第七章二元一次方程组单元检测卷2026年鲁教版（五四制）七年级数学下册

第七章二元一次方程组单元检测卷 一、单选题（共48分） 1．（本题4分）已知方程组的解为，则■，▲分别为（    ） A．1，2 B．1，5 C．5，1 D．2，4 2．（本题4分）某社团计划购买一些篮球和足球，已知篮球单价是120元，足球单价是150元．若该社团用2700元购买这两种球（篮球、足球都购买）且2700元恰好用完，则该社团共有几种购买方案？（   ） A．2 种 B．3 种 C．4 种 D．5种 3．（本题4分）在下列方程组：①，②，③，④，⑤中，是二元一次方程组的是（   ） A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．①②③⑤ 4．（本题4分）已知关于的二元一次方程组的解互为相反数，则的值为（　　） A．1 B． C．5 D．14 5．（本题4分）关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（本题4分）用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（    ） A．由①，得 B．由①，得 C．由②，得 D．由②，得 7．（本题4分）定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则（     ） A．8 B．4 C．3 D．10 8．（本题4分）已知二元一次方程，用关于x的代数式表示y，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知一次函数与的交点坐标为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 11．（本题4分）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（    ） A． B． C． D． 12．（本题4分）如图，直线与的图象交于，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 13．（本题4分）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 14．（本题4分）你喜欢足球运动吗？足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成．如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．设一个球上有白色皮块块、黑色为块，求白色皮块和黑色皮块分别为多少块？由此列出的方程组可以为______． 15．（本题4分）中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为________尺． 16．（本题4分）若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为_________ ． 17．（本题4分）已知，则的值为__________． 18．（本题4分）在方程①，②，③，④中，任选两个组成二元一次方程组，若是该方程组的解，则选择的两个方程是______．（填序号） 三、解答题（共78分） 19．（本题8分）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 20．（本题10分）解方程组： (1) (2) 21．（本题11分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该汽车销售公司正好用万元资金，购进A型汽车、B型汽车两种型号汽车（两种型号汽车均购买）国庆节期间销售，请问怎样购进才能使购进的车辆最多，最多可以购进几辆？ 22．（本题12分）已知关于x，y的二元一次方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解； (3)直接写出关于，的二元一次方程组的解． 23．（本题12分）美丽服装店按进价购进A，B两种新式服装共25件，合计花费1900元，已知这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A型 B型 进价（元/件） 60 100 标价（元/件） 100 160 (1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，美丽服装店一共可获利多少元？ 24．（本题12分）如图，直线与x轴交于点B，直线经过点，，直线，交于点C． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 25．（本题13分）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”． (1)方程组的解与是否具有“邻好关系”？说明你的理由； (2)若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解的含义．把代入②可得▲，把代入①得：■，从而可得答案． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴，解得：， ∴▲， 把代入①得：■， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查二元一次方程的正整数解的应用，设购买篮球n个，足球m个，根据题意列出方程并化简，寻找满足条件的正整数解的数量即可. 【详解】解：设购买篮球n个，足球m个， 根据题意得：， 两边同时除以30，化简为：，其中n和m均为正整数， 将方程变形为：，为使n为正整数，必须是4的倍数且结果大于0， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所有解均为正整数，故共有4种购买方案； 故选：C 3．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义．分析各个方程组是否满足二元一次方程组的定义“①只有两个未知数；②未知数的项最高次数都应是一次；③都是整式方程”．据此即可判断． 【详解】解：①，符合二元一次方程组的概念； ②，符合二元一次方程组的概念； ③中，中含未知数的项的次数不是一次，不符合二元一次方程组的概念； ④中，不是整式方程，不符合二元一次方程组的概念； ⑤，符合二元一次方程组的概念； 综上，①②⑤是二元一次方程组． 故选：A． 4．C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，相反数的性质．根据相反数的性质得到，得到，求得，再得到，进一步计算即可得解． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解x、y互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了同解方程组，涉及到了解二元一次方程组，解题关键是理解同解方程组的含义，先求出的解，再将解代入中求出a，b，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， ∴， 故选：D． 6．D 【分析】用代入法解二元一次方程，由于②中的系数为，故对②进行变形比较容易． 本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法． 【详解】解：观察可知，②中的系数为，由②得代入后化简比较容易，故D正确． 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了解二元一次方程组和有理数的混合运算，能求出a、b的值是解此题的关键． 根据题意得出方程组，求出a、b的值，得到，再代入求出答案即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 即， ∴. 故选：D． 8．C 【分析】本题考查的是用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将方程中的变量y用x表示，对方程进行移项和系数变形即可. 【详解】解：原方程为 ， 移项：将含x的项移到右边，得到， 系数化为1：两边同时除以，得 因此，用x表示y的表达式为 ，对应选项C， 故选：C 9．A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 10．B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 先把代入可确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：把代入得， 可化为，可化为， 方程组的解为， 故选B． 11．C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 12．C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：∵一次函数与的图象交于， ∴一次函数与的图象向下平移1个单位长度得到函数的解析式为，， 则一次函数与的图象的交点也相应的向下平移一个单位长度为， ∴关于x，y的方程组的解为， 故选：C． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 14． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系．设设一个球上有白色皮块块、黑色为块，根据“足球一般是用块黑、白两种颜色的皮块缝制而成”与“黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形”列方程组即可． 【详解】解：设一个球上有白色皮块块、黑色为块， ∵每块白色皮块有六条边，共条边，且每块白色皮块有条边与黑色皮块的边连在一起， ∴黑色皮块共有条边与白色皮块相连接， ∵所有黑色皮块的边数为， ∴可列式为． 故答案为：． 15．15 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设绳索长 尺，竿长 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于 的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长 尺，竿长 尺， 根据题意得： ． 解得： 故答案为15． 16． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题关键是正确求解方程组． 先求出二元一次方程组的解，再根据腰的取值不同，分两种情况讨论求解，求得等腰三角形的周长． 【详解】解：方程组，解得：， ∵方程组的解恰为等腰三角形的两边长， ∴当腰长为2时， 三边长为2，2，4，，不能构成三角形； 当腰长为4时， 三边长为4，4，2，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．把两式相减即可得解． 【详解】解：∵， 得：， 故答案为：． 18．②④ 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将、分别代入每个方程，判断是否符合方程即可得出答案． 【详解】解：当、时， ①； ②； ③； ④； 所以是方程组的解， 故答案为：②④． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 20．(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法和加减消元法． （1）利用加减消元法直接求解方程组． （2）先化简方程，消除分母和括号，得到标准二元一次方程组，再利用加减消元法求解． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②中，得， 解得：， ∴方程组的解为． （2）解：， 先化简方程得： 将得：⑤， 由得：， 解得：， 将代入④中得，， 解得：， ∴方程组的解为． 21．(1)每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元 (2)当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出各购买方案，再求出各购买方案购进汽车的总辆数，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：每辆A型汽车的进价为万元，每辆B型汽车的进价为万元； （2）解：设购进m辆A型汽车，n辆B型汽车， 根据题意得：， ∴， 又∵m，n均为正整数， ∴或， ∴共有2种购进方案， 方案1：购进3辆A型汽车，4辆B型汽车，共购进（辆）； 方案2：购进7辆A型汽车，1辆B型汽车，共购进（辆）， ∵， ∴当购进7辆A型汽车，1辆B型汽车时，才能使购进的车辆最多，最多可以购进8辆． 22．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；熟练掌握方程组的解与方程组的关系是解决本题的关键． （1）将代入求出， 将代入求出； （2）按照加减消元的方法解方程组即可； （3）由（2）得出，再按照加减消元的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：将代入得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ． （2）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为； （3）解：由（2）可知， 得， 解得：， 把代入③得：， 解得：， ∴方程组的解为． 23．(1)A种服装购进15件，B种服装购进10件 (2)美丽服装店一共可获利880元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及利润的计算，熟练掌握二元一次方程组的解法和利润的计算公式是解题的关键． （1）设A种服装购进件，B种服装购进件，根据数量关系和总价关系列出二元一次方程组求解． （2）先算出A、B两种服装各自的利润，A按标价出售，利润是标价减进价，B按标价8折出售，利润是售价减进价，然后将两者利润相加． 【详解】（1）解：设A种服装购进件，B种服装购进件， ， 由可得， 将代入， 得， ， ， ， 则． 答：A种服装购进15件，B种服装购进10件． （2）解：A种服装每件利润：（元）， 共15件，利润为（元）， B种服装标价160元，8折后的售价：（元）， 每件利润：（元）， 共10件，利润为（元）， 总利润：（元）． 答：美丽服装店一共可获利880元． 24．(1) (2)3 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题及待定系数法求一次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法进行计算即可； （2）求出点，坐标，再结合三角形的面积公式即可解决问题． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入得， ， 解得， 所以直线的解析式为； （2）解：由，令， 得，解得， ∴， 联立方程， 解得：， ∴． ∵，， ∴． 25．(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，理解“邻好关系”是解题关键． （1）由方程组中变形可得，即满足，说明该方程组的解，满足，即该方程组的解与具有“邻好关系”； （2）利用加减消元法求得，，得到，再根据“邻好关系”的定义，即得出，解出m的值即可． 【详解】（1）解：， 由②得：，即满足． ∴方程组的解，具有“邻好关系”； （2）解：方程组， 得：， 解得， 将代入得，， 解得， ∴． ∵方程组的解，具有“邻好关系”， ∴，即， ∴或． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $