计算即可． 【解答】 （1）解：由图②可知，当小铝块下降时，弹簧测力计的示数为，弹簧测力计的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ， 设当时，弹簧测力计的示数关于的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， 深度为． 28.（24-25·广东中考）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为元 ②购买个足球的价格比购买一个篮球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共个，且足球的个数不超过篮球个数的倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】 每个篮球元，每个足球元 当购买篮球个的时候，所花费用最少 【解析】 （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设篮球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【解答】 （1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球元，每个足球元． （2）设篮球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； 且为整数， 当最小值为时，最小值为元； 答：当购买篮球个的时候，所花费用最少． 29.（22-23·新疆中考）随着端午节的临近，，两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案，如下表： 超市 超市 优惠方案 所有商品按八折出售 购物金额每满元返元 （1）当购物金额为元时，选择超市____A__（填“”或“”）更省钱； 当购物金额为元时，选择超市_B_____（填“”或“”）更省钱； （2）若购物金额为元时，请分别写出它们的实付金额（元）与购物金额（元）之间的函数解析式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ （3）对于超市的优惠方案，随着购物金额的增大，顾客享受的优惠率不变，均为（注：）．若在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率一定越大吗？请举例说明． 【答案】 ，，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱 不一定，理由见解析 【解析】 （1）根据题意，分别计算购物金额为和元时，两家超市的费用，比较即可求解； （2）根据题意列出函数关系，根据当时，，得出时选择超市更省钱，结合题意，即可求解； （3）根据题意以及的结论，举出反例即可求解． 【解答】 （1）解：购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为元， ， 当购物金额为元时，选择超市更省钱； 购物金额为元时，超市费用为（元） 超市费用为元 ， 当购物金额为元时，选择超市更省钱； 故答案为：． （2）解：依题意，， 当时，超市没有优惠，故选择超市更省钱， 当时， 解得： 当时，选择超市更省钱， 综上所述，或时选择超市更省钱， 当时，选择超市更省钱， 当时，两家一样， 综上所述，当或时选择超市更省钱，当时，选择超市更省钱； （3）在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大， 例如：当超市购物元，返元，相当于打折，即优惠率为 ， 当超市购物元，返元，则优惠率为， 在超市购物，购物金额越大，享受的优惠率不一定越大，   30.（23-24·江苏模拟）方格纸中的数学——运算线 【加法线】如图，作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线．号加法线上任一点向横线和竖线作垂直后，垂足在横线与竖线上所表示的数之和为． （1）在图②中画出的号加法线； 【减法线】 （2）类比画加法线的方法，在图中画出的号减法线． 【换个角度看】 （3）①已知两个数、，判断的号加法线与的号减法线的位置关系并说明理由（可借助图③说理）； ②若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴．则的号加法线与的号减法线所表示的函数表达式分别是_______． 【乘法线】 （4）如图④，若所表示的点为坐标原点，以横线为轴，竖线为轴，与乘数的积的乘法线称为号乘法线．求号乘法线的函数表达式； 【应用】 （5）某校数学社团男同学比女同学多人，且男同学人数是女同学人数的倍，在图⑤中，利用运算线求男同学的人数． （6）号乘法线为常数，上任一点的函数值与差的号减法线和的号加法线．当时，．结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】 见解析 见解析 ①互相垂直；②， 男同学人数是人 【解析】 （1）根据新定义，类比画出的号加法线； （2）根据新定义，类比画出的号加法线； （3）①观察图象即可求解； ②根据题意写出解析式，即可求解； （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人，分别画出号乘法线与的号减法线，交点的横坐标即为所求； （6）根据题意得，则过定点，进而画出函数图象，结合函数图象，即可求解． 【解答】 （1）解：在图②中画出的号加法线，如图所示， 作的加法线，先在横线上找到第一个加数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个加数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号加法线． （2）作的减法线，先在横线上找到第一个被减数并作横线的垂线，再在竖线上找到第二个减数并作竖线的垂线，两条垂线相交于点，过点沿小方格对角线作直线，与横线相交于点，则点在横线上所表示的数为，则为的号减法线． （3）①如图所示， 的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直， 根据网格的特点可得两直线经过正方形的对角线， 的号加法线与的号减法线的位置关系是互相垂直 ②则，，则， 故答案为：，． （4）依题意，与乘数的积的乘法线称为号乘法线，即， 号乘法线的函数表达式为； （5）设男同学的人数为人，女同学的人数为人， 依题意，， 即画出号乘法线与的号减法线，如图所示， 交点对应的横坐标为， 男同学人数是人； （6）如图所示， 号减法线的解析式为，号加法线的解析式为 号乘法线为常数，上任一点的函数值与的号减法线和的号加法线． 设号乘法线的解析式为， ，则过定点， 如图所示， 当时，． 当时，， 将代入，得， 结合函数图象可得． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $