2.6.3 第1课时 导数与函数的最值-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“导数与函数的最值”，系统讲解利用导数求多项式函数最值的方法，课前通过自主预习落实基础概念，课堂以梯度进阶题型（辨析、求最值、参数问题）构建学习支架，衔接单调性与极值知识脉络。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，结合“思维建模”总结解题方法，培养学生数学思维（逻辑推理）与数学眼光（抽象能力）。例如通过例2规范求导、判断单调性、比较极值与端点值的步骤，提升学生问题解决能力，教师可直接使用结构化内容高效教学。

6.3 函数的最值 导数与函数的最值 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值. 2.体会导数与单调性、最大（小）值的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.函数f（x）在区间[a，b]上的最值 （1）取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y=f（x）的图象是一条__________的曲线. （2）结论：函数y=f（x）必有最大值和最小值，函数的最值在__________或__________取得. 连续不断 极值点 区间端点 2.求函数y=f（x）在区间[a，b]上的最值的步骤 （1）求函数y=f（x）在区间（a，b）内的_______. （2）将函数y=f（x）的_______与端点处的函数值_______________ 进行比较，其中最大的一个是_________，最小的一个是_________. 极值 各极值 f（a），f（b） 最大值 最小值 |微|点|助|解| 函数最值与极值的区别与联系 （1）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个. （2）极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值. 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）闭区间上的连续函数一定有最值. （　　） （2）开区间上的单调连续函数无最值. （　　） （3）极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得. （　　） （4）函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值.（　　） 基础落实训练 √ √ √ × 2.函数f（x）=2x-cos x在（-∞，+∞）上 （　　） A.无最值　　　　　　 B.有极值 C.有最大值 D.有最小值 √ 解析：f'（x）=2+sin x>0恒成立，所以f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，无极值，也无最值. 3.函数y=在[0，2]上的最大值为___________.  解析：令y=f（x），∵y'==，令y'=0， 得x=1∈[0，2].∴f（1）=，f（0）=0，f（2）=， ∴f（x）max=f（1）=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　函数最值的辨析 [例1]　（多选）下列结论不正确的是 （　　） A.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B.若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C.若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x=a和x=b时取得 D.若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值 √ √ √ 解析：选项A，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极大值不一定是[a，b]上的最大值，f（x）可能在端点处取得最大值，判断错误；选项B，若f（x）在[a，b]上有极小值，则极小值不一定是[a，b]上的最小值，f（x）可能在端点处取得最小值，判断错误；选项C，若f（x）在[a，b]上有极大值，则极小值一定不是x=a和x=b时取得，判断错误；选项D，若f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上存在最大值和最小值，判断正确.故选ABC. 　　|思|维|建|模| （1）正确理解极值与最值的关系是解题关键. （2）一般情况下，唯一的极值应该也是最值，在（a，b）内， 若f（x0）为极小值，则其为最小值；若f（x0）为极大值，则其 为最大值. 针对训练 1.已知定义在R上的函数f（x），其导函数 f'（x）的大致图象如图所示，则下列叙述 正确的是 （　　） A.f（b）>f（a）>f（c） B.函数f（x）在x=c处取得最大值，在x=e处取得最小值 C.函数f（x）在x=c处取得极大值，在x=e处取得极小值 D.函数f（x）的最小值为f（d） √ 解析：由题图可知，当x≤c时，f'（x）≥0，所以函数f（x）在（-∞，c]上单调递增，又a<b<c，所以f（a）<f（b）<f（c），故A不正确；因为f'（c）=0，f'（e）=0，且当x<c时，f'（x）>0；当c<x<e时， f'（x）<0；当x>e时，f'（x）>0.所以函数f（x）在x=c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x=e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确；由题图可知，当d≤x≤e时，f'（x）≤0，所以函数 f（x）在[d，e]内单调递减，从而f（d）>f（e），故D不正确. 题型（二）　求函数的最值 [例2]　 已知函数f（x）=x3-3x，x∈R. （1）求f（x）的单调区间； 解：f'（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1）， 当x<-1或x>1时，f'（x）>0，当-1<x<1时，f'（x）<0. 所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）， 单调递减区间为（-1，1）. （2）当x∈[-，3]时，求f（x）的最大值与最小值. 解：由（1）知x∈[-，3]时， f（x）的极大值为f（-1）=2，f（x）的极小值为f（1）=-2， 又f（-）=0，f（3）=18. 所以f（x）的最大值为18，f（x）的最小值为-2. 　　|思|维|建|模| 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 （1）对函数进行准确求导，并检验f'（x）=0的根是否在给定区间内. （2）研究函数的单调性，确定极值和端点函数值. （3）比较极值与端点函数值的大小，确定最值. 针对训练 2.求下列函数的最值： （1）f（x）=； 解：因为函数f（x）=的定义域为R， f'（x）==， 当f'（x）=0时，x=2. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. 所以f（x）在（-∞，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，所以f（x）无最小值，且当x=2时，f（x）max=f（2）=. x （-∞，2） 2 （2，+∞） f'（x） + 0 - f（x） 单调递增 极大值 单调递减 （2）f（x）=x2-x-ln x，x∈[1，3]. 解：因为f'（x）=2x-1-==， 又因为x∈[1，3]， 所以f'（x）≥0在[1，3]上恒成立.所以f（x）在[1，3]内单调递增， 所以当x=1时，f（x）min=f（1）=0； 当x=3时，f（x）max=f（3）=6-ln 3. 题型（三）　由函数最值求参数的值或范围 [例3]　（1）当x=1时，函数f（x）=aln x+取得最大值-2，则a=（　　） A.-2 B.-4 C.2 D.4 √ 解析：当x=1时，函数f（x）=aln x+取得最大值-2，所以f（1）== -2，即b=-2，f（x）=aln x-，定义域为（0，+∞），又因为f（x）在x=1处取得最大值，所以f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，f'（x）=，则f'（1）==0，所以a=-2. （2）函数f（x）=x3-x2在区间（a，a+5）内存在最小值，则实数a的取值范围是（　　） A.（-3，2） B.[-3，2） C.[-1，2） D.（-1，2） √ 解析：由f'（x）=x2-2x=0得x1=0，x2=2， 则当x∈（-∞，0）时，f'（x）>0，f（x）单调递增； 当x∈（0，2）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， 当x∈（2，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增. f（x）在区间（a，a+5）内存在最小值， 故最小值为f（2），又f（-1）=f（2），故有 解得-1≤a<2.故实数a的取值范围是[-1，2）. 　　|思|维|建|模| 　　已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题. 针对训练 3.已知h（x）=x3+3x2-9x+1在区间[k，2]上的最大值是28，求k的取值范围. 解：∵h（x）=x3+3x2-9x+1，∴h'（x）=3x2+6x-9，令h'（x）=0，得x1=-3，x2=1，当x变化时h'（x）及h（x）的变化情况如下表. x （-∞，-3） -3 （-3，1） 1 （1，+∞） h'（x） + 0 - 0 + h（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当x=-3时，取极大值28； 当x=1时，取极小值-4. 而h（2）=3<h（-3）=28， 由h（x）在区间[k，2]上的最大值为28，则k≤-3. 故k的取值范围是（-∞，-3]. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.关于函数f（x）=x3+x，下列说法正确的是 （　　） A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，有最大值 D.没有最小值，也没有最大值 √ 解析：依题意f'（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R上单调递增，没有最小值也没有最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.函数y=x-sin x，x∈的最大值是（　　） A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 √ 解析：因为y'=1-cos x，当x∈时，y'>0，则函数在区间内单调递增，所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知函数f（x），g（x）均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'（x）<g'（x），则f（x）-g（x）的最大值为 （　　） A.f（a）-g（a） B.f（b）-g（b） C.f（a）-g（b） D.f（b）-g（a） √ 解析：令F（x）=f（x）-g（x），∴F'（x）=f'（x）-g'（x）<0，即 F'（x）<0，∴F（x）在[a，b]内单调递减，∴F（x）max=f（a）-g（a）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知函数f（x）=（x+1）2+cos（x+1）+a的最小值是4，则a= （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 √ 解析：由题知f'（x）=2（x+1）-sin（x+1），f″（x）=2-cos（x+1）>0，所以f'（x）单调递增，又f'（-1）=0，所以当x<-1时，f'（x）<0；当x>-1时，f'（x）>0.故x=-1为f（x）的最小值点，即f（-1）=1+a=4，解得a=3，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知f（x）=x3-3x2+2，若f（x）在（2a，a+3）上存在最小值，则a的取值范围是 （　　） A. B. C.[-1，2） D.[-1，1） √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意得f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），易得x=0和x=2为f（x）的极值点，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）.又f（0）=2，f（2）=-2，所以令x3-3x2+2=-2，则（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1或x=2.若函数f（x）在（2a，a+3）上存在最小值，则解得-≤a<1，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知a>0，函数f（x）=ax-ln x的最小值为（a-1）ln 2+1，则a= （　　） A.1或2 B.2 C.1或3 D.2或3 √ 解析：由f（x）=ax-ln x（x>0），得f'（x）=a-=（a>0，x>0），当0<x<时，f'（x）<0，当x>时，f'（x）>0，所以f（x）在内单调递减，在上单调递增，故f（x）min=f=1+ln a=（a-1）ln 2+1，得ln a=（a-1）ln 2，解得a=1或a=2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为 （　　） A.1 B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以|MN|=f（x）- g（x）=x2-ln x.设h（x）=x2-ln x，则h'（x）=2x-=（x>0）. 令h'（x）==0，得x=，所以h（x）在内单调递减， 在上单调递增，所以当x=时，|MN|取最小值，此时t=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）已知函数f（x）=x3-ax2+b，若f（x）在区间[0，1]内单调递增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b，则a=______________，b=______________.  0（答案不唯一） -（答案不唯一） 解析：f'（x）=x2-ax，令f'（x）=0，解得x=0或x=a， 若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则a≤0， 最大值为f（1）=-a+b=0，则b=a-，不妨取a=0，则b=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）函数f（x）=的最小值是______.  -e 解析：由题设，f'（x）==-，所以在（-∞，-1）上f'（x）<0，f（x）单调递减；在（-1，2）内f'（x）>0，f（x）单调递增；在（2，+∞）上f'（x）<0，f（x）单调递减.f（x）在（-∞， -1）上值域为（-∞，-e），在（-1，2）上值域为，在（2，+∞）上值域为，故f（x）在R上的值域为（-∞，-e），即最小值是-e. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）已知函数f（x）=ln x-x+k在[1，e]上的最大值为2，则f（k）=___________.  ln 3 解析：因为f（x）=ln x-x+k，所以f'（x）=-1=，又x∈[1，e]， 所以f'（x）≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f（x）在区间[1，e]内单调递减，所以f（1）=ln 1-1+k=2，解得k=3，故f（x）=ln x-x+3， 所以f（k）=f（3）=ln 3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）若函数f（x）=xex在区间（-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，则实数a的取值范围是_________.  [0，+∞） 解析：因为函数f（x）=xex，则f'（x）=ex+xex= （1+x）ex，当x>-1时，f'（x）>0，函数f（x）= xex单调递增；当x<-1时，f'（x）<0，函数f（x） =xex单调递减.所以函数f（x）=xex在（-∞，-1）上 单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）=xex在区间（-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，结合图象可知a≥0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知函数f（x）=2x+1-4ln x. （1）证明：f（x）≥-2x+5；（5分） 解：证明：要证f（x）≥-2x+5，即证2x+1-4ln x≥-2x+5，即证x-1- ln x≥0，令g（x）= x-1-ln x，则g'（x）=（x>0），当x∈（0，1）时，g'（x）<0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）>0，所以g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，从而f（x）≥-2x+5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值.（5分） 解：因为f（x）=2x+1-4ln x，x∈[1，3]，所以f'（x）=2-=，x∈[1，3]，令f'（x）>0，则2<x≤3；令f'（x）<0，则1≤x<2，所以 f（x）在[1，2）内单调递减，在（2，3]内单调递增，所以f（x）min= f（2）=5-4ln 2，又f（1）=3，f（3）=7-4ln 3，f（1）-f（3）= 4（ln 3-1）>0，所以f（x）max=3，所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（15分）已知函数f（x）=ax+ln x. （1）讨论函数f（x）的单调区间；（7分） 解：由题意得f'（x）=a+，x>0，当a≥0时，f'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a<0时，若0<x<-，则f'（x）>0，函数f（x）单调递增，若x>-，则f'（x）<0，函数f（x）单调递减.综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a<0时，函数f（x）在内单调递增，在上单调递减. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）当a=-1时，函数g（x）=f（x）+excos x-ln x-m在上的最大值为0，求实数m的值.（8分） 解：由题意g（x）=-x+excos x-m，x∈，g'（x）=-1+ex（cos x-sin x），令h（x）=g'（x）=-1+ex（cos x-sin x），h'（x）=-2exsin x.当x∈时，h'（x）=-2exsin x≤0，h（x）单调递减，则h（x）≤h（0）=0，则g'（x）≤0，则g（x）在内单调递减，故g（x）在上的最大值为g（0）=1-m=0，所以m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）已知函数f（x）=x3-x2-2x+1. （1）求函数f（x）的单调区间；（4分） 解：由f（x）=x3-x2-2x+1，x∈R，得f'（x）= x2-x-2， 令f'（x）= x2-x-2>0，得x<-1或x>2， 令f'（x）= x2-x-2<0，得-1<x<2， 故f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞）， 单调递减区间为（-1，2）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）求函数f（x）的极值；（3分） 解：由（1）可知f（x）的极大值为f（-1）=， 极小值为f（2）=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）若函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-，求实数a的取值范围.（8分） 解：函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-，故f（a）≥f（2）=-，由 f（x）=f（2）=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解，故（x-2）2（2x+5）=0，解得x=-或x=2，由于f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞），单调递减区间为（-1，2），故要使得函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-，只需-≤a≤2，即实数a的取值范围为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $