6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

6.3.2 二项式系数的性质 二项式系数的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 理解二项式系数的性质并灵活运用；掌握“赋值法”并会灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由__________得到.直线______将函数f（r）=的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. r= = 2.增减性与最大值 （1）当k<时，随k的增加而______； 由对称性知，当k>时，随k的增加而______. （2）当n是偶数时，中间的一项______取得最大值；当n是奇数时， 中间的两项______与______相等，且同时取得最大值. 增大 减小 3.各二项式系数的和 （1）+++…+= ______. （2）+++…=+++…= ______. 2n 2n-1 |微|点|助|解| （1）从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的，因此=，故二项式系数有对称性. （2）二项式系数最大与n的奇偶有关系， ①n为偶数，展开式中有n+1项，最中间一项的二项式系数最大； ②n为奇数，展开式中的n+1项是偶数，最中间两项的二项式系数最大. 1.（1-2x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n= （　　） A.9 B.10 C.11 D.12 √ 基础落实训练 解析：因为（1-2x）n展开式中，二项式系数最大的项只有第6项， 根据二项式系数的性质，展开式中中间项的二项式系数最大， 所以n+1=11，解得n=10. 2.设（1+x）n=a0+a1x+…+anxn（n∈N*），若a1=a5，则n的值为 （　　） A.4 B.6 C.7 D.8 √ 解析：由题知，a1=，a5=，因为a1=a5，所以=， 所以n=1+5=6. √ 3.（1-x）20的展开式中，二项式系数最大的项是第 （　　） A.9项 B.10项 C.11项 D.12项 解析：由二项式定理知其展开式有21项，根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项. 4.若（x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a4-a3+a2-a1+a0= （　　） A.-1 B.16 C.15 D.1 √ 解析：因为（x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，令x=-1得a4-a3+a2-a1+a0=（-2）4=16. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　二项式系数和 [例1]　（1）（n∈N*）的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（　　） A.8 B.12 C.15 D.-20 √ 解析：由题可知，2n=64⇒n=6，通项为Tr+1=x6-r =（-1）r，令6-r=0⇒r=4，所以常数项为（-1）4=15. （2）已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中x2的系数是（　　） A.4 B.8 C.32 D.64 √ 解析：由题意，展开式中二项式系数之和为16，则2n=16，即n=4，即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81，令x=1可得（a2+1）4=81，解得a2=2.此时二项式为，其展开式的通项为Tr+1=·（2x）4-r·=·24-r·x4-2r，r=0，1，2，3，4，令4-2r=2，得r=1，所以展开式中x2的系数是·23=32. 　　|思|维|建|模| 　　（a+b）n的展开式的各二项式系数的和为2n. 针对训练 1.已知（1+2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数的和为 （　　） A.512 B.210 C.211 D.212 √ 解析：∵（1+2x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210，∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等，∴（1+2x）10的展开式中奇数项的二项式系数的和为×210=29=512. 2.已知（x-my）n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=_______.  2 解析：由题意得，2n=64，解得n=6，而（x-my）6的通项为 x6-k（-my）k，0≤k≤6，k∈N， 所以x3y3的系数为（-m）3=-160，解得m=2. 题型（二）　利用赋值法求解系数和问题 [例2]　已知（2x-1）5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值： （1）a0+a1+a2+…+a5； 解：令x=1，得a0+a1+a2+…+a5=1. （2）|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|； 解：令x=-1，得（-3）5=-a0+a1-a2+a3-a4+a5.由（2x-1）5的通项=（-1）r·25-r·x5-r知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243. （3）a1+a3+a5. 解：由a0+a1+a2+…+a5=1，-a0+a1-a2+…+a5=（-3）5， 得2（a1+a3+a5）=1-35， 所以a1+a3+a5==-121. 　　[变式拓展] 本例条件不变，求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值. 解：因为（2x-1）5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5， 所以两边求导数，得10（2x-1）4=5a0x4+4a1x3+3a2x2+2a3x+a4. 令x=1，得5a0+4a1+3a2+2a3+a4=10. 　　|思|维|建|模| 二项展开式中系数和的求法 （1）①二项式系数和为+++…+=2n，其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，都等于2n-1. ②求二项展开式各项系数之和，往往采用赋值法，对变量赋值计算可得. （2）一般地，对于多项式f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，各项系数和为 f（1），奇次项系数和为[f（1）-f（-1）]，偶次项系数和为[f（1）+ f（-1）]，a0=f（0）. 针对训练 3.设（1-2x）2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 026x2 026（x∈R）. （1）求a0的值； 解：在（1-2x）2 026=a0+a1x+a2x2+…+a2 026x2 026中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. （2）求a1+a2+a3+…+a2 026的值； 解：令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 026，∴a1+a2+a3+…+a2 026=0. （3）求a1+a3+a5+…+a2 025的值. 解：分别令x=-1，x=1， 得 ②-①，得1-32 026=2（a1+a3+…+a2 025）. ∴a1+a3+a5+…+a2 025=. 题型（三）　二项式系数的增减性与最值 [例3]　在的展开式中， （1）求二项式系数最大的项； 解：由二项式通项，得Tr+1=·（）8-r· =（-1）r··2r·. 二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5=·24· =1 120x-6. （2）系数的绝对值最大的项是第几项? 解：设第（r+1）项系数的绝对值最大， 则即 整理得所以r=5或r=6. 故系数绝对值最大的项是第6项和第7项. 　　[变式拓展] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. 解：由本例（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正.故系数最大的项为T7=·26· x-11=1 792x-11，系数最小的项为T6=（-1）5·25=-1 792. 　　|思|维|建|模| 二项式系数的最大项的求法 　　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a+b）n中的n进行讨论. （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大. （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 针对训练 4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大，则展开式中的常数项为（　　） A.6 B.-6 C.- D. √ 解析：由题意可得=，所以n=5.故的展开式的通项为Tr+1=··=··.令=0，解得r=3，故展开式中的常数项为×=-. 5.（2024·全国甲卷）的展开式中，各项系数中的最大值为 _______.  5 解析：由题知，展开式通项为Tr+1=xr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r+1项系数最大，则解得 即≤r≤.又r∈Z，故r=8. 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为=5. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.展开式中的各二项式系数之和为1 024，则n的值为（　　） A.10 B.9 C.8 D.7 √ 解析：展开式中的各二项式系数之和为2n=1 024，解得n=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在（1+x）12展开式中，系数最大的项是 （　　） A.第5，6项 B.第6，7项 C.第6项 D.第7项 √ 解析：因为（1+x）12的展开式的通项为Tk+1=xk，k=0，1，2，…，12，所以（1+x）12展开式中各项的系数即为其二项式系数，根据二项式系数的性质有，第7项的二项式系数最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若（1+x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，则a1+a2+a3+…+a9= （　　） A.1 B.513 C.512 D.511 √ 解析：令x=0，得a0=1，令x=1，得a0+a1+a2+a3+…+a9=29=512， 所以a1+a2+a3+…+a9=512-a0=512-1=511，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知（3-x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0-a1+a2+…+（-1）nan= （　　） A.32 B.64 C.128 D.256 √ 解析：由题意可得=，所以n=4.令x=-1，则（3-x）n=（3+1）4= a0-a1+a2-a3+a4=256.所以a0-a1+a2+…+（-1）nan=256. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为（　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：的展开式的通项为Tk+1=（）n-k· =·2k·，则T3=·22·，其系数为4.倒数第3项为 Tn-1=·2n-2·x5-2n，其系数为2n-2.依题意2n-2=4×4， 则n=6.所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知（mx-1）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：由题意，令x=0，得a0=1，令x=1，得（m-1）8=a0+a1+a2+…+a8，所以a1+a2+…+a8=（m-1）8-1，由（m-1）8-1=255，解得m=3或m=-1，所以“a1+a2+…+a8=255”是“m=3”的必要不充分条件.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知（1+x）10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为 （　　） A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析：（1+x）10的展开式的通项是Tk+1=110-kxk=xk，则a1=，a2=，a3=，a4=，a5=，a6=，a7=，a8=，a9=，a10=，a11=，根据组合数性质，，，，，，依次递增，，，，，，依次递减，因此，若数列a1，a2，a3，…，ak（1≤k≤11，k∈Z）是一个递增数列，则k的最大值为6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（　　） A.840 B.-252 C.-210 D.210 √ 解析：因为二项式系数只有第6项最大，故n=10，又二项展开式的通项为Tr+1=（-2x-2）r=·（-2）rx30-5r（0≤r ≤10，r∈N），令30-5r=0，则r=6，故T7=（-2）6=840. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知（2x-1）k（k∈N*）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则x2项的系数为 （　　） A.16 B.-32 C.24 D.-8 √ 解析：因为（2x-1）k（k∈N*）的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以k=4.又因为二项展开式的通项为Tr+1=·（2x）4-r·（-1）r，令4-r=2，得r=2，所以x2项的系数为×24-2×（-1）2=24. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.[多选]已知（1-2x）2 025=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 025x2 025，则 （　　） A.展开式中所有项的二项式系数的和为22 025 B.展开式中所有奇数项系数的和为 C.展开式中所有偶数项系数的和为 D.+++…+=-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：对于A，展开式中所有项的二项式系数之和为22 025，故A正确； 对于B，令x=-1，得32 025=a0-a1+a2-a3+…-a2 025，① 令x=1，得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025，② ①+②，得32 025-1=2（a0+a2+…+a2 024），∴a0+a2+…+a2 024=，故B正确； 对于C，①-②，得32 025+1=-2（a1+a3+…+a2 025），∴a1+a3+…+a2 025=-， 故C错误；对于D，令x=0，得a0=1，令x=，得0=a0++++…+，∴+++…+=-1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）（x2+1）（x-2）9=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+ …+a11（x-1）11，则a1+a2+a3+…+a11的值为____.  2 解析：令x=1，得a0=-2.令x=2，得a0+a1+a2+…+a11=0.所以a1+a2+a3+…+a11=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则第4项为__________.  120 解析：因为展开式中只有第6项的二项式系数最大， 即+1=6，所以n=10， 所以T4=（）7·=120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）已知（2x-1）n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=_________.  255 解析：设（2x-1）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn， 且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+…. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由已知可知，B-A=38. 令x=-1， 得a0-a1+a2-a3+…+（-1）nan=（-3）n， 即（a0+a2+a4+a6+…）-（a1+a3+a5+a7+…）=（-3）n，则B-A=（-3）n， ∴（-3）n=38=（-3）8，∴n=8. 由二项式系数的性质，得 +++…+=2n-=28-1=255. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知（+3x2）n的展开式中，各项系数的和比它的二项式系数的和大992. （1）求展开式中二项式系数最大的项；（5分） 解：令x=1，则展开式中各项系数的和为（1+3）n=22n.又展开式中二项式系数的和为2n，所以22n-2n=992，解得n=5. 所以展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项， 所以T3=（）3（3x2）2=90x6，T4=（）2（3x2）3=270. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求展开式中系数最大的项.（5分） 解：设展开式中第r+1项系数最大， 则Tr+1=（）5-r（3x2）r=3r， 所以⇒≤r≤. 又r∈N，所以r=4.即展开式中第5项系数最大， T5=（）（3x2）4=405. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知的展开式中，前三项的二项式系数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值；（4分） 解：由题意，得++=16，即1+n+=16. 解得n=5或n=-6（舍去），所以n=5. 因为所有项的系数之和为1，令x=1， 所以（a-1）5=1，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）展开式中是否存在常数项?若存在，求出常数项；若不存在，请说明理由；（6分） 解：不存在.理由如下：因为=， 所以Tk+1=（2x）5-k=（-1）k25-k. 令5-=0，解得k=∉N，所以展开式中不存在常数项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）求展开式中二项式系数最大的项.（5分） 解：由二项式系数的性质知， 展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为 T3=（-1）2·25-2x5-3=80x2， T4=（-1）3·25-3=-40. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $