6.3.2-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算,会用点的坐标求向量的和与差. 3.能根据平面向量加减运算的坐标表示求点的坐标. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　平面向量的正交分解及坐标表示 逐点清(二) 平面向量加、减运算的坐标表示 逐点清(三)　平面向量坐标运算的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　平面向量的正交分解及坐标表示 01 多维理解 1.正交分解 把一个向量分解为两个__________的向量,叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向相同的两个__________分别为i,j,取{i,j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=______,则有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作_________. 互相垂直 单位向量 xi+yj a=(x,y) 3.特殊向量表示 i=_______,j=_______,0=_______. 4.向量与坐标的关系 设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是_______的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. (1,0) (0,1) (0,0) 终点A |微|点|助|解| 点的坐标与向量的坐标 (1)向量的坐标与点的坐标有区别,当且仅当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标才与其终点的坐标相等.如:点A的位置向量的坐标(x,y),也就是点A的坐标(x,y);反之,点A的坐标(x,y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标. (2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固定的点,又可以表示一个向量,为了加以区分,在叙述中,就常说点(x,y),或向量(x,y). (3)给定一个向量,它的坐标是唯一的,给定一对实数,由于向量可以平移,以这对实数为坐标的向量有无穷多个. (4)两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同. 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若O为坐标原点,且=(2,-1),则点A的坐标为(2,-1). (　) (2)若点A的坐标为(2,-1),则以A为终点的向量的坐标为(2,-1). (　) (3)平面内的一个向量a,其坐标是唯一的. (　) √ × √ 2.已知e1,e2是平面内两个相互垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,则向量a的坐标为 (　　) A.(4e1,3e2) B.(4e1,-3e2) C.(4,3) D.(4,-3) 解析:∵e1,e2是互相垂直的单位向量,且a=4e1-3e2,∴a=(4,-3). √ 3.已知向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则=(　　) A.(-5,13) B.(-5,12) C.(-12,13) D.(-12,5) 解析:向量=(5,12),将绕原点按逆时针方向旋转90°得到,则点B的坐标为(-12,5),如图所示,所以=(-12,5). √ 4.如图,在边长为1的正方形ABCD中,AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及与的坐标. 解:由题意知A(0,0),点B,D分别是30°角、 120°角的终边与单位圆的交点. 设B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函数的定义,得x1=cos 30°=,y1=sin 30°=, ∴B,x2=cos 120°=-,y2=sin 120°=, ∴D.∴=,=. 逐点清(二) 平面向量加、减运算的坐标表示 02 多维理解 　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2). 项目 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a+b=_______________ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的____ a-b=_______________ 重要 结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的________的坐标减去_______的坐标 已知A(x1,y1),B(x2,y2), 则=_______________ 和 终点 起点 差 (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (x2-x1,y2-y1) |微|点|助|解| (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关.当向量确定以后,向量的坐标就是唯一确定的,因此向量在平移前后,其坐标不变. (2)由向量坐标的定义知,相等向量的坐标一定相同,但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同.也就是说,两个向量相等,当且仅当它们的坐标相同,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔ 微点练明 1.(多选)已知a=(1,3),b=(-2,1),下列计算正确的是 (　　) A.a+b=(-1,4) B.a-b=(3,2) C.b-a=(1,2) D.-a-b=(1,2) 解析:因为a=(1,3),b=(-2,1),所以a+b=(-1,4),故A正确;a-b=(3,2),故B正确;b-a=(-3,-2),故C错误;-a-b=(1,-4),故D错误. √ √ 2.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析:法一:设C(x,y),则=(x,y-1)=(-4,-3),所以 从而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A. √ 法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1),=-=(-4,-3)-(3,1) =(-7,-4).故选A. 3.已知点A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=c,=b. (1)求a+b-c; 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)a+b-c=(5,-5)+(-6,-3)-(1,8)=(-2,-16). (2)求点M,N的坐标及向量的坐标. 解:设O为坐标原点.∵=-=c, ∴=c+=(1,8)+(-3,-4)=(-2,4), ∴M(-2,4).又∵=-=b,∴=b+=(-6,-3)+(-3,-4)=(-9,-7), ∴N(-9,-7),∴=-=(-9,-7)-(-2,4)=(-7,-11). 逐点清(三)　平面向量坐标运算的应用 03 [典例]　已知点A(2,3),B(5,4),=(5λ,7λ).若=+(λ∈R),试求λ为何值时, (1)点P在第一、三象限的角平分线上; 解:设点P的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+=(5,4)-(2,3)+(5λ,7λ)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ). ∵=+,且与不共线, ∴则 (1)若点P在第一、三象限的角平分线上, 则5+5λ=4+7λ,∴λ=. (2)点P在第三象限内. 解:若点P在第三象限内,则 ∴λ<-1. |思|维|建|模| 坐标形式下向量相等的条件及其应用 (1)条件:相等向量的对应坐标相等. (2)应用:利用坐标形式下向量相等的条件,可以建立相等关系,由此可以求出某些参数的值. 针对训练 已知点O(0,0),A(1,2). (1)若点B(3t,3t),=+,则t为何值时,点P在x轴上?点P在y轴上? 点P在第二象限? 解:由题意得=+=(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t). 若点P在x轴上,则2+3t=0,∴t=-. 若点P在y轴上,则1+3t=0,∴t=-. 若点P在第二象限,则解得-<t<-,即t的取值范围为. (2)若B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形OABP能为平行四边形吗?若能,求出t值;若不能,请说明理由. 解:不能.理由如下: =(1,2),=-=(3-3t,3-3t). 若四边形OABP为平行四边形,则=, ∴该方程组无解. 故四边形OABP不能成为平行四边形. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.相等向量的坐标相同,与向量的起点、终点的位置无关 B.当向量的起点在坐标原点时,向量的坐标就是向量终点的坐标 C.两向量和的坐标与两向量的顺序无关 D.两向量差的坐标与两向量的顺序无关 √ √ √ 解析:由向量坐标表示的定义,即可判断出A、B正确.因为加法满足交换律,所以两向量和的坐标与两向量的顺序无关.故C正确.因为减法不满足交换律,所以两向量差的坐标与两向量的顺序有关.故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在如图所示的平面直角坐标系中,向量的坐标是(　　) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(1,1) D.(-1,-1) 解析:因为A(2,2),B(1,1),所以=(-1,-1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知点A(1,3),B(2,7),向量=(0,-2),则=(　　) A.(1,4) B.(-1,-4) C.(1,6) D.(-1,-6) 解析:因为=(1,4),所以=-=(-1,-6).故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3= (　　) A.(1,-5) B.(-1,5) C.(5,-1) D.(-5,1) 解析:根据力的合成可知F1+F2=(1-2,2+3)=(-1,5),因为物体保持静止即合力为0,则F1+F2+F3=0,即F3=(1,-5). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在平行四边形ABCD中,A(1,2),B(3,5),=(-1,2),则+=(　　) A.(-2,4) B.(4,6) C.(-6,-2) D.(-1,9) √ 解析:在平行四边形ABCD中,因为A(1,2),B(3,5),所以=(2,3). 又=(-1,2),所以=+=(1,5),=-=(-3,-1), 所以+=(-2,4),故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知两点A(4,1),B(7,-3),若+=0,则点C的坐标是(　　) A.(1,5) B.(-3,4) C.(-1,-5) D.(4,-3) 解析:设C(x,y),则=(x-4,y-1).又=(7,-3)-(4,1)=(3,-4),+=0, ∴(3,-4)+(x-4,y-1)=(0,0). ∴∴∴C(1,5). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若{i,j}为正交基底,设a=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的坐标位于 (　　) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析:因为x2+x+1=+>0,x2-x+1=+>0,所以向量a对应的坐标位于第四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知向量与a=(6,-8)的夹角为π,且||=|a|,若点A的坐标为(-1,2),则点B的坐标为(　　) A.(-7,10) B.(7,10) C.(5,-6) D.(-5,6) √ 解析:由题意知,与a方向相反, 又||=|a|,∴+a=0. 设B(x,y),则=(x+1,y-2), ∴解得 故点B的坐标为(-7,10). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.若将=绕原点O逆时针方向旋转120°得到,则的坐标是(　　) A. B. C.(-1,) D. 解析:如图,设绕原点O逆时针方向旋转120° 得到的的坐标为(x,y), 则x=||cos(120°+30°)=-, y=||sin(120°+30°)=,故的坐标是. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,已知A(1,3),B(2,4),则x=___________. 1 解析:∵=(2,4)-(1,3)=(1,1),且=a, ∴解得x=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知O是坐标原点,点A在第二象限,||=6,∠xOA=150°,则向量的坐标为________________. (-3,3) 解析:设点A(x,y),则x=||cos 150°=6cos 150°=-3,y=||sin 150° =6sin 150°=3,即A(-3,3),所以=(-3,3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)对于向量m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义mn=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且a+b=ab,那么向量b等于___________. 解析:设b=(x,y),由新定义及a+b=ab,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y), 所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=.所以向量b=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知A(7,2),B(1,4),直线y=ax与线段AB交于C,且=,则实数a的值为___________. 解析:设C(m,n),则=(m-7,n-2),=(1-m,4-n).又=,所以 解得m=4,n=3,所以C(4,3).代入y=ax得3=2a,所以a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在平面直角坐标系中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别求出它们的坐标. 解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则a1=|a|cos 45°=2×=,a2=|a|sin 45°=2×=, b1=|b|cos 120°=3×=-,b2=|b|sin 120°=3×=, c1=|c|cos(-30°)=4×=2,c2=|c|sin(-30°)=4×=-2. 因此a=(,),b=,c=(2,-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边△AOB,求点B的坐标及向量的坐标. 解:因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),所以||=||= ||=4.因为在0~2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为, 当点B在OA的上方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得,==(2,2),所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).当点B在OA的下方时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义得=(0,-4),所以=-=(0,-4)-(2,-2) =(-2,-2).综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $