第十章 专题微课 概率与统计的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦概率与统计综合问题，涵盖概率与统计结合、概率与函数结合及决策性问题三大题型。通过海水养殖产量对比、疾病检测等实例导入，从频率分布直方图分析到函数建模再到决策判断，构建递进式学习支架，衔接基础概率计算与综合应用。 其亮点在于以“思维建模”提炼解题步骤，如概率统计图表问题的“读图-转化-运算”三步骤，结合数学眼光观察现实情境（如养殖产量、疾病检测），用数学思维进行逻辑推理（如函数解析式构建、方差计算），培养学生数据观念与模型意识。针对训练与课时检测助力学生巩固，教师可依托系统题型提升教学效率。

专题微课　概率与统计的综合问题 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　概率与统计相结合 题型(二)　概率与函数相结合 题型(三) 概率统计中的决策性问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　概率与统计相结合 01 [例1]　海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg),其频率分布直方图如图所示.两种养殖方法的箱产量相互独立. (1)求频率分布直方图中a的值; 解:由(0.004+0.008+0.010+0.020+0.044+0.046+a)×5=1,所以a=0.068. (2)用频率估计概率,从运用新、旧网箱养殖方法的水产品中各随机抽取一个网箱,估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率; 解:设事件A,B分别表示:从运用旧、新网箱养殖方法的水产品中随机 抽取一个网箱,其箱产量不低于55 kg,用频率估计概率,则P(A)=(0.020+ 0.012+0.012)×5=0.22,P(B)=(0.046+0.010+0.008)×5=0.32. 因为A,B相互独立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.22×0.32=0.070 4,所以估计两个网箱的箱产量都不低于55 kg的概率为0.070 4. (3)假定新、旧网箱养殖方法的网箱数不变,为了提高总产量,根据样本中两种养殖法的平均箱产量,该养殖场下一年应采用哪种养殖法更合适? (直接写出结果) 解:新养殖法(旧养殖法的平均值估计为0.012×5×27.5+0.014×5× 32.5+0.024×5×37.5+0.034×5×42.5+0.040×5×47.5+0.032×5×52.5+0.020×5×57.5+0.012×5×62.5+0.012×5×67.5=47.1, 新养殖法的平均值估计为0.004×5×37.5+0.020×5×42.5+0.044× 5×47.5+0.068×5×52.5+0.046×5×57.5+0.010×5×62.5+0.008× 5×67.5=52.35, 又52.35>47.1,所以该养殖场下一年应采用新养殖法更合适.) |思|维|建|模| 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 针对训练 1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90), [90,100]进行分组,假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图如图所示. (1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生,试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数; 解:由折线图得样本中体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30人,所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生大约为1 000×=750人. (2)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的 样本学生中随机抽取2人,求在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率; 解:成绩在[60,70)有2名学生,设为1,2,[80,90)有3名学生,设为A,B,C,故抽取2名学生,有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),(A,B),(A,C),(B,C),共10种情况,其中至少有1人体育成绩在[60,70)的情况有(1,2),(1,A),(1,B),(1,C),(2,A),(2,B),(2,C),共7种情况,故在抽取的2名学生中,至少有1人体育成绩在[60,70)的概率为. (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且分别在[70,80),[80,90),[90,100]三组中,其中a,b,c∈N,当数据a,b,c的方差s2最小时,写出a,b,c的值.(结论不要求证明) 解:由题意知,要想数据a,b,c的方差s2最小,则a,b,c三个数据的差的绝对值越小越好, 故a=79,c=90, 则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为=, 故方差s2=× =[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2] =(6b2-1 014b+43 386), 对称轴为b=-=84.5, 故当b=84或b=85时,s2取得最小值, a,b,c的值为79,84,90或79,85,90. 题型(二)　概率与函数相结合 02 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性,此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); 解:由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%,所以95<c<100. 设X为患病者的该指标, 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5. 设Y为未患病者的该指标, 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 解:当95≤c≤100时, p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19, q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01, 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82; 当100<c≤105时, p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19, q(c)=(105-c)×0.002=-0.002c+0.21, 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述,f(c)= 由一次函数的单调性知,函数f(c)在[95,100]上单调递减,在(100,105]上单调递增, 作出f(c)在区间[95,105]上的大致图象(略),可得f(c)在区间[95,105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. |思|维|建|模| 　　本题主要考查概率与数字特征,涉及平均数、中位数,分层随机抽样,古典概型的概率计算等知识.解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义,牢记相关定义和公式,在利用频率分布直方图求平均值时,不要与求中位数、众数混淆. 针对训练 2.某大型商超每天以每千克1元的价格从蔬菜批发行购进若干千克青菜,然后以每千克2元的价格出售.如果当天卖不完,那么剩下的青菜当作福利分给有需要的员工. (1)若该商超一天购进800千克青菜,求当天出售青菜的利润y(单位:元)关于当天青菜需求量x(单位:千克)的函数解析式; 解:当x≥800时,y=800×(2-1)=800; 当0<x<800时,y=2x-1×800=2x-800, 故y关于x的函数解析式为y= (2)该商超记录了100天青菜的日需求量(单位:千克),整理得到下表. 日需求量x 770 780 790 800 820 830 频数 5 10 20 35 20 10 ①假设该大型商超在这100天内每天购进800千克青菜,求这100天出售青菜的日利润(单位:元)的平均数; ②若该大型商超一天购进800千克青菜,以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于780元的概率. 解:①这100天有5天的日利润为2×770-800=740元, 10天的日利润为2×780-800=760元, 20天的日利润为2×790-800=780元, 65天的日利润为800元, 所以这100天出售青菜的日利润的平均数为×740+×760+×780+×800=789元. ②若当天的利润不少于780元,则当日需求量不少于790千克, 故当天的利润不少于780元的概率为0.2+0.35+0.2+0.1=0.85. 题型(三)　概率统计中的决策性问题 03 [例3]　一个口袋内装有形状、大小相同,编号为1,2,3的3个白球和编号为a的1个黑球. (1)从中一次性摸出两个球,求摸出的两个球都是白球的概率; 解:从袋中一次性摸出两个球,所包含的样本点有(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a),共6个样本点; 摸出的两个球都是白球,所包含的样本点有(1,2),(1,3),(2,3),共3个样本点; 则从中一次性摸出两个球,摸出的2个球都是白球的概率为P==. (2)从中连续取两次,每次取一个球后放回,甲、乙约定:若取出的两个球中至少有1个黑球,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平?请说明理由. 解:从袋中连续取两次,每次取一球后放回,则所包含的样本点有(1,1),(1,2),(1,3), (1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共16个样本点, 则取出的两个球中至少有1个黑球,所包含的样本点有(1,a),(2,a),(3,a),(a,1), (a,2),(a,3),(a,a),共7个样本点. 因此取出的两个球中至少有1个黑球的概率为P=,即甲胜的概率为,则乙胜的概率为,因为>,所以此游戏不公平. 针对训练 3.甲、乙两人进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择, 方案一:三局两胜制(先胜2局者获胜,比赛结束); 方案二:五局三胜制(先胜3局者获胜,比赛结束). (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案,抛掷两枚质地均匀的骰子,观察两枚骰子向上的点数,若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1,则选择方案一, 否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大,并说明理由; 解:方案二被选择的可能性更大.理由如下: 抛掷两枚质地均匀的骰子,设向上的点数为(a,b),则共有36种情况,如下: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有: (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6), 共16种情况, 故选择方案一的概率为=, 则选择方案二的概率为1-=,因为>,所以方案二被选择的可能性更大. (2)若选择方案一,求甲获胜的概率. 解:若甲在前两局获胜,概率为×=, 若甲在第一局、第三局获胜,概率为××=, 若甲在第二局、第三局获胜,概率为××=, 三种情况互斥,故选择方案一,甲获胜的概率为++=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 2 1.连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为m,n,记t=m+n,则下列说法正确的是 (　　) A.事件“t=12”的概率为 B.事件“t是奇数”与“m=n”互为对立事件 C.事件“t=2”与“t≠3”互为互斥事件 D.事件“t>8且mn<32”的概率为 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析:连掷一枚均匀的骰子两次,所得向上的点数分别为m,n,则共有6×6=36个样本点,记t=m+n,则事件“t=12”必须两次都掷出6点,则事件“t=12”的概率为,故A错误;事件“t是奇数”与“m=n”为互斥不对立事件,如事件m=3,n=5,故B错误;事件“t=2”与“t≠3”不是互斥事件,故C错误;事件“t>8且mn<32”有 共9个样本点,故事件“t>8且mn<32”的概率为,故D正确. 1 5 6 7 8 9 2 3 4 2.一个系统如图所示,A,B,C,D,E,F为6个部件,其正常工作的概率都是,且是否正常工作是相互独立的,当A,B都正常工作或C正常工作,或D正常工作,或E,F都正常工作时,系统就能正常工作,则系统正常工作的概率是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 2 3 4 解析:设“C正常工作”为事件G,“D正常工作”为事件H,则P(G)=P(H)=, “A与B中至少有一个不正常工作”为事件T,“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R,则P(T)=P(R)=1-×=,于是得系统不正常工作的事件为TR ,而T,R,,相互独立,所以系统正常工作的概率P=1-P(T)·P(R)· P()·P()=. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 3.(多选)已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是 (　　) A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大 C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平 √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析:由题意,知由1,2,3,4,5组成的“三位递增数”有123,124,125,134, 135,145,234,235,245,345,共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的样本点有124,134,234,共3个,所以P(A)=.记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,所以P(B)=.因为P(A)<P(B),即乙参赛的概率大,所以该选取规则不公平. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 4.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.甲、乙两人独立地解题,已知各人能解出的概率分别是0.5,0.25,则题被解出的概率是0.125 B.若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0 C.某校200名教师的职称分布情况如下:高级占比20%,中级占比50%,初级占比30%,现从中抽取50名教师做样本,若采用分层随机抽样的方法,则高级教师应抽取10人 D.一位男生和两位女生随机排成一列,则两位女生相邻的概率是 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析:因为他们各自解出的概率分别是0.5,0.25,则此题不能解出的概率为(1-0.5)×(1-0.25)=0.375,则此题能解出的概率为1-0.375=0.625,故A错误;若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P(AB)=0,故B正确;高级教师应抽取50×20%=10人,故C正确;由列举法可知,两位女生相邻的概率是,故D正确. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 5.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,C,D,其中n(Ω)=60,n(A)=30, n(B)=10,n(C)=20,n(D)=30,n(A∪B)=40,n(AC)=10,n(A∪D)=60,则 (　　) A.A与B不互斥 B.A与D互斥但不对立 C.C与D互斥 D.A与C相互独立 √ 解析:由n(A)=30,n(B)=10,n(A∪B)=40,即n(A∪B)=n(A)+n(B)=40,故A,B互斥, A错误;由n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=60,故A,D互斥且对立,B错误; 由n(C)=20,n(AC)=10,则n(DC)=10,故C与D不互斥,C错误;由P(A)==, P(C)==,P(AC)==,所以P(AC)=P(A)P(C),故A与C相互独立,D正确. 故选D. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 6.(5分)(2023·天津高考)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%. 现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为_____________;将三个盒子混合后任取一个球,是白球的概率为_____________. 0.05 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n,所以总数为15n.所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3n; 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n; 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件A, 所以,P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球共有2n+n+3n=6n个,白球共有9n个, 所以P(B)==. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 7.(10分)根据城市空气质量污染指数的分级标准,空气污染指数(API)不大于100时,空气质量为优良.某城市环境监测部门从上个月的空气质量数据中随机抽取5天的空气污染指数,所得数据分别为90,110,x,y,150,已知这5天的空气污染指数的平均数为110. (1)若x<y,从这5天中任选2天,求这2天空气质量均为优良的概率;(5分) 解:由题意知(90+110+x+y+150)=110,则x+y=200. 因为x<y,所以x<100<y. 从这5天中任选2天,所有的结果为(90,110),(90,x),(90,y),(90,150),(110,x),(110,y),(110,150),(x,y),(x,150),(y,150),共10种, 这2天的空气质量均为优良的结果为(90,x),只有1种,故所求的概率为P=. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)若90<x<150,求这5天空气污染指数的方差的最小值.(5分) 解:方差s2=×[(90-110)2+(110-110)2+(x-110)2+(y-110)2+(150-110)2] =[2 000+(x-110)2+(90-x)2] =(x-100)2+440, 因为90<x<150,所以当x=100时,s2的值最小,最小值为440. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 8.(10分)在某地区,某项职业的从业者共约8.5万人,其中约3.4万人患有某种职业病.为了解这种职业病与某项身体指标(检测值为不超过6的正整数)间的关系,依据是否患有职业病,使用分层随机抽样的方法随机抽取了100名从业者,记录他们该项身体指标的检测值,整理得到如下统计图: 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (1)求样本中患病者的人数和图中a,b的值;(3分) 解:根据分层随机抽样原则,容量为100的样本中,患病者的人数为100×=40. a=1-0.10-0.35-0.25-0.15-0.10=0.05,b=1-0.10-0.20-0.30=0.40. (2)试估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数;(4分) 解:由(1)可知,患病者的人数为40,未患病的人数为60,该项身体指标检测值 不低于5的样本中,有患病者40×(0.30+0.40)=28(名), 未患病者60×(0.10+0.05)=9(名),共37名. 故估计此地区该项身体指标检测值不低于5的从业者的人数为 ×85 000=31 450. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (3)某研究机构提出,可以选取常数X0=4.5,若一名从业者该项身体指标检测值大于X0,则判定其患有这种职业病;若检测值小于X0,则判定其未患有这种职业病.从样本中随机选择一名从业者,按照这种方式判断其是否患病,求判断错误的概率.(3分) 解:当X0=4.5时,在100个样本数据中,有40×(0.10+0.20)=12(名)患病者被误判为未患病,有60×(0.10+0.05)=9(名)未患病者被误判为患病,因此判断错误的概率为. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 9.(15分)某校高三年级举行了高校强基计划模拟考试(满分100分),将不低于50分的考生的成绩分为5组, 即[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并绘制频率分布直方图如图所示,其中在[90,100]内的人数为2. (1)求a的值,并估计不低于50分考生的平均成绩 (同一组中的数据用该组区间的中点值代替);(5分) 解:由题意得(0.005+0.01+0.015+a+0.045)×10=1,解得a=0.025, 不低于50分考生的平均成绩估计为55×0.1+65×0.25+75×0.45+85×0.15+95×0.05=73(分). 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)现把[50,60)和[90,100]内的所有学生的考号贴在质地、形状和大小均相同的小球上,并放在盒子内,现从盒中随机抽取2个小球,若取出的两人成绩差不小于30,则称这两人为“黄金搭档组”.现随机抽取3次,每次取出2个小球,记下考号后再放回盒内,记取出“黄金搭档组”的次数为2的概率.(10分) 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解:在[90,100]上的频率为0.005×10=0.05,由条件得总人数为=40, 所以在[50,60)内的人数为40×0.1=4, 记[50,60)内的所有学生的考号所在小球分别为a1,a2,a3,a4,[90,100]内的所有学生的考号所在小球分别为b1,b2, 则从这6个球中抽取2个球的结果有a1a2,a1a3,a1a4,a1b1,a1b2,a2a3,a2a4,a2b1,a2b2,a3a4, a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,b1b2,共15种, 其中为“黄金搭档组”有a1b1,a1b2,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,a4b1,a4b2,共8种, 所以抽取出“黄金搭档组”的概率P=.记取出“黄金搭档组”的次数为2为事件A,事件Ai(i=1,2,3)表示第i次取出“黄金搭档组”,所以P(A)=P(A1A2 )+P(A1A3)+ P(A2A3) =××+××+××=, 故取出“黄金搭档组”的次数为2的概率为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $