概率与统计课件-2026届高考数学二轮复习

　概率与统计 高中数学 二轮复习 返回导航 与概率统计有关的创新问题主要类型为概率、统计方法的新定义问题． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 创新练 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 概率的新定义问题 返回导航 返回导航 返回导航 本例新定义了条件期望，可以类比我们学过的条件概率和数学期望加以理解，要有目标意识，紧扣题目条件中所给的公式进行计算． 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 考向 2 统计方法中的新定义问题 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 创新练 第 分 部 二 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 1 2 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 例1　条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念．近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件概率和条件期望已经被广泛地应用到日常生产生活中．定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y＝y条件下的期望为E(X|Y＝y)＝，其中{x1，x2，…，xn}为X的所有可能取值集合，P(X＝x，Y＝y)表示事件“X＝x”与事件“Y＝y”都发生的概率．某射击手进行射击训练，每次射击击中目标的概率均为p(0<p<1)，射击进行到击中目标两次时停止．设ξ表示第一次击中目标时的射击次数，η表示第二次击中目标时的射击次数． (1)求P(ξ＝2，η＝5)，P(η＝5)； 解：(1)由题设，P(ξ＝2，η＝5)＝(1－p)·p·(1－p)·(1－p)·p＝(1－p)3p2， P(η＝5)＝C(1－p)3p2＝4(1－p)3p2． 解：(2)由题设，E(ξ|η＝5)＝＝1×＋2×＋3×＋4×＝＋＋＋1＝．同(1)，P(η＝n)＝C(1－p)n－2p2＝(n－1)(1－p)n－2p2， P(ξ＝i，η＝n)＝(1－p)n－2p2，i＝1，2，3，…，n－1，所以E(ξ|η＝n)＝＝＋＋…＋＋1＝＝(n≥2)． (2)求E(ξ|η＝5)，E(ξ|η＝n)(n≥2)． 跟踪训练 (2025·江苏南京二模)不透明的口袋中装有编号分别为1，2，…，n(n≥2，n∈N*)的n个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取r次，每次取1个球，记取出的r个球的最大编号为随机变量X，则称X服从参数为n，r的“BM”分布，记为X～BM(n，r)． (1)若X～BM(2，2)，求P(X＝2)； 解：(1)由X～BM(2，2)，得P(X＝2)＝C＋C＝． (2)若X～BM(4，m)，且E(X)≥，求m的最小值； 解：(2)由X～BM(4，m)，X＝1，2，3，4，得P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，3，4． 则E(X)＝[1m＋2(2m－1m)＋3(3m－2m)＋4(4m－3m)]＝[4×4m－(1m＋2m＋3m)]＝4－．令E(X)≥，得＋＋≤4－＝． 又f(m)＝＋＋在m∈N*上单调递减，且f(1)＝>，f(2)＝>，f(3)＝<，故m的最小值为3． (3)若X～BM(n，n)，求证：∀n≥2且n∈N*，E(X)>n－1． 解：(3)证明：由X～BM(n，n)，X＝1，2，…，n(n≥2)，得 P(X＝k)＝P(X≤k)－P(X≤k－1)＝，k＝1，2，…，n， 所以E(X)＝P(X＝k)＝{1×1n＋2(2n－1n)＋3(3n－2n)＋…＋n[nn－(n－1)n]}＝{nn＋1－[1n＋2n＋…＋(n－1)n]}＝n－． 先证∀x∈R，ex≥x＋1． 设g(x)＝ex－x－1，x∈R，则g′(x)＝ex－1．令g′(x)＝0，得x＝0，列表如下： x (－∞，0) 0 (0，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以g(x)≥g(0)＝0， 故∀x∈R，ex≥x＋1，当且仅当x＝0时取等号． 令x＝－(n∈N*，k＝1，2，…，n－1)，则0<1－<e－， 故<(e－)n＝e－k(k＝1，2，…，n－1)， 即<e－k(k＝1，2，…，n－1)， 所以＋＋…＋<e－(n－1)＋e－(n－2)＋…＋e－2＋e－1＝＝<， 所以－>－， 所以E(X)>n－>n－1，故∀n≥2且n∈N*，E(X)>n－1． 例2　为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某4S店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表(m≤40，m∈N)： 项目 购买新能源汽车 购买传统燃油车 男性 80－m 20＋m 女性 60＋m 40－m (1)当m＝0时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X，求X的分布列与数学期望． 解：(1)当m＝0时，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人． 由题意可知，X的可能取值为1，2，3． P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝． X的分布列为 X 1 2 3 P E(X)＝1×＋2×＋3×＝2． (2)定义K2＝∑(2≤i≤3，2≤j≤3，i，j∈N)，其中Aij为列联表中第i行第j列的实际数据，Bij为列联表中第i行与第j列的总频率之积再乘列联表的总频数得到的理论频数．基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设H0(变量X，Y相互独立)，然后计算K2的值，当K2≥xα时，我们推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．根据K2的计算公式，求解下面问题： ①当m＝0时，依据小概率值α＝0．005的独立性检验，请分析性别与购买新能源汽车是否有关； ②当m<10时，依据小概率值α＝0．1的独立性检验，若认为性别与是否购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性购买新能源汽车？ 附： α 0．1 0．025 0．005 xα 2．706 5．024 7．879 解：(2)①零假设为H0：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联． 当m＝0时， A22＝80，B22＝0．5×0．7×200＝70，A23＝20，B23＝0．5×0．3×200＝30， A32＝60，B32＝0．5×0．7×200＝70，A33＝40，B33＝0．5×0．3×200＝30， K2＝＋＋＋＝＋＋＋＝≈9．524， ∵9．524>7．879＝x0．005， ∴根据小概率值α＝0．005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0．005． ②K2＝＋＋＋＝． 由题意可知≥2．706，整理得(10－m)2≥28．413， 又m∈N，m<10，∴m≤4，∴m的最大值为4，又80－4＝76， ∴至少有76名男性购买新能源汽车． 本例中新定义了公式K2＝∑(2≤i≤3，2≤j≤3，i，j∈N)的意义及其应用，解题时要准确确定公式中每个量的值，求出K2的值后，再进行判断． 跟踪训练 (2025·江西鹰潭二模)为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策．为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有6位成员，两个部门分别独立发出邀请的专家名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议． (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望． 解：(1)X的可能取值为2，3，4， 则P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 则X的分布列为 X 2 3 4 P E(X)＝2×＋3×＋4×＝． (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见．已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，两个部门都各自邀请了20名代表，假设收到食品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，请利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数． (附：极大似然估计(MLE)即最大概率估计，是统计学用于估算模型参数的方法，通过观察数据使样本出现的概率最大化，即当X＝k时，概率P(X＝k)取得最大值，则X的估计值为k) 解：(2)设食品监督管理部门邀请的代表记为集合A，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B． 设参加会议的群众代表的人数为Y，则Y＝card(A∪B)． 设card(A∪B)＝k，则card(A∩B)＝40－k， P(Y＝k)＝＝，P(Y＝k＋1)＝， ＝＝， 同理，＝＝， 令 得≤1≤， 即≤1≤， 解得35≤k≤36， 又k∈Z，所以k＝36，故利用极大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数为36． 1．(20分)设离散型随机变量X和Y有相同的可能取值，它们的分布列分别为P(X＝ak)＝xk，P(Y＝ak)＝yk，xk>0，yk>0，k＝0，1，2，…，n，k＝k＝1．指标D(X‖Y)可用来刻画X和Y的相似程度，其定义为D(X‖Y)＝k ln ．设X～B(n，p)，0<p<1． (1)若Y～B(n，q)，0<q<1，求D(X‖Y)； 解：(1)不妨设ak＝k，则xk＝Cpk(1－p)n－k，yk＝Cqk(1－q)n－k． 所以D(X‖Y)＝Cpk(1－p)n－k·ln ＝ln ·Cpk·(1－p)n－k＋n ln ·Cpk(1－p)n－k＝np ln ＋n ln ． (2)若n＝2，P(Y＝k)＝，k＝0，1，2，求D(X‖Y)的最小值． 解：(2)当n＝2时，P(X＝2)＝p2，P(X＝1)＝2p(1－p)，P(X＝0)＝(1－p)2， 记f(p)＝D(X‖Y)＝p2ln (3p2)＋2p(1－p)ln [6p(1－p)]＋(1－p)2·ln [3(1－p)2]＝p2ln p2＋2p(1－p)ln [2p(1－p)]＋(1－p)2·ln (1－p)2＋ln 3， 则f′(p)＝4p ln p＋2p＋(2－4p)·{ln [2p(1－p)]＋1}－4(1－p)ln (1－p)－2(1－p)＝2[ln p－ln (1－p)＋(1－2p)ln 2]， 令g(p)＝ln p－ln (1－p)＋(1－2p)ln 2，则g′(p)＝＋－2ln 2， 令φ(p)＝＋－2ln 2，则φ′(p)＝， 当0<p<时，φ′(p)<0，φ(p)单调递减； 当<p<1时，φ′(p)>0，φ(p)单调递增． 所以φ(p)≥φ＝4－2ln 2>0，则g(p)单调递增，而g＝0， 所以f′(p)在上为负数，在上为正数， 则f(p)在上单调递减，在上单调递增， 所以D(X‖Y)的最小值为ln 3－ln 2． 2．(20分)为了研究高二年级学生的性别和身高是否大于170 cm的关联性，调查了某中学部分高二年级的学生，整理得到如下列联表： 性别 身高 合计 低于170 cm 高于170 cm 女 19 5 24 男 6 10 16 合计 25 15 40 (1)依据α＝0．01的独立性检验，能否认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联？ 解：(1)零假设为H0：该中学高二年级学生的性别与身高无关联，则由2×2列联表数据可得， χ2＝≈7．111>6．635， 依据α＝0．01的独立性检验，推断H0不成立，即能认为该中学高二年级学生的性别与身高有关联，该推断犯错误的概率不超过0．01． (2)考虑以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，已知{X＝1}和{X＝0}，{Y＝1}和{Y＝0}都是互为对立事件．令H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)为零假设或原假设．求证：若零假设成立，则{X＝1}和{Y＝1}独立． 附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d． α 0．1 0．05 0．01 0．005 0．001 xα 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 解：(2)证明：由条件概率的定义可知，零假设H0等价于＝， 或P(X＝0，Y＝1)P(X＝1)＝P(X＝1，Y＝1)P(X＝0)①， 注意到{X＝0}和{X＝1}互为对立事件，于是P(X＝0)＝1－P(X＝1)， 再由概率的性质，我们有P(X＝0，Y＝1)＝P(Y＝1)－P(X＝1，Y＝1)， 由此推得①式等价于P(X＝1)P(Y＝1)＝P(X＝1，Y＝1)， 因此零假设H0等价于{X＝1}与{Y＝1}独立． $