4.3.1 第2课时 等比数列的性质及判定-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等比数列的性质及判定 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.掌握等比数列的判定及证明方法;灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质,并能运用这些性质简化运算. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等比数列项的设法与求解 题型(二)　等比数列的性质 题型(三)　等比数列的判定与证明 4 课时跟踪检测 题型(一)　等比数列项的设法与 求解 01 [例1]　有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,第一个数与第四个数的和为21,中间的两个数的和为18,求这四个数. 解:法一　设前三个数分别为,a,aq(q≠0),则第四个数为2aq-a. 由题意得解得q=2或q=. 当q=2时,a=6,这四个数为3,6,12,18; 当q=时,a=,这四个数为,,,. 法二　设后三个数分别为a-d,a,a+d,则第一个数为, 所以这四个数为,a-d,a,a+d.由题意得 解得或故这四个数为3,6,12,18或,,,. |思|维|建|模| 等比数列中的设项方法与技巧 (1)若三个数成等比数列,可设三个数为a,aq,aq2或,a,aq. (2)若四个数成等比数列,可设为a,aq,aq2,aq3;若四个数均为正(负)数,可设为,,aq,aq3;若四个数成公比为负数的等比数列,可设为,-,aq,-aq3. 针对训练 1.三个数成等比数列,它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数. 解:由三个数成等比数列,设这三个数为,a,aq,则 解得或所以这三个数为2,4,8或8,4,2. 题型(二)　等比数列的性质 02 1.等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an=a1qn-1 (揭示首末两项的关系) an=_______ (揭示任意两项之间的关系) amqn-m 2.等比数列项的运算性质 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=______. (1)当m+n=2k(m,n,k∈N*)时,am·an=. (2)对有穷等比数列,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项之积,即a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…. (3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为______. (4)若数列{an}为等比数列,且m1+m2+…+mn=k1+k2+…+kn, 则·…·=·…·. ap·aq qm |微|点|助|解| 　　等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列,则: ①{can}(c为任一非零常数)是公比为q的等比数列; ②{|an|}是公比为|q|的等比数列; ③{}(m为常数,n∈N*)是公比为qm的等比数列. (2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. [例2]　已知{an}为等比数列, (1)若a2a4=,求a1a5; 解:等比数列{an}中,∵a2a4=,∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=. (2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5; 解:由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25, 即(a3+a5)2=25,∵an>0,∴a3+a5=5. (3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10. 解:由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9, ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10) =log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10. [变式拓展] 1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值. 解:∵数列{an}为等比数列,∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列, ∴a25+a26===12. 2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最小值. 解:法一　因为数列{an}是等比数列, 所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0, 所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27, 当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号. |思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两条思路 (1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他; (2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N*)⇔am·an=ak·al=. 针对训练 2.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= (　　) A.6 B.9 C.±6 D.±9 √ 解析:因为a5a7a9a11= =36,所以=6(舍负),所以a2a14==6.故选A. √ 3.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为(　　) A.20 B.10 C.5 D. 解析:在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2. 所以+++=+===10.故选B. 题型(三)　等比数列的判定与证明 03 [例3]　已知数列{an}中,a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,且对任意n∈N*,有an+1=kSn+1(k为常数). (1)当k=2时,求a2,a3的值; 解:由题意可得,a2=2S1+1=3,a3=2S2+1=2×(1+3)+1=9. (2)试判断数列{an}是否为等比数列?请说明理由. 解:当n≥2时,an=kSn-1+1.由an+1=kSn+1,an=kSn-1+1两式相减得an+1=(k+1)an. 当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,可得=k+1(n≥2),当n=1时,a1=1,a2=k+1,所以=k+1,故对任意的n∈N*都有=k+1,此时数列{an}是等比数列.综上,当k=-1时,{an}不是等比数列;当k≠-1时,{an}是等比数列. 　|思|维|建|模|　判断数列是等比数列的常用方法 (1)定义法:若数列{an}满足=q(n∈N*,q为常数且不为零)或=q(n≥2,且n∈N*,q为常数且不为零),则数列{an}是等比数列. (2)通项公式法:若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法:若=anan+2(n∈N*且an≠0),则数列{an}为等比数列. 针对训练 4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+Sn=n. (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列; 解:证明:因为an+Sn=n　①,所以an+1+Sn+1=n+1　②. ②-①得an+1-an+an+1=1,所以2an+1=an+1, 所以2(an+1-1)=an-1.又a1+a1=1,所以a1=,所以a1-1=-≠0. 因为=,所以=.故{cn}是以c1=a1-1=-为首项,为公比的等比数列. (2)求数列{an}的通项公式. 解:由(1)知cn=-×=-.因为cn=an-1,所以an=1-. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知等比数列{an}满足a1=1,a3a5=4(a4-1),则a7的值为 (　　) A.2 B.4 C. D.6 √ 解析:根据等比数列的性质得a3a5=,∴=4(a4-1),即(a4-2)2=0,解得a4=2.又a1=1,a1a7==4,∴a7=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]已知数列{an}是等比数列,下列数列一定是等比数列的为 (　　) A.{|an|} B.{an-} C. D.{kan} √ √ 解析:当数列{an}为1,1,1,1,…时,数列{an-an+1}不是等比数列; 当k=0时,数列{kan}不是等比数列,而{|an|}和一定是等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2025·北京高考)已知{an}是公差不为0的等差数列,a1=-2,若a3,a4,a6成等比数列,则a10= (　　) A.-20 B.-18 C.16 D.18 √ 解析:设等差数列{an}的公差为d,(d≠0),因为a3,a4,a6成等比数列,且a1=-2,所以=a3a6,即(-2+3d)2=(-2+2d)(-2+5d),解得d=2或d=0(舍去), 所以a10=a1+9d=-2+9×2=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.等比数列{an}中,若a12=4,a18=8,则a36为 (　　) A.32 B.64 C.128 D.256 √ 解析:设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可知,a12,a18,a24, a30,a36成等比数列,且=2=q6,故a36=a18q18=8×23=64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.[多选]设公比为q的等比数列{an},若a1a5a9=64,则 (　　) A.a5=4 B.当a1=1时,q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 √ √ √ 解析:由题意,a1a5a9==64,即a5=4,故A正确;当a1=1时,a5=a1q4=4,所以q=±,故B正确;因为a1a9==16,所以a1和a9的等比中项为4或-4,故C错误;由+≥2a1a9=32,当且仅当a1=a9=4时,等号成立,故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]设{an}是各项均为正数的数列,以an,an+1为直角边长的直角三角形面积记为Sn(n∈N*),则{Sn}为等比数列的充分条件是 (　　) A.{an}是等比数列 B.a1,a3,…,a2n-1,…或a2,a4,…,a2n,…是等比数列 C.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列 D.a1,a3,…,a2n-1,…和a2,a4,…,a2n,…均是等比数列,且公比相同 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: {Sn}为等比数列等价于为常数,也就是等价于即为常数.对于A,因为{an}是等比数列,所以=q2(q为{an}的公比)为常数,故A满足.对于B,取a2n-1=2n-1,a2n=2n,此时满足a2,a4,…,a2n,…是等比数列,a1,a3,…,a2n-1,…不是等比数列,不是常数,故B不满足.对于C,取a2n-1=3n,a2n=2n,此时满足a2,a4,…,a2n,…是等比数列,a1,a3, …,a2n-1,…是等比数列,=3,=2,两者不相等,故C不满足.对于D,根据条件可得为常数,故D满足. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 (　　) A.S11=11π B.sin= C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π, b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.对于A,S11==11a6=11π,故A正确;对于B,a2+a10=2a6=2π,b4b6==4, 所以sin=sin=1,故B错误;对于C,设等差数列{an}的公差为d, 则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;对于D,由b5=2, 得b3>0,b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)在等比数列{an}中,存在正整数m,若am=3,=24,则=_______.  1 536 解析:由题意知q5==8,am+15=amq15=3×83=1 536. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在等比数列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,则的值为____.  2 解析:因为==a6,又a2a3a6a9a10=(a2a10)a6(a3a9)==32, 所以a6=2,故=a6=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若m,n是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同零点,且m,n,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则pq=______.  20 解析:由题可得⇒ 则m,-2,n或n,-2,m成等比数列,得mn=(-2)2=4.不妨设m<n, 则-2,m,n成等差数列,得2m=n-2.结合mn=4, 可得(2m+2)m=4⇒m(m+1)=2,解得m=1或m=-2(舍去), 即⇒⇒pq=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若数列{an}满足-=0,则称{an}为“梦想数列”,已知正项数列为“梦想数列”,且b1+b2+b3=1,则b6+b7+b8=_____.  32 解析:由题意可知,若数列{an}为“梦想数列”,则-=0,可得=,所以“梦想数列”{an}是公比为的等比数列,若正项数列为“梦想数列”,则=,所以=2,即正项数列{bn}是公比为2的等比数列,因为b1+b2+b3=1,因此,b6+b7+b8=25(b1+b2+b3)=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,则数列{an}的通项公式为_________________.  an=2n-2或an=26-n 解析:∵a1a5=,a3a7=,∴由题意,得-2a3a5+=36, 同理得+2a3a5+=100,∴ ∵an>0,∴解得或 分别解得或∴an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知数列{an}满足a1=,且an+1=an+,n∈N*. (1)求证:是等比数列;(6分) 解:证明:由已知,得an+1-=an-=,即=,因为a1=,所以a1-=,所以是以为首项,为公比的等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求数列{an}的通项公式.(4分) 解:由(1)知,是以为首项,为公比的等比数列, 所以an-=×,所以an=×+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在4与之间插入3个数,使这5个数成等比数列,求插入的3个数. 解:法一　依题意,a1=4,a5=,由等比数列的通项公式, 得=4q4,解得q=±. 当q=时,插入的3个数分别为4×=2,2×=1,1×=; 当q=-时,插入的3个数分别为4×=-2,(-2)×=1,1×=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为等比数列共有5项,即a1,a2,a3,a4,a5. 又因为2×3=1+5,所以=a1a5=4×=1,即a3=±1. 又因为a3要与a1同号,因此a3=1. 类似地,有=a1a3,=a3a5,而且a2与a4同号. 因此,当a2===2时,a4===;当a2=-=-=-2时,a4=-=-=-. 因此,插入的3个数分别为2,1,或-2,1,-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知数列{an}和{bn}满足a1=λ,an+1=an+n-4,其中λ为实数,n为正整数. (1)求证:对任意实数λ,数列{an}不是等比数列;(4分) 解:证明:∵an+1=an+n-4且a1=λ,∴a2=λ-3,a3=λ-4. 假设存在一个实数λ,使{an}是等比数列,则=a1a3, 即=λ,即λ2-4λ+9=λ2-4λ,该方程无解, ∴对任意实数λ,数列{an}不是等比数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)bn=(-1)n(an-3n+21),试判断{bn}是否为等比数列.(6分) 解:∵bn=(-1)n(an-3n+21),∴bn+1=(-1)n+1[an+1-3(n+1)+21] =(-1)n+1=-(-1)n(an-3n+21)=-bn. ∵b1=-(λ+18),∴当λ=-18时,b1=0, 此时数列{bn}不是等比数列; 当λ≠-18时,b1≠0,此时=-(n∈N*),数列{bn}是等比数列. 综上,当λ=-18时,{bn}不是等比数列;当λ≠-18时,{bn}是等比数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $