7.2 第2课时 离散型随机变量的分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的分布列及性质，通过雷锋日志愿者抽取、教师分配等实例导入，衔接随机变量概念，以“思维建模”总结求分布列步骤，搭建从具体问题到数学表达的学习支架。 其亮点是习题讲评式教学，结合抽奖、取款机使用等生活实例，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过推理运算培养数学思维，用表格和公式规范数学语言。题型多样且有跟踪检测，助力学生巩固，也为教师提供系统教学资源。

离散型随机变量的分布列 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解离散型随机变量的分布列，掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）离散型随机变量的分布列 题型（二）　分布列的性质及其应用 课时跟踪检测 题型（一）离散型随机变量的 分布列 01 [例1]　今年雷锋日，某中学从高中三个年级中选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者，学生的名额分配如下： 高一年级 高二年级 高三年级 10人 6人 4人 若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传，记X为抽取的3人中高一年级学生的人数，求随机变量X的分布列. 解：由题意易知X的可能取值为0，1，2，3， 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==， P（X=3）==，则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 　　[变式拓展] 　本例条件不变，若将4名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列. 解：由题意易知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，则P（ξ=0）==， P（ξ=1）==，P（ξ=2）===，P（ξ=3）==， P（ξ=4）==，则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量分布列的步骤 （1）根据问题设出一个随机变量X，并写出随机变量X的所有可能取值. （2）求随机变量X的每一个取值对应的概率. （3）用解析式或表格表示X的分布列. [注意]　利用所有概率之和是否为1检验分布列的正误. 针对训练 1.已知袋中有5个白球和6个红球，从中摸出2个球，记X= 则X的分布列为_________.  解析：由题意得，P（X=0）==， X 0 1 P 答案： X 0 1 P P（X=1）==.所以X的分布列为 2.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答错误得0分，第三个问题回答正确得20分，回答错误得-10分.已知一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响，这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功. （1）求至少回答正确一个问题的概率； 解：用事件A表示“至少回答正确一个问题”， 则P（A）=1-××=. （2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X（单位：分）的分布列； 解：X的可能取值为-10，0，10，20，30，40.P（X=-10）=××=， P（X=0）=×××=，P（X=10）=×=，P（X=20）=××=，P（X=30）=×××=，P（X=40）=×=. 所以X的分布列为 X -10 0 10 20 30 40 P （3）求这位挑战者闯关成功的概率. 解：这位挑战者闯关成功的概率为P（X≥10） =1-P（X=-10）-P（X=0）=1--=.   题型（二）分布列的性质及其 应用 02 [例2]　设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m （1）求随机变量η=|X-1|的分布列； 解：由分布列的性质知，0.2+0.1+0.1+0.3+m=1，解得m=0.3， 列表为 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 即随机变量η的可能取值为0，1，2，3，可得P（η=0）= P（X=1）=0.1，P（η=1）=P（X=0）+P（X=2）=0.2+0.1=0.3，P（η=2）=P（X=3）=0.3， P（η=3）=P（X=4）=0.3， 故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 （2）求随机变量ξ=X2的分布列. 解：列表得 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 即随机变量ξ=X2的可能取值为0，1，4，9，16. 从而ξ=X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 　　|思|维|建|模| 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 针对训练 3.设随机变量X的分布列P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则 P（X≥4）=（　　） A. B. C. D. √ 4.某银行有一自动取款机，在某时刻恰有k（k∈N）个人正在使用或等待使用该取款机的概率为p（k），根据统计得到p（k）=则在该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为（　　） A. B. C. D. √ 解析：由题意知，p（0）+p（1）+p（2）+p（3）+p（4）=1， 则p（0）=p（0）=1，解得p（0）=，即该时刻没有人正在使用或等待使用该取款机的概率为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.随机变量X的分布列为P（X=k）=，k=1，2，3，4，c为常数，则P=（　　） A. B. C. D. √ 解析：由题意得+++=1，即c=1，解得c=， 所以P=P（X=1）+P（X=2）=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 6a2-a 3-7a 则常数a的值为 （　　） A.13 B.23 C.23或13 D.1或13 √ 解析：由离散型随机变量分布列的性质知， ∴a=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P（X=3）= （　　） A. B. C. D. √ 解析：“X=3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P（X=3）===.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色则停止抽取，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量X，则P（X≤2）= （　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：选A　令X=k表示前k个球为白球，第k+1个球为红球， 此时P（X=0）==，P（X=1）=×=， P（X=2）=××=， 则P（X≤2）=P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=++=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]已知随机变量X的分布列为P（X=n）=（n=0，1，2），其中a是常数，则下列说法正确的是（　　） A.P（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=1 B.a= C.P（0≤X<2）= D.P（X≥1）= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由P（X=n）=（n=0，1，2），得P（X=0）+ P（X=1）+P（X=2）=1，即++=1，解得a=，故A、B正确； P（0≤X<2）=P（X=0）+P（X=1）=+=，故C正确；P（X≥1）=P（X=1）+P（X=2）=+=，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1.则下列结论正确的是 （　　） A.共有24对相交棱 B.P（ξ=0）= C.P（ξ=）= D.P（ξ=1）= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个， 过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有=24对相交棱， 因此P（ξ=0）===，故A正确，B错误；若两条棱平行， 则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对， 故P（ξ=）==，于是P（ξ=1）=1-P（ξ=0） -P（ξ=）= 1--=，故C正确，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]设随机变量ξ的分布列如下，则下列结论正确的是 （　　） A.P（ξ≤2）=1-P（ξ≥3） B.当an=（n=1，2，3，4）时，a5= C.若{an}为等差数列，则a3= D.{an}的通项公式可能为an= √ ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2），1-P（ξ≥3）=1-P（ξ=3）- P（ξ=4）-P（ξ=5）=P（ξ=1）+P（ξ=2），∴P（ξ≤2）=1-P（ξ≥3）， 故A正确；当an=（n=1，2，3，4）时，a5=1----==，故B正确；若{an}为等差数列，则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=1，∴a3=，故C正确；当{an}的通项公式为an==-时，a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+ -+-+-=1-=≠1，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如表，其中 a，b，c成等差数列，且c=ab.则这名运动员得3分的概率是__________.  X 0 2 3 P a b c 解析：由题意得2b=a+c，c=ab，a+b+c=1，且a≥0，b≥0，c≥0，联立得a=，b=，c=，故得3分的概率是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）若随机变量X的分布列如表所示： X 0 1 2 3 P a b 则a2+b2的最小值为___________.  解析：由分布列的性质，知a+b=，又a2+b2≥ =，则a2+b2的最小值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）已知随机变量X的分布列如表所示. X -2 -1 0 1 2 3 P 若Y=X2，P（Y<x）=，则实数x的取值范围为________.   （4，9] 解析：由随机变量X的分布列知，Y的可能取值为0，1，4，9， 且P（Y=0）=，P（Y=1）=+==，P（Y=4）=+==， P（Y=9）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 可得Y的分布列如表所示. Y 0 1 4 9 P ∵P（Y<x）=，∴P（Y<x）=1-P（Y=9）=P（Y=0）+P（Y=1）+ P（Y=4）， ∴实数x的取值范围是（4，9]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知离散型随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 （1）求3X+2的分布列；（3分） 解：由题意，知3X+2=-4，-1，2，5，8， 则3X+2的分布列为 3X+2 -4 -1 2 5 8 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求|X-1|的分布列；（3分） 解：由题意，知|X-1|=0，1，2，3，则|X-1|的分布列为 |X-1| 0 1 2 3 P 0.3 0.4 0.1 0.2 （3）求X2的分布列.（4分） 解：由题意，知X2=0，1，4，则X2的分布列为 X2 0 1 4 P 0.1 0.4 0.5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机取出两个球，规定每取出1个黑球记2分，而取出1个白球记-1分，取出黄球记零分. （1）以X表示所得分数，求X的分布列；（7分） 解：依题意，当取到2个白球时，随机变量X=-2； 当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X=-1； 当取到2个黄球时，随机变量X=0； 当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X=1； 当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X=2； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当取到2个黑球时，随机变量X=4，所以随机变量X的可能取值为-2， -1，0，1，2，4，则P（X=-2）==，P（X=-1）==， P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=4）==，所以X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 4 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求得分X>0时的概率.（3分） 解：由（1）得P（X>0）=P（X=1）+P（X=2）+P（X=4）=++=， 所以得分X>0时的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（3分） 解：记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）=×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）已知每检测一件产品需花费100元，设检测结束时所需要的检测总费用为X元，求X的分布列.（7分） 解：由题意可知，X的可能取值为200，300，400.则P（X=200）==，P（X=300）==，P（X=400）==. 所以X的分布列为 X 200 300 400 P 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 解析： P（X=k）===， ∵P（X=k）=1，∴×==1.则m=，∴P（X≥4）=×=. 11.（5分）设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且P（X=i）=pi>0（i=1，2，…，n），pi=1，定义M（X）=pipn+1-i.若p1pn=，则当n=3时，M（X）的最大值为________.  解析：当n=3时，p1p3=，则M（X）=pip4-i=p1p3+p2p2+p3p1= 2p1p3+=+[1-（p1+p3）]2，∵p1>0，p3>0，p1p3=，∴p1+p3≥ 2=，当且仅当p1=p3=时，等号成立.所以≤p1+p3<1，0< 1-（p1+p3）≤，∴M（X）≤+=，即M（X）的最大值为. $