7.3.1 离散型随机变量的均值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的均值，涵盖定义、意义、性质及两点分布均值，通过“课前预知教材-课堂题点研究-课时跟踪检测”的梯度设计，以自主落实基础（如定义推导、性质辨析）为支架，衔接课堂迁移应用（如摸球得分、抽奖折扣等实例），构建知识脉络。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合“思维建模”提炼解题步骤（如求均值四步法），融入商场抽奖、脐橙采购等实际案例。通过数学眼光抽象问题本质，数学思维推理均值性质，数学语言表达分布列与期望，帮助学生形成解决实际问题的能力，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解离散型随机变量的均值的概念和意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值. 2.掌握离散型随机变量的均值的性质和两点分布的均值. 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.离散型随机变量的均值 （1）定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示， X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E（X）=_________________= xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称_____. x1p1+x2p2+…+xnpn 期望 （2）意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_________. （3）性质：若X是离散型随机变量，则：①E（X+b）=___________；②E（aX）=________；③E（aX+b）=___________. 2.两点分布的均值 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）=____________ ______. 加权平均数 平均水平 E（X）+b aE（X） aE（X）+b 0×（1-p）+1 ×p=p |微|点|助|解| 理解均值要注意三点 （1）离散型随机变量的均值是算术平均数概念的推广，是概率意义下的平均，由于离散型随机变量的所有取值的概率满足 pi=1，所以均值是以概率pi为权数的加权平均数. （2）E（X）是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量，可以取不同的值，但E（X）是X的一个特征数，它是不变的，它描述X取值的平均水平. （3）E（X）与随机变量X本身具有相同的单位. 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的数学期望E（X）是个变量，其随X的变化而变化. （　　） （2）随机变量的均值反映样本的平均水平. （　　） （3）若随机变量X的数学期望E（X）=2，则E（2X）=4. （　　） （4）随机变量X的均值E（X）=. （　　） 基础落实训练 × × √ × 2.已知随机变量X服从两点分布，且E（X）=0.7，则其成功的概率 为 （　　） A.0 B.1 C.0.3 D.0.7 解析：设成功的概率为p，则E（X）=0×（1-p）+1×p=p=0.7.故选D. √ √ 3.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值E（X）= （　　） A.32 B.2 C.52 D.3 解析： E（X）=1×+2×+3×=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　离散型随机变量的均值 [例1]　一个不透明的盒子中装有红色、黄色、白色、黑色小球各1个，这些小球除颜色外完全相同.现从盒子中随机抽取若干个小球，抽中的小球的颜色对应的得分如下表. 抽中小球的颜色 红色 黄色 白色 黑色 得分 1 2 3 4 （1）若有放回地从盒子中抽取2次，每次抽取1个小球，求抽中的小球对应的得分之和大于6的概率； 解：有放回抽取两次，总的可能有4×4=16种，小球得分之和大于6的情况有第一次取白球，第二次取黑球；第一次取黑球，第二次取白球；两次都取黑球，共3种情况，所以小球得分之和大于6的概率P=. 解：X的所有可能取值有3，4，5，6，7，P（X=3）==，P（X=4）==，P（X=5）==，P（X=6）==，P（X=7）==， 所以X的分布列为 X 3 4 5 6 7 P E（X）=3×+4×+5×+6×+7×=5. （2）若一次性从盒子中抽取2个小球，记抽中的小球对应的得分之和为X，求X的分布列与期望. 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X的均值的步骤 （1）理解X的意义，写出X的所有可能取值； （2）求X取每个值时的概率； （3）写出X的分布列； （4）由均值的定义求E（X）. 针对训练 1.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算. （1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率； 解：从6张奖券中，任取2张奖券共有=15种选法，抽到的两张奖券折扣相同有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P==. （2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E（X）. 解：X的所有可能取值为80，85，90，P（X=80）==， P（X=85）==，P（X=90）==，所以X的分布列为 X 80 85 90 P 所以E（X）=80×+85×+90×=. 题型（二）　离散型随机变量均值的性质 [例2]　已知随机变量ξ和η，其中η=10ξ+2，且E（η）=20，若ξ的分布列如下表，则m的值为 （　　） ξ 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. √ 解析：因为η=10ξ+2， 所以E（η）=10E（ξ）+2=20， 所以E（ξ）=， 又E（ξ）=1×m+2×+3n+4×=+m+3n①， 且m++n+=1②，由①②，得m=. 　　|思|维|建|模| 利用离散型随机变量均值性质解决问题的思路 　　若给出的随机变量ξ与X之间的关系为ξ=aX+b，a，b为常数.一般思路是先求出E（X），再利用公式E（aX+b）=aE（X）+b求E（ξ）.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E（ξ）. 针对训练 2.[多选]已知随机变量X的分布列如下，且E（X）=6.3，则下列结论正确的是 （　　） X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.a=7 B.b=0.4 C.E（aX）=44.1 D.E（bX+a）=2.62 √ √ √ 解析：由分布列的性质得0.5+0.1+b=1，解得b=0.4， 又E（X）=4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，∴a=7， ∴E（aX）=aE（X）=7×6.3=44.1， E（bX+a）=bE（X）+a=0.4×6.3+7=9.52.故选ABC. √ 3.元宵节庙会上有一种摸球游戏：布袋中有15个大小和形状均相同的小球，其中白球10个，红球5个，每次摸出2个球.若摸出的红球个数为X，则E（5X-5）= （　　） A.- B. C.- D. 解析：X的可能取值为0，1，2，则P（X=0）==， P（X=1）==，P（X=2）==， 所以E（X）=0×+1×+2×=， 故E（5X-5）=5E（X）-5=-5=-. 题型（三）　离散型随机变量均值的应用 [例3]　某商场回馈消费者，举办活动，规则如下：每5位消费者组成一组，每人从A，B，C三个字母中随机抽取一个，抽取相同字母最少的人每人获得300元奖励.（例如：5人中2人选A，2人选B，1人选C，则选择C的人获奖；5人中3人选A，1人选B，1人选C，则选择B和C的人均获奖；如A，B，C中有一个或两个字母没人选择，则无人获奖） （1）若甲和乙在同一组，求甲获奖的前提下，乙获奖的概率； 解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，P（B|A）== =. （2）设每组5人中获奖人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； 解：X的可能取值为0，1，2，P（X=0）===， P（X=1）===，P（X=2）===， X 0 1 2 P 所以X的分布列为 X的数学期望E（X）=0×+1×+2×=. （3）商家提供方案2：将A，B，C三个字母改为A和B两个字母，其余规则不变，获奖的每个人奖励200元.作为消费者，站在每组5人获取总奖金的数学期望的角度分析，你是否选择方案2? 解：选择方案1获取奖金总额的数学期望为×300=， 设选择方案2获奖人数为Y，Y的可能取值为0，1，2， 则P（Y=0）===， P（Y=1）===，P（Y=2）===， 方案2获奖人数的数学期望E（Y）=0×+1×+2×=， 选择方案2获取奖金总额的数学期望为×200=， 因为>，所以选择方案2. 　　|思|维|建|模| 利用离散型随机变量求解实际问题的步骤 （1）把实际问题概率模型化； （2）利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列； （3）利用公式求出相应均值； （4）对照实际意义，根据所求均值下结论. 针对训练 4.某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级（每箱重量为5 kg），某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10 （1）用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E（ξ）； 解：用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×=3，非特级品的箱数为10-3=7， 所以ξ的所有可能取值为0，1，2，3. 则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）==，P（ξ=3）==， 则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E（ξ）=0×+1×+2×+3×=. （2）利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考： 方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg； 方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示： 等级 珍品 特级 优级 一级 售价/（元/kg） 25 20 15 10 从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案? 解：方案一的单价为20元/kg，设方案二的单价为η，则η的均值为 E（η）=25×+20×+15×+10×=17.5，因为17.5<20， 所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若随机变量X的分布列如下（k为常数），则E（X）= （　　） √ X 0 1 2 P k 6k 0.3 A.0.6 B.0.9 C.1 D.1.2 解析：由分布列的性质，得k+6k+0.3=1，解得k=0.1，∴E（X）=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.掷一枚质地均匀的正四面体骰子（四面点数分别为1，2，3，4），则底面掷出点数的数学期望为 （　　） A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 √ 解析：设底面掷出的点数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，且底面掷出每种点数的概率均为，则E（X）=（1+2+3+4）×=2.5，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0<t<4），且甲、乙、丙都打中的概率是，用ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的数学期望是（　　） A. B. C.1 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：依题意，甲、乙、丙都打中的概率P=××=， 解得t=3（负值舍去），所以乙打中的概率为.由题意可得， ξ的可能取值为0，1，2，且P（ξ=0）=×=， P（ξ=1）=×+×=，P（ξ=2）=×=， 所以E（ξ）=0×+1×+2×=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.甲、乙两名工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情况如表所示： √ 工人 甲 乙 废品数 0 1 2 3 0 1 2 3 概率 0.4 0.3 0.2 0.1 0.3 0.5 0.2 0 则下列结论正确的是 （　　） A.甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些 B.乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些 C.两人生产的产品质量一样好 D.无法判断谁生产的产品质量好一些 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题知，甲生产的废品数的期望是0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，乙生产的废品数的期望是0×0.3+1×0.5+2×0.2+3×0=0.9，因为甲生产的废品数的期望大于乙生产的废品数的期望，所以乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.[多选]随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且E（Y）=34，若X的分布列如表： √ X 1 2 3 4 P m n 则下列正确的是 （　　） A.E（X）=12 B.E（X）= C.m= D.n= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：根据分布列可知m+n=1--=①，因为Y=12X+7， 所以E（Y）=12E（X）+7=34，解得E（X）=， 又由分布列可得1×+2×m+3×n+4×=， 整理得2m+3n=②，①②联立解得m=，n=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.[多选]已知随机变量ξ的分布列如表： √ ξ -1 0 1 P a b 记“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则下列结论正确的有（　　） A.E（ξ）=-2a B.E（ξ2）= C.P（A）= D.P（A）= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由随机变量ξ的分布列知，E（ξ）=-a+b，E（ξ2）=a+b=1-=，所以E（ξ）=-2a，因为“函数f（x）=3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，ξ的所有取值为-1，0，1，满足事件A的ξ的可能取值为-1，1，所以P（A）=.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]设0<p<1，随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的有 （　　） ξ 0 1 2 P p-p2 p2 1-p A.E（ξ）随着p的增大而增大 B.E（ξ）随着p的增大而减小 C.P（ξ=0）<P（ξ=2） D.P（ξ=2）的值最大 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为E（ξ）=p2+2-2p，0<p<1，所以E（ξ）随着p的增大而减小，故A错误，B正确；因为0<p<1，所以P（ξ=0）-P（ξ=2）=p-p2-1+p= -p2+2p-1<0，所以P（ξ=0）<P（ξ=2），故C正确；因为0<p<1，所以当<p<1时，P（ξ=1）-P（ξ=2）=p2+p-1>0，故当<p<1时，P（ξ=1）>P（ξ=2），故D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.（5分）已知随机变量X服从两点分布，且P（X=1）=0.4，设ξ=2X-3，那么E（ξ）=________.  -2.2 解析：E（X）=1×0.4+0×（1-0.4）=0.4，E（ξ）=2E（X）-3=-2.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.（5分）随机变量X的取值为0，1，2，若P（X=0）=，E（X）=1， 则P（X=1）=________.  解析：设P（X=1）=p，因为P（X=0）=，E（X）=1，故0×+1×p+2×=1，所以p+-2p=1，解得p=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.（5分）节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.根据前5年节日期间对这种鲜花需求量X（束）的统计（如表），若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则利润的均值是________元.  X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 706 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：节日期间这种鲜花需求量的均值为E（X）=200× 0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340（束）. 设利润为Y，则Y=5X+1.6×（500-X）-500×2.5=3.4X-450， 所以E（Y）=3.4E（X）-450=3.4×340-450=706（元）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.（5分）（2025·全国Ⅰ卷）有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少 被取出1次的球的个数，则X的数学期望E（X）= ________.  解析：依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为53=125，其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P（X=1）==；X=2：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60种， 故P（X=2）==；X=3：三种不同球被取出， 由排列数可知事件X=3的可能情况有5×4×3=60种，故P（X=3）==，所以E（X）=1×P（X=1）+2×P（X=2）+3×P（X=3）=1×+2×+3×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.（15分）（2025·北京高考）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P；（3分） 解：估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；（7分） 解：设A为“从甲校抽取1人做对”，B为“从乙校抽取1人做对”， 则P（A）=0.8，P（）=0.2，P（B）=0.75，P（）=0.25， 设C为“恰有1人做对”， 故P（C）=P（A）+P（B） =P（A）P（）+P（）P（B）=0.35. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 依题可知，X可取0，1，2，P（X=0）=P（）=0.05， P（X=1）=0.35，P（X=2）=0.8×0.75=0.6， 故X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E（X）=1×0.35+2×0.6=1.55. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小.（5分） 解：设D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，故P（D）+[1-P（D）]=0.8，即p1+×（1-p1）=0.8，故p1=，同理有，0.85p2+×（1-p2）=0.75，故p2=，故p1<p2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.（15分）某校为了弘扬与传承中华传统文化，特举办了“国学经典”的知识竞赛活动，规则如下：①单选题答对得20分，答错得0分；②多选题答对得30分，选对但不全得10分，有错选得0分；③每名竞赛参与者答题3道.学校设计了两种答题方案，方案一：全部回答单选题；方案二：先回答一道多选题，再回答单选题.现已知某学生单选题答对的概率为0.8；多选题全对的概率为0.4，选对但不全的概率为0.3. （1）若该学生选择方案一，求该学生得分X的分布列及数学期望； （7分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解：由题意知，随机变量X的取值可能是0，20，40，60，可得 P（X=0）=0.2×0.2×0.2=0.008，P（X=20）=0.8×0.2×0.2+0.2×0.8 ×0.2+0.2×0.2×0.8=0.096，P（X=40）=0.8×0.8×0.2+0.8×0.2× 0.8+0.2×0.8×0.8=0.384，P（X=60）=0.8×0.8×0.8=0.512，则变量X的分布列如下表所示： X 0 20 40 60 P 0.008 0.096 0.384 0.512 所以E（X）=0×0.008+20×0.096+40×0.384+60×0.512=48. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 （2）如何选择方案，能使得该学生的得分更高?（8分） 解：若该学生选择方案二，记得分为变量Y，则Y的取值可能为0，10，20，30，40，50，70，可得P（Y=0）=0.3×0.2×0.2=0.012， P（Y=10）=0.3×0.2×0.2=0.012，P（Y=20）=0.3×0.8×0.2×2=0.096，P（Y=30）=0.3×0.8×0.2×2+0.4×0.2×0.2=0.112， P（Y=40）=0.3×0.8×0.8=0.192， P（Y=50）=0.3×0.8×0.8+0.4×0.8×0.2×2=0.32， P（Y=70）=0.4×0.8×0.8=0.256， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 则变量Y的分布列为 Y 0 10 20 30 40 50 70 P 0.012 0.012 0.096 0.112 0.192 0.32 0.256 所以E（Y）=0×0.012+10×0.012+20×0.096+30× 0.112+40×0.192+50×0.32+70×0.256=47. 结合（1）知E（X）>E（Y）， 所以选择方案一，能使得该生的得分更高. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $