阶段质量评价 第五章 一元函数的导数及其应用 B卷——高考能力达标-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了导数的概念、几何意义、运算及应用，通过典型例题将瞬时速度、切线方程、单调性、极值最值等核心内容串联，构建“概念-运算-应用”的完整知识网络。 其亮点在于“基础巩固-综合应用-创新拓展”的分层设计，如通过“质点运动方程求瞬时速度”夯实导数物理意义，“商场利润优化”培养数学建模能力，“函数中心对称证明”发展逻辑推理素养。这种设计让学生从数学角度观察现实问题，用数学思维分析解决问题，帮助教师精准把握学情，提升复习效率。

B卷——高考能力达标 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.一质点的运动方程为s=20+gt2(g=9.8 m/s2),则t=3 s时的瞬时速度为(　) A.20 m/s B.29.4 m/s C.49.4 m/s D.64.1 m/s √ 解析:因为v=s'(t)=gt,所以当t=3时,v=3g=29.4.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.曲线y=在点处的切线方程为(　　) A.y=x B.y=x C.y=x+ D.y=x+ √ 解析:设曲线y=在点处的切线方程为y-=k(x-1),因为y=,所以y'==,所以k=y'|x=1=,所以y-=(x-1),所以曲线y=在点处的切线方程为y=x+.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 3.已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)内单调递增,则a的最小值为 (　　) A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 √ 解析:依题可知,f'(x)=aex-≥0在(1,2)上恒成立,显然a>0,所以xex≥,设g(x)=xex,x∈(1,2),所以g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)在(1,2)内单调递增,g(x)>g(1)=e,故e≥,即a≥=e-1,即a的最小值为e-1.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.以正弦曲线y=sin x上一点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 (　　) A.∪ B.[0,π) C. D.∪ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:由函数y=sin x,得y'=cos x.设P(x0,y0),则以点P为切点的切线l的斜率为k=cos x0∈[-1,1].设以点P为切点的切线l的倾斜角为α,则tan α=k∈[-1,1].由α∈[0,π),可得α∈∪,所以直线l的倾斜角的范围是∪.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 5.函数f(x)=的部分图象大致为(　　) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:因为f(x)=,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除B;由f(1)=<1,故排除A;因为f(x)=,当x>0时,可得f'(x)=,当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故排除D.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,则当a<x<b时,有 (　　) A.f(x)g(b)>f(b)g(x) B.f(x)g(a)>f(a)g(x) C.f(x)g(x)>f(b)g(b) D.f(x)g(x)>f(a)g(a) √ 解析:∵[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,∴函数y=f(x)g(x)是R上的减函数.∴当a<x<b时,f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b),故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.方程-ln x-2=0的根的个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 解析:令f(x)=-ln x-2(x>0),则f'(x)=-=,当x∈(0,4)时,f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln 4-2<0, f(e6)=e3-ln e6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-ln e-2-2=>0,结合函数零点存在定理可知函数在(0,4)上存在一个零点,在区间(4,+∞)上存在一个零点,方程-ln x-2=0的根的个数为2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.若0<x1<x2<a都有x2ln x1-x1ln x2<x1-x2成立,则a的最大值为 (　　) A. B.1 C.e D.2e √ 解析:根据题意,若0<x1<x2<a,则x2ln x1-x1ln x2<x1-x2⇒-<-⇒<.设f(x)=(x>0),则f(x)=(x>0)在(0,a)内单调递增.对于f(x)=,其导数f'(x)==-.若f'(x)>0,解得0<x<1,即函数f(x)=的单调递增区间为(0,1).若0<x1<x2<a都有x2ln x1-x1ln x2<x1-x2成立,即在(0,a)内函数f(x)单调递增,则a的最大值为1.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(　　) A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,+∞) √ √ 解析:由题意得y'=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1),令y'<0,解得x<-1或0<x< 1,结合选项可知函数y=x4-2x2+5的单调递减区间可以为(-∞,-1),(0,1),故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则(　　) A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:函数f(x)=aln x++的定义域为(0,+∞),求导得f'(x)=--= ,因为函数f(x)既有极大值也有极小值,则函数f'(x)在(0,+∞)上有两个变号零点,而a≠0,因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x1,x2,于是即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,显然a2bc<0,即bc<0,A错误,B、C、D正确.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.设函数f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若f″(x)<0在区间(a,b)上恒成立,则称f(x)在区间(a,b)上为凸函数.则下列函数中,为区间(0,2)上的凸函数的是 (　　) A.f(x)=xln x B.f(x)=ln x-2x C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:对于A,f(x)=xln x,f'(x)=ln x+1,f″(x)=,显然在区间(0,2)恒有f″(x)>0,所以不为凸函数.对于B,f(x)=ln x-2x,f'(x)=-2,f″(x)=-,显然在区间(0,2)恒有f″(x)<0,所以为凸函数.对于C,f(x)=x3+2x-1,f'(x)=3x2 +2,f″(x)=6x,显然在区间(0,2)恒有f″(x)>0,所以不为凸函数.对于D, f(x)=,f'(x)==,f″(x)==,显然在区间(0,2)恒有f″(x)<0,所以为凸函数.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中给出一个定理:如果函数y=f(x)满足如下条件: (1)在区间[a,b]上是连续不断的;(2)在区间(a,b)上都有导数. 则在区间(a,b)上至少存在一个实数t,使得f(b)-f(a)=f'(t)(b-a),其中t称为“拉格朗日中值”.函数g(x)=x2在区间上的“拉格朗日中值”t= ______.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:因为g(x)=x2,所以g'(x)=2x,结合“拉格朗日中值”定义可得g'(t)==1,所以t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.(5分)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站_______km处时,两项费用之和最小,最小费用为______万元.  5 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析:依题意,可设每月土地占用费y1=,每月库存货物的运费y2=k2x,其中x是仓库到车站的距离,k1,k2是比例系数,于是由2=,得k1=20,由8=10k2,得k2=.因此,两项费用之和为y=+(x>0),y'=-+.令y'=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y'<0;当x>5时,y'>0,因此,当x=5时,y取得极小值,也是最小值,其值为8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.(5分)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a的取值 范围是_____________.  解析:由函数的解析式可得f'(x)=axln a+(1+a)xln(1+a)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,则(1+a)xln(1+a)≥-axln a,即≥-在区间(0,+∞)上恒成立,故=1≥-,而a+1∈(1,2),故ln(1+a)>0,故 即故≤a<1,结合题意可得实数a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(13分)已知函数f(x)=aln x+x2-(a+1)x+1. (1)当a=2时,求f(x)的单调递减区间;(5分) 解: f(x)的定义域为(0,+∞),当a=2时,f(x)=2ln x+x2-3x+1, 由f'(x)=+x-3=<0,得f(x)的单调递减区间为(1,2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若a>1,求f(x)在区间(0,+∞)上的极大值与极小值.(8分) 解:由f'(x)=+x-(a+1)==0,得x1=1,x2=a, ∵a>1,∴f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,a)内单调递减,在(a,+∞)上单调递增, 当x∈(0,+∞)时,f(x)的极大值为f(1)=-a,极小值为f(a)=aln a-a2-a+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.(15分)商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数,已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值;(3分) 解:因为x=5时y=11,所以+10=11⇒a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)若商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.(12分) 解:由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6; f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6), 令f'(x)=0得x=4,函数f(x)在(3,4)内单调递增,在(4,6)内单调递减, 所以当x=4时函数f(x)取得最大值f(4)=42.所以当销售价格x=4时, 商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为42. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.(15分)设函数f(x)=-kln x,k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值;(5分) 解:由f(x)=-kln x,k>0得f'(x)=x-=. 由f'(x)=0解得x=.f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的变化情况如下: x (0,) (,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 单调递增 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 所以f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+∞); f(x)在x=处取得极小值f()=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.(10分) 解:证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f()=. 因为f(x)存在零点,所以≤0,从而k≥e. 当k=e时,f(x)在区间(1,)内单调递减, 且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点. 当k>e时,f(x)在区间(0,)内单调递减,且f(1)=>0,f()=<0, 所以f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 综上可知,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.(17分)已知函数f(x)=ln(1+x). (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(5分) 解:当a=-1时,f(x)=ln(x+1), 则f'(x)=-×ln(x+1)+×, 据此可得f(1)=0,f'(1)=-ln 2, 函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-0=(-ln 2)(x-1), 即(ln 2)x+y-ln 2=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)是否存在a,b,使得曲线y=f关于直线x=b对称,若存在,求a,b的值,若不存在,请说明理由.(12分) 解:令g(x)=f=(x+a)ln,函数g(x)的定义域满足+1=>0, 即函数g(x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞). 因为定义域关于直线x=-对称,所以b=-. 由对称性可知g=g, 取m=可得g(1)=g(-2),即(a+1)ln 2=(a-2)ln,则a+1=2-a,解得a=, 经检验a=,b=-满足题意,故a=,b=-.即存在a=,b=-满足题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=ln+ax+b(x-1)3. (1)若b=0,且f'(x)≥0,求a的最小值;(3分) 解:当b=0时,f(x)=ln+ax,其中x∈(0,2),则f'(x)=+a,x∈(0,2), 因为x(2-x)≤=1,当且仅当x=1时等号成立, 故f'(x)min=2+a,而f'(x)≥0成立,故a+2≥0,即a≥-2, 所以a的最小值为-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;(4分) 解:证明:f(x)=ln+ax+b(x-1)3的定义域为(0,2), 设P(m,n)为y=f(x)图象上任意一点,P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n),因为P(m,n)在y=f(x)图象上,故n=ln+am+b(m-1)3, 而f(2-m)=ln+a(2-m)+b(2-m-1)3=-+2a =-n+2a,所以Q(2-m,2a-n)也在y=f(x)图象上, 由P的任意性可得y=f(x)图象为中心对称图形,且对称中心为(1,a). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (3)若f(x)>-2当且仅当1<x<2,求b的取值范围.(10分) 解:因为f(x)>-2当且仅当1<x<2,故x=1为f(x)=-2的一个解, 所以f(1)=-2,即a=-2,先考虑1<x<2时,f(x)>-2恒成立. 此时f(x)>-2,即为ln+2(1-x)+b(x-1)3>0在(1,2)上恒成立, 设t=x-1∈(0,1),则ln-2t+bt3>0在(0,1)内恒成立, 设g(t)=ln-2t+bt3,t∈(0,1),则g'(t)=-2+3bt2=, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 当b≥0时,-3bt2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0,故g'(t)>0恒成立, 故g(t)在(0,1)内为增函数, 故g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在(1,2)上恒成立. 当-≤b<0时,-3bt2+2+3b≥2+3b≥0, 故g'(t)≥0恒成立,故g(t)在(0,1)内为增函数, 故g(t)>g(0)=0,即f(x)>-2在(1,2)上恒成立.当b<-, 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 则当0<t< <1时,g'(t)<0,故在内g(t)单调递减, 故g(t)<g(0)=0,不合题意,舍去. 综上,f(x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥-. 而当b≥-时,由上述过程可得g(t)在(0,1)内单调递增,故g(t)>0的解集为(0,1),即f(x)>-2的解集为(1,2).综上,b的取值范围是. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $