7.3 定义、命题、定理 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

人教版七年级下册 第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 学习目标 进行新课 知识点1 定义和命题 （1）规定了原点、正方向和长度单位的直线叫作数轴； （2）使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解； （3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线； （4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 请同学们读出下列语句： 像这样判断一件事情的语句，叫做命题.. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 如：画线段AB=CD. 如：相等的角是对顶角. 注意 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 归纳总结 下列语句，哪些是命题？哪些不是命题？ （1）对顶角相等； （2）画一个角等于已知角； （3）两直线平行，同位角相等； （4）a、b两条直线平行吗？ （5）温柔的李明明； （6）玫瑰花是动物； （7）若a2＝4，求a的值； （8）若a2＝b2，则a＝b. 练一练 命题是陈述句，疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题. 虽然错误，但也作出了判断 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？ （1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （2）如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等； （3）如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. （4）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 都是“如果……那么……”的形式. 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 题设 结论 命题 题设 结论 已知事项 由已知事项推出的事项 命题的组成： 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 例如： 对顶角相等 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. 练一练 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式． （1）两点确定一条直线； （2）等角的补角相等； （3）内错角相等. 如果有两个定点，那么过这两点有且只有一条直线 如果两个角分别是两个等角的补角，那么这两个角相等 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 命题1：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 观察下列命题，它们都是正确的吗？ 命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角. √ × 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题 题设真，结论真，为真命题 题设真，结论假，为假命题 判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论即可 知识点2 真命题和假命题 (1)同旁内角互补；( ) (4)两点可以确定一条直线；( ) (7)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( ) (2)一个角的补角大于这个角；( ) 1. 判断下列命题的真假.真的用“√”表示，假的用“×”表示. (5)两点之间线段最短；( ) (3)相等的两个角是对顶角；( ) (6)同角的余角相等；( ) 练一练 判断真假命题的一般步骤： ①判断是否为命题. ②判断该命题是否正确，若正确，则为真命题；若错误，则为假命题. 思考：如何判定一个命题是假命题？ 例如，要判定命题 “相等的角是对顶角” 是错误的， 可以举出如下反例： 举反例 在图中，OC是∠AOB的平分线， ∠1=∠2， 但它们不是对顶角． 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 1 2 A O C B 知识点3 定理与证明 有些命题是基本事实，还有些命题它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理.定理也可以作为继续推理的依据. 学过的定理： （1）补角的性质：同角或等角的补角相等. （2）对顶角的性质：对顶角相等. （3）平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行. …… 你还能想出学过的定理吗？ 定理的概念： 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 证明的概念： 证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. 证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. 已知：直线a⊥b，b∥c ． 求证：a⊥c． a b c 1 2 题设 结论 例 如图，已知直线a⊥b，b∥c ，求证a⊥c． a b c 1 2 证明：∵ a⊥b（已知）， ∴∠1=90º （垂直的定义）. ∵ b∥c（已知）， ∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）. ∴∠2=90º（等式的基本事实）. ∴ a⊥c（垂直的定义）. ①分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； ②根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； ③经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 证明的一般步骤： 1.指出下列命题的题设和结论： （1）若a=b，则5a=5b； （2）如果AB⊥CD，垂足为O，那么∠AOC=90°； （3）如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3； （4）两直线平行，同位角相等. 题设 题设 题设 题设 结论 结论 结论 结论 2.在下面的括号内，填上推理的根据. 如图，∠A +∠B=180°，求证∠C +∠D=180°. 证明：∵∠A+∠B=180°， ∴AD∥BC（_________________________）， ∴∠C+∠D=180°（_________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 3.命题“同位角相等”是正确的吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例. 解：不正确. 如图，∠1和∠2是同位角， 但它们不相等． 4、完成下面的证明． 如图，AB∥EF，∠D＝∠E，∠B+∠D＝180°．求证：BC∥DE． 证明：∵∠D＝∠E(已知)； ∴CD∥ 　( 　 )； ∵AB∥EF(已知)； ∴AB∥　 ( 　 　) ∴∠B＝　 (　 )； ∵∠B+∠D＝180°(已知)； ∴　 +∠D＝180°( 　 )； ∴BC∥DE( 　 )． EF 内错角相等，两直线平行 CD 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ∠C 两直线平行，内错角相等 ∠C 等式的基本事实 同旁内角互补，两直线平行 如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（3）∠A+∠B = 180° （2）AD∥BC，（4）∠B + ∠C = 180° 以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题. 想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？ 解：题设：AB∥DC，结论：∠ABC+∠C=180°. 真命题：若 AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°. 如图，连接 BD. 真命题：若∠ABD=∠CDB，则 AB∥DC. 证明：∵∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 拓展提升 如何由已知条件推理出结果，如何将自己的思维有条理的表达出来 语言要规范。基本的推理方法采用因果关系的表述形式， 常用符号语言∵，∴来表达， “∵……（　）， ∴……（　）．” 注意，括号中每一步都要有根有据 由几何图形的性质决定因果关系可分为：①一因一果型； ②一因多果型； ③多因一果型． 数学是“思维的体操” 几何证明，规范的书写，是数学符号感，空间感，语言表达，推理能力的全方位展现。 1、格式要规范。 比如，符号上下要对齐，书写整齐， 看起来赏心悦目。 2、步骤要规范、严谨，思路清晰，上下因果关系明确， 条理清晰，步骤完整，不颠三倒四。 3、作辅助线时，几何语言描述要规范。 如，延长AB到点D使AB=BD 注意,证明等几何题要从条件写起, 比如条件是AD⊥EC,你必须先写       ∵AD⊥EC （ ）       ∴∠ADE＝90° （ ）       而不能直接写       ∵∠ADE＝90°       ∴. 证明两角的余角或补角相等 ∵∠1+∠2＝90° （ ） ∠3+∠2＝90° （ ）   ∴∠1＝∠3 （ ） 证明部分重合的线段（角）相等的书写： 如图：已知：AB=CD，求证:AC=BD ∵ AB=CD （ ）   ∴AB+BC=CD+BC （ ） 即 AC=BD （ ） ∵∠1+∠2＝90° （ ） ∠3+∠4＝90° （ ） 又∵∠1＝∠3 （ ）  ∴ ∠2＝∠4 （ ） 几何书写要求 4．如图，完成下列推理过程． 已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO. 求证：CF//DO. 证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO ( 已知 ) ∴∠DEA＝∠BOA＝90° ( 垂直的定义 ) ∴ DE//BO ( 同位角相等，两直线平行 ) ∴∠EDO＝∠DOF ( 两直线平行，内错角相等 ) 又∵∠CFB＝∠EDO ( 已知 ) ∴∠DOF＝∠CFB ( 等量代换 ) ∴ CF//DO ( 同位角相等，两直线平行 ) 承上启下句 课堂小结 定义 结构 分类 题设 结论 真命题 假命题 判断一件事情的语句 已知事项 由已知事项推出的事项 形式 如果……那么…… 定理 举反例 证明 $