精品解析：2026年河南省驻马店市上蔡县名校协作体模拟预测数学试题

2026年九年级中招练习试卷 数学 试卷1 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列是棱柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，利用量角器改造的工具测量角，则的大小为（　　） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个互为相反数的实数根 D. 没有实数根 6. 亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 7. 化简的结果是（） A. B. C. D. 8. 唐朝文化深厚，涌现了众多诗人．正面分别印有唐朝诗人及出生地的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面诗人恰好出生地均为河南的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（ ） A. 在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B. 酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C. 发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D. 葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的值可以是____________．（写出一个即可） 12. 根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 13. 探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________． 14. 如图，将两个完全相同的直角三角尺按照图示方式进行部分重叠放置，其中顶点重合，，以点为圆心，长为半径画，则图中阴影部分的面积是____________． 15. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为__________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】 （1）上述表格中：___________，___________． （2）若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”） （3）食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 18. 如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点． （1）为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式． 由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， …… （2）通过计算判断点是否为线段的中点． 19. 如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 20. 花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今．洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼．某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品．已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同． （1）求花生糕和牡丹饼每盒的单价； （2）学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍．此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠．则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 21. 周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． （1）过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）帮该小组求出崇法寺塔的高度； （3）写出一条你在活动中的收获或反思． 22. 抛物线交轴于，两点（点在点的左边且点在轴负半轴上），交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中绘制出函数图象（省略列表、描点，直接画图）； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，直接写出的取值范围． 23. 在的边上取点，过点分别向的平分线和边所在直线作垂线，垂足分别为，，再过点向边作垂线，垂足为． （1）观察猜想 如图1，当时，则的度数为___________； 如图2，当为锐角时，用等式表示线段，的数量关系___________； （2）类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当，且时，射线与射线交于点．若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级中招练习试卷 数学 试卷1 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列是棱柱的平面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：棱柱的平面展开图由两个形状、大小完全相同的多边形和若干个长方形组成， 故是棱柱的平面展开图． 故选A． 3. 生活中常见的打火机所用燃料的主要成分是丁烷，其密度很小，丁烷的质量约为，数据0.00057用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法表示形式为，要求，当原数的绝对值小于1时，为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字前面所有0的个数（含小数点前的0）． 【详解】解：0.00057用科学记数法表示为． 4. 如图所示，利用量角器改造的工具测量角，则的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，解题关键是掌握对顶角的性质． 直接利用对顶角的性质求解． 【详解】解：∵的对顶角为， ∴， 故选：B． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个互为相反数的实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式的大小判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为整理为一般形式得， ∴，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根，即B选项符合题意． 6. 亮亮用四根长度相等的木条制作了角度能够调整的菱形学具．他先将学具调整为图1所示的菱形，其中，然后调整为图2所示的正方形，此时对角线，则图1中菱形的对角线的长为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质以及勾股定理进行求解． 【详解】解：由正方形得，， ∴， 解得，（负值已舍）， 由菱形得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 7. 化简的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的运算，再根据分式的除法法则计算即可． 【详解】解： ． 8. 唐朝文化深厚，涌现了众多诗人．正面分别印有唐朝诗人及出生地的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面诗人恰好出生地均为河南的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由树状图得出所有等可能的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中出生地均为河南的结果有2种， ∴两次抽取的卡片出生地均为河南的概率为． 9. 如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 10. 某生物兴趣小组在探究酵母菌发酵过程时，通过实验测得发酵时间内酵母菌数量、酒精浓度和葡萄糖浓度的变化数据，并绘制成函数图象．已知酵母菌在发酵前期营养充足时繁殖迅速，后期因代谢产物积累和底物消耗而受到抑制．则下列结论中正确的是（ ） A. 在发酵全过程（小时），酵母菌数量始终随时间增加而增加 B. 酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，且增长速率保持不变 C. 发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果 D. 葡萄糖浓度在发酵过程中先增加后减少，小时时达到最大值 【答案】C 【解析】 【分析】结合题中所给的函数图象对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：观察函数图象可得，在发酵全过程（小时），酵母菌数量先是随着时间增加而增加，达到峰值后又随着时间增加而减少，选项结论错误； 酒精浓度在整个发酵过程中与时间呈正相关，增长速率由快变慢，一直在变化，选项结论错误； 发酵后期（小时后），酵母菌数量减少是酒精浓度升高和葡萄糖浓度降低共同作用的结果，选项结论正确； 葡萄糖浓度在发酵过程中一直在减少，且减少速度一直在变化，选项结论错误． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式有意义，则的值可以是____________．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据被开方数为非负数得到，求出，任取一个符合条件的值即可． 【详解】解：要使二次根式有意义， 则， ， 的值可以是． 12. 根据某次安全知识竞赛成绩，笑笑绘制了所有参赛学生成绩的统计图如图所示，则本次安全知识竞赛成绩的优秀率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条形统计图计算出本次参赛学生的总人数，再结合条形统计图和扇形统计图算出成绩优秀的学生人数．再用优秀学生人数除以总人数即可得本次参赛成绩的优秀率． 【详解】解：由条形统计图可知本次参赛学生一共有（人）， 其中成绩合格的学生有400人， 成绩优秀的学生人数为（人）， ∴本次安全知识竞赛成绩的优秀率为：． 13. 探索规律：；；；；；…，那么的个位数字是____________． 【答案】 8 【解析】 【分析】观察可知，3的正整数次幂的个位数字每4个为一个循环周期，个位数字依次为3，9，7，1． 计算2026除以4的余数，即可确定的个位数字，进而得到的个位数字． 【详解】解：根据已知条件可得： ，个位数字是3； ，个位数字是9； ，个位数字是7； ，个位数字是1； ，个位数字是3； ，个位数字是9； 由此可得，3的正整数次幂的个位数字每4个为一个循环周期，循环的个位数字依次为3，9，7，1． ， 的个位数字是循环中的第二个数字，即为9． 的个位数字为 ． 14. 如图，将两个完全相同的直角三角尺按照图示方式进行部分重叠放置，其中顶点重合，，以点为圆心，长为半径画，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【解析】 【分析】熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形，扇形的面积计算是解题关键． 根据题意得出，，利用平行线的性质确定，得出，设，则，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理得出，再结合图形求出，利用即可求解． 【详解】解：∵，直角三角尺， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ， ∴阴影部分的面积是：． 15. 定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．在中，，，边上的高，中边的“中偏度值”为__________． 【答案】6或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，分两种情况计算；先根据勾股定理求出，再根据中线的定义得出,故，同理可得，故得出答案；熟知分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 如图，为的中线， ， ， ， ， 为的中线， ， ， 中边的“中偏度值”为：； 故答案为：6或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的意义、算术平方根的定义、零指数幂的意义等计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则、完全平方公式、合并同类项法则等化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17. 【问题情境】数学活动课上，老师和同学们跟随食堂采购员前往河南省信阳潢川——中国中部最大的鱼苗繁殖基地（年产鱼苗超过300亿尾），参观国家级水产良种场并开展“利用鱼的重量与其长度的比值特征对鱼进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们在基地观察将要购买的黄颡鱼（黄辣丁）和鲈鱼各10条，测量这些鱼的重量（斤）与长度（米），分别计算每条鱼的重长比（即重量与长度的比值），并整理数据如图所示． 【实践探究】根据以上数据，得到以下统计量． 图示 统计量 平均数 中位数 众数 黄颡鱼的重长比 3.1 3.0 鲈鱼的重长比 4.6 4.6 【问题解决】 （1）上述表格中：___________，___________． （2）若鱼的重长比的方差越小，则认为该种鱼的体型差异越小，据此推断：在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是___________．（填“黄颡鱼”或“鲈鱼”） （3）食堂采购员在该基地购买了一条重1.8斤、长0.4米的鱼，试推测食堂采购员购买的这条鱼更可能是黄颡鱼还是鲈鱼，并说明理由． 【答案】（1）3.1 4.6 （2）鲈鱼 （3） 鲈鱼， 理由：由于，即该鱼的重长比为4.5，更接近鲈鱼的重长比的平均数，故推测这条鱼更可能是鲈鱼． 【解析】 【分析】掌握中位数、众数的定义和方差的意义及准确观察理解折线统计图提供的数据信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得答案； （2）根据方差的意义求解即可； （3）计算出重长比即可得出答案． 【小问1详解】 解：黄颡鱼的重长比从小到大排列为：3.0，3.0，3.0，3.0，3.1，3.1，3.1，3.2，3.2，3.3， ∴； 鲈鱼的重长比出现最多的是4.6，共出现3次， ∴； 【小问2详解】 解：由折线统计图知，黄颡鱼的重长比比鲈鱼的重长比波动幅度小，故在黄颡鱼与鲈鱼中，体型差异较大的是鲈鱼； 【小问3详解】 略 18. 如图，平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点落在反比例函数的图像上，与反比例函数图像交于另一点． （1）为了求反比例函数解析式，需要先求出点坐标，下面是部分求解过程，请你继续完成过程，并求出反比例函数解析式． 由旋转性质可知，， 由得， 过点作于， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， …… （2）通过计算判断点是否为线段的中点． 【答案】（1） （2）点是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质可得，即，易得，再运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法求得直线的解析式为，再与反比例函数联立求得点D的坐标，再根据中点坐标公式求得线段的中点坐标，然后对比即可解答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∴， ∵点落在反比例函数的图像上， ∴，解得：， ∴； 【小问2详解】 解：点是线段的中点． 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴设直线的解析式为， 联立，解得：（与C重合舍弃）或， ∴， ∵， ∴线段的中点为，即， ∴点是线段的中点． 19. 如图，是的直径，过点作的切线，切点为，点为直径上方上一点，连接并延长交直线于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的平行线交于，连接，求证：是的切线． 【答案】（1） 所作图形如图所示： （2） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， 由作图知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出即可； （2）连接，由切线的性质求得，证明，再利用证明得到，据此即可证明是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代600余年，流传至今．洛阳牡丹饼是洛阳市传统小吃，不仅是洛阳文化象征之一，更被列为非物质文化遗产，现已成为当地特色旅游伴手礼．某学校组织学生到河南开展研学活动，计划购买以上两种特产作为纪念品．已知开封花生糕比洛阳牡丹饼每盒贵10元，且购买3盒花生糕和购买5盒牡丹饼的所需费用相同． （1）求花生糕和牡丹饼每盒的单价； （2）学校决定购买花生糕和牡丹饼共20盒，要求购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍．此时商家对牡丹饼给予八折优惠，花生糕无优惠．则应购买花生糕和牡丹饼各多少盒，才能使总花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元 （2）应购买花生糕盒，牡丹饼盒，才能使总花费最少，最少花费为元 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可； （2）先设购买花生糕盒，则购买牡丹饼盒，总花费为元，根据题意得出，再根据购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍，得出，最后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元， 由题意得，， 解得，． 答：花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为元，元． 【小问2详解】 解：设购买花生糕盒，则购买牡丹饼盒，总花费为元， 由题意得，． 又购买牡丹饼的数量不超过花生糕的3倍， ， 解得，． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时，，． 答：应购买花生糕盒，牡丹饼盒，才能使总花费最少，最少花费为元． 21. 周末王老师给学生们布置了一项实践作业：应用学过的数学知识实地测量崇法寺塔的高度．下面是他们的部分测量方案及测量数据． 背景素材 崇法寺塔，位于河南省商丘市，因建于崇法寺内，故名崇法寺塔．塔檐是由莲花瓣石叠砌而成，平座用斗拱承托，显得层层叠叠，极富装饰性．挑檐角配以石雕龙头，口衔风铎，微风吹动，叮咚作响． 测量工具 标杆，皮尺 测量方案 选一同学作为观测者，在观测者与崇法寺塔之间的地面直立一根标杆．观测者调整自己的位置，使崇法寺塔的顶端、标杆的顶端与自己的眼睛恰好在一条直线上．另一同学分别测出观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高． 测量示意图 测量数据 线段表示崇法寺塔，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到崇法寺塔底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离． 方案评价 根据以上信息，解决下列问题． （1）过点作于，交于，则得出四边形是矩形的直接依据是__________；（填序号） ①对角线相等的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）帮该小组求出崇法寺塔的高度； （3）写出一条你在活动中的收获或反思． 【答案】（1）② （2）米 （3）测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一) 【解析】 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形判断即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列比例式求解即可． （3）言之有理即可． 【小问1详解】 解：由题意，， ， ， 四边形是矩形． 得出四边形是矩形的直接依据是有三个角是直角的四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， 米， 米． 崇法寺塔的高度为米． 【小问3详解】 解：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果(答案不唯一)． 22. 抛物线交轴于，两点（点在点的左边且点在轴负半轴上），交轴于点，且． （1）求抛物线的表达式； （2）求抛物线顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中绘制出函数图象（省略列表、描点，直接画图）； （3）将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 绘制函数图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）求出点坐标，代入求出的值，即可求解； （2）将函数解析式化为顶点式，即可得顶点坐标；用描点法画出函数图像即可； （3）平移后的抛物线解析式为 ，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，即可求得． 【小问1详解】 解：当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴， 把代入抛物线解析式， 得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ∴抛物线顶点坐标为； 【小问3详解】 解：平移后的解析式为 ， ∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向上， ∵，抛物线开口向上时，函数值越大，对应点到对称轴的距离越远， ∴ ， 解得， ∵， ∴的取值范围为． 【点睛】在求点坐标时，不能漏掉点在轴负半轴上这个条件；抛物线平移遵循左加右减（只对自变量操作），平移只改变对称轴位置，开口方向和形状不变，因此平移后对称轴为；开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越远，函数值越大，因此​可以直接等价为“到对称轴的距离 到对称轴的距离”，据此列绝对值不等式即可的取值范围． 23. 在的边上取点，过点分别向的平分线和边所在直线作垂线，垂足分别为，，再过点向边作垂线，垂足为． （1）观察猜想 如图1，当时，则的度数为___________； 如图2，当为锐角时，用等式表示线段，的数量关系___________； （2）类比探究 如图，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明； （3）拓展应用 当，且时，射线与射线交于点．若，，直接写出的长． 【答案】（1）；； （2） 根据题意补全图形如下： （1）中的结论依然成立，证明如下： 延长交于点， 同理可得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，、相交于点，结合角平分线定义、三角形内角和定理即可求出的度数； 延长交于点，证明得出，证明，得出即可得； （2）先根据题意补全图形，同（1）② 的方法，即可得证； （3）当时，如图所示，延长交于点，过点作交于点，同（2）可得，，设，，证明得出，根据，结合得出，进而可得，在中，勾股定理建立方程，，解方程，即可求解，当时，同法可求的长． 【小问1详解】 解：如图1，设、相交于点， 是的角平分线，， ， ，， 在中，， ， ∴， 故答案为：； 如图，延长交于点， ∵平分 ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，如图所示，延长交于点，过点作交于点， 同（2）可得， ∴，，， 设，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ 代入得， 解得：（负值舍去），即； 当时，如图， 设，， ∴，则， ∵，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中，∵ ∴， 代入得， 解得：（负值舍去）即 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $