第九章 解三角形（复习课件）数学人教B版必修第四册

单元复习课件 第九章 解三角形 人教B版必修第四册 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握三角形的面积公式及其应用 3.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题. 2.熟练掌握正、余弦定理解三角形；会用正、余弦定理判断三角形形状。 单元学习目标 单元知识图谱 考点一：正弦定理 1．正弦定理：设R是△ABC外接圆的半径， 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： =2R （1）正弦定理适用于任何三角形 （2）应用正弦定理解决的题型： ①已知两角与一边，求其它边和角 (AAS/ASA)； ②已知两边与一边的对角，求其它边和角 (SSA) . 适用条件与注意事项 ⚠️ 注意：SSA 情况可能出现一解、两解或无解，需结合图形具体分析。 考点串讲 考点一：正弦定理 , ， , , , 2.正弦定理的常用变形 “边化角” “边的比=角的正弦比” “角化边” “内项积=外项积” “等比合比定理” 考点串讲 考点二：余弦定理 1．余弦定理：在△ABC中 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 余弦定理推论： 考点串讲 (1)已知三边 (SSS)：求任意角 (2)已知两边及其夹角 (SAS)：求第三边 (3)已知两边和一边的对角求其它(SSA)： 2．余弦定理的适用条件 考点二：余弦定理 --- 用正、余弦定理都可解 考点串讲 考点三：三角形边角的重要关系 1、角与角关系： 2、边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； 3、边与角关系：等边对等角,大边对大角; 4、在△ABC中，A为锐角⇔cos A>0⇔a2_________b2＋c2； A为直角⇔cos A＝0⇔a2_________b2＋c2； A为钝角⇔cos A<0⇔a2_________b2＋c2. < ＝ > 考点串讲 考点四：边角互化的技巧 技巧一：化边为角 公式：a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC 适用场景： 条件或结论中包含边的齐次式（如 a² + b² = c²） 需要将边的关系转化为角的关系进行三角恒等变换时 技巧二：化角为边 公式：= , = , sinC = 适用场景： 条件或结论中包含角的正弦的齐次式（如 sin²A + sin²B = sin²C） 需要将角的关系转化为边的关系进行代数运算时 技巧总结：观察条件和结论的结构，以“统一”为目标，灵活决定是化边为角还是化角为边，使运算更简便。 考点串讲 考点五：用正、余弦定理判断三角形形状 4、锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的判定 1、若sinA=sinB，则∆ABC为等腰三角形； 2、若sin2A=sin2B，则∆ABC为等腰三角形或直角三角形； 3、若sin(A-B)=0，则∆ABC为等腰三角形; 考点串讲 考点六：三角形面积 1．若记△ABC的面积为S，则S＝________________ 2．S＝________________＝________________＝________________. 3．三角形面积公式的其他形式： (1)S△ABC＝，其中R为△ABC的外接圆半径； (2)S△ABC＝2R2sin Asin Bsin C，其中R为△ABC的外接圆半径； (3)S△ABC＝(a＋b＋c)r，其中r为△ABC内切圆的半径； (4)S△ABC＝，其中p＝. 底高 海伦公式 考点串讲 题型一、应用正、余弦定理解三角形 例1 分析：(1)已知两边及夹角(SAS),(2)已知三边(SSS)，用余弦定理 (3)已知两角和一边(ASA),(4)已知两边和一边对角(SSA)，用正弦定理，注意解的情况；(4)也可以用余弦定理。 题型剖析 题型一、应用正、余弦定理解三角形 例1 解： (1) a2=b2+c2-2bccosA =82+32-2×8×3×cos60⁰=49 ∴a=7 (2) ∴B=90⁰ (3)∵A=15⁰,B=45⁰ ∴C=180∘-A-B=120⁰ ∴ ∴b= ∵sin15⁰=sin(45⁰-30⁰)=sin45⁰cos30⁰-cos45⁰sin30⁰ ∴a=sin15⁰ = 题型剖析 题型一、应用正、余弦定理解三角形 (4) 解法一：正弦定理 解： 例1 ∵ ∴ ∴ 又c>b ∴C=45⁰或135⁰ ∴C>B 解法二：余弦定理 ∵ b2=a2+c2-2accosB ∴ ∴ ∴ ∴ ∴C=45⁰或135⁰ 题型剖析 注意：用正弦定理判定三角形解的情况 若正弦值大于1则是无解， 若是等于1则是一解， 若是小于1，则利用“大角对大边”来确定所求角的范围，即可确定几解. 总结：已知三角形的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 题型一、应用正、余弦定理解三角形 题型剖析 题型一、应用正、余弦定理解三角形 题型剖析 (1)设∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若bcosC+ccosB=asinA，则∆ABC的形状为（ ） 题型二、利用正余弦定理判断三角形的形状 B 例2 A.锐角三角形 B.直角三角形 D.不确定 C.钝角三角形 (1)由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A ⸫sin(B+C)=sin2A， 即sinA=sin2A. ⸪A∈(0,π) ⸫sinA>0 ⸫sinA=1 即 ⸫△ABC为直角三角形，故选B. 【解】 题型剖析 【解】 题型二、利用正余弦定理判断三角形的形状 例2 (2)⸪， ⸫由正弦定理得， ⸫b=c 又(b+c+a)(b+c-a)=3bc， ⸫b2+c2-a2=bc， ⸫由余弦定理得 ⸪A∈(0,π) ⸫ ⸫△ABC为等边三角形，故选C. C A.直角三角形 B.等腰非等边三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 (2)设∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若则∆ABC的形状为（ ） 题型剖析 解题锦囊 判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 题型二、利用正余弦定理判断三角形的形状 题型剖析 题型二、利用正余弦定理判断三角形的形状 练习 设∆ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，试判断该三角形的形状. 【分析】利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系. 【解】 由已知得a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理得 sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B 由0<2A<2π，0<2B<2π ∴2A=2B或2A=π-2B ∴A=B或 ∴∆ABC是等腰或直角三角形. 题型剖析 题型三、正余弦定理与三角形面积问题 例3 在∆ABC中，A=60⁰，b=1，其面积为则为（ ） A. B. C. D. 【分析】由三角形面积公式可得c=4，由余弦定理得 ，结合正弦定理即可求解. 【解】 ∴ ∴c=4 由题意知， 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA=12+42-2×1×4×cos60⁰=13 ∴a= 由余弦定理, 故选：C C 题型剖析 题型三、正余弦定理与三角形面积问题 归纳总结：求解三角形中的边、角、面积的解题策略 该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化． 题型剖析 题型三、正余弦定理与三角形面积问题 在△ABC中，∠B=60°，b=2，求△ABC面积的最大值。 练习 【分析】由余弦定理：b² = a² + c² -2ac·cosB和均值不等式：a² + c² ≥ 2ac求最值。 【解】 由余弦定理，b² = a² + c² -2ac·cosB ∴ ∴ ∴ac≤12（当且仅当 a=c 时取等号） ∴△ABC的面积S= 因此，△ABC面积的最大值为 题型剖析 题型四、实际应用（测量距离、高度） （咸阳）彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度AB，选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝15°,∠BDC＝135°,CD＝20 m，在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝（　　） A.30 m B.20 m C.20 m D.20 m 例4 C D A B 135° D 20 60° 15° 题型剖析 题型四、实际应用（测量距离、高度） 1. 建模 提取三角形模型，标注已知的边和角。 2. 求解 根据已知条件，选择正弦或余弦定理求解。 3. 还原 将计算结果转化为实际问题的答案（距离/高度）。 测量不可到达的两点间距离、测量物体高度等。 归纳总结： 常见场景 图示：测量山高的几何模型示例 题型剖析 实际应用问题中有关的名词、术语 ②仰角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线上方时与水平线的夹角。 ③俯角 【定义】在同一铅垂平面内，视线在水 平线下方时与水平线的夹角。 【引入】在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，通常需要借助经纬仪、卷尺等测量工具. 解决这类问题，我们常常遇到“不可到达”的困难，也会碰到一些专有名词和术语： ①基线 ——根据测量的需要而确定的线段叫做基线; 题型剖析 方向角 【定义】从正北或正南方向到目标 方向所形成的小于九十度 的角。 方位角 【定义】从某点的指北方向线起依 顺时针方向到目标方向线 之间的水平夹角。 实际应用问题中有关的名词、术语 题型剖析 某渔船在航行中不幸遇险，发出呼叫信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10海里/小时的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间． 题型四、实际应用（测量距离、高度） 练习 【解】 设舰艇收到信号后t小时在小岛B处靠拢渔船， 则AC=10 ∠ACB=45⁰+(180⁰-105⁰)=120⁰ 由余弦定理，得 AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB 针对训练 ∴ 题型四、实际应用（测量距离、高度） 整理得2t2 -t -1=0， 解得t=1或 ∴舰艇需要1小时靠近货船. 此时， 在△ABC中，由正弦定理得 ∴， 则∠ACB=30⁰， 故舰艇航行的方位角为45⁰+30⁰=75⁰. 题型剖析 1.在锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是(　　). A.sin A=cos B B.sin A<cos B C.sin A>cos B D.不能确定 　【解析】在锐角三角形ABC中，A+B>90°，所以0°< 90°-B<A<90°， 所以sin A>sin(90°-B)=cos B. C 针对训练 2.在△ABC中，sin A=，a=10，则c的取值范围是(　　). A. B.(10，+∞) C.(0，10)  D. ∴c= ∴0<c≤ . 【解析】 ∵ D 针对训练 3.已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=(　　). A.10  B.9   C.8   D.5 【解析】　由23cos2A+2cos2A-1=0,得25cos2A=1,故cos A= 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即49=b2+36-2×b×6×， 整理得5b2-12b-65=0,解得b=5或b= D 针对训练 4.在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,如果a+c=2b,B=30°,△ABC的面积为，那么b等于(      ). A. B.1+ C. D.2+ 【解析】利用三角形的面积公式可得 acsin B= =(1+)2, 所以b=1+ . 又因为B=30°,所以ac=6. 再由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-2accos B, 又a+c=2b,ac=6,所以b2=4b2-12-6 解得b2=4+2 B 针对训练 5.如图,在△ABC中,已知B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=      .  【解析】在△ADC中,cos C= 又0°<C<180°, ∴sin C= 在△ABC中, ∴AB= . 针对训练 6.(多选题)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，BC边上的中线AD=2，则下列说法正确的有( 　　). A. B.b2+c2=10 D.∠BAD的最大值为60° C. ABC 【解析】 对于A，∵ 故A正确； 对于B，∵cos∠ADC= -cos∠ADB， ∴b2+c2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC+AD2+DB2-2AD·DB·cos∠ADB=2AD2+DB2+DC2=2×22+1+1=10，故B正确； 对于C，由余弦定理及基本不等式得cos A= (当且仅当b=c时，等号成立)， 由A可知bccos A=3， ∴cos A≥ 解得cos A≥ 故C正确； 对于D，cos∠BAD= (当且仅当c= 时，等号成立) ∴∠BAD的最大值为30°，故D错误.故选ABC. 针对训练 7.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断△ABC的形状． 【解析】 （方法一) 由正弦定理△ABC外接圆的半径) 原式可化为 sin2Bsin2C=sinBsinCcosBcosC ∵sinBsinC≠0，∴sinBsinC=cosBcosC ∴cosBcosC-sinBsinC=0 即cos(B+C)=0 ∴B+C=90⁰ ∴A=90⁰. ∴△ABC为直角三角形. 针对训练 （方法二) 将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC 由余弦定理，得 b2+c2-b2 即 整理得b2+c2=a2 ∴△ABC为直角三角形. 针对训练 8.在平面四边形ABCD中，AB= , AD= , ∠ABD=45°, (1)求△ABD的面积； (2)设M为BD的中点, 且MC=MB, 求四边形ABCD周长的最大值. 解: A B C D (1)连接BD，在△ABD中，由余弦定理可得 AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD 设BD=x，则17=2+x2 即x2-2x-15=0， 解得x=5或x=-3(舍去) 所以BD=5， 所以S△ABD= 针对训练 解: (2)由M为BD的中点，可得MC为△BCD的边BD的中线， 又MC=MB，可得MC=， 所以∠BCD=90⁰， 所以BC2+CD2=BD2=25 又(BC+CD)2=BC2+CD2+2BC·CD≤2(BC2+CD2)=50 所以当且仅当BC=CD时等号成立， 所以AB+AD+BC+CD≤ 即四边形ABCD的周长的最大值为. A B C D M 针对训练 9.在锐角三角形ABC中，a=2 ,(2b-c)cos A=acos C. (1)求角A; (2)求△ABC的周长l的范围. 解:(1)∵(2b-c)cos A=acos C, ∴2bcos A=acos C+ccos A, ∴2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, ∴2sin Bcos A=sin(A+C), ∴2sin Bcos A=sin B. 针对训练 核心知识 正弦定理及其变形 余弦定理及其推论 三角形常用结论 高频题型 基础解三角形计算 SSA解的个数判断 三角形形状判断 面积与周长最值问题 实际应用（测量距离等） 易错警示 解的个数是否漏解 三角函数符号判断 内角范围的限制条件 边角转化的等价性 课堂总结 感谢聆听! eq \f(1,2)absin C eq \f(1,2)acsin B eq \f(1,2)bcsin A ∴cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,2). ∵0<B<π，∴B＝eq \f(π,3). (2)　将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得 由余弦定理，得cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(5\r(7),14). ∵0<A<π，∴sin A＝eq \r(1－cos2A)＝eq \f(\r(21),14)， ∴tan A＝eq \f(sin A,cos A)＝eq \f(\r(3),5). 练习．已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若c＝3a，求tan A的值． 解　(1)∵a2＋c2－b2＝ac， (2)∵=4, ∴=4, ∴b=4sin B,c=4sin C=4sin-B, ∴l=a+b+c=2+4sin B+4sin-B =2+6sin B+2cos B=2+4sinB+. 因为△ABC是锐角三角形,且A=, 所以 即<B<, 所以B+∈, 所以sinB+∈,1, 所以l∈(6+2,6]. ∵sin B≠0,∴cos A=, ∵A∈0,,∴A=. $